ÁLGEBRA SEM 09 - 2023 I

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ÁLGEBRA 
CICLO 2023 - I 
“FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS II” 
 
 
Criterio de los divisores binomios o 
evaluación: 
Se utiliza para factorizar polinomios de grado 
superior y de una sola variable, siempre y 
cuando admitan por lo menos un factor 
lineal de la forma ( )ax b+ . 
Raíz o cero de un Polinomio: Es el valor o 
conjunto de valores que tienen la propiedad 
de anular (valor numérico cero) al polinomio 
en referencia. Es decir: Dado un polinomio 
( )P x no constante, si ( ) 0P a = , entonces a 
es una raíz del polinomio ( )P x . 
Ejemplo: Si 5 3 2( ) 5 2F x x x x x= − + + + 
Observamos que para 2x = 
5 3 2(2) 2 5(2) 2 2 2 0F = − + + + = , entonces 
afirmamos que 2 es una raíz de ( )F x 
 
TEOREMA 
Sea el polinomio en [ ]x 
1 2
0 1 2 1( )
n n n
n nP x a x a x a x a x a
− −
−= + + + + + 
Entonces las posibles raíces racionales de 
( )P x son de la forma 
b
c
 , con b y c primos 
entre sí, donde, b es un divisor del término 
independiente na y c es un divisor del 
coeficiente principal 0a . 
En particular, si ( )P x es mónico (es decir 
0 1a = ) , entonces las posibles raíces de 
( )P x son de la forma b (raíces enteras), 
donde b es un divisor del término 
independiente. 
 
Regla para determinar los posibles ceros o 
raíces racionales de un polinomio 
Sea el polinomio: 
1 2
0 1 2 1( )
n n n
n nP x a x a x a x a x a
− −
−= + + + + + 
0 0, 0na a  
 
Para determinar los posibles ceros o raíces 
racionales de un polinomio ( )P x de 
coeficientes enteros, se recomienda tener en 
cuenta lo siguiente: 
➢ Si el coeficiente del término de mayor grado 
es la unidad, los posibles ceros racionales de 
( )P x son los divisores del término 
independiente (de su valor absoluto), con su 
doble signo. Así: 
  nPosibles ceros Divisores de a=  
 Ejemplo: Sea el polinomio 2 6x x− + 
  1; 2; 3; 6Posibles ceros =     
➢ Si el coeficiente del término de mayor grado 
es diferente de la unidad, los posibles ceros 
racionales de ( )P x serán los divisores del 
término independientes (de su valor 
absoluto) divididos por los divisores del 
coeficiente del término de mayor grado (de 
su valor absoluto), con su doble signo. Así: 
 
0
nDivisores de a
Posibles ceros
Divisores de a
  
=  
  
 
 
Ejemplo: Factorizar 
( )
3 211 31 21
x
P x x x= − + − 
Posibles ceros  1; 3; 7; 21=     
Se anula para x = 1, luego un factor es (x - 1). 
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El otro factor se determina aplicando la 
Regla de Ruffini, Así: 
 
 
( ) ( )( )
21 10 21
x
P x x x= − − + . 
Factorizamos por aspa simple: 
( ) ( )( )( )1 7 3xP x x x= − − − 
 
Criterio de los Artificios 
Son cuestiones prácticas que facilitan la 
resolución de los problemas. Es necesario 
precisar que debemos adoptar una práctica 
continua que nos permita cierta facilidad en 
dar una forma adecuada a la expresión en 
discusión, y así poder optar en forma 
acertada el artificio a utilizar; veamos: 
 
Cambio de variable 
Consiste en transformar una expresión 
algebraica en otra equivalente, para luego 
proceder a un cambio adecuado de variable, 
permitiéndonos transformar la expresión 
original aparentemente compleja en otra 
más simple. 
Ejemplo explicativo: 
Factorizar
2( ; ; ) (18 7 6 )( 3 3 ) 3P a b c c b a a c b b= + + + + + 
Observa la transformación de ( ; ; )P a b c 
teniendo como referencia el segundo factor 
del primer término: 
( )( )
2
( ; ; ) 6 18 18 11 3 3
3
P a b c a c b b a c b
b
= + + − + +
+
 
( ) ( )
2
( ; ; ) 6 3 3 11 3 3
3
P a b c a c b b a c b
b
= + + − + +  
+
 
Realizando el cambio de variable 
3 3a c b z+ + = , se tiene: 
( ) ( )
2
;
6 11 3
z b
P z z b b= − + . 
 Ejecutamos la operación indicada. 
( )
2 2
;
6 11 3
z b
P z bz b= − + . Aplicamos el criterio 
del aspa simple. 
 
 
( ) ( )( ); 3 2 3z bP z b z b= − − . 
Luego, reponiendo z tenemos: 
( ) ( )( ); ; 3 9 8 2 6 3a b cP a c b a c b= + + + + 
 
PRÁCTICA DE CLASE 
 
1. Al factorizar el polinomio 
 6 4 2( ) 9 9P x x x x= − − + en [ ]x se 
obtiene que la suma de sus factores primos 
es de la forma 2ax bx c+ + . Determine la 
suma de los divisores positivos pares de abc 
 A) 7 B) 4 C) 6 D) 10 E) 8 
 
2. El volumen de un cilindro circular recto (en 
3cm ) está representado por el polinomio 
[ ( )]P x ; tal que 
 10 7 6 4 3( ) 4 4 4 4P x x x x x x= − + + − + , 
 ( 18)x x+   . Si el diámetro de la base 
del cilindro mide 50 cm y el valor de la altura 
en centímetros es un número natural, halle 
la medida de dicha altura. 
 A) 82 cm B) 83 cm C) 84 cm 
 D) 85 cm E) 86 
 
