fracciones-porcentaje-relojes

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Razonamiento matemático 
Alexander fleming ... ¡Ahora mejor que nunca¡Alexander 
Parte 
Todo 
La unidad ha sido dividida en 7 
partes. 
De las cuales se consideran 2 
Fracción = 
Todo
Parte Es, sus, son, … 
De, el 
NUMEROS FRACCIONARIOS 
Son números racionales que no son enteros. 
Ejemplos: 
...,
8
7
,
4
15
,
12
3
,
7
5
 
7
2
Fracción: Relación entre una parte de
un total y el respectivo total (todo) Donde.
 TODO: Número de partes en que
se divide la unidad (total)
 PARTE: Número de partes que se
consideran. 
F R A C C I O N E S
Razonamiento matemático 
Alexander fleming ... ¡Ahora mejor que nunca¡Alexander 
 F = 
b
a
 
 
F es fracción  a  b; a, b  Z, b  0 
Numerador 
Denominador 
Ejemplo: 
¿Qué parte de 18 es 12? 
f =
3
2
3.6
2.6
18
12
 
En otras palabras 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CLASIFICACIÓN DE LAS FRACCIONES 
 
A. Por la comparación de su valor respectivo de la unidad. 
1. Propia.- Cuando es menor que la unidad. 
ba1
b
a
 
Ejemplos: 
...,
11
4
,
9
5
,
12
7
 
2. Importancia.- Cuando es mayor que la unidad 
ba1
b
a
 
Ejemplos: 
...,
3
8
,
2
5
,
7
12
 
 
 
Fracción Homogénea: Igual denominador 
b
ca
b
c
b
a 
 
Fracción Heterogénea: Diferente denominador: 
bd
bcad
d
c
b
a 
 
Fracción Mixta: Cuando tiene parte entera y parte fraccionaria. 
A
c
b = 
c
bAc  
 
 
 
 A
c
b = A +
c
b
 
Recordar: 
 
 
Parte 
Entera
a 
Parte 
Fracciona
ria 
o 
 
 
B. Por su denominador 
 
1. Decimal.- Cuando el denominador es una 
potencia de 10. 
 f = 
b
a
, b = 10n; n  Ζ 
 
Ejemplos: 
 
1000
170
,
10
3
,
100
7
 
 
2. Ordinaria o Común.- Cuando el 
denominador no es una potencia de 10 
f =
b
a
; b  10n; n  Ζ 
 
Ejemplos: 
 ...,
86
72
,
31
18
,
3
7
 
 
 Nota: 
p)n,MCD(m,
c)b,MCM(a,
p
c
,
n
b
,
m
a
MCM 







 
p)n,MCM(m,
c)b,MCD(a,
p
c
,
n
b
,
m
a
MCD 







 
 
C. Por la Cantidad de divisores 
comunes de sus términos 
 
 Irreductible.- Cuando sus términos sólo 
poseen como divisor común a la unidad. 
 F =
b
a
; a y b son PESI, MCD (a, b) = 1 
 
Ejemplo 
 
24
13
,
43
15
,
7
8
 
 
 Reductibles.- Cuando sus términos tiene 
más de un divisor común. 
 
 F =
b
a
, a y b no son PESI, MCD (a, b)  1 
GENERATRIZ DE UN NÚMERO 
DECIMAL 
 
A. Decimal Exacto: 
 0, a = 
10
a
 
 0,5 = 
10
5
 
 0,ab = 
100
ab
 
 0,42 = 
100
42
 
 a, bc = 
100
abc
 
 4, 75 = 
100
475
 
 
B. Decimal Periódico Puro: 
 0, aaa . . . = 0,
9
a
a 

 
 0,
9
7
7 

 
 0, ababab . . . = 0,ab = 
99
ab
 
0,24 =
99
24
 
 
C. Decimal Periódico Mixto: 
 0,a
90
aab
b



 
0,4
90
41
90
445
5 



 
 0, 
900
ababc
cab


 
0,25
900
228
900
25253
3 



 
 a, b, c

 = 
90
ababc 
 
5, 4 3

 = 
90
54543 
 
 a, bc = 
99
aabc 
 
7, 23 = 
99
7723 
 
80 
 
 
NUMERACIÓN EN BASE 10 
 
 10dc,,ba,;abcdabcd10  
   
númerounde
PolinómicaciónDescomposi
1
x
2
x
3
x d10c10b10aabcd  
 abc = ax 102 + bx 10 + c 
 = 100 a + 10 b + c 
 ab = ax 10 + b 
 = 10 a + b 
 ba = bx 10 + a 
 = 10 b + a 
 
ACÁPITE: (EN BASE A LA UNIDAD) 
 
 AUMENTO RESULTA QUITO RESULTA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ALGUNOS ENUNCIADOS ABIERTOS 
 
 Que parte  fracción 
 Que parte de 
4
3
 le falta a 
5
2
. 
 
PARTE f 
 
5
2
4
3
.f  
 Cuantos diesiseisavos 
hay en 
12
5
 
 Disminuir 96 en sus 
12
7 
(96)
12
7
96  
 Aumentar 
3
2
 en sus 
5
3
 







3
2
5
3
3
2
 
 Cuantos cuarentavos hay en 
2
5
? 
100
40
1
2
5
 
 
 
 
 
1. Cual es la fracción ordinaria que resulta 
triplicada si se agrega a sus dos términos su 
denominador? 
Solución: 
Sea la fracción: 
b
a
 
b
a
3
bb
ba



 
b
3a
b
ba


2
 
 
 
 
 
 
 
2. Se deja caer una pelota desde cierta altura . 
Calcular esta altura, sabiendo que cada rebote 
que da alcanza los ¾ de la altura anterior y que 
en el tercer rebote alcanza 81 cm. 
Solución: 
4
3 h
4
3
4
3. h
4
3
4
3.
4
3. h
h
1º
2º
3º
 
 Del enunciado 
 
 81h
4
3
.
4
3
.
4
3
 
 
4
3
 
 
7
5
 
 
3
2
 
4
7
4
3
1  
7
12
7
5
1  
3
5
3
2
1  
 
5
2
 
 
4
3
 
 
9
4
 
5
3
5
2
1  
4
1
4
3
1  
9
5
9
4
1  
12
5
16
x
 
PROBLEMAS RESUELTOS 
a + b = 6a 
 b = 5a 
 
 
5
1
b
a
 
h = 192 
81 
 
 
3. Cuanto le debemos quitar a los 2/3 de los 5/7 de 
los 6/5 de los ¾ de 21 para que sea igual a la 
mitad de 1/3 de 2/5 de ¾ de 14? 
 Solución: 
 14.
4
3
.
5
2
.
3
1
.
2
1
x21.
4
3
.
5
6
.
7
5
.
3
2
 
 9 – x = 
10
7
 
 x =
10
83
 
 
 
 
4. Pinky reparte su fortuna entre sus 4 hijos al 
mayor le da la mitad, al segundo le da 1/3 del 
resto, al tercero le da ¼ de lo que queda. Si el 
último recibió S/. 600, ¿Cuánto recibió el 2do? 
 Solución: 
 Sea “x” el total de la fortuna. 
 Da a c/u Queda 
 1.- 
2
x
 
2
x
 
 2.- 






2
x
3
1 






2
x
3
2 
 3.- 











2
x
3
2
4
1
 











2
x
3
2
4
3
 
 El 4to recibe lo que queda. 
 600
2
x
.
3
2
.
4
3
 
 x = 2400 
 El 2do recibe: 400
2
2400
3
1





 
 
 
 
5. Hallar (a + b) 
 De: 
 0, a b

 + 0, b a

 = 1, 4

 
Solución: 
 
9
114
90
bba
90
aab 




 
9
13
90
ba10bab10a


 
 
9
13
90
b)(a10


 
 
 
 
6. Calcular: 
2
44
4690,441, 




 

 
Solución: 
 1,44 = 
25
36
100
144
 
 
36
25
900
625
900
69694
40,69 



 
22
44
6
5
5
6
36
25
25
36

















 
 = 
6
52(1)
5
6
 
 
 
 
 
 
7. En una batalla resultaron muertos la vigésima parte 
del número de hombres de un ejército, y heridos la 
doceava parte del mismo número más 60. Los que 
quedaron ilesos representan la mitad de los que 
entraron en acción, más 820 
¿ De cuántos hombres se componía el ejercito? 
Solución: 
Sea “n” el número de soldados del enunciado 
tenemos: 
 820
2
n
60
12
n
20
n
n 





 
 
 
 
REDUCCIÓN A LA UNIDAD 
 
1. Si se invierte el tiempo total para hacer un trabajo, 
se obtiene la parte del trabajo que se hace en una 
unidad de tiempo. 
2. El tiempo que se emplea para hacer todo un trabajo 
se obtiene invirtiendo el valor unitario. 
3. El tiempo que se emplea para hacer una parte se 
obtiene dividiendo la parte que falta entre el valor 
unitario. 
 
