ARITMETICA SEM 08 - 2022 - III

Vista previa del material en texto

1 
Centro Preuniversitario de la UNS Ingreso Directo 
 
 
 
 ARITMÉTICA 
CICLO 2022 - III 
“Números primos I” 
 
Semana Nº 8
 
1. NUMERO PRIMO ABSOLUTO: 
 
 Se llama así a cualquier número entero positivo 
mayor que uno, que se divide sin resto 
solamente por sí mismo y por la unidad. 
 
 Ejemplo: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 
37, 41, 43... 
 
2. NUMERO COMPUESTO: 
 
 Se llama así a todo número entero positivo que 
se divide sin resto por otros números aparte de 
la unidad y el mismo. 
 
 Ejemplo: 
 #  Divisores 
 18  1; 2; 3; 6; 9; 18 
 49  1; 7; 49 
 42  1; 2; 3; 6; 7; 14; 21; 42 
 
3. NUMEROS PRIMOS ENTRE SI 
(P.E.SI): 
 
 Llamados también números primos relativos, 
son aquellos que poseen un solo divisor común: 
La Unidad. 
 
 Ejemplo: 
 Sean los números: #  Divisores 
 12  1; 2; 3; 4 ; 6; 12 
 25  1;5; 25 
 35  1;5; 7; 35 
 Entonces: 
 
 (*) 12 y 25 son P.E. Si (*) 25 y 35 son P.E. Si 
 (*) 12 y 35 son P.E. Si (*) 12,25y 35 son P.E. Si 
 
 
 
 
 
4. NUMEROS PRIMOS ENTRE SI 2 A 2: 
 
Son aquellos que al ser tomados por parejas (de 2 
en 2) en todas las combinaciones posibles, siempre 
son primos entre sí. Por ejemplo, sean los números: 
#  Divisores 
 15  1; 3; 5; 15 (*) 15 y 28 son P.E. Si 
 28  1; 2; 4; 7; 14; 28  (*) 15 y 143 son P.E. Si 
 143  1; 11; 13; 143 (*) 28 y 143 son P.E. Si 
 
 
 Entonces: 15; 28 y 143 son primos entre sí 2 a 2 
 
5. TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA 
ARITMETICA: 
 
 “Todo número compuesto se descompone en una 
multiplicación de potencias de exponente entero 
positivo de sus divisores primos”. 
 Ejemplo: (*) 24 = 23 x 3 
 (*) 882 = 2 x 32 x 72 
 (*) 720 = 24 x 32 x 5 
 NOTAS: 
 1. A esta descomposición se le conoce con el nombre 
de DESCOMPOSICION CANONICA. 
 2. La descomposición canónica de un número es 
única. 
 Sea el número: 𝑁 = 𝐴𝑎𝑥𝐵𝑏𝑥𝐶𝑐𝑥. . . 𝑥𝑃𝑝⏟ 
𝐷𝑒𝑠𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛𝐶𝑎𝑛ó𝑛𝑖𝑐𝑎
 
 Donde: 
 (*) A, B, C,...., P: Números absolutos distintos entre sí 
 (Factores primos o divisores primos) 
 (*) a, b, c,...,p: Exponentes enteros y positivos. 
 (*) CANTIDAD DE DIVISORES DE N [ D (N)] 
 D(N) = (a + 1)(b + 1)(c + 1)...(p + 1) ... (7.1) 
 
 
6. FORMULAS ESPECIALES: 
Sea la descomposición canónica de N: 
Docente: Equipo Docente 
Docente: Equipo Docente 2022 - III (Aritmética 
) 
2 
Centro Preuniversitario de la UNS Ingreso Directo 
 
 
 𝑁 = 𝐴𝑎. 𝐵𝑏 . 𝐶𝑐 . . . 𝑃𝑝. . . (∗) 
 
(1) Suma de los divisores de N [SD 
(N)]: 
 
Si queremos encontrar el valor de la 
suma de todos los divisores de un 
número N, debemos encontrar primero 
su descomposición canónica, tal como 
se indica en (*), luego la relación que nos 
permite obtener dicha suma está dada 
así: 
𝑆𝐷(𝑁)
=
𝐴𝑎+1 − 1
𝐴 − 1
.
𝐵𝑏+1 − 1
𝐵 − 1
.
𝐶𝑐+1 − 1
𝐶 − 1
. . . .
𝑃𝑝+1 − 1
𝑃 − 1
 
 
(2) SUMA DE LAS INVERSAS DE LOS 
DIVISORES DE N [SID(N)]: 
 
 Conociendo la suma de los divisores de un 
número [SD(N)], el valor de la suma de sus 
inversos, estará dada por la siguiente relación: 
 
N
)N(SD
)N(SID  ... ( ***) 
 Donde SD(N) es la suma de los divisores de N 
 
(3) PRODUCTO DE LOS DIVISORES 
DE N [PD(N)]: 
 
 Si deseamos encontrar el valor del producto de 
todos los divisores de un número N conocido, 
debemos encontrar primero su descomposición 
canónica como en (*) y a continuación 
determinar la cantidad de divisores que él 
posee [D(N)] y luego aplicar la siguiente 
relación: 
 )N(DN)N(PD  .... (****) 
 
7. METODO COMBINATORIO: 
 
 La cantidad de maneras en que puede 
descomponerse un número N como el producto 
de dos factores enteros y positivos [f (N)], se 
obtendrá a partir del conjunto de todos sus 
divisores elegidos convenientemente de dos en 
dos. 
 Ejemplo (1): Los divisores de 24 son: 
 
 
 
 
1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 12 ; 24
 
 
 Luego, 24 puede descomponerse de 4 maneras. 
 
