REPASO UNI 2016 CESAR VALLEJO parte1

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S
h
e
r
a
t
o
n
 
M
o
o
n
 
H
o
t
e
l
UNIUNI
RepasoRepaso
2016
• Aptitud Académica
• Matemática
• Ciencias Naturales
• Humanidades
Álgebra
 
2
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NIVEL BÁSICO
1. Determine
 
M
i i i
=
+




 +
+




 −
+





1 3
4
1
2
3
4
12 12 12
A) 0 B) −
1
24
 C) 
1
23
D) 
1
26
 E) −
1
26
2. Si Z ∈ C, tal que
 
Z
i i
i i
=
+( ) −
+( ) +
2 3 1
5 2 2 1
3 5
2 5
 entonces el |Z| es
A) 
13
13
 B) 1 C) 13
D) 135 E) 5
3. Si a ≠ b; a ≠ – b, determine el conjunto solución 
de la ecuación cuya variable es x.
 
x a
a b
x a
a b
x b
a b
x b
a b
+
−
+
−
+
=
+
+
+
−( )
−
2
A) {2b} B) {3a} C) {2a}
D) {3b} E) {4a}
4. Determine el valor de m para que la suma de 
los cuadrados de las raíces de la ecuación
 x2+(m – 2)x – (m+3)=0
 sea la mínima posible.
A) – 2 B) –1 C) 0
D) 1 E) 2
Números complejos y Ecuaciones
5. Luego de resolver la ecuación fraccionaria
 
1
1
2
1
1
2x x x−
+
+
=
 se obtiene como CS={x1; x2}.
 Determine E x xx x= − −2 11 1.
A) 2 B) 1 C) 0
D) i E) – i
NIVEL INTERMEDIO
6. Si z1 y z2 son dos números complejos
 
z i1 4
25
180
25
180
= −



cos sen
π π
 
z i2 2
7
18
7
18
= −



sen cos
π π
 halle el complejo 
z
z
1
2
.
A) – 2(1+i) B) 2 1−( )i C) − +( )2 1 i
D) – 2(1– i) E) 
2
2
1+( )i
7. Si z1 y z2 son números complejos, determine 
las proposiciones verdaderas (V) o falsas (F).
 I. Si |z1|=|z2|, entonces z1=z2.
 II. Si z1=z1, entonces z1 es un complejo real.
 III. Si z1 · z2 es real, entonces z1 y z2 son 
complejos reales.
A) VVF 
B) FVF 
C) VVV
D) FVV 
E) FFV
Álgebra
 
3
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8. Sea el conjunto
 
M z z z z= ∈ −( ) −( ) = ∧ < <{ }C / arg( )5 5 25 0 2π
 Si z ∈ M, simplifique
 
M
z z z z
z
=
( ) + −( ) + −( )
−





arg arg arg
arg
5 5
1
5
A) 2 B) 3 C) 4
D) 5 E) 6
9. Si z=a+bi; a<0, b>0 es una raíz de la ecuación 
compleja
 z4 – iz3 – z+i13=0
 entonces el valor de 
b
a
 es
A) − 3 B) – 2 C) – 3
D) – 2 3 E) – 4
10. Si la ecuación cuadrática
 
ax bx
b
a
2
2
0+ − =
 presenta raíces x1, x2, determine
 E=(2ax1+b)
4+(2ax2+b)
4
A) 50a4 B) 504+2a2 C) 25b4
D) 100b2 E) 50b4
11. Si x1, x2, x3, x4 son raíces de la ecuación 
mx4+2014x2+n=0,
 tal que (x2 · x4)
–1+(x1· x3)
–1=2, x1=– x3; deter-
mine n.
A) 2013 B) 1006 C) 2012
D) 1007 E) 2014
12. Determine la variación de k si la ecuación 
x4+(1– k)x2+2(k – 3)=0 tiene solo 2 raíces reales.
A) 〈– ∞; 3〉
B) 〈– ∞; 6〉
C) 〈6; +∞〉
D) 〈1; 4〉
E) 〈3; +∞〉
13. Sea la gráfica del polinomio cuadrático mónico 
P(x).
 
Y
X2
1
P(x)
 Determine la suma de raíces reales de la si-
guiente ecuación.
 (x4 –1)[P(x) –10]=0
A) 4 B) 5 C) 3
D) 2 E) 6
14. Sea P(x) un polinomio cúbico y mónico cuya 
suma de raíces es 3 y la gráfica es de la forma
 
Y
X
4
P(x)
 Determine el resto de dividir 
P
x
x( )
− 5
.
A) 48 B) 62 C) 56
D) 54 E) 45
15. Sea la ecuación bicuadradada
 x4 – x2+a=0
 donde se cumple que
 
x x
x x
1
6
2
6
1
2
2
2
4
1 1
+ = − +





 donde x1, x2 son dos raíces no simétricas.
 Determine a, a ∉ Z.
A) 
2
3
 B) 
4
3
 C) 
1
3
D) 
5
3
 E) 
1
6
Álgebra
 
