ARITMETICA-SEM8-CEPUNS

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Centro Preuniversitario de la UNS S-8 Ingreso Directo 
 
 ARITMÉTICA 
 CICLO 2022–II 
 
“NUMEROS PRIMOS I” 
 
 
 
Semana Nº 08 
 
 
 
Introducción 
Fue el matemático griego EUCLIDES el primero en 
descubrir que los números primos constituyen una 
serie infinita. Las investigaciones de los 
matemáticos griegos les condujeron rápidamente 
al concepto de número primo, basándose en el cual 
ERATOSTENES construyó su famosa criba para 
encontrar los números primos en la serie de los 
números naturales. 
Considerando el campo de los números enteros 
positivos se clasificará de acuerdo a la cantidad de 
divisores del siguiente modo. 
 
I. Divisor 
Se denomina divisor de un número a cualquier 
valor que lo divide exactamente mediante una 
división entera. 
 
Observación: 
Sea N un número entero, di “d” es un divisor de 
N entonces: 
0 < d  N 
 
II. Número primo 
Es aquel número que tiene únicamente 2 
divisores: el mismo y la unidad. 
2. La serie de los números primos es ilimitada, o 
sea que por más grande que sea un número 
primo, siempre hay otro número primo mayor. 
(Euclides, Elementos, IX-20) 
o 
3. Si “P” es un número mayor que 2. P  4  1 
4. Si “P” es un número primo mayor que 3. 
o 
P  6  1 
5. Número simple: 1, 2, 3, 5, ....... 
Números primos. 
6. Número compuesto: Es aquel número que tiene 
más de 2 divisores. 
Ejemplo: 
4 ; 6 ; 8 ; 9 ; 10 ; 12 ; . . . . 
6  1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 
Divisores 
(6 posee 4 divisores) 
 
7. Todo número primo que divide a un producto 
de varios factores, divide por lo menos a uno de 
los factores. 
 
III. Números primos relativos o primos entre si 
(PESI) 
Son dos o más números que tienen como único 
2 1 ; 3 
2 
1 ; . . . . ; P 
1
 
3 P 
divisor común a la unidad. 
 
P : número primo (# primo absoluto) 
 
 Tabla de Números Primos Menores que 200 
2 3 5 7 11 13 17 19 23 
29 31 37 41 43 47 53 59 61 
67 71 73 79 83 89 97 101 103 
107 109 113 127 131 137 139 149 151 
157 163 167 179 181 191 193 197 199 
 
Observación 
1. No existe fórmula para hallar todos los números 
primos. 
 
 
 10 y 21 son PESI 
 
IV. Números primos entre si dos a dos (PESI 2 a 2) 
Un conjunto de números resultará ser PESI 2 a 2 
si precisamente al tomarlos en pareja resultan 
ser primos entre sí. 
 
Dos números impares consecutivos también son 
PESI 
Criterio para reconocer si un número entero es 
primo 
Número Divisores 
10 1 ; 2 ; 5 ; 10 
21 1 ; 3 ; 7 ; 21 
 
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 D(N) 
PD (N)  N
D(N)  N 2 
 
Para saber si un número dado es primo o no, se 
deben seguir los siguientes pasos: 
a. Extraer la raíz cuadrada, aproximadamente por 
defecto. 
 
 
II. Suma de divisores [SD(N)] 
b. Enumerar los números primos menores a esta 
aproximación 
c. Aplicar las condiciones de divisibilidad del 
SD(N) 
A1  1 
x 
A  1 
B1  1 
x 
B  1 
C1  1 
 
 
C  1 
número por cada uno de estos números primos. 
Si en ninguno de los casos es divisible, se dice que el 
número es primo. 
Regla para determinar los divisores de un número 
a) Se descompone el número en factores primos. 
b) Se escribe el 1 (que es divisor de todo número) 
y a continuación se pone las diversas potencias 
del primer factor primo. 
c) Se multiplica los divisores hallados por las 
diferentes potencias del segundo factor primo. 
d) Se multiplica todos los factores hallados 
anteriormente por las diferentes potencias del 
tercer factor y así sucesivamente. El último 
divisor hallado al formar éstos productos es el 
número dado. 
Tabla de divisores de 240 
III. Suma de las inversas de los divisores [SID(N)] 
 
 
 
IV. Producto de divisores de un número [PD(N)] 
 
 
 
INDICADOR DE UN NÚMERO O FUNCIÓN DE EULER 
Notación: (N) ; (N) ; (N) 
(PSI) 
Es la cantidad de números enteros positivos 
menores que un número dado y primos con él. 
Sea “N” un número compuesto. 
N = A x B x C (D.C.) 
Se calcula: 
(N) = A
-1 x (A- 1) x B-1 (B- 1) x C-1 (C - 1) 
* 240 posee 20 divisores de los cuales 3 son  = N x 

 1  1  1 
(N) 1  1  1  A B C 
divisores primos ( 2 ; 3 ; 5 ). 
 