 1 x 24 
 2 x 12 
 24 = 3 x 8  f (24) = 4 
 
 
 En general: 
 
2
)N(D
 , si D(N) es par 
 )N(f  
2
1)N(D 
, si D(N) es impar 
 
 Donde D(N) es la cantidad de divisores del número “N”. 
 
 PROBLEMAS PROPUESTOS: 
 
1. Halle el mayor valor que puede tomar “a+b” 
en N = 𝑎5 x (a+1) x 𝑎𝑏̅̅ ̅ , siendo 𝑎𝑏̅̅ ̅ número 
primo. 
a) 8 b) 10 c)11 d)7 e)4 
 
2. Halle el menor valor que puede tomar “m+n” 
A = (m)x(m+2)x(m+4)x𝑚𝑛̅̅ ̅̅ 2 , siendo 𝑚𝑛̅̅ ̅̅ 
número primo. 
a) 1 b) 2 c)3 d)4 e)5 
3. ¿Cuántos divisores, tiene el número 450? 
a)12 b) 18 c) 10 d) 11 e)20 
 
4. ¿Cuántos números de dos cifras existen? 
a) 21 b)18 c) 20 d) 28 e) 27 
 
5. De los divisores de 180, determine lo 
siguiente: ¿Cuántos son propios? 
a) 15 b) 16 c) 17 d) 19 e) 22 
6. ¿Cuántos divisores propios tiene el número 
7200? 
a) 53 b) 54 c)55 d)56 e)57 
 
Docente: Equipo Docente 2022 - III (Aritmética 
) 
3 
Centro Preuniversitario de la UNS Ingreso Directo 
 
 
7. Si A = 35𝑛 + 35𝑛+1, n ϵ 𝑍+, halle n si 
la cantidad de divisores es 1296. 
a) 11 b)10 c) 3 d) 4 e) 8 
 
8. Si 12,25 y 𝑎𝑎̅̅̅̅ son números PESI 2 en 
2, halle la suma de valores que puede 
tomar a. 
a) 4 b)8 c)7 d)5 e) 2 
 
9. De los divisores de 180, determine lo 
siguiente: ¿Cuántos no son múltiplo 
de 12? 
a)14 b)12 c)10 d)8 e) 6 
 
 
10. ¿Cuántos ceros tiene el número 
N= 200..00, para que admita 56 
divisores? 
a) 3 b) 4 c) 5 d)6 e)8 
 
11. Si 
  
f actores"n"
36......36.36M  . Hallar “n”, para 
que M tenga 169 divisores. 
a) 5 b) 6 c)7 d)8 d)10 
 
12. Si 𝑎𝑏̅̅ ̅ es un número primo absoluto 
mayor que 13 pero menor que 37. 
¿Cuántos divisores tiene el numeral 
𝑎𝑏𝑎𝑏𝑎𝑏̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ? 
a) 30 b) 15 c) 28 d) 32 e)18 
 
13. Hallar la suma de todos los divisores 
del número 1020 son pesi con 187. 
a) 168 b) 150 c)170 d)200 e) 157 
 
14. Si N = 126000, halle la cantidad de 
divisores de N que son PESI con 2 
a) 20 b)21 c)22 d) 23 e)24 
 
15. Determine la cantidad de divisores de 
72 que son cuadrados perfectos. 
a) 0 b) 1 c) 4 d)3 e) 5 
 
16. Si N = 762048, determine lo siguiente: la 
cantidad de divisores de N que son cubos 
perfectos. 
a) 2 b) 6 c)4 d) 8 e)1 
 
17. Sea N = 𝑎2𝑎 x (𝑎 + 1)𝑏. Halle el valor de b 
si se sabe que N tiene 37 divisores 
compuestos. 
a) 5 b) 8 c)9 d)7 e)0 
 
18. Halle b +c, si a, b y c son números primos 
absolutos que cumplen que a+b =21 y a+c 
= 33. 
a) 10 b) 30 c)40 d)80 e)50 
 
19. Halle el residuo que se obtiene al dividir el 
producto de los 1000 primeros números 
primos entre 44. 
a) 10 b) 15 c)22 d) 25 e)50 
 
20. Determine la cantidad de números primos 
que al ser expresados en el sistema 
cuaternario se escriben con 3 cifras. 
a) 5 b)12 c) 10 d)6 e) 11 
 
21. Sea A = 120 x 45𝑛 , n ϵ 𝑍+. Si A tiene 156 
divisores compuestos, halle el valor de n. 
a) 1 b)2 c)3 d)4 e)5 
 
22. Si B = 242x 20𝑛.¿Cuántos divisores tienen 
B si se sabe que tiene 15 divisores impares? 
a) 145 b)225 c) 240 d) 254 e)200 
 
23. Sea N = a x b x(a+2)x𝑎𝑏̅̅ ̅ x 𝑏𝑎̅̅ ̅2. Si N se 
encuentra descompuesto canónicamente, 
halle la suma de sus divisores simples. 
a) 120 b) 121 c)126 d)124 e) 128 
 
24. ¿Cuántos números primos se expresan en 
base 6 como un número capicúa de 3 
cifras?a)5 b)4 c) 3 d) 6 e) 8 
 
 
 
 
Docente: Equipo Docente 2022 - III (Aritmética 
) 
4 
Centro Preuniversitario de la UNS Ingreso Directo 
 
 
 
25. ¿Cuántos números de tres cifras son 
PESI con 120? 
a) 200 b) 250 c)240 d)210 e) 200 
 
Docente: Equipo Docente 2022 - III (Aritmética 
) 
5 
Centro Preuniversitario de la UNS Ingreso Directo 
 
 
Docente: Equipo Docente 2022 - III (Aritmética 
) 
6 
Centro Preuniversitario de la UNS Ingreso Directo