4
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16. Si la ecuación polinomial
 
x
x px q
3
2
3
2 0− + + =
 admite una raíz real de multiplicidad 3, deter-
mine E=p+q.
A) 
1
3
 B) 
2
3
 C) 
4
3
D) 
5
3
 E) 
7
3
17. Sean las ecuaciones bicuadradas
 x4 – 5x2+a=0
 x4 – 13x2+9a=0
 donde a ≠ 0. Si se sabe que estas ecuaciones 
tienen únicamente dos raíces comunes, deter-
mine el producto de las raíces no comunes de 
ambas ecuaciones.
A) 1 B) 4 C) 9
D) 12 E) 36
18. Determine la suma de soluciones en la ecua-
ción
 
x
x
x
x x−( ) ⋅
+
+ = −( )5
15
15 2
2
A) 6 B) 5 C) 4
D) 3 E) – 5
19. La siguiente ecuación se reduce a una lineal 
determine p+x0 donde x0 es solución
 
p x
x
px
x
p p
−( )
−
+
−
+
= + ∈
3
2
2 1
2
2 1; R
A) –12 B) –15 C) 11
D) – 8 E) – 9
20. Respecto a la ecuación
 16 44 − = + −x x xπ π
 indique verdadero (V) o falso (F).
 I. Hay al menos una solución negativa.
 II. Su conjunto solución es unitario.
 III. Hay dos soluciones opuestas.
A) VVF 
B) FVV 
C) FFF
D) VFV 
E) FVF
NIVEL AVANZADO
21. Sea z=x+yi un complejo no nulo, tal que 
 
Re( ) Imz z z
1 2 3
4
=
( )
=
( )lm
 Halle el arg ,z e
i
+


 

0 5 2
π
A) 
π
4
 B) 
3
4
π
 C) p
D) 
5
4
π
 E) 
7
5
π
22. Sea A un conjunto definido por
 A={z ∈ C/ |Re(z)|<1 ∧ |z| ≤ 4}
 Entonces la figura que mejor representa A es
A) Im
Re
 B) Im
Re
C) Im
Re
D) Im
Re
 E) Im
Re
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5
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23. Si z ∈ C, tal que z15=i, determine el valor de 
verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes pro-
posiciones.
 I. Tres raíces están en el segundo cuadrante.
 II. Si z1, z2, ..., z15 son las raíces, entonces 
z1+z2, ..., z15=0.
 III. Si z1, z2, ..., z15 son las raíces entonces 
|z1|+|z2|+...+|z15|=10.
A) VVV B) FVF C) VVF
D) FFF E) FVV
24. Sea P(x)=– 2x
3+ax2+bx+c, donde el producto 
de las raíces de P(x)=0 es igual a la suma de 
ellas. Determine E=a+b+c.
 
Y
X
3
3/2
P(x)
A) 3 B) 4 C) 5
D) 6 E) 7
25. Si la ecuación cuadrática
 (a – 3)x2+(a – 2)x+1=0
 presenta raíces enteras diferentes, determine 
la suma de cubos de sus raíces.
A) – 2 B) –10 C) 0
D) 10 E) 9
26. Sea f(x)=ax
2+(2a2+ab+ac)x+abc
 donde a; b; c ∈ R+.
 Determine el valor de verdad (V) o falsedad (F) 
de las siguientes proposiciones.
 I. Su gráfica tendrá la forma
 
Y
X
 II. Si f(x)=0, las soluciones son positivos.
 III. ∃ a; b; c ∈ R+ / f(x)=0 presenta solución única.
A) VVV
B) FVF
C) VFV
D) VFF
E) FFV
27. Sea la ecuación x4+ax3+2014x2+ax+1=0
 donde dos de sus raíces son a y b.
 Determine α
α
β
β
+




 +






1 1
.
A) 2012 B) 2014 C) 2010
D) 2016 E) 1
28. Determine el valor de a si las ecuaciones tienen 
una raíz común
 
x a x
x x a
3 2
2
1 4 0
4 2 0
− +( ) + =
− + =




A) 2 B) – 2 C) 6
D) – 6 E) 3
29. Determine la suma de soluciones luego de re-
solver
 2 4 8 3 23 − + + =x x
A) 
7
9
 B) 
9
4
 C) 
9
8
D) 
4
7
 E) 
13
32
30. Según la ecuación en x
 
1 1
2
1
4
0
x x x−
+
−
+
−
=
π π π
 indique verdadero (V) o falso (F).
 I. Es incompatible.
 II. Presenta una solución entre p y 2p.
 III. Hay una solución en 〈0; p〉
A) FFF
B) VFF
C) FVF
D) VVF
E) FFV
Álgebra
 
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NIVEL BÁSICO
1. Sean a; b; c y d números reales, entonces
 I. (a – b)(a+b)=0 ↔ |a|=|b|
 II. si a<b y c ≥ 0 ↔ ac < bc.
 III. si ab>0 ∧ 
c
a
d
b
bc da< → ≤ .
 ¿Cuáles de estas afirmaciones son correctas?
A) solo I B) I y II C) I y III
D) solo II E) solo III
2. Se define la expresión
 f(x; y)=xy – 2x+2y+9
 ∀x ∈ 〈–1; 3] y ∀y ∈ 〈– 2; 1〉
 Determine el mayor valor entero que puede 
tomar f.
A) 7 B) 8 C) 9
D) 10 E) 11
3. Dado el conjunto
 
