FORMULARIO_PROBABILIDAD Y ESTADISTICA

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ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA 
Datos no agrupados 
Medidas de tendencia central 
�̅� =
1
𝑛
∑ 𝑋𝑖
𝑛
𝑖=1
 
�̃� = {
 𝑋
(
𝑛+1
2
)
; 𝑠𝑖 𝑛 𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟
𝑋
(
𝑛
2
)
+ 𝑋
(
𝑛
2
+1)
2
; 𝑠𝑖 𝑛 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟
 
 Medidas de dispersión 
𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜: 𝑋𝑚á𝑥 − 𝑋𝑚í𝑛 
𝑆2 =
1
𝑛
∑(𝑥𝑖 − �̅�)
2 = (
1
𝑛
∑ 𝑋𝑖
2
𝑛
𝑖=1
) − �̅�2
𝑛
𝑖=1
 
𝑆 = √𝑆2 𝐶𝑉 =
𝑆
�̅�
 
 Medidas de forma 
∝3=
1
𝑛
∑ (𝑥𝑖 − �̅�)
3𝑛
𝑖=1
𝑆3
 
∝4=
1
𝑛
∑ (𝑥𝑖 − �̅�)
4𝑛
𝑖=1
𝑆4
 
Datos agrupados 
 Medidas de tendencia central 
�̅� =
1
𝑛
∑ 𝑓𝑖𝑥𝑖
𝑚
𝑖=1
 
�̃� = 𝐿𝑖 𝑖𝑛𝑓 + [
𝑛
2 − 𝐹𝑖−1
𝑓𝑖
] 𝑐𝑖 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 
𝑀𝑜 = 𝐿𝑀𝑜 𝑖𝑛𝑓 + [
𝑎
𝑎 + 𝑏
] 𝑐𝑀𝑜 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 
𝑎 = 𝑓𝑀𝑜 − 𝑓𝑀𝑜−1; 𝑏 = 𝑓𝑀𝑜 − 𝑓𝑀𝑜+1 
 Medidas de dispersión 
 
Rango: 
 
𝑆2 =
1
𝑛
∑ 𝑓𝑖(𝑥𝑖 − �̅�)
2 =
1
𝑛
∑ 𝑓𝑖(𝑋𝑖
2)
𝑚
𝑖=1
− �̅�2
𝑚
𝑖=1
 
𝑆 = √𝑆2 𝐶𝑉 =
𝑆
�̅�
 
 Fractiles o cuantiles 
𝐹𝑟𝑎𝑐𝑡𝑖𝑙 = 𝐿𝑖𝑛𝑓 + [
𝑛𝑎 − 𝐹𝑖−1
𝑓𝑖
] 𝑐𝑖 
 
 
 
 
DISTRIBUCIONES DE MUESTREO 
Parámetro para estimar: µ 
�̅� =
1
𝑛
∑ 𝑋𝑖
𝑛
𝑖=1
; 𝜇�̅� = 𝜇 
 
 
Parámetro para estimar: µx - µy 
�̅� = �̅� 𝜇�̅�−�̅� = 𝜇�̅� − 𝜇�̅� 
𝜎�̅�−�̅�
2 =
𝜎𝑋
2
𝑛𝑋
+
𝜎𝑌
2
𝑛𝑌
 
 
𝐶𝑜𝑛 𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑜 𝜎�̅�
2 =
𝜎2
𝑛
 
 
𝜎2 𝐶𝑜𝑛𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎 
𝑍 =
�̅� − 𝜇
𝜎/√𝑛
 
𝜎2 𝐷𝑒𝑠𝑐𝑜𝑛𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎 
𝑇 =
�̅� − 𝜇
𝑠/√𝑛
 
𝑍~𝑁(0,1) 
Normal estándar 
𝑇~𝑡𝑣 
T-Student con v=(n-1) g.l 
𝑆𝑖𝑛 𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑜 𝜎�̅�
2 =
𝜎2
𝑛
[
𝑁 − 𝑛
𝑁 − 1
] 
 
𝜎2 𝐶𝑜𝑛𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎 
𝑍 =
�̅� − 𝜇
𝜎
√𝑛
[
𝑁 − 𝑛
𝑁 − 1]
1/2
 