Ejemplos: 
 Pocho hace un trabajo en 12 días 
  En un día hace 
12
1
 
x = 8, 3 
400 
a + b = 13 
30
121 
n = 2400 
82 
 
 Un caño llena un estanque en 6 horas. 
 En 1 hora se llena: 
6
1
A. Dos caños llenan un tanque en 
(A: horas…B: horas) 
A B
En 1 hora llenan 
x
B
1
A
1

todo el tanque en
x
1
 horas 
B. Dos cañones llenan y uno desagua 
A horas B horas
C horas
En 1 hora 
x
C
1
B
1
A
1

NOTA: 
 Juanito en 1 día hace 
6
1
 de la obra, luego toda 
la obra lo hace en 6 días 
 Un grifo llena en 1 día 2/9 de un estanque, todo 
el tanque lo llena en 
2
9
 días. 
 Si A y B hacen una obra en “t” días; Podemos 
decir que en un día hacen 
t
1
B
1
A
1
 . 
1. Pedro hace una obra en 20 días y José lo hace en 
30 días. ¿Cuánto tiempo demorarán en hacerlo los
dos? 
Solución: 
P = 20 días 
J = 30 días 
En 1 día 
12
1
30
1
20
1

2. Un estanque puede llenarse por una bomba en 2h y
por otra en 3 h y vaciarse en 4 horas. El depósito se 
llenará con las
tres bombas abiertas en: 
Solución: 
2 horas 3 horas
4 horas
En 1 hora 
12
7
4
1
3
1
2
1

Todo le llenan en 
3. Dos bombas de agua trabajando juntas pueden 
llenar una piscina en 24 horas. Cuando trabaja 
individualmente una de las bombas se demora 
20 horas más que la otra en llenar la piscina. 
¿Cuánto se demorará cada bomba en llenar la 
piscina trabajando solas? 
Solución: 
Sean las bombas Ay B 
A = 20 + x 
B = x 
A+ B = 24 h. 
En una hora 
24
1
x
1
x20
1


 x = 40 
x
1
 horas 
PROBLEMAS RESUELTOS 
12 días 
7
12 h
A = 60 h 
B = 40 h 
83 
4. Un recipiente contiene24 litros de alcohol y 36
litros de agua. Si se extrae 15 litros de la mezcla. 
¿Cuántos litros de alcohol quedan? 
Solución: 
Total 60 L
OH = 24 L
H O = 36 L.2
 Se extrae Queda 
60
15
60
45
Alcohol que queda: 
60
45
(24) = 18 litros 
5. Se llena un recipiente de 24 litros con 15 litros de 
alcohol y el resto con agua. Se extrae la tercera 
parte de la mezcla y se reemplaza por agua; 
luego se extrae la cuarta parte de la mezcla y se 
reemplaza por agua; finalmente se extrae la 
quinta parte de la mezcla y se reemplaza con 
agua. ¿Cuánto de alcohol queda en el recipiente? 
Solución: 
24 Lit.
OH = 15 L
9 = H O2
 Se extrae Queda 
 1. 
3
1
3
2
2. 





3
2
4
1






3
2
4
3
3. 











3
2
4
3
5
1












3
2
4
3
5
4
Finalmente de alcohol queda: 
(15)
3
2
.
4
3
.
5
4
 
1. Con 160 L de vino contenidos en un tonel se 
llenan los otros dos. Si después de efectuada esta 
operación se vierten los 3/5 del segundo tonel y 
1/3 del tercero en el primero; el segundo y tercer 
tonel quedan con iguales volúmenes de vino. 
Calcular las capacidades en litros del segundo y 
tercer tonel.
A) 100 y 60L B) 110 y 40L C) 80 y 80
D) 110 y 50L E) 90 y 70L
2. Encontrar dos fracciones propias e irreductibles
conociéndose la suma de los cuatro términos; 808 
y el producto de ambas fracciones: 19/23. Indicar
la suma de los numeradores de las fracciones. 
A)380 B) 397 C) 390 D) 394 E) 384
3. Hallar dos fracciones equivalentes A/B = a/b 
siendo la segunda irreductible y sabiendo que se 
verifica: 7A - 2B = 4a + 19b = 1170. Indicar la 
suma de cifras de A.
A) 14 B) 15 C) 16 D) 17 E) 18
4. En una batalla han participado 11 000 hombres. De
los sobrevivientes se sabe que el 56,56% no 
fuman y el 56,7567% no beben. ¿Cuántos han 
muerto en la batalla? 
A)7337 B)12 C)3764 D)3675 E) 3678 
5. Alberto puede hacer un trabajo en 20 días. Luis 
puede hacerlo en 15 días y Carlos puede hacerlo 
en 12 días; el primer día trabaja Alberto solo; el 
segundo día se le une Luis, a partir del tercer día 
trabajan los tres juntos. ¿Cuántos días demora la 
obra?
A)4 1/6 B)5 1/6 C)6 1/6 D)5 1/3 E)6 1/3 
6. Un buque de pasajeros hace el servicio semanal 
entre los puertos A y B; sale del puerto A y tarda 6 
horas en hacer la travesía, cruzándose 
habitualmente al recorrer los dos tercios de dicha 
travesía con un buque de carga que sale de B a la
misma hora. Un día, el buque de pasajeros sufre 
una avería al tercio de la travesía AB, que le obliga 
a reducir la velocidad y cruza el buque de carga 
cuarenta minutos más tarde que de costumbre. 
¿Con qué retraso llegará a B? 
A) 3h 44 min. B) 3h 24 min. C) 2h 44 min.
D) 2h 24 min. E) 3h 28 min.
6 Litros 
PROBLEMAS RESUELTOS 
84 
7. Para x1 = 20, x2 = 30,x3 = 42, x4 = 56, etc. 
Encontrar un número entero positivo “m” tal que: 
0,23666...
x
1
...
x
1
x
1
x
1
m321
 
A) 71 B) 19 C) 20 D) 75 E) 73
8. Dos obreros A y B pueden hacer una obra en 3
3/7 días; B y C harían la misma obra en 4 4/5 
días y A y C harían la misma obra en 4 días. 
¿En qué tiempo haría la obra B solo? 
A)6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10
9. En un recipiente de 50 litros de capacidad se 
vierte 25 litros de vino, 15 litros de alcohol y 10 
litros de agua. Se bota la cuarta parte del 
contenido y se vuelve a llenar con agua, luego se 
bota 1/3 del contenido y se vuelve a llenar con 
agua. Por último se bota 1/5 del contenido y se 
vuelve a llenar con agua. ¿Cuál es la cantidad de 
agua contenida en el recipiente final? 
A ) 4L B) 42,5L C) 42L D) 34L E) 40L
10. Si a y b son números naturales, tales que: a/11 
+ b/5 =1,0363636...., determinar el valor de: 3a + 
4b 
A) 25 B) 26 C) 27 D) 29 E) 28
11. Tres ganaderos compraron vacas lecheras en 
una feria. El primero compró los 2/7 del total que 
compraron los 3 juntos más 6 vacas; el segundo 
1/3 más 7 vacas y el tercero las 19 vacas 
restantes. ¿Cuántas vacas compró cada uno de 
los 2 primeros?. Dar la suma. 
A) 65 B) 70 C) 85 D) 75 E) 55
12. Un muchacho que vive en el ultimo piso de
una casa, en una de sus salidas baja por los 
escalones de 2 en 2 y lo sube de 3 en 3, si en 
total dio 100 pasos. ¿Cuántos peldaños tiene 
la escalera? 
A)120 B) 100 C) 115 D) 150 E) 140
13. Un tranvía parte con un cierto numero de
pasajeros, en la primera parada deja la quinta 
parte; en el segundo, sube 40 pasajeros; en el 
tercero bajan 3/8 de los que iban; en el cuarto 
suben 35 y en el trayecto al último paradero, 
deja los 7/9 de los que llevan, llegando a este 
último paradero con 30 pasajeros. ¿Con 
cuántos pasajeros partió el tranvía? 
A)140 B)145 C)150 D)155 E)160 
14. Tres caños pueden llenar un estanque en 3h; 4h y 
5h trabajando solos. Se abre el primero y al cabo 
de 45 minutos el segundo y luego de 30 minutos el 
tercero. ¿Cuál es la capacidad del estanque si 15
minutos después habían llenado 1 770 litros? 
A) 2 400 L B) 2 500 L C) 2 450 L
D) 2 550 L E) 2 600 L
15. Dos caños alimentan un estanque el primero puede 
llenarlo en 50 horas y el segundo en 40 horas. Se
deja abierto el primero durante 15 horas y después 
el segundo durante 16 horas. En seguida se retiran 
900 litros, y luego se abren las 2 llaves terminando 
de llenarse el estanque en 10 horas. ¿Cuál es la 
capacidad del estanque? 
A) 6 000 L B) 6 400 L C) 5400 L
D) 5 500 L E) 4 500 L
16. Una fracción propia cuyo denominador es 37, 
origina un número decimal tal que su periodo tiene 
3 cifras en progresión aritmética creciente de razón 
2. ¿Cuál es el numerador de la fracción?
A) 2 B) 7 C) 6 D) 8 E) 5
17. El presidente de un club de fútbol observa que por 
partido, en promedio 1/3 de las entradas se 
quedan sin vender; pero afirma que todas las
entradas se venderían si se rebajase en un 30% el 
precio de las entradas. Suponiendo correctas las 
hipótesis del presidente del club. ¿Qué sucedería?
A) La recaudación aumentaría
B) La recaudación disminuiría
C) La recaudación no varía
D) La recaudación es impredecible
E) N. A
18. Se deja derretir tres pedazos de hielo tales que el 
volumen del segundo es los 3/7 del volumen del 
primero y los 6/13 del volumen del tercero; sabiendo 
que la diferencia entre los volúmenes de estos 2 
últimos trozos es de 50 dm3, y que el agua se dilata 
en 1/9 de su volumen al congelarse. ¿Cuántos litros 
de agua se obtendrá en esta operación? 
A) 1 485 L B) 1 850 L C) 1 5 80 L 
D) 1460 L E) 1 458 L 
19. He recibido los 2/3 de la mitad de la quinta parte de 
S/. 7 200, los cuales representan 1/2 de la tercera 
parte del dinero que tenia inicialmente. ¿Cuánto 
tenia inicialmente? 
A) 3000 B) 2900 C) 2880
D) 2720 E) 2780
85 
20. A y B pueden hacer una obra en 3 días; B y C 
en 4 días; A y C en 5 días. ¿En cuántos días
puede hacerlo “A” trabajando solo?
A) 10 B) 7 C) 15 D) 7 /17 E) 81/8
21. A y B son números naturales. Hallar la suma de
todos los valores posibles de B, de modo que: 
.2,717171..
11
B
9
A
 