S x y y
x x
x
x= ( ) = − +
−
>






; / ; 
2 1
1
1
 indique el valor de x que haga que y sea mínimo.
A) 
5
4
 B) 
3
2
 C) 2
D) 2 E) 2 2
4. Resuelva la inecuación lineal
 
ax b
b
bx a
a b a
+
−
+
< −
2 2 1 1
 considere b>a>0.
A) −∞
+
; 
1
a b
 B) 〈0; +∞〉 C) 〈a+b; +∞〉
D) 
1
a b+
+ ∞; E) 
1
a b
a b
+
+; 
5. Dado el trinomio P(x)=nx
2+(n –1)x+n, 
 si ∀x ∈ R: P(x) ≥ 0, calcule el menor valor de n.
A) 
1
3
 B) 
1
2
 C) 1
D) 
3
2
 E) 2
NIVEL INTERMEDIO
6. Si m<0<n, determine elconjunto solución de 
la inecuación cuadrática.
 mx2+m2x – mnx ≤ 0
A) [0; n – m]
B) [n – m; 0]
C) [m – n; 0]
D) 〈– ∞; 0] ∪ [n – m; +∞〉
E) 〈– ∞; m – n] ∪ [0; +∞〉
7. Determine el menor valor entero de a, tal que
 (a –1)x2+2x+2a > 0; ∀x ∈R
A) 5 
B) 4 
C) 1
D) 3 
E) 2
8. Resuelva la inecuación
 
x
x2
3
5
≤
−
A) 〈–1; 5〉
B) 〈6; +∞〉
C) [–1; 5〉 ∪ [6; +∞〉
D) 〈– ∞; 5〉 ∪ [6; +∞〉
E) 〈– ∞; –1] ∪ 〈5; 6]
Desigualdades e Inecuaciones
Álgebra
 
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9. Sean a; b ∈ R; b>0,
 tales que |x – a|<2b. Entonces los números
 
b
x a b
m n
− +
∈
3
; .
 Determine m+n.
A) 1 B) 5 C) 
6
5
D) 
5
6
 E) 
1
5
10. Si A es el conjunto solución de la inecuación 
||x|–1| ≤ 1–|x|, entonces determine A ∩ 〈0; 2〉.
A) 〈1; 2] 
B) [0; 1〉    
C) 〈0; 1]
D) 〈1; 2〉  
E) 〈1; 3〉
11. A es un conjunto determinado por
 A={x ∈ R / 3x – 2 < |x – 2|+x < |x|+1
 halle el conjunto A.
A) 〈– ∞; 3〉 ∪ 〈3; +∞〉
B) −∞ − ∪; ; 1 1
4
3
C) −∞ ∪ ∞; ; 1
4
3
D) −∞ ∪; ; 
4
3
2 3
E) 〈– ∞; –1〉 ∪ 〈1; 3〉
12. Si A es el conjunto solución de la inecuación
 
x x x
x x x
2
2
2 3 2
3 4 5
0
+ +( ) −( )
+ −( ) −
≤
 entonces el número de elementos enteros de 
A es
A) 1 B) 2 C) 4
D) 7 E) 3
13. Resuelva la inecuación
 4 5 1x x− > −
 e indique un intervalo solución.
A) 〈2; p〉  B) 
1
3
4; C) 〈1,6; 5〉
D) 
p
4
3; E) 2 3 4; +
14. Dada la inecuación fraccionaria
 
x x a
x bx c
−( ) +( )
+ +
>
1
0
2
 si el conjunto solución es R – {1; 2}, calcule el 
mayor valor de a+b+c.
A) –1 B) – 3 C) 0
D) 3 E) – 4
15. Al resolver la inecuación polinomial
 2 3 5 0
36 16 14
x a x b x c
a
b
b
c
c
a
−( ) ⋅ −( ) ⋅ −( ) <
+ + +
 {a; b; c} ⊂ Z+
 se obtuvo como CS = −∞ ∪; ;
3
5
1
3
2
.
 Determine el valor de a+2b+c.
A) 5 B) 7 C) 9
D) 11 E) 12
16. Determine cuál de los siguientes conjuntos es 
acotado.
A) A x
x
= ∈ <






R /
1
1
B) B={x ∈ R / x ≠ |x|}
C) C={x ∈ R / x+|x|=0}
D) D={x ∈ R / |x+1|<|x+2|}
E) E={x ∈ R / x2 – 3|x|<– 2
17. Resuelva
 
x x
x x
x x
x x
− − −
− + −
<
− − −
− + −
3 4
2 1
1 2
4 3
A) [1; 2〉  B) [2; 9〉    C) [2; 3〉
D) [2; 7〉            E) [2; 4〉
Álgebra
 
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18. Dada la expresión
 f x x x xx( ) = + + − − +9 6 4 4
2 2
 determine la variación de x para que dicha 
expresión sea independiente de x.
A) R – 〈– 3; 2〉  B) 〈– 3; 2〉  C) [– 3; 2]
D) [– 3; 2〉  E) 〈– 3; 2]
19. Determine el valor de a para que la ecuación
 x2+4x – 2|x – a|+2 – a=0
 presente solución única
A) – 7/3 B) – 2 C) –1
D) – 3 E) 0
20. Se tiene lo siguiente:
 I. El mayor valor de a ∈ R–, tal que si |x|< 3, 
entonces
 |x+4|+|5 – x| ≤ |a|
 II. Si x ∈ [1000; +∞〉, halle x sabiendo que
 |x –1|+|1– x|+|x – 2|+|2 – x|+...
 +|x –103|+|103 – x|=106
 Indique el valor de (2x –1+100a).
A) 1000 B) 1100 C) 990
D) 1 E) 1200
NIVEL AVANZADO
21. Indique verdadero (V) o falso (F).
 I. Si x>2 → x+4x –1>4.
 II. Si {a; b; c} ⊂ R+
 
a b c abc
a b c
abc
a b c
+ +( ) +
+ + +
<
+ +
2
27
 III. ∀ ∈ ∧ > → + >n n n nnN 1 1
2
!
 IV. a b a ab bn m n n m m< → < <+ 
A) FVFF B) VFFF C) FFFF
D) VFVF E) FFVV
22. Si S es el conjunto solución a la inecuación
 