𝜎2 𝐷𝑒𝑠𝑐𝑜𝑛𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎 
𝑇 =
�̅� − 𝜇
𝑠
√𝑛
[
𝑁 − 𝑛
𝑁 − 1]
1/2
 
𝑍~𝑁(0,1) 
Normal estándar 
𝑇~𝑡𝑣 
T-Student con v=(n-1) g.l 
𝑐𝑖 = 𝐿𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑎 𝑙𝑎 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑎 
𝐿𝑖 𝑖𝑛𝑓 = 𝐿í𝑚. 𝑖𝑛𝑓. 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑎 𝑙𝑎 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑎 
 
𝑓𝑀𝑜 = 𝐹𝑟𝑒𝑛𝑐. 𝑎𝑏𝑠. 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑎 𝑙𝑎 𝑚𝑜𝑑𝑎 
𝐿𝑀𝑜 𝑖𝑛𝑓 = 𝐿í𝑚. 𝑖𝑛𝑓. 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑎 𝑙𝑎 𝑚𝑜𝑑𝑎 
𝑐𝑀𝑜 = 𝐿𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑎 𝑙𝑎 𝑚𝑜𝑑𝑎 
Lím. Sup. de la 
última clase 
Lím. Inf. de la 
primera clase 
_ 
 
Parámetro para estimar: 𝝈𝟐 
𝑆2 =
1
𝑛
∑ 𝑓𝑖(𝑥𝑖 − �̅�)
2
𝑚
𝑖=1
 
𝜇𝑠2 = 𝜎
2 
𝜎𝑠2
2 =
2𝜎4
𝑛 − 1
 
𝑌 =
(𝑛 − 1)𝑆2
𝜎2
, 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑟(𝑌) = 2(𝑁 − 1) 
𝑌~𝑋𝑣
2 𝐽𝑖 − 𝐶𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑐𝑜𝑛 𝑣 = 𝑛 − 1 𝑔. 𝑙. 
Parámetro para estimar: 
𝝈𝑿
𝟐
𝝈𝒀
𝟐 
𝐸𝑠𝑡𝑎𝑑í𝑠𝑡𝑖𝑐𝑜: 
𝑆𝑋
2
𝑆𝑌
2 
𝜇𝑆𝑋
2
𝑆𝑌
2
= 𝐸 {
𝑆𝑋
2
𝑆𝑌
2} ; 𝜎𝑆𝑋
2
𝑆𝑌
2
2 = 𝑉𝑎𝑟 {
𝑆𝑋
2
𝑆𝑌
2} ; 𝐹 =
𝑆𝑋
2
𝑆𝑌
2
𝜎𝑋
2
𝜎𝑌
2 
𝐹~𝑓1−𝑎,𝑣1,𝑣2 𝑐𝑜𝑛 𝑣1 = 𝑛𝑋 − 1 
 𝑣2 = 𝑛𝑌 − 1 
 𝑓1−𝑎,𝑣1,𝑣2 =
1
𝑓𝑎,𝑣2,𝑣1
 
Parámetro para estimar: p 
�̂� =
1
𝑛
∑ 𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
 𝜇𝑝 = 𝑝 
 
Parámetro para estimar: 𝒑𝟏 − 𝒑𝟐 
𝐸𝑠𝑡𝑎𝑑í𝑠𝑡𝑖𝑐𝑜: �̂�1 − �̂�2 
𝜇𝑝1−𝑝2 
𝐶𝑜𝑛 𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑜: 𝜎𝑝1−𝑝2
2 =
𝑝1𝑞1
𝑛1
+
𝑝2𝑞2
𝑛2
 
𝑍 =
�̂�1 − �̂�2 − (𝑝1 − 𝑝2)
√
𝑝1𝑞1
𝑛1
+
𝑝2𝑞2
𝑛2
 
𝑍~𝑁(0,1) 𝑁𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 𝑒𝑠𝑡á𝑛𝑑𝑎𝑟 
MODELOS PROBABILISTICOS 
 Binomial 
𝐷𝑖𝑠𝑡. (
𝑛
𝑥
) 𝑝𝑥𝑞𝑛−𝑥 
𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 𝑥 = 0,1, … , 𝑛 
𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎 𝑛𝑝 
𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎 𝑛𝑝𝑞 
𝑀𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 (𝑞 + 𝑝𝑒𝜃)
𝑛
 
