ARITMETICA SEM 11 - 2022 III

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1. RÁZÓN: 
ARITMÉTICA 
CICLO 2022 - III 
RAZONES Y PROPORCIONES 
 
Docente: Equipo docente 
3. PROPORCIÓN: 
 
 
 
 
Semana N.º 11 
Es la comparación que se establece entre dos 
cantidades de una magnitud mediante las 
operaciones de sustracción o división. 
 
2. CLASES DE RAZÓN: 
 
2.1. RAZÓN ARITMÉTICA: 
Es la que se obtiene mediante la sustracción y 
consiste en determinar en cuánto excede una 
de las cantidades a la otra. 
Ejemplo: 
Los automóviles A y B se desplazan con 
velocidades de 24m/s y 20 m/s 
respectivamente. Halle la razón de sus 
velocidades. 
 
r = 24 – 20 
r = 4 
 
2.2. RAZÓN GEOMÉTRICA: 
Es la que se obtiene mediante la división y 
consiste en determinar cuántas veces cada 
una de las cantidades contiene la unidad de 
referencia. 
 
Ejemplo: 
Los edificios M y N tienen una altura de 48m 
36m respectivamente, halle la razón 
geométrica de sus alturas. 
Es la igualdad de dos razones. 
 
4. CLASES DE PROPORCIÓN: 
 
4.1. PROPORCIÓN ARITMÉTICA: 
Es la igualdad de dos razones aritméticas. 
a – b = c – d 
a y c : antecedentes 
b y d : consecuentes 
a y d : términos extremos 
b y c : términos medios 
 
 
4.2. PROPORCIÓN GEOMÉTRICA: 
Es la igualdad de dos razones geométricas. 
 
a 
= 
c 
b d 
a y c: antecedentes 
b y d : consecuente 
a y d : términos extremos 
b y c : términos medios 
 
 
5. CLASES DE PROPORCIÓN ARITMÉTICA: 
R = 
48 
36 
En general: 
R = 
4
 
3 
Existen dos clases de proporciones 
aritméticas: 
5.1. PROPORCIÓN ARITMÉTICA DISCRETA: 
Es aquella proporción aritmética cuyos 
Razón Aritmética Razón Geométrica 
 
R = 
a
 
 
 
términos medios son diferentes. 
 
a – b = c – d 
r = a – b 
 
Términos: 
b a y c : antecedentes 
b y d : consecuentes 
a y d : términos extremos 
b y c : términos medios 
a: antecedente b: consecuente 
r: razón aritmética R: razón geométrica 
d: cuarta aritmética o cuarta diferencial de a, b 
y c. 
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Aplicación 01: 
Halle la cuarta diferencial de 20, 12 y 15. 
 
5.2. PROPORCIÓN ARITMÉTICA 
CONTINUA: 
a 
= 
b 
b c 
Es aquella proporción aritmética cuyos 
términos medios son iguales. 
a – b = b – c 
a y b : antecedentes 
b y c : consecuentes 
a y c : términos extremos 
b : término medio 
c: tercera diferencial de a y b 
b: media aritmética o media diferencial de a y 
c. 
b = 
a + c 
2 
Aplicación 02: 
1. Halle la tercera diferencial de 20 y 16. 
 
2. Halle media diferencial de 50 y 30. 
a y b : antecedentes 
b y c : consecuentes 
a y c : términos extremos 
b : término medio 
c: tercera proporcional de a y b 
b: media geométrica o media proporcional de a 
y c. 
 
b = 
Aplicación 04: 
1. Halle la tercera proporcional de 625 y 125. 
2. Halle la media proporcional de 324 y 225. 
 
