ÁLGEBRA SEM 10 - 2022 III

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Centro Preuniversitario de la UNS S-10 Ingreso Directo 
 
 CEPUNS 
 Ciclo 2022 - III 
 ÁLGEBRA 
 “ECUACIONES POLINOMIALES” 
 
 
ECUACIÓN CUADRATICA O DE 2° GRADO. 
 
Es aquella cuya forma general es: 
ax
2
 + bx + c = 0 ;  a  0 
 Donde: x es la incógnita a ; b  c los coeficientes 
 
METODOS DE RESOLUCION DE LA ECUACION 
Toda ecuación de 2do grado podrá resolverse por al 
menos una de las siguientes formas: 
 
A) Por Factorización 
 Este método se aplica únicamente si el trinomio: 
cbxax
2
 es factorizable, para lo cual se debe 
tener en cuenta la siguiente propiedad: 
0n0m0n.m:Si  
 
 Ejemplo: Resolver la siguiente ecuación: 
012xx
2
 
Según el criterio del aspa 
 x
2
 – x–12=(x–4)(x+3) 
simple tendremos: 
 x -4 
 
 x 3 
 luego la ecuación dada será: (x–4) (x+3) = 0 
 
Finalmente de acuerdo a la propiedad señalada 
líneas arriba; se tendrá: 
x – 4 = 0  x + 3 = 0  x = 4  x= -3 
Es decir el conjunto solución de la ecuación: 
x
2 
 – x – 12= 0, es : C.S. = {4; -3} 
 
B) Por la Fórmula de Carnot 
 Dada la ecuación : 0cbxax
2
 , sus raíces s 
obtienen utilizando la fórmula deducida por Sadi 
Carnot: 
a2
ac4bb
x
2

 
 Donde las raíces son: 
 
a2
ac4bb
x;
a2
ac4bb
x
2
2
2
1



 
 Ejemplo: Resolver la siguiente ecuación: 
01x3x
2
 
 
De la ecuación se deduce que:a = 1 b = 3  c =–1 
Reemplazando en la fórmula tenemos: 
)1(2
)1)(1(433
x
2 
 
Efectuando y reduciendo: 
2
133
x 
Finalmente las raíces de la ecuación son: 
2
133
x1

 ; 
2
133
2

x 
En consecuencia el conjunto solución es: 





 

2
133
;
2
133
..SC 
 
ANÁLISIS DE LA ECUACION: 
Para la ecuación: 0cbxax
2
 , se tiene: 
 
I) Si:   Rcba  ;0 , la ecuación es: 
 Compatible Determinada. 
 
II) Si: a = 0  b = 0  c = 0, la ecuación es: 
Compatible Indeterminada 
 
III) Si: a = 0  b = 0  c  0, la ecuación es: 
Incompatible. 
 
NATURALEZA DE LAS RAICES 
A) DISCRIMINANTE )( 
 Llamamos discriminante a la expresión 
subradical contenida en la fórmula de Carnot: 
Semana N°10 
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 2 
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ac4b
2
 
 De este modo la fórmula que da solución a una 
ecuación de 2do grado queda así: 
 
a2
b
x

 
 
B) ANALISIS DEL DISCRIMINANTE 
 Observando la relación anterior, resulta 
previsible que el valor y/o signo del 
discriminante determinará la naturaleza de las 
raíces de una ecuación de 2do grado. Veamos 
los siguientes casos: 
 
 Primero: 0:Si  
 En este caso las raíces d la ecuación 
serán reales y diferentes. 
 
 Segundo: 0:Si  
 En este caso las raíces de la ecuación 
serán reales e iguales. Este caso se 
presenta cuando el trinomio 
"cbxax"
2
 es un cuadrado 
perfecto. 
 
 Tercero: 0:Si  
 En este caso las raíces d la ecuación 
serán imaginarias y conjugadas. 
Desde notarse que las raíces 
imaginarias siempre se presentan en 
parejas, siendo una la conjugada de 
la otra. 
 
PROPIEDADES DE LAS RAICES 
Para la ecuación: 0a/0cbxax
2
 , 
raíces 
21
xx  , tenemos: 
I) Suma de Raíces: 
a
b
xxs
21
 
II) Producto de Raíces: 
a
c
x.xp
21
 
III) Diferencia de Raíces :  
a
xxd
21

 
 
PROBLEMAS PROPUESTOS 
 
1. Resuelve la ecuación 












 zz
3
1
3
1
5
1
5
1
 
 a) 
15
16
 b) 
30
16
 c)16
9
 d ) 1
9
e) 
30
16
 
 
2. Determinar el valor de “x-1”; de la 
siguiente ecuación. 
 
0
22
3
22
3
1
1
2





 xxx
 
 a) 2 b) 
2
1
 c)1 d ) 3 e) 2 
 
3. Resolver la ecuación en “x”: 
111 












y
b
a
b
y
a
b
a
 
 a) ab b) a -b c)1 d ) 3 e) b + a 
 
4. Resolver : 332432  xx 
 
 a) -3;-1 b)2;-1 c)1 d) 3; -1 e)1,2 
 
5. Hallar el mayor valor de “a” en la 
siguiente ecuación; donde una raíz es 
triple de la otra. 
011)43( 22  axax 
a) -8 b) 9 c)10 d) 11 e) 8 
 
6. Determinar el valor de ”x”. 
06)23(2  nmmnx , es : 
 
a) 
m
2
 b) 
n
2
 c) 
m
1
 d)
m
2
 e) 1 
7. Si a y b son raíces de la ecuación: 
 