 Geométrica 
𝐷𝑖𝑠𝑡. 𝑝𝑞𝑥−1 
𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 𝑥 = 1,2, … 
𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎 
1
𝑝
 
𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎 
𝑞
𝑝2
 
𝑀𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 
𝑝𝑒𝜃
1 − 𝑝𝑒𝜃
 
 De Pascal 
𝐷𝑖𝑠𝑡. (
𝑥 − 1
𝑟 − 1
) 𝑝𝑟𝑞𝑥−𝑟 
𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 𝑥 = 𝑟, 𝑟 + 1, … 
Varianzas conocidas 
e iguales 
𝑍 =
�̅� − �̅� − (𝜇𝑋 − 𝜇𝑌)
𝜎√
1
𝑛𝑋
+
1
𝑛𝑌
 
Varianzas conocidas 
y diferentes 
𝑍 =
�̅� − �̅� − (𝜇𝑋 − 𝜇𝑌)
√
𝜎𝑋
2
𝑛𝑋
+
𝜎𝑌
2
𝑛𝑌
 
𝑍~𝑁(0,1) 
Normal estándar 
𝑍~𝑁(0,1) 
Normal estándar 
Varianzas desconocidas pero iguales 
𝑇 =
�̅� − �̅� − (𝜇𝑋 − 𝜇𝑌)
𝑆𝑝√
1
𝑛𝑋
+
1
𝑛𝑌
 
𝑆𝑝
2 =
(𝑛𝑋 − 1)𝑆𝑋
2 + (𝑛𝑌 − 1)𝑆𝑌
2
𝑛𝑋 + 𝑛𝑌 − 2
 
𝑇~𝑡𝑣 T-Student con v=(n-1) g.l 
Con reemplazo 
𝜎𝑝
2 =
𝑝𝑞
𝑛
 
Sin reemplazo 
𝜎𝑝
2 =
𝑝𝑞
𝑛
[
𝑁 − 𝑛
𝑁 − 1
] 
𝑍 =
�̂� − 𝑝
√
𝑝𝑞
𝑛
 𝑍 =
�̂� − 𝑝
√
𝑝𝑞
𝑛 [
𝑁 − 𝑛
𝑁 − 1]
 
𝑍~𝑁(0,1) 
Normal estándar 
𝑍~𝑁(0,1) 
Normal estándar 
𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎 
𝑟
𝑝
 
𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎 
𝑟𝑞
𝑝2
 
𝑀𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 (
𝑝𝑒𝜃
1 − 𝑝𝑒𝜃
)
𝑟
 
 Hipergeométrica 
𝐷𝑖𝑠𝑡. 
(𝑟
𝑥
)(𝑁−𝑟
𝑛−𝑥
)
(𝑁
𝑛
)
 
𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 𝑥 = 0,1, … , 𝑛 
 𝑐𝑜𝑛: 𝑥 ≤ 𝑟, 𝑛 − 𝑥 ≤ 𝑁 
𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎 
𝑛𝑟
𝑁
 
𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎 
𝑛𝑟(𝑁 − 𝑟)(𝑁 − 𝑛)
𝑁2(𝑁 − 1)
 
 Poisson 
𝐷𝑖𝑠𝑡. 
(𝜆𝑡)𝑥𝑒𝜆𝑡
𝑥!
 
𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 𝑥 = 0,1,2, … 
𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎 𝜆𝑡 
𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎 𝜆𝑡 
𝑀𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑒𝜆𝑡(𝑒
𝜃−1) 
 Uniforme 
𝐷𝑖𝑠𝑡. 
1
𝑏 − 𝑎
 
𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 
𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎 
𝑎 + 𝑏
2
 
𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎 
(𝑏 − 𝑎)2
12
 
𝑀𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 
𝑒𝑏𝜃 − 𝑒𝑎𝜃
(𝑏 − 𝑎)𝜃
 
 Exponencial 
𝐷𝑖𝑠𝑡. 𝜆𝑒−𝜆𝑥 
𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 𝑥 ≥ 0 
𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎 
1
𝜆
 
𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎 
1
𝜆2
 
𝑀𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 
1
𝜆 − 𝜃
 
Normal 
𝐷𝑖𝑠𝑡. 
1
√2𝜋𝜎
𝑒−
1
2
(
𝑥−𝜇
𝜎
)
2
 
𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 − ∞ < 𝑥 < ∞ 
𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎 𝜇 
𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎 𝜎2 
𝑀𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑒𝜇𝜃+
1
2
𝜎2𝜃2 
 Ji-Cuadrada 
𝐷𝑖𝑠𝑡. 
𝑋
𝑣
2
−1
2
𝑣
2𝛤 (
𝑣
2)
∙ 𝑒−
𝑥
2 
𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 𝑥 > 0 
𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎 𝑣 
𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎 2𝑣 
𝑀𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 (1 − 2𝜃)−
𝑣
2 
 T de Student 
𝐷𝑖𝑠𝑡. 
𝛤 (
𝑣 + 1
2 )
√𝜋𝑣𝛤 (
𝑣
2)
∙
1
(
𝑡2
2 + 1
)
𝑣+1
2
 
𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 − ∞ < 𝑡 < ∞ 
𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎 0 
𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎 
𝑣
𝑣 − 2
; 𝑣 > 2 
 F de Fisher 
𝐷𝑖𝑠𝑡. 
𝛤 (
𝑣1 + 𝑣2
2
) 𝑣1
𝑣1
2 𝑣2
𝑣1
2
𝛤 (
𝑣1
2
) 𝛤 (
𝑣2
2
)
∙ 𝑓
(
𝑣1−2
2
)(𝑣2 + 𝑣1𝑓)
−
𝑣1+2
2 
𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 0 < 𝑓 < ∞ 
𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎 
𝑣2
(𝑣2 − 2)
; 𝑣2 > 2 
𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎 
2𝑣2
2(𝑣1 + 𝑣2 − 2)
𝑣1(𝑣2 − 2)2(𝑣2 − 4)
; 𝑣2 > 2 
 Erlang 
𝐷𝑖𝑠𝑡. 
𝜆(𝜆𝑡)𝑟−1𝑒−𝜆𝑥
(𝑟 − 1)!
 
𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 𝑡 > 0 
𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎 
𝑟
𝜆
 
𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎 
𝑟
𝜆2
 
PRUEBA DE HIPOTESIS 
𝑷𝒂𝒓𝒂 𝝈𝟐 𝒄𝒐𝒏𝒐𝒄𝒊𝒅𝒂 
𝐻𝑜: 𝜇 = 𝜇0 
𝐻1: 𝜇 ≠ 𝜇0, 𝐻1: 𝜇 > 𝜇0, 𝐻1: 𝜇 < 𝜇0 
𝑍 =
�̅� − 𝜇0
𝜎/𝑛
 𝑑 =
|𝜇 − 𝜇0|
𝜎
 
𝐶𝑟𝑖𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎𝑧𝑜 
𝑍0 > 𝑍𝑎
2
 𝑍0 > 𝑍𝑎 𝑍0 > −𝑍𝑎 
𝑷𝒂𝒓𝒂 𝝈𝟐 𝒅𝒆𝒔𝒄𝒐𝒏𝒐𝒄𝒊𝒅𝒂 
𝐻𝑜: 𝜇 = 𝜇0 
𝐻1: 𝜇 ≠ 𝜇0, 𝐻1: 𝜇 > 𝜇0, 𝐻1: 𝜇 < 𝜇0 
𝑍 =
�̅� − 𝜇0
𝑆/𝑛
 𝑑 =
|𝜇 − 𝜇0|
𝜎
 
𝐶𝑟𝑖𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎𝑧𝑜 
|𝑡0| > 𝑡𝑎
2
,𝑛−1
 𝑡0 > 𝑡𝑎,𝑛−1 𝑡0 > −𝑡𝑎,𝑛−1 
𝑷𝒂𝒓𝒂 𝝈𝟏
𝟐 𝒚 𝝈𝟐
𝟐 𝒄𝒐𝒏𝒐𝒄𝒊𝒅𝒂𝒔 
𝐻𝑜: 𝜇1 = 𝜇2 
𝐻1: 𝜇1 ≠ 𝜇2, 𝐻1: 𝜇1 > 𝜇2, 𝐻1: 𝜇1 < 𝜇2 
𝑍 =
�̅�1 − �̅�2
√
𝜎1
2
𝑛1
−
𝜎2
2
𝑛2
 𝑑 =
|𝜇1 − 𝜇2 |
√𝜎1
2 + 𝜎2
2
 