A) 17 B) 39 C) 42 D) 43 E) 14
22. La colilla de un cigarro es 1/4 del cigarro, un
fumador consume los 7/8 de la parte fumable y en 
cada pitada consume 1/64 de la parte fumable. 
¿Cuántas pitadas dio el fumador? 
A) 55 B) 56 C) 57 D) 58 E) 60
23. Un comerciante ha comprado cierta cantidad de 
vino, a 22,5 soles
el litro. Vendió 1/4 ganando el 
20%, 1/3 perdiendo el 10% y los litros restantes 
ganando el 10%. Si la operación le ha reportado 
un beneficio de 6 142,5 soles ¿Cuántos litros de 
vino había comprado? 
A)4 280 B)4 680 C)4 860 D)4 820 E)4 260 
24. La suma de los términos de una fracción propia e
irreductible es 388. Divididos sus términos dan 
origen a un decimal periódico puro con tres cifras 
en el periodo. ¿Cuál es la fracción?
A) 52/316 B) 50/338 C) 161/227
D) 60/328 E) 55/333
25. Se retira de un cubo los 2/3 de su contenido 
menos 40 litros. En una segunda operación se 
saca los 2/5 del resto y por último los 84 litros 
restantes. ¿Cuál era el contenido del cubo? 
A) 200 B) 250 C) 300 D) 320 E) 350
26. Dos jugadores van a las carreras a apostar con 
la misma suma de dinero, el primero al salir ha 
perdido los 2/3 de su dinero, mientras que el 
segundo ha perdido los 3/4 del suyo. Al retirarse, 
el primero tiene S/. 1500 más que el 
segundo.¿Con cuánto se retiro el primer 
jugador?
 A)5000 B)5 500 C)4 800 
D)6 000 E)7 200 
27. ¿Cuántas fracciones irreductibles cuyo 
denominador es 12, cumplen con la condición que 
sean mayores que 2/7 pero menores que 5/7? 
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
 28. Hallar una fracción tal que si se le agrega su cubo,
la suma que resulta es igual al cubo de la misma 
fracción multiplicada por 13/4. 
A)1/3 B) 2/3 C) 4/9 D) 2/9 E) 2/5
29. Hallar una fracción cuya suma de sus términos es 
25 y cuando se le suma 6 unidades al numerador y 
9 al denominador se obtiene una fracción 
equivalente a 3/5. Dar como respuesta la diferencia
de los 2 términos de la fracción
A) 1 B) 3 C) 5 D) 7 E) 8
30. Un albañil trabajando solo, tarda 18 días en hacer 
una obra, pero si comienza a trabajar con su 
ayudante, juntos terminan la obra en 12 días. Se 
desea saber el tiempo que le tomara al ayudante 
trabajando solo en hacer la obra 
 A) 20 B) 63 C) 15 D) 30 E) 36
31. Los obreros A, B y C hacen una obra en 18 días; A 
y B hacen la misma obra en 30 días. En cuantos 
días hace la obra C trabajando solo. 
A) 50 B) 60 C) 90 D) 84 E) 45
32. Un canal llena un depósito en 5 horas y otro lo 
vacía en 8 horas. ¿En que tiempo se llenará el 
deposito si se abre el desagüe una hora después 
de abrir el canal de entrada? 
A)10h 36 min B) 10h 40 min C) 11h 36 min.
D) 11h 40 min E) N.A 
33. Un tanque puede ser llenado por la cañería “A “ en 
6 horas y vaciado por otra cañería “B” en 8 horas. 
Se abren ambas cañerías durante dos horas, luego 
se cierra “B” y “A” continua abierta por 3 horas; al 
final de las cuales se reabre “B”. Desde la 
reapertura de “B”, que tiempo demora el tanque en 
llenarse. 
A) 3h B) 10h C) 11h D) 8h E) 12h
34. Dos caños alimentan un estanque, el primero
puede llenarlo en 50 horas y el segundo en 40 
horas. Se deja correr el primero durante 15 horas y 
después el segundo durante 16 horas. Enseguida 
se retiran 900 L y luego se abren las dos llaves, 
constatándose que el estanque termina por llenarse 
en 10 horas. ¿Cuál es la capacidad del estanque? 
A) 3000 L B) 6000 L C) 8000 L
D) 4000 L E) 9000 L 
35. Los 2/3 de los miembros de un comité son
mujeres, 1/4 de los hombres están casados. Si hay 
9 hombres solteros. ¿Cuántas mujeres tienen el 
comité? 
86 
 
A) 36 B) 24 C) 12 D) 18 E) 26
36. Vanesa ahorra siempre las 2/5 partes de su 
sueldo. Hasta el mes pasado ahorraba S/. 150 al 
mes y ahora, después del aumento ahorra S/. 
190. ¿En cuanto le han aumentado el sueldo? 
A) S/. 100 B) S/. 70 C) S/. 90
D) S/. 120 E) S/. 110
37. ¿Qué hora es cuando han pasado los 5/8 de los
2/3 de los 4/5 del día? 
A) 16h B) 12h C) 13h D) 10h E) 8h
38. Un microbús parte con cierto número de 
pasajeros, en el primer paradero deja la quinta 
parte, en el segundo paradero suben 40 
pasajeros, en el tercero bajan los 3/8 de los que 
lleva, en el cuarto suben 35 pasajeros y en el 
trayecto al quinto deja 7/9 de los que lleva; llegó 
al final con sólo 30 pasajeros. ¿Cuántos había al 
inicio? 
A)120 B) 100 C) 150 D) 180 E) 210
39. Una bola cae desde la altura de 160m; después 
de cada rebote se leva nuevamente hasta una 
altura igual a la mitad de la altura de la cual 
cayó. ¿A qué altura se elevará la bola después 
de haber rebotado por cuarta vez?
A) 20 B) 5 C) 10 D) 25 E) 28
40. ¿En cuánto tiempo se llenara un estanque, si un 
caño A llena el estanque en 4 horas, un segundo 
caño B lo hace en 6 horas. Ambos empezaron 
funcionar al mismo tiempo y cuando el estanque 
estaba vacío? 
A) 2,0h B) 2,6h C) 2,4h D) 2,5h E) 2,8h
41. Hallar una fracción propia e irreductible m/ n
sabiendo que la fracción equivalente a 1/m + 1/n 
tiene como producto de sus términos igual a 840. 
 A) 5/7 B) 4/7 C) 1/3 D) 7/3 E) 3/7
42. Si a y b son naturales y 0,711
37
b
3
a
 , hallar 
b – a. 
A) 16 B) 11 C) 13 D) 10 E) 15
43. Si: x090,
27
x
37
5
 entonces x
2 es igual a: 
A) 1 B) 4 C) 9 D) 16 E) N.A.
44. Si a una fracción propia irreductible se le agrega
su mitad se obtiene un número no menor que 1, 
pero si se le resta la cuarta parte de la fracción se 
obtiene un numero no mayor que 1/2. ¿Cuál es la 
fracción? 
A) 3/4 B) 1/3 C) 2/3 D) 3/5 E) ½
45. Dos jugadores entren al juego con una misma 
suma de dinero. El primero pierde los 2/3 de su
capital y el segundo los 3/4 Al retirarse el primero
tiene S/. 15 más que el segundo. Dar como 
respuesta la suma de los capitales de los 
jugadores antes de entrar a dicho luego. 
A) 480 B) 9 C) 240 D) 180 E) 360
46. Una bola de pimpón después de tocar una mesa de 
mármol por cuarta vez, se eleva 1,50cm. Se desea
saber desde que la altura se dejo caer sabiendo 
que cada vez que rebota, se eleva hasta la tercera 
parte de la cual cayó. 
 A) 115,5cm B) 110,5 cm C) 112,5cm
D) 121,5 cm E) 120,5 cm
47. Un niño compra naranjas a 3 por 10 centavos y las 
vende a 5 por 20 centavos; para ganar S/. 1,00. 
¿Cuántas naranjas deben vender?
A) 67 B) 150 C) 200 D) 300 E) N.A
48. Se tiene dos cajas de fósforos; se usa de la primera 
2/7 del total y de la segunda 1/5 de su total. Los 
fósforos usados de la primera son once más que la 
segunda y queda en la primera caja el doble de 
fósforos que en las segunda. ¿Cuántos fósforos
quedan en total? 
A) 10 B) 20 C) 40 D) 52 E) 60
49. Calcular el valor de “a + b” en:
31,10,ab0,ba0,