DESCOMPOSICION CANONICA 
(Teorema fundamental de la Aritmética o Teorema 
de Gauss) 
Todo número entero mayor que uno (compuesto) 
se puede descomponer como el producto de sus 
factores primos elevados a exponentes enteros 
positivos, dicha descomposición es única. 
Sea “N” el número compuesto. 
 
 
A, B, C  factores primos. 
, ,   Exponentes (números enteros positivos) 
 
ESTUDIO DE LOS DIVISORES DE UN NÚMERO 
 
I. Cantidad de divisores [D(N)] 
El número total de divisores de un número es 
igual al producto de los exponentes de los 
factores primos aumentados en 1. 
   

DESCOMPOSICION CANONICA DEL FACTORIAL DE 
UN NÚMERO 
Consideraciones: 
0! = 1! = 1 
2! = 1 x 2 = 2 
3! = 1 x 2 x 3 = 6 
4! = 1 x 2 x 3 x 4 = 24 
5! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 120 
6! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 = 720 
7! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 = 5040 
8! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 = 40 320 
⁝ ⁝ 
n! = 1 x 2 x 3 x . . . x (n-2)(n-1) x n 
 
Observación: 
Si N! está expresado en base “n” para calcular en 
cuántos ceros termina solo se necesita calcular el 
exponente del mayor número primo contenido en 
la base “n”. 
N = A x B x C
SD (N) 
SID(N)  N
 
D(N) = ( + 1) ( + 1) ( + 1) 
1 2 4 8 16 
3 6 12 24 48 x3 
5 10 20 40 80 x5 
15 30 60 120 240 3x5 
 
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PROBLEMAS PROPUESTOS 
01. ¿Cuántos números primos se expresan con dos 
cifras en el sistema heptanario? 
 
A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 E) 14 
 
02. ¿Cuántos números primos se expresan con tres 
cifras en el sistema ternario? 
 
A) 7 B) 5 C) 6 D) 3 E) 4 
 
03. Determina la suma de valores de a, de tal 
manera que el numeral 4a sea un número 
primo. 
 
A) 12 B) 16 C) 11 D) 21 E) 4 
 
04. ¿Determine la suma de valores de b, de tal 
manera que el numeral b3 sea un número 
primo? 
 
A) 27 B) 18 C) 25 D) 30 E) 21 
 
05. Halle el residuo al dividir el producto de los 
2400 primeros números primos entre 12. 
 
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 6 
 
06. Halle el residuo al dividir los mnp números 
primos entre 52. 
 
A) 8 B) 26 C) 18 D) 14 E) 16 
 
07. Halle el producto de los dos menores números 
primos mayores que 3, que tienen por 
0 
diferencia 2 y cuya suma es 6 . 
 
A) 30 B) 35 C) 42 D) 56 E) 63 
 
08. La suma de 3 números primos diferentes es 32, 
además la diferencia del mayor y menor de 
estos primos es otro número primo. Calcule la 
suma de cifras de este último primo. 
 
A) 8 B) 9 C) 10 D) 6 E) 2 
 
09. Indique la secuencia del valor de verdad (V) o 
falsedad (F) de las siguientes proposiciones. 
 
I. El numero 211 no es primo. 
II. Los únicos números consecutivos y primos a 
la vez son 2 y 3. 
III. Todo número que divide a un producto de 
varios factores divide por lo menos a uno de 
ellos. 
 
A) FFV B) FVV C) VVF D) FVF E) VVV 
 
10. ¿Cuántos números primos de la forma aba3 
existen? 
A) 2 B) 3 C) 4 D) 1 E) 5 
 
11. ¿Cuántos números de la forma mnm5 no son 
compuestos? 
 
A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 12 
 
12. Halle el residuo al dividir el producto de los 
cuadrados de los 900 primeros números primos 
entre 8. 
 
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 7 
 
13. ¿Cuál será el residuo al dividir la suma de los 
cuadrados de los 450 primeros números primos 
entre 8? 
 
A) 1 B) 2 C) 5 D) 6 E) 7 
 
14. Para determinar si un número es primo o no, 
utilizando el algoritmo se realizaron 6 
divisiones, pero resulto que la quinta división se 
determinó queel número es compuesto. 
¿Cuántos números cumplen con dicha 
condición? 
 