x
x x
x x
x2
4 12 9 3
2
2 2
2
2+ − + < +
−( )
−




 halle la suma de los elementos enteros del 
conjunto S.
A) 30 B) 33 C) 39
D) 42 E) 52
23. Sea M el conjunto solución de la inecuación
 2|x – 3| ≤ 3x+||x –1|+1|
 determine el valor de verdad (V) o falsedad (F).
 I. M ∩ 〈– 4; 3〉=[–1; 3〉
 II. 〈2; 8〉 ⊂ M
 III. ∃ x ∈ M / x(x –1)=0
A) FVF
B) VVV
C) FVV
D) VVF
E) FFV
24. Sea M el conjunto solución de la ecuación
 3|x+1|– 2|x – 2|=2x –1
 Determine el valor de verdad (V) o falsedad (F).
 I. ∃ x1; x2 ∈ M / 4x1+x2=0
 II. ∀ x ∈ M; x3 ≥ 0
 III. M ⊂ {x ∈ R / x2+2x=0}
A) VVV B) FFV C) VFV
D) VFF E) VVF
25. Sean {a; b; c} ⊂ R, tales que cumplen que 
0<a<b<c. Determine el conjunto solución de 
la inecuación.
 |2|x+c| – |x – a| – |a+b+3c||<x – b
A) b
c
+ + ∞
2
; 
B) 〈b; +∞〉
C) 〈a; b〉
D) 〈0; a〉
E) 〈– ∞; a〉
Álgebra
 
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26. Indique el valor de verdad (V) o falsedad (F) 
de las proposiciones.
 I. A={x ∈ R / ||x2+4|–|x2+9||=5} entonces
 A=〈– ∞; +∞〉.
 II. q: ∀ x, y ∈ R: ||x|–|y|| ≤ |x – y|
 III. r: El conjunto
 A={x ∈ R / |x – 2|> – 4 ∧ |x – 3| ≤ 0}
 es unitario.
A) VVV B) VVF C) FVF
D) VFF E) FFV
27. Luego de resolver la inecuación
 
2 8 8
2
3
2x x
x
x
− + ≤
−
+
 se obtiene como CS=A y se proponen las si-
guientes proposiciones:
 I. A − − − 

= { }3 5
2
3; 
 II. A ⊂ 〈– 4; 3]
 III. A ∩ 〈– 2; 2〉 =〈– 2; 0〉
 ¿cuáles son correctas?
A) solo I 
B) solo II 
C) solo III
D) I y II 
E) II y III
28. Resuelva el sistema de inecuación
 
x x x
x
x
x x x x x
− < ≤
≥
−( ) − −( ) − −( ) − −( ) − −( )<






1
0
1 2 1 3 2 4 3 5 4 0
� �
� �
 Considere que x es el máximo entero de x.
A) 〈–1; 0〉 ∪ 〈3; 5〉 ∪ 〈7; 9〉
B) 〈1; 3〉 ∪ 〈5; 7〉 ∪ 〈9; +∞〉
C) 〈–1; 1〉
D) f
E) 〈– ∞; 0〉 ∪ [1; +∞〉
29. Si y=|x –1|+|x – 2|+|x – 3|+...+|x –100|, 
 ¿cuál es el mínimo de y?
A) 250 B) 270 C) 2500
D) 1600 E) 900
30. Sea a; b; c; x ∈ R+.
 A x a x x b x x c x cx= ∈ −( ) + −( ) + ≥{ }R / 3/2 1/2 2 2
 
B
x
x
x A= −
− +
∈




2
2 1
 determine A – BC.
A) 〈2; +∞〉 B) 〈– ∞; 2〉 C) 〈1; 2〉
D) [0; 1〉      E) [2; +∞〉
Álgebra
 
10
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NIVEL BÁSICO
1. Si el conjunto de pares ordenados
 f={(1; 0); (3; a2+2); (4; 0); (3; a+b); (4; b – 2}
 es una función, calcule la suma de elementos 
del dominio más el valor mínimo del rango.
A) 9 B) 5 C) 6
D) 7 E) 8
2. Indique el dominio de la función
 
f x x x x
xx( )
= + + + + −1
12 3
A) [–1; +
B) [–1; 1] – {0}
C) {–1; 1}
D) [–1; +∞〉 – [0; 1]
E) [–1; +∞〉 – [0; 1〉
3. Sea f una función definida por
 
f
x x
x xx( )
; ;
; ;
=
− ∈ −
∈[




2 3 1
1 9
 
 
 Halle el Ran(f ).
A) 〈– ∞; 3〉 
B) 〈–1; +∞〉  
C) 〈0; 3〉
D) 〈–1; 1〉  
E) 〈–1; 3〉
4. Dadas las funciones
 f={(– 2; 4); (0; 3); (1; 1); (3; 5); (6; 9)}
 g={(1; – 2); (3; 2); (8; 0); (9; 4); (16; 1); (20; 3)}
 determine la suma de los valores del rango de
 h(x)=f[g(x)]+x
2
A) 702 B) 716 C) 742
D) 734 E) 745
5. Sea x={a; b; c} y las funciones de x en R
 f={(a; 1); (b; – 2); (c; – 3)}
 g={(a; – 2); (b; 0); (c; 1)}
 Indique el valor de verdad (V) o falsedad (F) 
de las siguientes proposiciones.
 I. Ran(f+2g)={– 3; –1; – 2}
 II. (f · g – 2f)(b)={4}
 III. Ranf 2={1; 4; 9}
A) VVV B) VFF C) VVF
D) FVV E) FFV
NIVEL INTERMEDIO
6. Sea la función f(x)=2x – 3x
2 con x ∈ 〈0; 1〉
 Halle el ran(f ).
A) − − 