A) 4 B) 9 C) 11 D) 15 E) 17
50. Si la fracción
ba
ab
 es equivalente a 
7
4
 ¿ A qué 
fracción es equivalente 
ba
b

? 
A) 3/4 B) 1/2 C) 2/3 D) 4/5 E) 1/3
51. Si la fracción
74y
56y


 difiere de la unidad en 
menos de 
10
1
, hallar el menor valor de y. 
87 
A) 105 B) 107 C) 52 D) 106 E) 74
52. ¿Cuántas fracciones irreductibles existen tales
que sean menores a 11/12, mayores a 4/5 y 
cuyos denominadores sean 120? 
A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E) 3
53. Hallar el valor de:
S = 
3128
1
....
107
1
74
1
41
1







A)
29
12
 B)
41
13
 C)
37
15
 D)
33
16
 E)
31
10
54. El periodo de una fracción de denominador 11
es de 2 cifras que se diferencian en 5 unidades. 
Hallar la suma de los términos de dicha fracción 
si es el mayor posible. 
 A) 14 B) 15 C) 17 D) 19 E) 16
55. Un comerciante efectúa 2 pagos. En el primero
paga la mitad de su capital y 1/3 en el segundo. 
Al llegar a su casa observa que le queda solo 8 
soles más 1/8 de lo que pagó. ¿Cuánto tenia al 
inicio? 
A) 192 B) 182 C) 128 D) 129 E) 138
TANTO POR CIENTO % 
Es el número de centésimas partes de una 
cantidad 
Toda cantidad representa el 100% esto es: 
N = 100% N 
N = N
100
100
 
N = N 
Notación: 
El a% de N = a N
100
1






 
PORCENTAJE: Es la aplicación del tanto por
ciento respecto a cantidades o números. 
Ejemplos: 
 40% (20) 8(20)
100
40

 35% (40) 14(40)
100
35

TANTO POR CIENTO 
TANTO: Se llama así a la cantidad de partes iguales
que se toman en consideración.
CIENTO: Se llama así a la cantidad de partes
iguales que se han dividido a una unidad o cantidad. 
Se toman “a” partes iguales 
.......
Se han dividido en “b” partes iguales 
Ejemplos: 
1. Calcular el 3 por 4 de 48
36(48)
4
3

2. Qué tanto por ciento de 120 es 42? 
42(120)
100
x
 
 x = 35 
OPERACIONES CON PORCENTAJES 
1. N + 15% N = 115% N
2. a% N  b% N = (a  b)% N
3. N – 56% N = 44% N
4. a(b% N) = N
100
ab
 
P O R C E N T A J E S
% = 
100
1
El de a por la de N = (N)
b
a
 
Que porcentaje
100
x

88 
 
5. El a% del b% del c% de N 
N.
100
c
.
100
b
.
100
a
 
A. AUMENTOS SUCESIVOS DE A% Y B% 
Au = A% + B% + A% B% 
B. DESCUENTOS SUCESIVOS DE A% y B% 
Du = A% B% - A% B% 
 
 
C. COMBINACIÓN DE AUMENTOS Y 
DESCUENTOS SUCESIVOS EN BASE AL 
100% 
P =
c%ganod%pierdob%pierdoa%gano
Nde...
100
c100
100
d100
100
b100
100
a100





 





 





 





 
NOTA: 
 Si el resultado es más del 100% es ganancia. 
 Si el resultado es menos del 100% es pérdida. 
 La ganancia y la pérdida sería l a diferencia 
con respecto al 100%. 
APLICACIONES COMERCIALES 
Pv = Pc + g 
Pv = Pc – pérdida 
Pv = Pf – descuento 
GB = gN + gastos 
Pr : precio de venta 
Pc : Precio de compra 
 g : ganancia  utilidad 
 ganancia  beneficio 
 g = gB 
gN : ganancia neta 
gB : ganancia bruta 
Pf : precio fijado = Precio en lista 
Pf = PL
OBSERVACIONES 
1. Generalmente las ganancias (o pérdidas) se 
representan como un tanto por ciento del precio
del costo, salvo se diga otra cosa. 
2. las rebajas (o aumentos) se representan como 
un tanto por ciento de precio fijado. 
3. 
V : Porcentaje de ganancia con respecto a la 
venta. 
C: Porcentaje de ganancia con respecto a la 
compra. 
 
1. Timoteo compra 20 objetos A y los vende ganando 
el 40%. Con el importe de la venta compró 60 
objetos B y los vendió ganando el 15%. Con el 
importe de esta nueva venta compró 828 objetos C
al precio de S/. 98 la docena. ¿Cuánto le costó c/u 
de los objetos A? 
Resolución: 
Sea “a” el costo de c/u de los objetos A. Con el 
enunciado: 
(20a)][140%115%98.
12
828






 
a20.
100
140
.
100
115
12
98.828

De donde: 
2. En un aula de clases el número de hombres
equivale al 80% del total, si se retiran el 20% de 
los hombres. ¿Qué porcentaje del resto son
mujeres? 
Resolución: 
Suponiendo el total = 100 






20mujeres
80hombres
Se retiran: hombres16(80)
100
20

84total
20mujeres
641680hombres:Quedan






Aumento 
único 
Descuento 
único 
 
Descuento a% 
(pierdo) 
100
a100
Aumento a% 
(gano) 
100
a100
100
1
c
1
v
1

PROBLEMAS RESUELTOS
S/. 210 = a 
89 
Piden: 84 100% 
 20 x 
x = 
84
100%20.
3. Lolo observa que su salario ha sido descontado 
en un 20% ¿Cuál debe ser el porcentaje de 
aumento para que reciba su salario? 
Resolución 
Llamando al total: 100 
El descuento es:   hombres20100
100
20

Le queda: 80 
Para que los 80 llegue a ser 100; aumentará en 
20, luego: 
80
100%.20
x
x20 
100%80




  
4. Pepe gasta el 20% de lo que tiene, luego el 30% 
de lo que le queda y por último gasta el 40% del
nuevo resto, quedándose con tan solo 33600 
soles ¿Cuánto tenía al inicio? 
Resolución: 
Tenía = n 
Del enunciado se deduce que queda: 
33600n
100
80
.
100
70
.
100
60
 
De donde: n = 
70.60
100.100.100.33600
5. Edy compra un artículo en S/. 8000 ¿Cuál debe 
ser el precio a que debe fijarlo para que 
rebajando el 20% de este precio aún gane el 30% 
del precio de costo? 
Resolución 
Pc1 = 8000 
Pv1 = a 
Rebaja = 20% a 
a80%Pv2 
Ganancia =   24008000
100
30
 
Como: Pv = Pc + ganancia 
 80% a = 8000 + 2400 
 10400a
100
80
 
6. Rocio pagó dos facturas: por la primera pagó
S/. 845000, luego de que le hicieran el 35% de 
descuento, por la segunda pagó S/. 1 400 000 en la 
cual le recargaron el 12% ¿Cuánto ahorró o pagó 
de recargo en total? 
Resolución: 
1) Precio de la 1ra factura: A (inicio)
Descuento: 35% A 
Paga : 0001300A84500A
100
65
 
2) Precio de la segunda factura: B (inicio)
Recargo: 12% B 
Paga: 1250000B1400000B
100
112
 
3) Luego: 
 Debería pagar: 1300 000 + 1250000 = 2550000 
Pero paga (dato): 845000 + 1400000 = 2245000 
Comparando se deduce que: 
 
7. Se vende dos artículos en S/. 1200000 cada 
uno. En uno se gana el 15 por 75 de su costo y 
en le otro se pierde el 10 por 70 de su costo. 
¿Se ganó o se perdió y cuánto? 
Resolución: 
1ro. (gana): 
000200g
g
75
15
1200000
75
15
1














2do. (pierde): 
000200p
p
70
10
120000
70
10
1














Como ganancia = pérdida 
 
8. Se venden dos artículos en S/. 480 cada uno. En 
uno se gana el 20% de su costo y en el otro se 
pierde el 20% de su costo ¿Se ganó o se perdió y
cuánto? 
x = 23, 8% 
x = 25% 
n = 100 000 
a = 13000 
Ahorra: 305000 
No paga ni pierde 
90 
 