𝐶𝑟𝑖𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎𝑧𝑜 
𝑍0 > 𝑍𝑎
2
 𝑍0 > 𝑍𝑎 𝑍0 > −𝑍𝑎 
𝑷𝒂𝒓𝒂 𝝈𝟏
𝟐 = 𝝈𝟐
𝟐 𝒅𝒆𝒔𝒄𝒐𝒏𝒐𝒄𝒊𝒅𝒂𝒔 
𝐻𝑜:𝜇1 = 𝜇2 
𝐻1: 𝜇1 ≠ 𝜇2, 𝐻1: 𝜇1 > 𝜇2, 𝐻1: 𝜇1 < 𝜇2 
𝑍 =
�̅�1 − �̅�2
𝑆𝑝√
1
𝑛1
−
1
𝑛2
 𝑑 =
|𝜇1 − 𝜇2 |
2𝜎
 
𝐶𝑟𝑖𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎𝑧𝑜 
|𝑡0| > 𝑡𝑎
2
,𝑛1+ 𝑛2−2
 𝑡0 > 𝑡𝑎,𝑛1+ 𝑛2−2 
 𝑡0 > −𝑡𝑎,𝑛1+ 𝑛2−2 
𝑷𝒂𝒓𝒂 𝝈𝟏
𝟐 ≠ 𝝈𝟐
𝟐 𝒅𝒆𝒔𝒄𝒐𝒏𝒐𝒄𝒊𝒅𝒂𝒔 
𝐻𝑜: 𝜇1 = 𝜇2 
𝐻1: 𝜇1 ≠ 𝜇2, 𝐻1: 𝜇1 > 𝜇2, 𝐻1: 𝜇1 < 𝜇2 
𝑡0 =
�̅�1 − �̅�2
√
𝑆1
2
𝑛1
−
𝑆2
2
𝑛2
=
(
𝑆1
2
𝑛1
−
𝑆2
2
𝑛2
)
2
(𝑆1
2/𝑛1)2
𝑛1+1
+
(𝑆2
2/𝑛2)2
𝑛2+1
 
𝐶𝑟𝑖𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎𝑧𝑜 
|𝑡0| > 𝑡𝑎
2
,𝑣
 𝑡0 > 𝑡𝑎,𝑣 𝑡0 > −𝑡𝑎,𝑣 
𝑷𝒂𝒓𝒂 𝝈𝟐 = 𝝈𝟎
𝟐 
𝐻𝑜: 𝜎
2 = 𝜎0
2 
𝑋0
2 =
(𝑛 − 1)𝑆2
𝜎0
2 𝜆 = 𝜎/𝜎0 
 
 
 
 
𝑷𝒂𝒓𝒂 𝝈𝟏
𝟐 = 𝝈𝟐
𝟐 
𝐻𝑜: 𝜎1
2 = 𝜎2
2 
𝐹0 =
𝑆1
2
𝑆2
2 𝜆 = 𝜎/𝜎0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑆𝑖 𝐻1: 𝜎
2 ≠ 𝜎0
2 ∴ 𝑋0
2 > 𝑋𝑎
2
,𝑛−1
2 𝑜 𝑋0
2 > 𝑋1−𝑎
2
,𝑛−1
2 
𝑆𝑖 𝐻1: 𝜎
2 > 𝜎0
2 ∴ 𝑋0
2 > 𝑋𝑎,𝑛−1
2 
𝑆𝑖 𝐻1: 𝜎
2 < 𝜎0
2 ∴ 𝑋0
2 > 𝑋1−𝑎,𝑛−1
2 
𝑆𝑖 𝐻1: 𝜎1
2 ≠ 𝜎2
2 ∴ 
 𝐹0 > 𝐹𝑎
2
,𝑛1−1,𝑛1−1
 𝑜 𝐹0 > 𝐹1−𝑎
2
,𝑛1−1,𝑛1−1
 
𝑆𝑖 𝐻1: 𝜎1
2 > 𝜎2
2 ∴ 𝐹0 > 𝐹𝑎,𝑛1−1,𝑛1−2