 
7. SERIE DE RAZONES GEOMÉTRICAS 
EQUIVALENTES (SRGE): 
Es la igualdad de dos o más razones 
geométricas. 
 
6 CLASES DE PROPORCIÓN a 
= 
c 
= 
e = 
g 
= ... = k 
GEOMÉTRICA: 
Existen dos clases de proporciones 
geométricas: . 
b d f h 
 
6.1. PROPORCIÓN 
 GEOMÉTRICA DISCRETA: 
Es aquella proporción geométrica cuyos 
términos medios son diferentes. 
a 
= 
c 
 
a, c, e, g, …. Antecedentes 
b, d, f, h, ….. Consecuentes 
k = constante de proporcionalidad. 
b d 8 PROPIEDADES: 
 
a y c : antecedentes 
b y d : consecuentes 
 
8.1. En: 
a 
= 
c 
a y d : términos extremos b d 
b y c : términos medios 
d: cuarta proporcional de a, b y c. 
 
Aplicación 03: 
Halle la cuarta proporcional de 144, 24 y 6. 
 
6.2. PROPORCIÓN GEOMÉTRICA 
 
 
a) 
a  c 
= 
a 
= 
c 
b  d b d 
b) 
a  b 
= 
c  d 
CONTINUA: b d 
Es aquella proporción geométrica cuyos 
términos medios son iguales. 
a.c 
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c) 
a  b 
= 
c  d EJERCICIOS PROPUESTOS 
a 
 
a + b 
d) 
a − b 
c 
 
= 
c + d 
c − d 
1. La suma y diferencia de dos números están 
en la relación de 7 a 5. ¿En qué relación 
estará el producto de dichos números con la 
diferencia de sus cuadrados? 
 
a) 3 a 27 b) 5 a 7 c) 6 a 37 
e) 
a + c 
= 
b + d 
a − c b − d 
d) 1 a 5 e) 6 a 35 
 
2. Si a y b son enteros mayores que 100 tales 
que a + b = 300, ¿cuál de las siguientes 
a 
8.2 En SRGE: 
 
a 
= 
c 
= 
e 
 
= 
g 
= ... = k 
alternativas es la razón exacta de . 
b 
a) 9 a 1 b) 3 a 2 c) 7 a 3 
b d f h 
 
a) 
a + c + e + g + ... 
= k 
b + d + f + h + ... 
d) 5 a 3 e) 4 a 1 
 
3. Por cada 5 cuadernos que vendo regalo 7 
lapiceros, y por cada 4 libros que vendo regalo 
9 lapiceros. Si la razón entre el número de 
libros y cuadernos vendidos es de 2 a 3 y 
regalé en total 261 lapiceros, ¿cuántos libros 
b) 
a.c.e.g ..... 
= k n
 
b.d. f .h... 
 
an + cn + en + g n + ... 
c) 
bn + d n + f n + hn + ... 
 
 
 
= k n 
vendí? 
 
a) 60 b) 120 c) 40 d) 80 e) 50 
 
4. Se tiene 20 litros de un vino cuyo precio por 
litro es S/. A y 30 litros de otro vino cuyo precio 
por litro es S/. B. ¿Cuántos litros deben 
intercambiarse de manera que ambos tipos de 
vino resulten de la misma calidad? 
Casos Particulares: 
 
En proporción geométrica continua: a 
= 
b 
= k 
 
a) 12 b) 15 c) 10 d) 14 e) 18 
 
5. En un colegio la relación de hombres a 
mujeres es como 3 es a 5. En secundaria hay 
540 estudiantes, lo cual es el triple de los que 
hay en primaria, si la cantidad de hombres en 
secundaria es a la cantidad de mujeres como 2 
b = ck a = ck2 
 
 
En SRGE continua: 
 
a 
= 
b 
= 
c 
= k 
b c d 
 
c = dk b = dk2 a = dk3 
es a 1. Calcule la cantidad de mujeres en 
secundaria. 
 
a) 240 b) 300 c) 360 d) 180 e) 220 
 
6. Cuando compiten A contra B en una carrera 
de 100m. A le da a B 10m. de ventaja. Cuando 
compite B contra C en 100m. B le da a C 20 
metros de ventaja y cuando compiten C contra 
D a 100metros C recibe de D una ventaja de 
25m. Si compitieron A contra D en una carrera 
b c 
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de 100 metros. ¿Quién daría ventaja y de 
cuantos metros sería? 
 
a) D le da a A 5m. 
b) A le da a B 10m. 
c) D le da a A 6m. 
d) A le da a D 4 m. 
e) A le da a D 7m. 
 