Resolución: 
1ro. (gana) 
80S/.
120
480.20
G
G%20
480120%




 
 2do. (pierde) 
120S/.
80
480.20
P
P%20
48080%




Como ganancia < pérdida 
 
1. Si la base de un rectángulo aumenta en un 20% y 
su altura varia de tal forma que el área 
permanece constante ¿En qué porcentaje varía el 
perímetro, si la base era el doble de la altura?
A)+ 10% B) – 8% C) – 7,7%
D) – 6% E) +6%
2. Si una parte de la mercadería (todos del mismos 
costo) se vende con una pérdida del 8% y el 
resto se vende ganando el 7% ¿Qué porcentaje 
de la mercadería se vendió en la primera venta, 
si en total se ganó el 4%?
A)25% B)30% C)20% D)15% E)10% 
3. En una industria se han fabricado 500 artículos, el 
70% de ellos, han sido fabricados por la maquina 
A y el resto por la maquina B. Si se sabe que el 
18% de los fabricados por A son defectuosos y el 
8% de los fabricados por B también son 
defectuosos ¿Cuántos artículos no defectuosos 
hay en los 500 productos?
A) 420 B) 430 C) 425 D) 415 E) 405
4. El precio de un artículo ha quedado en S/.126 al 
final del año pasado, luego de haber realizado 
dos aumentos sucesivos del 12% y 25% y una
disminución del 10% ¿Qué precio tenía al inicio? 
A) S/.90 B) 100 C) 110 D)120 E) 122
5. Cierto alumno después de rendir un examen, 
observa que: lo que respondió es 50% más de lo 
que no respondió y lo que fallo es 50% menos de 
lo que no falló. Si todas las preguntas tienen igual 
valor y por lo que no responde tiene una 
bonificación de 20% del valor de la pregunta y 
por los errores recibe un castigo del 10% del valor 
de la pregunta ¿Cuál es su nota en la escala 
vigesimal? 
A)11,4 B) 10,8 C) 10,3 D) 9,2 E) 8,4g
6. Si durante el secado las dimensiones de un 
ladrillo varían en 2,0%, 1,0%, 1,5%. ¿En qué 
porcentaje varía el volumen? 
A) 3,50% B) 3,82% C) 3,96%
D) 4,44% E) 4,75%
7. Liliana le dice a su hermano Jaimito: “Tu dinero y el
mío suman S/.1125, pero si tuvieras 30% menos,
tendrías lo mismo que yo si tuviera 20% menos de
lo que tengo” ¿Cuál es la diferencia entre lo que
tiene cada uno? 
A) 25 B)75 C)80 D)85 E)525 
8. Al comprar un producto se obtiene un descuento 
del 20% del precio de lista. Si se desea vender a 
un precio que permita ganar un 5% del precio de 
lista, de tal forma que se pueda ofertar 2 
descuentos sucesivos del 40% y 30%. ¿Qué 
porcentaje del precio de lista es el precio de venta 
inicial?
A) 175% B) 185% C) 200%
D) 202,38% E) 203%
9. Una mezcla contiene 15, 16 y 24 litros de alcohol, 
vino y agua respectivamente. Si 22 litros de mezcla 
se reemplaza por agua. ¿Qué tanto por ciento del 
volumen total inicial es el volumen del alcohol final? 
A) 16,36% B) 14,83% C) 23,45%
D) 13,26% E) 26,83%
10. El precio de costo de un producto es S/. 25 00 que 
precio se fijó para su venta al público, sabiendo que 
al venderlo haciendo 2 descuentos sucesivos del 
15% y 20%, todavía
se está ganando el 44% del 
20% del precio de costo. Dar como respuesta la 
suma de las cifras. 
A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8
11. Lo que gana y gasta diariamente una persona está
en la relación de 11 a 5. Si diariamente ahorra 300 
soles ¿En qué porcentaje debe disminuir sus gastos
para que su ahorro aumente en 15%? 
A) 9 B) 10 C) 12 D) 15 E) 18
12. Un comerciante compra mercadería a una fabrica 
donde le hacen el 25% de descuento sobre el 
precio de lista, luego para venderlo quiere fijar un 
precio de tal manera que haciendo 2 descuentos
PROBLEMAS PROPUESTOS 
Pierde: S/. 40 
91 
sucesivos del 25% y 20% sobre el precio fijado, 
aún gana el 60% de su inversión ¿Qué porcentaje 
del precio de lista debe fijar para su mercadería? 
A) 100% B) 150% C) 110%
D) 200% E) 220%
13. Para fijar el precio de venta de un producto se 
incrementa en 60% su costo, pero al momento
de venderlo se hizo una rebaja del 20% 
observándose que si se hubiera hecho sobre el 
incremento estaría ganando 100 dólares más 
¿En cuánto de vendió el artículo? 
A) 630 B) 640 C) 650 D) 660 E) 670
14. En un colegio nacional se matricularon 7500 
estudiantes. Si el 87% de las mujeres y el 12% 
de los hombres se retiran, el 12% de los que 
quedan serían mujeres ¿Cuántos varones se 
han retirado? 
A) 465 B) 468 C) 469 D) 472 E) 485
15. Se tiene la misma cantidad de limones de dos 
clases distintas una de 2 por un sol y las otras de 
3 por un sol. Si se juntan y venden a 5 por 2 
soles ¿Qué porcentaje se pierde o se gana? 
A) 4% (P) B) 4% (G) C) 1% (P)
D) 1% (G) E) No se gana ni se pierde
16. Un banco presta S/. X. Por los primeros S/. 2500 
soles se paga el 24% por los S/. 2500 siguientes 
20% anual, por los S/. 10000 siguientes 18% 
anual y por los S/.2000 siguientes 16% anual. 
Si por un año paga S/. 2500 de interés. 
Halle X 
A) S/. 12000 B) S/. 12200 C) S/. 12777,7 
D) S/. 10500 E) S/. 15000
17. El m % del n % de una cantidad es su 
10% y el n % de 1000 excede en 300 a su m %. 
Halle el m % de (n+ 450) 
A) 50 B) 100 C) 150 D) 250 E) 450
18. Si se gastara el 30% del dinero que tengo y
ganara el 28% de lo que me quedaría, perdería 
S/. 156 ¿Cuánto tengo? 
A)1200 B)1500 C)1800 D)4800 E) 7200
 19. El profesor Bejarano que tiene 70 años exactos 
ha fumado desde sus 20 años exactos dos 
cajetillas diarias de 20 cigarrillos cada una. La 
longitud útil de un cigarrillo es 8cm, de los 
cuales desecha sólo el 12,5%. ¿Cuál es la 
longitud total de cigarrillo que ha fumado y 
cuanto dinero gastó si una cajetilla cuesta 1 
dólar. Considere año común de 365 días, años 
bisiestos de 366 días y el máximo número de 
estos. 
A) 51,14 Km; $36 526 B) 48,12 Km; $38 000
C) 30 Km; $50 000 D) 42 Km; $27 0000
E) 11 Km; $17 000
20. En una universidad se decide rebajar las
pensiones de enseñanza de los estudiantes de 
menores recursos económicos en un 20% y 
aumentar un 30% al resto. Si el monto total de 
pensiones queda disminuido en un 10% con esta 
política. ¿Qué porcentaje de la pensión total 
representa la pensión pagada por los estudiantes 
de menores recursos económicos? 
A) 71,11% B) 72,12% C) 74,13%
D) 70% E) 79%
21. Del total de artículos que tiene un comerciante 
para la venta el 20% de ellos los vende ganando el 
20%, otros 30% los vende ganando el 30%, otros 
40% los vende ganando el 10%. ¿Cuál fue su 
porcentaje de ganancia en la venta de los artículos 
restantes, si al final obtuvo una ganancia total del 
21%? 
A) 40% B) 30% C) 23,33%
D) 43% E) 45%
22. La farmacia A vende sus productos 
ofreciendo dos descuentos sucesivos del 25% 
y 20% del precio de costo. Mientras que la 
farmacia B vende otorgando 2 descuentos 
sucesivos del 30% y 30%, pero considerando 
estos porcentajes con respecto al precio de vena. 
¿Cuál de las farmacias ofrece una mayor rebaja el 
cliente? 
A) A B) B C) Absurdo
D) Igual rebaja E) N.A
23. Dos recipientes A y B contienen vino. El recipiente
A está lleno en su mitad. El B en un tercio de su 
volumen. Se completan las capacidades de A y B
con agua, vertiéndose las mezclas en un tercer
recipiente C. Sabiendo que la capacidad de B es le
doble que la de A, determinar el % de vino que 
contiene la mezcla en C. 
A) 36 B) 54 C) 39 D) 51 E) 64
24. El presidente de un Club de Basketball observa que 
por partido, en promedio, un tercio de las entradas 
92 
 
 
se quedan sin vender, pero afirma que todas las 
entradas se vendería, si se rebajase en un 30% el 
precio de la entrada. Suponiendo correctas las 
hipótesis del presidente del club. ¿Qué sucederá? 
A. La recaudación será la misma 
B. La recaudación aumentara 
C. La recaudación disminuirá 
D. Faltan más hipótesis 
E. No tiene sentido este problema 
 
25. Un arquitecto ha previsto un recubrimiento de 
locetas circulares para una cierta pared. Si todas 
las locetas son iguales, ¿Cuál es el máximo 
porcentaje de área de la pared que puede ser 
cubierto con dichas locetas? 
A) 78,5% B) 91% C) 75% 
D) 50% E) 800 por mil 
 
26. Si la base de un rectángulo aumenta en 10% y 
el área no varía es porque la altura disminuye en: 
A) 9% B) 10% C) 11% 
D) 11 1/9% E) 9 1/11% 
 
27. La cantidad de onzas de agua que se necesitan 
para rebajar al 30% el contenido de alcohol de 
un frasco de loción de afeitar de 9 onzas, que 
contiene 50% de alcohol, es: 
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 
 