2
1
2
; 
B) − 

3
4
1
2
; 
C) −

1
2
3
4
; 
D) 〈– 2; 0〉
E) − − ∪2
3
4
0 2; ; 
7. De las funciones
 
f a ax
x x
( ) = +( )−
1
2
 g x x x xx( ) = + + − − +1 1
2 2
 h x xx( ) = +( ) − −( )1 1
23 23
 
s
x
xx( )
log=
+
−




1
1
 M x xx( ) log= + +( )1 2
 ¿cuántos son pares?
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
Funciones
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8. Determine el valor de verdad (V) o falsedad (F) 
de las siguientes proposiciones.
 I. f(x)=2x+1– 4x+3 con x ∈ R. 
 Entonces el máximo valor de f es 2.
 II. Si log2x=30, entonces log4x=15.
 III. Si f
x
xx
x
( ) = ⋅
−2 con x ∈ R – {0}, entonces el 
Ranf=〈–1; 1〉 – {0}
A) FVV B) VVV C) FFV
D) VVF E) FVF
9. Sea f una función definida por
 
f
x x
x
x x
x( )
;
; ;
;
=
<
∈[
− + ≥





2 0
0 0 2
2 2
 
 
 
 Determine el valor de verdad (V) o falsedad (F) 
de las siguientes proposiciones.
 I. f esinyectiva en 〈1; +∞〉.
 II. El par ordenado (– 2; 4) ∈ f.
 III. f(〈1; 2〉) ⊂ {–1; 0; 2}
A) FVV B) FFF C) FVF
D) FFV E) VFV
10. Dadas las funciones
 f={(x; y) ∈ Z2 / y=2x+1}
 g={(0; 3); (3; 4); (2; 0); (1; 2)}
 determine Ranf o g ∩ Domg o f.
A) {1} B) {2; 4} C) {0; –1}
D) {3; 2} E) {1; 2}
11. Dadas las funciones
 
f
x x
g xx x( ) ( );= − = +
2
4 2
1 
 determine el rango de f o g.
A) −∞ 

; 
1
4
 B) [–1; +∞〉 C) − + ∞

1
4
; 
D) 〈– ∞; 1] E) 〈0; +∞〉
12. Dada la función f
xx( )
=
+
1
1
, 
 halle una función g, tal que g o f o f(x)=x.
A) g
x
xx( )
=
+
+
2 1
1
 B) g
x
xx( )
=
−
−
2 1
1
 C) g
x
xx( )
=
−
−
1 2
1
D) g(x)=x E) g
x
xx( )
=
+
−
1
1
13. Dadas las funciones
 
f
x
x
g x xx x( ) ( );= +
= + −
2 3
4 3 2� � 
 determine el dominio de f 2(x)+5g(x).
A) 〈–1; 4]
B) −∞ − ∪ − + ∞[; ; 3
2
1
C) [–1; 4]
D) − −
3
2
1; 
E) f
14. Determine la función inversa de
 f: [1; 4] → R definida por
 f(x)=x
2 – 2x – 6|x –1|+9
A) f x xx( )
* ; ;= − + ∈[ ]1 1 0 9 
B) f x xx( )
* ; ;= + + ∈ −[ ]4 1 1 8 
C) f x x xx( )
* ; ;= − + ∈[ ]6 1 0 9 
D) f x xx( )
* ; ;= − + + ∈ −[ ]4 1 1 8 
E) f x xx( )
* ; ;= − + ∈ −[ ]4 1 1 8 
15. Sean las funciones
 f: R → R
 g: R → R
 h: R → R
 donde
 f(x)=3x – 3; si x ∈ [– 5; 5]
 g(x)=2x –1; x ∈ [– 4; 4]
 h(x)=x+4; x ∈ [– 2; 2]
 Determine el campo de definición de (h o g o f )–1.
A) 
5
6
3
2
; 



 B) [0; 2] C) [0; 6]
D) [2; 6] E) 1
3
2
; 



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16. Sea una función f: R → R cuya gráfica es
 
– 2 – 1
3
f
Y
X– 3
 Determine la gráfica de g: R → R.
 
g
f x
f xx
x
x
( )
( )
( )
;
;
=
< −
≥ −



 +
 
 
1
11
A) Y
3
1
X
 B) Y
1
– 1
2
X– 2
C) Y
– 1
2
X
D) Y
– 1
3
X
 E) Y
– 3 – 2 – 1
3
X
17. Sean f: A → B; g: B → C
 Indique el valor de verdad (V) o falsedad (F) 
de las siguientes proposiciones.
 I. Si f y g son sobreyectivas, entonces g o f es 
sobreyectiva.
 II. Si f y g son inyectivas, entonces g o f es 
sobreyectiva.
 III. Si f y g son inyectivas, f+g es inyectiva
A) VVV B) VVF C) VFF
D) FVF E) FFF
18. Dada la función f, tal que
 f(x)=x
3 – 3x2+3x –1.
 Halle la gráfica de g(x)=|1– f(1+x)|.
A) Y
X
 B) Y
X
C) Y
X
D) Y
X
 E) Y
X
19. Determine la gráfica de
 g(x)=|f(–|x|)| si la gráfica de f es 
 