7. Un mozo debe preparar un cóctel de 
gaseosa, vino y naranja en la proporción de 
4, 2 y 5 respectivamente, pero para ello le 
faltaba 4L de gaseosa y 6L de naranja, los 
cuales se reemplaza por vino siendo la 
proporción final de 5, 7 y 6 respectivamente. 
Determine cuántos litros de vino se utilizó. 
 
a) 20 b) 25 c) 30 d) 28 e) 35 
 
8. La razón aritmética de la razón aritmética y 
la razón geométrica de dos números enteros 
positivos es 2,2. Calcular la suma de dichos 
números si esta es la mayor posible y la 
razón geométrica menor que la unidad. 
 
a) 24 b) 27 c) 29 d) 32 e) 33 
 
 
9. En una proporción geométrica discreta, el 
producto de los antecedentes es 560, luego 
la suma de los cuadrados de los términos de 
la proporción es: 
 
a) 1258 b) 1460 c) 1580 
d) 1582 e) 1586 
12. Sean a, b y c enteros positivos tales que 
forman una proporción geométrica continua 
cuya suma de términos es 32. Hallar la 
diferencia de los extremos. Si a, b y c son 
diferentes entre sí, además b > c. 
 
a) 3 b) 4 c) 6 d) 10 e) 16 
 
13. En una proporción geométrica discreta, el 
producto de los antecedentes es 108 y su 
diferencia es igual al doble del menor de 
los antecedentes. Si la suma de los 4 
términos de la proporción es 144. Hallar el 
menor de los consecuentes. 
 
a) 24 b) 28 c) 30 d) 32 e) 36 
 
14. La cuarta proporcional de tres números a, 
b y c proporcionales a 6, 9 y 15 es 270. La 
media geométrica de b y (a + 2c) es: 
 
a) 36 b) 108 c) 180 d) 216 e) 225 
 
15. La razón de una proporción geométrica es 
igual a la media proporcional y la suma de 
los cuatro términos es 361. Determine la 
diferencia de los extremos. 
 
a) 312 b) 318 c) 320 
d) 323 e) 324 
 
 
16. Calcularel valor de P, donde: 
 
ABC + AB 
10. En una proporción se cumple que la suma 
P = 
de los términos medios es 19 y la de los 
extremos 21. Si la suma de los cuadrados de 
, si se conoce que: 
sus términos es 442. Hallar la diferencia de 
los términos extremos. 
 
a) 8 b) 9 c) 12 d) 13 e) 15 
 
11. Tres números que están en progresión 
aritmética, aumentados en 3, 4 y 9 son 
proporcionales a 10, 25 y 50. El menor 
número es: 
 
a) 9 b) 10 c) 11 d) 20 e) 33 
A es media diferencial de B y C 
 
B es tercera proporcional de 4 y 12 
C es cuarta diferencial de A, D y 6 
D es media proporcional de 6 y 24 
E es cuarta proporcional de 30, 5 y A 
 
 
a) 12 b) 14 c) 16 
d) 18 e) 20 
DE 
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b c 
19. Si 
b 
= 
3 
además a + b = 300. 
Halle a – b 
a 7 
a b c 16 
Calcular la MG de a y c. 
1 
+ 
1 
+ 
1 
= 
7 
a) 100 
d) 160 
b) 120 
e) 180 
c) 140 
a) 8 b) 12 c) 6 d) 4 e) 3 
p + q 7 q + r 111 
20. Si 
p − q 3 
= y 
a) 10/7 
d) 10/3 
q − r 5 
b) 12/5 
e) 21/5 
= 
p 
. Halle 
r
 