3. Al factorizar 
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 2( ; ) ( 3) 7 7 31P x y x y x y= + + + + + en 
[ , ]x y , se obtiene que la suma de 
términos independientes de sus factores 
primos representa la edad (en años) de 
Elsa. Halle la edad que Elsa tendrá dentro 
de 7 años. 
 A) 18 años B) 20 años C) 22 años 
 D) 25 años E) 24 
 
4. Hallar la suma de los términos 
independientes de los factores primos de 
4 2( ) 2 9P x x x= + + 
 a) 6 b) 3 c) 2 d) 5 e) 8 
 
5. Luego de factorizar: 
 7( ) (2 1) 4 ( 1) 2P x x x x= + + + + 
 Indicar un factor primo cuadrático 
 a) 24 1x x+ + d) 22 2x x+ + 
 b) 2 5 1x x− + e) 24 6 3x x+ + 
 c) 24 3x x+ + 
 
6. Si el polinomio: 
 
( ) ( )( )( )
( )
2 3
3
1 2 3
2 2 3 3
P x x x x
x x
= − − −
+ − +
 
factorizado adopta la forma 
 ( ) ( ) ( )
nn nP x x x c x ax a= + + − 
 Calcule “ ( )n ac− 
 a) – 4 b) – 1 c) 0 d) 3 e) 5 
 
7. Al factorizar: 
 
6 5 4 3 2( ) 4 3 9 6
11 30
P x x x x x x
x
= − − − −
+ −
 
 El factor primo de mayor grado es: 
 ( )( )Q x ax bx c = + + . Calcular: 
 ( )Q a b c a b c + + + − + + + 
 
 A) 31 B) 7 C) 27 D) 19 E) 4 
 
8. Si el polinomio 3 2( ) 2 3 2P x x ax x= + + − 
admite una raíz entera positiva, entonces 
halle el menor valor de a. 
 A) – 2 B) – 6 C) 3 D) – 3 E) – 5 
 
9. Indique la suma de los factores primos del 
polinomio: 5 4( ) 1P x x x= + + 
 A) 3 2x x x+ + D) 3 2 2x x+ − 
 B) 2 2 2x x− + E) 3 2 2x x+ + 
 C) 3 2 1x x+ + 
 
10. El número total de factores primos en el 
polinomio adjunto es: 
7 5 4 3 2( ) 10 5 9 50 45W x x x x x x 
 A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 7 
 
11. Sumando los factores primos de: 
 5 4 3( ) 2 1D x x x x x , 
obtenemos: 
 A) 3 22 2x x D) 32 2x x 
 B) 32 1x x E) 3 22 2x x x 
 C) 3 22 1x x x 
 
12. ¿Cuántos factores primos tiene el siguiente 
polinomio? 
 
( )
5 4 3 22 13 26 36 72
x
P x x x x x= − − + + − 
 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 
 
13. Al factorizar 
 5 3 2( ) 4 29 24 7 6P x x x x x= − − + + la suma 
de los términos independientes de dichos 
factores es: 
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 a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 
 
14. Natalia factoriza el polinomio 
3 3 2( ) ( 1) (3 2) (6 5) 15P x x x x= − − − − − 
en [ ]x y afirma las siguientes 
proposiciones: 
I. El término independiente de un 
factor primo es 16. 
II. Tiene dos factores primos 
cuadráticos. 
III. El número de factores es 11. 
 Determine cuál o cuáles de las 
proposiciones son verdaderas. 
 A) II B) Todas C) I y III D) III 
 
15. En el polinomio 8( ) 2m nP x x x x= + − , 
se cumple que los exponentes 8, m y n en 
ese orden, forman una progresión 
geométrica y la suma de los grados de los 
tres términos de p(x) es igual a 14. Calcule 
la suma de los coeficientes de un factor 
primo en [ ]x de dicho polinomio. 
 A) 5 B) 3 C)– 3 D) 4 
 
16.Al factorizar el polinomio 
 6 5 4 3 2( ) 6 7 5 3 8 3P x x x x x x= + − + − − 
en[ ]x . Determine el valor de verdad 
de las siguientes proposiciones en el 
orden respectivo. 
I. Un factor primo es (x + 1). 
II. Tiene 2 factores primos cúbicos. 
III. 
3 23 5 3x x+ + es un factor primo. 
 A) FVV B) VFV C) FF vvv V D) FVF 
 
17.Carla tiene un paralelepípedo rectangular 
de aristas: a cm, b cm y c cm cuyo 
volumen es 3 21( ) 6 11 6V x x x x= − + − y 
Juan construye un paralelepípedo 
rectangular cuyas aristas se muestran en la 
siguiente figura: 
 
 Si las aristas de ambos paralelepípedos son 
polinomios de primer grado y mónicos, 
calcule la diferencia de volúmenes. 
 A) 3( 2)( 1)x x− − 3cm 
 B) 3( 2)( 3)x x− − 3cm 
 C) ( 2)( 1)x x− − 3cm 
 D) 2( 2)( 1)x x− − 3cm 
 
18. Si – 1 y 2 son las raíces del polinomio 
 3 2( ) 2f x x nx nx m= + + + , 
 entonces determine el valor de m n+ . 
 A) 13 B) – 1 C) 2 D) 5 
 
19.Se desea diseñar un parlante especial con las 
medidas mostradas en la figura. 
 
 Si 3 2( ) 2 2V x x x x= + − − es el volumen de 
la caja del parlante y ( )F x ; ( )P x y ( )Q x 
son polinomios lineales, determine el 
máximo valor de (2)F , 1x  
 A) – 1 B) 1 C) 4 D) 0