– 1
– 1
1
1 2 X
Y
A) 
– 1 1
Y
X
 B) 
– 1 1
Y
X
C) 
–1 21–2
Y
X
D) 
– 1 1
1
Y
X
 E) 
– 1 1
Y
X
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20. Determine la gráfica de la función
 f xx( ) = − − +( )2 9 2
2
A) Y
X
B) Y
X
C) Y
X
D) Y
X
E) Y
X
NIVEL AVANZADO
21. Determine el dominio de la función f cuya re-
gla de correspondencia es
 
f
x
xx x x( ) log log=
−
+








+ +( )+ +5
2
5
16
16
4 3 1
A) −
1
3
4; B) − 

1
3
4; C) −



1
3
4; 
D) − 

1
3
3; E) −



1
3
3; 
22. Sea la función cuadrática
 f(x)=a2x
2+a1x+a0 de coeficientes reales.
 Indique el valor de verdad (V) o falsedad (F) 
de las siguientes proposiciones.
 I. −
−



a
a
a a a
a
1
2
1
2
2 0
12
4
2
; es su vértice.
 II. Si a2<0 ∧ a1
2<4a · a2, la función I nunca 
toma valores positivos.
 III. Si a
a
a
a2
1
2
0
20 4> ∧ < , f(x) solo toma valores 
positivos.
A) VVF B) VVV C) FVF
D) FFF E) VFV
23. Dadas las funciones
 f x y y x= ( ) ∈ ={ }; / sen R2
 
g x y y
x
= ( ) ∈ = + + −








; / , , R2
4
430 1 0 02 4
4
 entonces el dominio de 
g
f
3
2




 es
A) [– 3; 3]–{0} B) 〈0; 1〉  C) 〈–1; 0〉
D) [–1; 1]–{0} E) [– 2; 2]–{0}
24. Dadas las funciones f; g y h con dominio R, 
indique si las siguientes proposiciones son ver-
daderas (V) o falsas (F).
 I. f x xx( ) = + +
1
2
3 22 corta al eje x en 2 puntos.
 II. g x x a ax( ) ;= − + +( ) ≠
1
2
3 02 
 ∃ x0 ∈ R / g(x0)=0 ↔ 9 < 4a
 III. h(x)=x
2+(a+1)x+a; a ≠ 1
 corta el eje x en dos puntos diferentes 
siempre.
A) VVF B) VFF C) FVV
D) FFF E) VVV
25. Dadas las funciones
 f(x)=x
2 – x; x>0
 
g
x
x
xx( ) ;=
−
+
≤ <
2
2
0 2 
 determine el rango de la función g o f.
A) [–1; +∞〉  B) R+ C) R – 〈–1; 0]
D) [–1; 0〉          E) 〈0; 1]
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26. Sea la función f : ;2 + ∞ → R 
 f x
xx( )
= +
2
. Determine la función inversa f *.
A) f
x x
xx( )
* ; ;=
− −
∈ + ∞
2 8
2
2 2 
B) f
x x
xx( )
* ; ;=
− −
∈ + ∞
2 8
2
2 2 
C) f
x x
xx( )
* ; ;=
+ −
∈ + ∞
2 8
2
2 2 
D) f
x x
xx( )
* ; ;=
+ −
∈ + ∞
2 8
2
2 2 
E) f
x x
xx( )
* ; ;=
+ −
∈ + ∞
2 8
4
2 2 
27. Se sabe que f es una función cuya gráfica se 
muestra en la figura
 
2
– 1
1
1
1
2 3 X
y=(x)
Y
 determine la gráfica de g(x)=|1– f(|x|)|.
A) 
X
Y
B) 
X
Y
C) 
X
Y
1
0
2
D) 
X
1
Y
E) 
X
Y
1
28. Dada la gráfica de la función f
 
X
Y
– 1
– 1
1
2
f
 ¿Cuál es la gráfica que mejor representa a la 
función g(x)=f(|2 –|x||+1)?
A) 
X
Y
1
31
g
B) 
X
Y
310
– 1
C) 
X
Y
– 2 – 1
1
D) 
X
Y
– 1 1– 3 3
E) 
X
Y
– 1
1
– 3
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29. Sean f; g: R → R. Determine el valor de verdad (V) 
o falsedad (F) de las siguientes proposiciones.
 I. Sea ((f+g)o h)(x)=(f o h)(x)+(g o h)(x)
 II. Sea (f o (g – h))(x)=(f o g)(x) – (f o h)(x)
 III. Sea (f o g o h)(x)=(f o g)(h(x))
A) VVV B) VFV C) FVF
D) VFF E) FFV
30. Dadas las gráficas
 
2
1
g(x)
Y
X 
– 2
– 1
– 1
1
1
f(x)
Y
X
 podemos afirmar que
 I. (f o g)(x) es creciente ∀ x ∈ 〈–1; 1〉.
 II. (g o f)(x) es decreciente ∀ x ∈ R – 〈–1; 1〉.
 III. (f o f)(x) es creciente ∀ x ∈ Domf.
 IV. La gráfica de (g o f o f)(x) siempre será cre-
ciente.
 Determine la cantidad de proposiciones co-
rrectas.
A) 0 
B) 1 
C) 2
D) 3 
E) 4
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NIVEL BÁSICO
1. Si se sabe que
 