A) 6 B) 5 C) 3 D) 4 E) 2 
 
15. Para saber si un número de la forma nm7 es 
primo, se realizan 7 divisiones, llegándose a 
determinar que es un número primo. Calcule 
cuantos números cumplen con dicha condición. 
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A) 6 B) 5 C) 3 D) 4 E) 2 
 
16. ¿Cuántos números de tres cifras cumplen que 
es igual a  b  c , donde a, b y c son primos 
absolutos, de modo que a  b  c ? 
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 
 
17. ¿Cuál es la mayor terna de números primos de 
2 cifras, tales que forman una progresión 
aritmética de razón 6? De como respuesta la 
suma de ellas 
 
A) 207 B) 211 C) 219 D) 269 E) 249 
 
18. Para averiguar si un número es primo, se 
deberían realizar diez divisiones, pero el 
número resulta compuesto en la sexta división. 
Si abcd es la suma de todos los valores que 
puede adoptar dicho número, calcule a+b+c+d 
 
A) 21 B) 14 C) 12 D) 16 E) 17 
 
19. ¿Qué grupo de números son PESI? 
 
A) 12; 15; 16 B) 21; 70; 105 C) 26; 13; 39 
D) 20; 25; 45 E) 100; 15; 18 
 
20. Del 1 al 90, ¿cuantos números son PESI con 30? 
 
A) 12 B) 18 C) 22 D) 24 E) 28 
 
21. Determine la suma de los valores de a, de tal 
manera que a3 y 24 sean coprimos. 
A) 22 B) 24 C) 26 D) 27 E) 29 
 
22. Determine la suma de los divisores simples de 
3960. 
 
A) 13 B) 15 C) 17 D) 21 E) 23 
 
23. De los 600 primeros números enteros positivos, 
¿cuántos son coprimos con 80? 
 
A) 220 B) 240 C) 260 D) 280 E) 320 
 
24. Determine la suma de los divisores que no son 
compuestos de 6930. 
 
A) 24 B) 26 C) 27 D) 29 E) 31 
 
25. De los 5000 primeros enteros positivos, 
¿cuántos son PESI con 223 y 532? 
 
A) 1600 B) 1800 C) 2000 
D) 2300 E) 2700 
 
26. Halle la suma de cifras del menor número cuyo 
factorial tiene solo 4 divisores primos. 
 
A) 24 B) 27 C) 32 D) 38 E) 41 
 
27. Si los números 5x ; 32 y 24 son PESI, calcule la 
suma de los valores de x. 
 
A) 9 B) 11 C) 15 D) 17 E) 23 
 
28. Si los números 2a ; 12 y b3 son PESI dos a dos, 
calcule la suma de valores de a y de b. 
 
A) 23 B) 31 C) 37 D) 39 E) 41 
 
29. Si a2a+1 es la descomposición canónica de N, 
determine la suma de los valores de a+b. 
 
A) 9 B) 11 C) 12 D) 14 E) 16 
 
30. Si el factorial de un numero tiene seis divisores 
simples determine la suma de los exponentes 
de los factores primos en su DC; siendo este 
número el mayor posible. 
 
A) 15 B) 17 C) 18 D) 19 E) 21 
 
31. ¿En cuántos ceros termina el factorial de 124? 
 
A) 20 B) 24 C) 26 D) 28 E) 32 
 
32. ¿En cuántos ceros termina el factorial de 156 en 
base 6? 
 
A) 75 B) 77 C) 79 D) 83 E) 85 
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35. Calcule (b+c), si: aa ·bb ·cc-2 = 1bcc00 . Se 
sabe que a; b y c son primos absolutos. 
 
A) 4 B) 8 C) 1 D) 2 E) 10 
 
36. Determine el menor número natural diferente 
de 1, que sea coprimo con 5460 y con 5610. Dé 
como respuesta la suma de cifras. 
 
A) 5 B) 11 C) 9 D) 10 E) 3 
 
33. Sabiendo que el mayor exponente de 72 
contenido en 1600! es igual a abc , calcule 
a+b+c. 
 
A) 16 B) 19 C) 23 D) 20 E) 18 
 
34. Sea N = a2a+1 × (a +1)3a-4 ×(8a +1)2a-2 
descomposición canónica. Calcule en cuántos 
ceros termina N! al ser expresado en base 34. 
 
A) 5200 B) 5400 C) 5600 
D) 4800 E) 5000