28. Una persona pregunta en una tienda que 
descuento le pueden hacer sobre el precio de un 
repuesto, le responde que el 20%; va a otra 
tienda y compra el mismo repuesto con un 
descuento del 25%; ahorrándose así S/. 35.00. 
¿Cuánto costaba el repuesto? 
 A) 800 B) 650 C) 400 D) 750 E) 700 
 
29. Para la construcción de una edificio se 
compraron ladrillos a S/. 1 200 el millar. Se 
inutilizaron por diversas causas 3 600 ladrillos 
equivalentes al 0,1% del total comprado. 
¿Cuánto se invirtió en la compra? 
A) S/. 4 800 000 B) S/. 4 320 000 
C) S/. 4 300 000 D) S/. 4 080 000 
E) S/. 4 000 000 
 
30. Un fabricante reduce en 4% el precio de los 
artículos que fabrica, para que aumente en 8% la 
cifra total de sus ingresos, sus ventas tendrán 
que aumentar en: 
 A)4% B)12,5% C)16% 
 D)10,5% E)10% 
 
31. Se estima que una mezcladora de concreto sufre 
una depreciación de 10% por cada año de uso, 
respecto al precio que tuvo al comenzar cada 
año. Si al cabo de 4 años su precio es de S/. 
131 200; entonces el costo original de la mezcla 
fue de: 
A) S/. 300 000 B) S/. 200 000 C) S/. 150 000 
D) S/. 250 000 E) S/. 170 000 
 
32. Un tejido al ser lavado pierde 2/13 de su anchura y 
0,5 por 5 de su longitud, quedando 99 metros 
cuadrados. Se desea saber qué tanto por ciento del 
área original representa el área final del tejido si 
antes de ser lavado tiene 2,6 metros de anchura. 
A) 90,00% B) 76,15% C) 76,51% 
D) 74,15% E) 80,00% 
 
33. Un boxeador decide retirarse cuando tenga un 
90% de triunfos en su carrera. Si ha boxeado 100 
veces, obteniendo 85 triunfos. ¿Cuál es el número 
mínimo de peleas adicionales necesarias para que 
el boxeador se pueda retirar? 
A) 5 B) 25 C) 50 D) 75 E) 10 
 
34. A le encarga a B vender un objeto y B le encarga a 
su vez a C, quien logra la venta en 20 000 soles. C 
entrega a B una cantidad, quedándose con un 
porcentaje (comisión) del valor de la venta. A su 
vez B retiene un porcentaje (comisión) de lo que 
le entregó C. ¿Cuánto le correspondió a C y a B? 
Este ultimo le entrego a A S/. 17 100 y el 
porcentaje de la comisión de C fue
el doble que la 
de B. 
A) a C le correspondió S/. 2000 y a B s/ 900 
B) a C le correspondió S/. 1900 y a B s/ 100 
C) a C le correspondió S/. 2100 y a B s/ 800 
D) a C le correspondió S/. 2200 y a B s/ 700 
E) a C le correspondió S/. 1800 y a B s/ 1100 
 
35. En una universidad particular, el departamento de 
Servicio Social, decide rebajar las pensiones de 
enseñanza a los estudiantes de menores recursos 
económicos en un 20% y aumenta un 30% al resto. 
Si el monto total de las pensiones queda 
disminuido en un 10% con esta política. ¿Qué 
porcentaje de la pensión total representa la pensión 
pagada por los estudiantes de menores recursos 
económicos? 
A)50% B)82% C)79% D)80% E) 85% 
 
36. Un litro se vende recargándose el r por 100 del 
precio de costo, pero un estudiante al comprarlo le 
rebajaron el p por 100. Si el vendedor no ganó ni 
perdió. ¿Cuánto rebajaron al estudiante? 
93 
 
 
A) 100/(100 + r) B) r/(100 + r) 
C) (r + 100)/ 100 r D) (100 + r) / r 
E) 1(0,01+ 1/r) 
 
37. Un comerciante compra al contado un articulo 
con un descuento del 20% del precio de lista. 
¿Qué porcentaje del precio fijado en lista 
representa el precio de venta del comerciante si 
él debe ganar el 20% del precio de compra? 
A) 95% B 85% C) 80% D) 96% E) 94% 
 
38. El ingreso promedio del sector obrero en una 
empresa es de 300 000 mensuales. En el mes 
en curso hay un incremento de haberes del 10% 
del haber anterior más bonificación general de 
60 000 soles, pero se decreta un descuento del 
5% del haber actualizado, profundos de 
reconstrucción. El promedio actual es: 
A) 366 000 B) 360 00 C) 373 000 
D) 370 500 E) 313 500 
 
39. Al inicio de 1985 una población tiene 10 000 
habitantes, el consumo de agua por persona y 
por hora es de 10 litros. La población crece a un 
ritmo de 20% anual. Determinar el lado de la 
base cuadrada de un reservorio de 4m de altura 
capaz de satisfacer la demanda diaria de la 
población al inicio de 1989. 
 A) 7 B) 8 C) 25 D) 35 E) 36 
 
40. Un mayorista vende un producto ganando el 
20% del precio de fábrica. Un distribuidor 
reparte estos productos a las tiendas de 
comercio ganando una comisión del 15% del 
precio al por mayor. La tienda remata el artículo 
haciendo un descuento del 10% del precio de 
compra (del distribuidor). ¿En qué porcentaje se 
eleva el precio de fábrica del producto? 
A) 20,8 B) 24,2 C)23,4 D)25 E) 24,8 
 
41. En una tienda se exhiben los vestidos con un 
precio “marcado” y un aviso “con la tarjera más-
más rebajamos la tercera parte”. 
El costo de los vestidos es los 3/4 del precio de 
venta con tarjeta, entonces la razón entre el 
precio de costo y el precio “marcado” es: 
A) 1/2 B) 1/3 C) 1/4 D) 2/3 E) ¾ 
 
42. El precio de un artículo es de 15 soles en una 
fábrica. Un comerciante adquiere 5 de tales 
artículos por los que le hacen el 20% de 
descuento. Luego los vende obteniendo por ellos 
80 soles. ¿Qué porcentaje del precio de venta 
de cada articulo esta ganando? 
A) 22% B) 24% C) 20% D) 33,33% E) 25% 
 
43. Un articulo tiene un precio costo de S/. 3 300, 00. 
¿Cuál será el precio que debe señalar para que al 
venderlo con un descuento del 20% se obtenga 
una utilidad del 25% sobre el precio de venta? 
 A) 5 500 B) 5 600 C) 6 000 
D) 5 800 E) 7 500 
 
44. En una sala de emergencia registramos el 40% de 
personas enfermas por afección bronquial, y el 
60% de personas enfermas por accidente. De los 
que padecen afección bronquial el 10% están 
graves y de los accidentados el 5% están graves. 
¿Qué porcentaje de personas están en la 
condición de graves? 
 A) 15% B) 12% C) 17% D) 7% E) 10% 
 
45. Una grabadora al venderse se le descuenta el 
10%, luego se le recarga el 10% pero se le vuelve 
a descontar al 10% vendiéndose en S/. 891. ¿Cuál 
es el precio original? 
A) 1 400 B) 1 300 C) 1 200 
D) 1 100 E) 1 000 
 
46. Un comerciante compra mercaderías con un 
descuento del 25% del precio de lista. Desea 
ponerles un precio de tal manera que pueda dar un 
descuento del 20% del precio fijado y obtener una 
ganancia del 25% sobre en precio de venta. ¿Qué 
porcentaje del precio de lista debe fijar para sus 
mercaderías? 
 A) 125% B) 130% C) 135% 
D) 140% E) 145% 
 
47. Una persona compra un cuadro y lo revende 
después ganando el 8% pero si lo hubiese 
comprado un 5% más barato y lo hubiera vendido 
por 6 soles más, la ganancia habría sido del 15%. 
¿Cuál es el precio de la compra? 
A) 200 B) 250 C) 500 D) 300 E) 280 
 
48. Un mayorista vende un producto ganando el 20% 
del precio de fábrica. Un distribuidor reparte estos 
productos a las tiendas de comercio, ganando una 
comisión del 5% del precio al por mayor; la tienda 
remata el articulo haciendo un descuento del 10% 
del precio al que compra el distribuidor. ¿En qué 
porcentaje se eleva el precio de fábrica del 
producto? 
94 
 
 
A) 20,8% B) 26% C) 24,8% 
D) 23,4% E) 24,8% 
 
49. El ingreso promedio del sector obrero en una 
compañía es de 300 soles mensuales. En el mes 
en curso hay un incremento de haberes del 10% 
del haber anterior más una bonificación general 
de 60 soles, pero se decreta un descuento del 
5% del haber actualizado, pro fondos de seguro 
de vida. El ingreso promedio actual en soles es: 
A) 306 B) 370,5 C) 313,5 
D) 360 E) 375 
 
50. Una tela al lavarse se encoge el 10% en el 
ancho y el 20% en el largo. Si se sabe que la tela 
tiene 2m de ancho. ¿Qué longitud debe 
comprarse si se necesita 36m2 de tela después 
de lavado? 
A) 21m B) 22m C) 23m 
D) 24m E) 25m 
 