L
x x
xx1 4
2
4
= − −
−→
lím
 
L
x
xx2 2
2
2 2
= −
+ −→
lím
 determine el valor de 
L
L
1
2
.
A) 3 B) 
3
4
 C) 1
D) 
3
16
 E) 
3
2
2. Indique el valor de verdad (V) o falsedad (F) 
de los siguientes proposiciones.
 I. La sucesión 
3 1n
n
−{ } es creciente.
 II. Si {an+bn} n ∈ N es convergente, entonces 
{an}n ∈ N y {bn}n ∈ N son convergentes.
 III. La sucesión 
3
12
n
n +






 es acotada.
A) VVV B) FFV C) FFF
D) VFV E) VFF
3. Sea la sucesión a n a n
n
n n{ } ∈ =
−
−
N /
2 1
2
2
2
.
 Determine el valor de verdad (V) o falsedad (F).
 I. El término a10
3
2
29
10
∈ ; .
 II. La sucesión converge a 2.
 III. El término a7>1,95.
A) FVF B) VVF C) FFF
D) VVV E) FFV
4. Sea la sucesión
 
a n a
n
n nn n
{ } ∈ = + + + + + +( )
+( ) +( )
N /
...3 5 7 9 2 1
2 1 2
 entonces el valor de convergencia es
Sucesiones y Series
A) 0 B) 
1
6
 C) 
1
2
D) 
2
3
 E) 1
5. Calcule la suma
 
S
k
k
= 








−
=
∞
∑ log1
21
1
12
A) log242
B) log26
C) log213
D) log224
E) log62
NIVEL INTERMEDIO
6. ¿Para qué valor de n (n ∈ N) se cumple lo si-
guiente?
 
lím
x n
x
x→
−
−
=
1
1
1
5
A) 3 B) 4 C) 5
D) 6 E) 10
7. Calcule
 
lím
x a
a ax x
a ax→
−
−
2
 Considere que a>0.
A) 1 B) a C) 
3
2
a
D) 3a E) a a
8. Sea {an}n ∈ N una sucesión que cumple
 an+2=2an+1 – 3an; a1=3 y a2=33
 Determine a10.
A) 310+6 B) 311 – 6 C) 311
D) 311+6 E) 310
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9. Determine el valor de
 
S
n n
n nn
n n
=
+ +
++






→∞
+
lím
2
2
2 3
3 2
3 1
A) 1 B) e C) 2e
D) 3e E) e2
10. En la sucesión
 (an)n ∈ N / an+1=an · q; q ∈ 〈0; 1〉
 se cumple que
 
a a
a aj k
k j
1 2
1
5
3
+ =
=





= +
∞
∑
 Halle el término a3.
A) 
1
5
 B) 
1
4
 C) 
1
2
D) 
2
3
 E) 
3
2
11. Dadas las sucesiones
 xn=n
2+3n; yn=xn+1– xn
 indique el valor de verdad (V) o falsedad (F) 
de las siguientes proposiciones.
 p: los términos de yn están en PA de razón 2.
 q: los términos de yn están en PG de razón 4.
 r: ∀ n ∈ Z+ ÷ yn+2=yn+1+2
A) VVV 
B) FVF 
C) VFV
D) VFF 
E) FFV
12. Determine la siguiente suma.
 
S = 

 +



 +



 +



 +1
2
5
2
2
5
3
2
5
4
2
5
2 4 6 8
...
A) 
10
441
 B) 
25
441
 C) 
75
441
D) 
95
441
 E) 
100
441
13. Determine el valor de la siguiente serie.
 
1
2
2
3
1
4
2
9
1
8
2
27
− + − + − + ...
A) 0 B) 1 C) 2
D) 3 E) 4
14. Determine el punto de convergencia.
 
n n
nn
2
2
5 2− +
=
∞
∑ !
A) 
1
e
 B) – e – 2 C) e
D) e –1 E) 2e
15. Sea la sucesión en a a
a
nn n
n
+ = + ∈1
1
; N.
 Determine
 
a a
akk
2014 1
1
2013 1
−
=
∑
A) 0 B) 4 C) 1
D) 3 E) 2014
16. Dado que
 
1 1
2
1x x
n n
n n
− = ≥( )
−
; 
 donde x1=1. Halle xn
n=
∞
∑
1
.
A) 0 B) –1 C) 3
D) 2 E) ∞
17. Indique cuáles de las siguientes series convergen.
 I. 
2 3
21
n
n
n
n
+



=
∞
∑
 II. 
2
4 31
n
n n
n −=
∞
∑
 III. 
n
n
n
n +




=
∞
∑ 11
A) I y II B) II y III C) solo I
D) solo II E) solo III
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18. Si S kn
k
n
=
=
∑ 2
1
, calcule lím
n
nS
n→∞ 3
.
A) 
1
2
 B) 
1
4
 C) 
1
3
D) 
1
5
 E) 
1
6
19. Se sabe que f xx( ) = +( )
1
4
2 3 y Sn+1=f(Sn), 
donde S1=1. Calcule lím
n
nS→∞
 si existe.
A) 
1
2
 B) 2 C) 
3
2
D) 
2
3
 E) 
4
3
20. Sea S k xn
k
k
n
= +( )
=
∑ 1
0
 