23 5 4 0x x   
 Determine el valor de 2 2a b 
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 a) 25
9
 b) 
8
5
 c) 16
9
 d ) 1
9
 e) 
2
9
 
8. Si la ecuación en x es Mónico se tiene: 
015
4
9
63
2







a
x
aa 
 a) 12 b) 3 c)-18 d ) 10 e) -9 
 
 
9. Resolver: 
)10)(6)(4)(2()1)(5)(7)(9(  xxxxxxxx
 a) 3 b) 2 c)7 d) 5,5 e)6,5 
 
10. Calcular : a- 2b; si la ecuación 
cuadrática: 
abxbaxba 3)(4)18(5 2  ;es 
incompatible. 
 
 a) -13 b) 3 c)1 d ) 9 e) 18 
 
11. Hallar el valor de “x” en la ecuación: 
7432153  xxxx 
 a) 2 b) 3 c)4 d ) 5 e) 6 
 
12. Indicar la mayor, solución de la 
ecuación: 
5
5
6
5
5
5






x
x
x
x 
 a) -25/2 b)25/4 c) 4 d) 1 e) 25/3 
 
13. ¿Qué valores de “a”, de la ecuación 
cuadrática tendrá sus 2 raíces 
iguales.? 
0)32(7)13(22  axax 
 a) -1/2; 2 b) 3/2; 10/9 c) -10/ 9; 2 
 d ) 9 /5 ; -10/9 e) 1/9 ; 19/10 
 
14. Si m y n son números reales, de 
manera que las ecuaciones: 
02)24(8
1)35()27(
2
2


xnnx
xmxm
 
Admiten las mismas raíces- entonces el 
valor de “a + b” es: 
 a) -5 b) 3 c) 4 d) 1 e) 5 
 
15. Señale el valor de ”m” si una raíz de la 
ecuación es 2. 
042)8()1( 23  xmxmx 
 a) 9 b) 3 c)1 d ) 10 e) -9 
 
16. Halle la suma de valores de “n”, de tal 
manera que la ecuación: 
  01)25.(1  xxn ; se 
verifique para un solo valor de “x”. 
 a) -1 b) 3 c) 4 d) 1 e) 2 
 
17. Sí la ecuación: 
    054949 2  mxmmxm 
admite raíces recíprocas. Hallar el 
valor de “m”. 
a) 8/9 b) 7/9 c) 9/8 d) 9/7 e) 4 
 
18. Siendo “m” y “n” raíces dela ecuación: 
 3x2 - 9x – 1 = 0 
Halle el valor de: 
 P=(m + 1)(n +1) 
 
a)10/3 b)11/3 c)-7/3 d) 9/2 e) 1 
19. La ecuación fraccionaria 
a
x
x
x
x






1
12
12
1 , se transforma en 
una ecuación lineal. Calcule la suma 
del valor de a , con la solución de la 
ecuación resultante. 
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a) -65/22 b) 1 c)22/65 
d)65/22 e) 0 
 
20. En las siguientes ecuaciones: 
).(..........07
)..(..........05
2
2
IInxx
Inxx


 
Una raíz dela ecuación(I)es la mitad 
de una de la raíz de la ecuación(II) 
luego el valor de “n” es igual a: 
 a) 6 b) 3 c)1 d ) 9 e) 2 
 
21. La diferencia entre la mayor raíz y 
menor raíz de la ecuación es: 
    0172433 22  xx , es: 
 a) 6 b) 3 c)14 d ) 9 e) 2 
 
22. Calcule la suma de raíces no reales en 
la ecuación: 
0282035 234  xxxx 
a) 10 b) 5 c) 7 d ) 9 e) 12 
23. La ecuación   0104436 2  pxpx 
admite por raíces a 21 xx  ; si 
,
10
1911
21

xx
entonces el valor de p, es: 
a) 7 b) 3 c) 6 d) 2 e) 524. Formar una ecuación cuadrática cuyas 
raíces son –2/3 y 5/4. 
a) 12x2–7x – 10 = 0 b)12x2–7x + 10 = 0 
c) 12x2 + 7x +10 = 0 d)12x2 +7x –10 = 0 
 e) 12x2 – 17x + 10 = 0 
 
25. Formar una ecuación cuadrática de 
coeficientes racionales siendo una de 
sus raíces:
5
223 
 
a) 5x2 – 6x + 1 = 0 b) 25x2 – 30x + 1 = 0 
c) 5x2 + 6x - 1 = 0 d) 5x2 + 6x + 1 = 0 
 e) 5x2 – 6x + 2 = 0 
 
26. Halle la ecuación cuadrática cuyas 
raíces sean la suma y el producto de 
raíces de la ecuación: 
 2x2 + 3x + 7 = 0 
 a) 4x2 – 29x +42 = 0 b)4x2+29x+42 = 0 
 c) 4x2 – 29x – 42 = 0 d)4x2+29x –42= 0 
 e) 4x2 – 8x – 21 = 0 
 
27. La suma de las raíces de una ecuación 
cuadrática es 2 y su diferencia 4. 
Luego, la ecuación es: 
a) 0322  xx b) 0322  xx 
c) 0322  xx d) 0222  xx 
 e) 0322  xx 
 
28. Resuelva: 
036409410 23457  xxxxx
 
dé como respuesta la suma de todas 
las raíces reales. 
 a) 3 2 b) 3 4 c) 3 23 d) 3 44 e) 1