51. En una fiesta de jóvenes, 60% de los asistentes 
son hombres y el resto mujeres. Luego llegan 40 
muchachos cada uno con dos chicas y, de esta 
manera todos están en pareja. ¿Cuántas mujeres 
habían inicialmente? 
A) 20 B) 40 C) 80 D) 120 E) 60 
 
52. En una ciudad el 56% de la población bebe, el 
32% de la población fuma y el 25% de los que 
fuman beben. Si hay 1 800 personas que no 
fuman ni beben. ¿Cuál es la población de dicha 
ciudad? 
A) 18 000 B) 3 200 C) 9 000 
D) 12 000 E) 5 600 
 
 53. Un comerciante compra mercaderías a una 
fábrica donde le hacen el 25% de descuento 
sobre el precio de lista. Quiere ponerles luego un 
precio de tal manera que haciendo dos 
descuentos sucesivos del 25% y el 20% sobre el 
precio fijado, aún gane el 60% de su inversión. 
¿Qué porcentaje del precio de lista debe fijar 
para sus mercaderías? 
A) 160% B) 150% C) 175% 
D) 180% E) 200% 
54. Un televisor se vende ganando el 40% del precio 
de costo, si se hubiese rebajado el 10% del precio 
de venta se ganaría sólo S/. 520. Hallar el precio 
de costo del televisor. 
 A)1 800 B) 2 000 C) 2 100 
D) 2 120 E) 2 150 
 
55. Una persona realiza una venta ganando el 24% al 
vender 3/5 de su mercadería y al vender el resto 
perdió el 25% de su costo. Si recaudo como venta 
total S/. 626 400. ¿Cuánto obtuvo de ganancia en 
la primera venta? 
A) 85 400 B) 85 600 C) 86 200 
D) 86 400 E) 86 600 
 
56. Se tiene vino de dos diferentes calidades de 
precios, de 20 soles y 15 soles el litro. Se mezcla 
obteniendo 200
litros de vino como para vender a 
20,8 el litro de la mezcla ganando así el 50% del 
60% del precio de costo. ¿Cuántos litros de vino de 
la mejor calidad entró en la mezcla? 
 A) 30 B) 40 C) 50 D) 60 E) 70 
 
57. Si el dinero que tiene A es un quinto del 30% del 
40% del 15% de lo que tiene B y éste a su vez 
tiene el 25% del 14% de la cuarta parte de lo que 
tiene C. Hallar el dinero que tiene A, si C tiene el 
40% de S/. 2 000 000. 
A) 50, 00 B) 42, 70 C) 32, 80 
D) 15, 00 E) 25, 20 
 
58. Se tiene una piscina circular. Si se incrementa su 
altura en un 60%, hallar que porcentaje hay que 
aumentar el radio de la piscina para que su 
volumen aumente en un 150%. 
 A) 50% B) 94% C) 18% 
 D) 25% E) 6,75% 
 
59. Por el tostado pierde el café un 20% de su peso. 
Un especiero que vende el kilogramo de café 
tostado a S/. 23 gana el 15% de su precio de 
compra. ¿A cómo compró el kilogramo de café 
verde? 
A) 14 B) 16 C) 19 D) 15 E) 18 
 
60. Un litro de alcohol de 62,5º pesa 980g. ¿Cuánto 
pesará un litro de 45º, si se sabe que 1 litro de 
agua pesa 1Kg? 
A) 986,5g B) 981,9g C) 985,6g 
D) 987,7g E) 990,2g 
 
95 
En este capítulo estudiaremos problemas relacionados 
con: 
 Tiempos transcurridos y no transcurridos. 
 Campanadas 
 Adelantos y recorridos 
 Relación: ángulo y horario 
OBSERVACIONES 
1. Tiempo transcurrido Tiempo no transcurrido 
T N
00h
1 día = 24 h
24 h
Tiempo transcurridoTiempo transcurrido
 T + N = 24 h
2. Campanadas:
n + 1n4321
I I I I..
campanadas
intervalos
Se cumple que: 
Se observa de la figura que “I” es el intervalo de tiempos que hoy entre una y otra campanada. 
3. Adelanto y Retrasos
Surgen como una consecuencia del funcionamiento de aquellos relojes defectuosos (malogrados) 
sufriendo adelantos o retrasos respecto a la hora señalada por un reloj de funcionamiento normal.
Hora real
atraso adelanto
Hora indicada por
un reloj
adelantado
Hora indicada
por un reloj
atrasado
 Hora marcada = hora real + adelanto 
 Hora marcada = hora real – atraso 
# campanadas = # intervalos + 1 
RELOJES CALENDARIOS
96 
 
1. Ya pasaron las 3 sin ser las 4 de esta tarde. Si 
hubieran pasado 25  más, faltarían para las
5:00 pm los mismos minutos que pasaron 
desde las 3:00 pm hasta hace 15 . ¿Qué hora 
es? 
Resolución: 
15'
25'
3
H 4
5
falta
2h <> 120 min
Luego: H = 3 pm + 55’ 

2. Si el duplo de las horas transcurridas en un día 
es igual al cuadruplo de las que faltan para 
terminar ese día ¿Qué hora será dentro de 4 
horas 
Resolución 
Dato * 2T = 4F 
T = 2F ….. (I) 
Se sabe * T + F = 24 ……(2) 
(i) en (2 ): 2F + F = 24 
 3F = 24  F = 8 
 T = 16 H < > 
3. ¿Qué día del año marcará la hoja de un 
almanaque, cuando el número de hojas
arrancadas excede en dos a los
8
3
 del número 
de hojas que quedan?
Resolución 





x365asnoarrancadhojas#
xarrancadashojas#
del enunciado: 
x)(365
8
3
2x  
Al resolver: x = 101 
Se han arrancado 101 hojas, la que sigue es la 
102 que indica la fecha: 
 31 + 28 + 31 + 11 = 101 
la fecha será: 
4. Preguntando Salvador por la fecha de su 
graduación, éste contestó, la ceremonia se realizó 
en 1950 cuando la mitad del tiempo transcurrido de 
aquel año era igual a la cuarta parte de lo que 
faltaba por transcurrir. La ceremonia tuvo lugar en 
el: 
Resolución 
Sea: x = # días transcurridos 
365 – x = días que faltan 
Del enunciado se plantea: 
4
x365
2
x 

Al resolver: x = 121
3
2
 días 
X = 121 días 16 horas 
 31 + 28 + 31 + 30 + 1 = 121 
Cumple el: 
NOTA: 1950 no es año bisiesto  365 días 
5. En 1988, antes del mediodía, Timo se dio 
cuenta que las horas transcurridas del año excedían 
en 500 horas a las horas que faltaban transcurrir. 
Indicar la fecha y la hora en que Timo hizo dicha 
observación. 
Resolución: 
Año 1988 (año bisiesto)  366 días
1 año < > 366. (24 h)
x x - 500
 Transcurridas Faltan 
De donde: x + (x - 500) = 366.(24 h) 
Se obtiene : x = 4624 
x = 193 días 10 horas 
Esto se cumple: el 
H = 3:55 pm 
4:00 
12 de abril 
2 de mayo a las 4 pm 
12 de Junio a las 10am 
PROBLEMAS resueltos 
97 
6. Un reloj de campanadas, se demora 1 segundo 
en dar a las 3 horas. ¿Cuánto tardará en dar
las 5 horas? 
Resolución:
1 segundo
1º 2º 3º
s
2
1
s
2
1
Del enunciado
Luego para dar las 5 horas: 
1º 2º 3º 4º 5º
s
2
1
s
2
1
s
2
1
s
2
1
En total: 4 





2
1
7. Se le pregunta a Tito ¿Qué hora es? A la cual 
respondió: “ya pasaron las 11 y faltan poco para 
las 12”. Además dentro de 13 minutos faltará 
para las 13 la misma cantidad de minutos que 
habían pasado desde las 11 hace 7 minutos. 
¿Qué hora es? 
Resolución: 
x' 13'
120' - (x + 13)’
(x-7)
7'
11h
2h <>120'
Han pasado “x” minutos a partir de las 11. 
Dentro de 13’ faltarán para cumplir las 11 horas: 
120’ – (x + 13)’ hace 7 minutos han pasado (x - 
7)’ a partir de las 11. Se tiene que : x – 7 = 120 
– (x + 13) 
De donde: x = 57’ 
La hora es: 11 h 57’ 
8. Siendo las 2:00 pm; se ponen a la hora dos 
relojes A y B. El primero se adelanta 7 minutos 
cada hora y B se atrasa 8 minutos cada hora. A 
las 10 de la noche del mismo día. ¿cuánto 
tiempo estará adelantado A respecto a B? 
Resolución: 
A en 1 h se adelanta 7 min y B se atrasa en 8 
min, entonces en 1 h habrá una diferencia de 7 
+ 8 = 15 min entre ambos. De las 2 pm a 10 pm
han pasado 8 h. 
Luego: En 1h  
diferenciala
15 min. 
 8  x 
De donde: x = 120 min < > 2 h 
Entonces A estará adelantado respecto a B en: 
9. ¿Cuál es el menor del ángulo que forman las 
manecillas de un reloj a las 7:24 am? 
Resolución: 
12
11
10
9
8
7 6 5
4
3
2
1
α
H = 7, m = 24, ?α 
Como:
 30 H - m
2
11
α
α 30 (7) -
2
11
(24)
10. ¿Cuál es el menor ángulo que forman las
manecillas de un reloj a las 2h 24 ?
Resolución: 
12
11
10
9
8
7 6 5
4
3
2
1
α
H = 2, m = 24, ?α 
Como:
2
11
α (24) - 30 (2)
11. ¿Qué ángulo forman las manecillas de un reloj 
a las 11h 18  ?
Resolución: 
El horario adelanta al minutero 
2 horas 
2 s. 
α = 78º 
α = 72º 
12
11
10
9
8
7 6 5
4
3
2
1
α