25. Si a, b, c, d son números naturales tal que: 
a 
1 < a < b < c < d; = 
c 
c) 20/3 
b d 
y 
a 
+ 
c 
= 
40 
bc 
Hallar el máximo valor de d. 
ab bc ca 
21. Si 
b d 
a) 44 b) 45 c) 46 
30 12 10 
= = , donde 
d) 47 e) 48 
a + b + c = 52 a b 
26.Si: = , además 
Halle a – c 
b c 
17. 2. En una proporción geométrica se 
cumple que la suma de los términos de la 
primera razón es 45, la de la segunda es 15 
y la de los consecuentes es 16. Entonces, la 
suma de las cifras del primer antecedente es. 
Calcule la media diferencial de a y b 
 
a) 168 b) 150 c) 97 d) 84 e) 78 
 
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 
 
23. Si 
a 
= 
b 
= 
a +15 
= 
2a 
 
 
18. En una proporción geométrica continua de 
términos enteros positivos y razón entera, es 
tal que la suma de sus términos es 36. 
b −12 9 
Calcule a. b 
b − 3 a +1 
¿Cuántas proporciones con éstas 
características existen? 
a) 70 b) 60 c) 75 d) 80 e) 90 
 
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 
 
24. Si 
a 
= 
b 
 
; a + b + c = 28 y 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) 10 b) 12 c) 16 d) 18 e) 20 
 
 
299 
= 
91 
= 
221 
 
 
a−4 + b−4 + c−4 
a4 + b4 + c4 
Calcular b. 
= 
1 
256 
22. Si 
c a b
 
a) 2 b) 4 c) 8 d) 16 e) 32 
 
y 2c – b = 5a – 42 
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c 
3 d 
b 
n! n +1 ! n + 2 ! 
2 
= 
c 
= = 
27. Cuatro números enteros positivos a, b, c, d 
están relacionados en la siguiente forma: 
a + b + c = 5887; a, b, c  N 
a 
= 
b 
b c2 
= 
a2 + b 
a + b + c 
= d; 
b + a 
= 
5 
b − a 3 
Hallar la suma de cifras de a x b x c 
 
a) 43 b) 44 c) 45 d) 46 e) 47 
 
Entonces a + b + c + d es: 
 
a) 49 b) 60 c) 67 d) 69 e) 72 
 
28. Si a, b, c y d son números positivos tal que: 
32. Si 
a + c d + e f 
 luego: 
b b + d d + f f 
a a3 +16 c3 
 
 
 a 
2
  c 
2
  e 
2
 
b 
= y 
b3 + 54 
= 
d  
b 
 +   d +   f es: 
      
 
2b2 − d 
2
3
 
a) 3M2 b) 5M2 c) 7m2 d) 9M2 e) 12m2 
Hallar 
2a 2 − c2 
33 Si 
a 
b − 3 
= 
b − a + 5 
=
 
a +10 
3 + b 
a + b + 4 
a) 2,25 b) 2,35 c) 2,45 c) 2,55 e) 2,65 
a c e 
29. Si 
 
= 3 , entonces el valor 
Hallar el valor de la razón aritmética de a y b. 
a) 7 b) 8 c) 11 d) 14 e) 15 
de 
3a3 + 5e3 + 7c3 
E = + 
c4 − a4 + e4 
a 
34. Si 
b
 = 
b 
= 
c 
;
 
c d 
a − c 
b − d 
= 
a + b + c 
y
 
b + 5d 
 
es: 
3b3 + 5 f 3 + 7d 3 d 4 − b4 + f 4 
b + c2 = 192. 
 
a) 81 b) 92 c) 98 d) 104 e) 108 
Hallar “ a”. 
 
a) 128 b) 184 c) 192 d) 256 e) 512 
 30. Si a = 
c 
= 
e = 2 , la suma de las 
b d f 35. Si 
a 
= 
b 
= 
c 
= 
d 
;
 a + b = c + d 
a3b + c3d + e3 f 10 8 4 2 
cifras de E = 
b4 + d 4 + f 4 
es: 
Hallar a – b + c – d 
 
a) 6 b) 7 c) 8 d) 16 e) 17 
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 
 
 a 
31. Si 
(
 ) 
= 
( ) 
y
 
b 
M = 
b d f