201360
:omocalculase
ángulomenorelEn
201º
(18)
2
11
(10)30
α
α
159º
12. ¿Cuál es el menor ángulo que forman las
manecillas de un reloj a las 7 h 30 min? 
Resolución: 
12
11
10
9
8
7 6 5
4
3
2
1
α
120º-165º
(4)30-(30)
2
11


α
α
45ºα
13. El ángulo que forman las manecillas de un
reloj entre l as 2 y las 3 es 50º. ¿Qué hora es? 
Resolución: 
Como: a = 
2
11
 m – 30H 
Luego: 50º = 
2
11
 m – 30 (2) 
110 = 
2
11
 m  m = 20
  
14. ¿A qué horas entre las 4 y 5 las manecillas
de un reloj, forman un ángulo llano? 
Resolución: 
H = 4, m = 180, α = 180º 
Como: a = 
2
11
 m – 30 H 
 180º = 
2
11
 m – 30(4) 
De donde: m =
11
600
 < > 54’ 32 
11
'8'
Luego: 
15. ¿Cuántos minutos después de las 8 el
horario adelanta al minutero 18 divisiones de 
cerco menor? 
Resolución: 
Vamos a llevar 18 divisiones de cerco menor? 
18 divisiones. 108º
división1
6º









 
Si son las 8 h con x’ se cumple que: 
108º = - 
2
11
 m + 30 (8) 
De donde: 
16. Faltan transcurrir del día tanto como la tercera
parte del tiempo que transcurrió hasta 4 horas 
¿Qué hora es? 
Resolución: 





x24rtranscurriFalta
xdoTranscurri
Del enunciado: 24 – x = 
3
1
(x - 4) 
De donde: x = 19 horas 
  
17. ¿A qué hora después de las 2 el minutero adelanta 
al horario tanto como el horario adelantado a las 
12? 
Resolución: 
Se cumple que: a = 90º Λ H = 1 
Además: a = 
2
11
 m – 30 H 
 90 = 
2
11
 m – 30 (1) 
De donde: m = 32 
11
8
 
2 h 20’ 
A las 4 con 54’ 32
11
'8'
m = 24’ 
7 pm 
2 Sen 32
11
8
 min 
18. Un padre al ser preguntado por la hora responde: 
“son las
5
3
 de las horas que faltan por transcurrir” 
¿Qué hora es?
Resolución:
Transcurrido = x
Falta = 24 – x
Dato: xx)(24
5
3

Al resolver: x = 9
 
19. Angelo confunde las agujas del reloj creyendo ver
las 7h 48 min. ¿Cuál era la hora en realidad? 
Resolución: 
Sea “x” el recorrido del horario 
12
11
10
9
8
7 6 5
4
3
2
1 1211
10
9
8
7 6 5
4
3
2
1
m
h m
h
 incorrecto correcto 
Como: 
12
1
m
H

4x
12
1
48
x

Cambiando las agujas del minutero ha recorrido: 
35 + x  35 + 4 = 39 min 
  
20. Un reloj se atrasa 5 minutos cada 45 minutos
si ahora marca las 4h 10 , y hace 6 horas que 
se atrasa la hora correcta es: 
Resolución: 
* Calculamos el atraso total:





 
40'x)(360'6h
min5min45:En 
atrasase
x = 40'x
45
5360.

* Como: Hora real = hora marcada + atraso total
Hora real = 4 h 10’ + 40’ 
 
1. Una campana toca 3 campanadas en 7 
segundos, ¿Cuántos segundos tardará en tocar 
7 campanadas?
A)7s B) 10s C) 14s D) 21s E) N.A
2. Dos campanas “A” y “B” empiezan tocando
simultáneamente y cada uno toca a intervalos
iguales, además “A” de 6 campanadas en 35 horas 
y “B” da 6 campanadas en 15 horas. ¿Cuántas
horas transcurren hasta que vuelvan a tocar 
simultáneamente
A)12 B) 21 C) 18 D) 36 E) 24
3. Un campanario señala las horas con igual número 
de campanadas. Si para indicar las 5:00 am
demora 8 segundos. ¿Cuántos demorará para
indicar las 12:00 m? 
A)15s B) 22s C) 43s D) 16s E) N.A
4. La campana de un campanario tarda 5 segundos en 
tocar 3 campanadas. ¿Cuántas campanadas 
tocará en un tiempo de 25 segundos? 
A)3 B) 8 C) 11 D)18 E) N.A
5. Un reloj marca las horas con igual número de
campanadas y las medias horas con una 
campanada. ¿Cuántas campanadas habrá dado
en total en un día? 
A)45 B)90 C)130 D)180 E)N.A 
6. El campanario de una iglesia estuvo tocando
durante 38 seg. Si se escuchan tantas 
campanadas como 10 veces el tiempo que hay 
entre campanada y campanada. ¿Cuánto tiempo 
9 am 
9 h 39 min 
Hora real = 4 h 50’ 
PROBLEMAS PROPUESTOS 
empleará este campanario para tocar 7 
campanadas? 
A)12s B) 18s C) 24s D) 30s E) N.A
7. Si fueran 3 horas más tarde de lo que es, faltaría
para acabar el día 5/7 de lo que faltaría si es que
fuera 3 horas más temprano. ¿Qué hora es? 
A)3 a.m. B)4 a.m. C)5 a.m. D)6 a.m. E) N.A 
8. ¿Qué hora es? Para saberlo, basta con sumar la 
mitad del tiempo que falta para las doce del 
mediodía y los 2/3 del tiempo transcurrido desde 
las doce de la noche? 
A)6h:30min B)6h:48min C)7h:12min
D)8h:28min E) N.A
9. ¿Cuál es la relación de la fracción transcurrida
de la semana a la fracción transcurrida del día 
cuando son las 6 a.m. del miércoles? 
A) 8/7 B) 1/7 C) 6/7 D) 9/7 E) 3/5
10. ¿Qué hora será dentro de
4
1
5 h, sabiendo 
que en estos momentos el tiempo transcurrido 
es excedido en 5h por los que faltan transcurrir 
del día? 
A)2:45 p.m. B)3:10 p.m. C )4:20 p.m. 
D)6:30 p.m. E) N.A
11. Son más de las seis sin ser las ocho de esta 
mañana y hace diez minutos los minutos que 
habían transcurrido desde las 6 eran iguales a 
1/9 del tiempo que faltarían transcurrir hasta las 
ocho dentro de diez minutos. ¿Qué hora es?
A) 3,8h B) 6,3h C) 7,8h D) 8,6h E) N.A
12. A las 9:00 a.m. del día lunes empieza a 
adelantarse 1/3 minutos por hora. ¿Qué hora 
marcará la próxima semana, el mismo día y la 
misma hora? 
A) 9h : 56min. B) 9h : 40min.
C) 9h : 30min. D) 9h : 22min.
E) N.A
13. Un reloj marca la hora exacta un día a las 6 
p.m. si a partir de dicha hora se adelanta 3’ 
cada 12 horas. ¿Cuánto tiempo pasará para 
que marque la hora correcta nuevamente? 
A) 15 días B) 30 días C) 90 días
D) 120 días E) N.A.
14. Un reloj se atrasa un minuto por hora. Si
empieza correctamente a las 12 del día 
miércoles 13 de Octubre. ¿Cuándo volverá a 
señalar la hora correcta? 
A) 28 de Octubre B) 30 de Octubre
C) 8 de Noviembre D) 12 de Noviembre
E) N.A
15. Calcular la medida del ángulo convexo que forman
las agujas de un reloj a las 12 horas con 30 
minutos. 
A) 30º B) 56º C) 127º D) 165º E) N.A
16. ¿A qué hora entre las 2 y las 3 la aguja de un reloj 
se superponen? 
A) min.
11
10
10h 





2 B) min.
11
21
102h 





C) min.
11
7
202h 





 D) min.
17
3
302h 





E) N.A
17. Dos relojes malogrados están marcando la hora
exacta. Uno de ellos adelanta 2’ cada 2 horas y el 
otro se atrasa 4’ cada 2 horas. ¿Cuánto tiempo 
transcurrirá necesariamente para que ambos relojes 
vuelvan a marcar la hora exacta a la vez. 
A) 120 días B) 160 días C) 150 días
D) 180 días E) 155 días
18. Calcular el nº de campanadas que da un reloj 
desde un minuto después del medio día hasta las 
12 de la noche, inclusive, si cada hora la señala con 
el nº de campanadas correspondientes, las medias 
horas con 1 campanada y los cuartos de hora con 1 
campanada. 
A. 170 días B) 102 días C) 120 días
D) 140 días E) 110 días
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