 Si lím
n
nS→∞
=
16
9
, determine x.
A) 
1
2
 B) 
1
4
 C) 
1
3
D) 
1
5
 E) 
2
3
NIVEL AVANZADO
21. Determine el valor de verdad de las siguientes 
proposiciones.
 I. Si an
n=
∞
∑
1
 es convergente, entonces lím an=0.
 II. Si lím an ≠ 0, entonces an
n=
∞
∑
1
 diverge.
 III. La serie 
n
n nn
−( )
⋅=
∞
∑ 12
1
!
!
 es convergente.
A) VFF B) VVF C) FVV
D) VVV E) FFF
22. Dada la sucesión
 {an}n ∈ N
 indique valor de verdad (V) o falsedad (F) de 
las siguientes proposiciones.
 I. Si {an} es acotada, entonces es convergente.
 II. Si {an} es monótona creciente, entonces es 
acotada superiormente.
 III. Si {bn}n ∈ N ⊂ {an}n ∈ N; si an diverge, enton-
ces bn converge.
A) VFV B) VVV C) FVV
D) VFF E) FFF
23. Dada la sucesión {xn}n ≥ 1 definida por
 
x
n
nn
n
= + 

 + +
+



−
log log ... log
3
2
4
3
12 1
 determine el valor de
 
lím
n
xn n
n
nn
n
n
→∞
−
+
++( ) −





10 1
2 3
1
!
A) e B) e2 C) +∞
D) 1 E) 0
24. Determine el valor de verdad (V) o falsedad (F) 
de las siguientes proposiciones.
 I. Si {an} es una sucesión creciente de términos 
positivos 
a a
a a
n n
n n
+
−
−
−






1
1
, entonces es creciente.
 II. Si {an} es una sucesión de términos posi-
tivos convergente, entonces {(–1)an} tam-
bién es convergente.
 III. Si {an} → 0, entonces lím
n n
an
a→∞
+



1
1
 con-
verge.
A) VVV B) VFV C) FVV
D) FVF E) FFF
25. Determine el valor de verdad (V) o falsedad (F) 
de las siguientes proposiciones.
 I. En una sucesión aritmética {an}n ∈ N se 
cumple la relación.
 an –1+an+2=an+an+1; ∀n ≥ 2
 II. La sucesión {an}, tal que a1=2 y 
 a an n+ = +( )1
1
2
6 ; ∀n ≥ 1 es convergente.
 III. Si b1; b2; b3; ...; bn es una progresión geomé-
trica de términos positivos, entonces ln(b1); 
ln(b2); ...; ln(bn) es una progresión aritméti-
ca.
A) VVF B) FVV C) VVV
D) VFV E) VFF
Álgebra
 
19
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26. Determine
 
lím
n n
a
n
a
n
a
n
n→∞
+

 + +



 + + +
−( )








1 1 2 1
2 2 2
...
A) a2 B) 
a a +( )1
2
 C) 
a2 1
2
−
D) 
a a2
2
+
 E) a a2
1
3
+ +
27. Sean
 P=1+a+a2+a3+a4+...; |a|<1
 Q=1+b2+b4+b6+b8+...; |b2|<1
 tal que a2+b2=1
 Halle Q en función de P.
A) Q
P
P P
=
− +
2
2 2 1
B) Q
P
P P
=
+ −
2
2 2 1
C) Q
P
P P
=
− −
2
2 2 1
D) Q
P
P P
=
+ +
2
2 2 1
E) Q
P
P P
=
+ +
2
2 1
28. Si 
 
e e e
e e e
tx y tx ty
ta tb a b
+
−
= ⋅
= ⋅




 determine
 
eti
n
n
=
∑
0
A) 2en B) en –1 C) 
e
e
n+ −
−
1 1
1
D) en+1 E) e
29. Calcule la suma
 
E = − + + + + +
1
2
1
3
5
36
19
216
65
1296
211
7776
...
A) 
1
3
 B) 
1
2
 C) 2
D) 1 E) 
1
6
30. Determine la siguiente suma.
 
3
4
5
36
7
144
9
400
11
900
+ + + + + ...
A) 2 B) 1 C) 
3
2
D) 
1
2
 E) 
4
3
Álgebra
 
20
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NIVEL BÁSICO
1. Dadas las matrices
 
A =
−
−




2 0
4 2
 E=A+2A+3A+...+nA; n ∈ N
 calcule la suma de elementos de la matriz E.
A) 0 B) 1 C) n(n+1)
D) 2n(n+1) E) 
n
n
2
1+( )
2. Sea x=[xij]2×2, tal que satisface la ecuación 
matricial
 
x xT− =
−




2
1 1
2 3
 halle la traza de x.
A) – 4 B) – 3 C) – 2
D) 3 E) 5
3. Dada la matriz
 
M =








1 0 1
2 1 2
0 2 1
 calcule la suma de los elementos de su inversa.
A) – 3 B) – 2 C) 0
D) 3 E) 4
4. Halle n si la matriz
 
A
n
=
−
− −






2 1
1 2
 es nilpotente de orden 2.
A) 2 B) 3 C) 5
D) 4 E) 6
5. Sea A=(aij)3x3, tal que
 
a
a i j
a i jij
ij
ij
=
− ≠
− =




3 ;
;
 
 
 Determine A At4 .
Matrices y Determinantes
A) 
27
4
 B) 
3 3
2
 C) 
3
2
D) 
a
4
3 E) 3
NIVEL INTERMEDIO
6. Determine n2 – n+1 si se cumple que
 
1 2
3 4
2 3
4 5
1
2 3
64+ + +
+
+ +
= −...
n n
n n
A) 1057 B) 824 C) 1025
D) 993 E) 949
7. Si m y n son consecutivos, además
 
n m
m n
m
−( ) −( )
=
1 1
3
! !
!
 determine m · n.
A) 9 B) 6 C) 12
D) 4 E) 8
8. Dadas las matrices
 
A x
a
b
c
abc= −
−










=










≠
1 0 2
0 2 2
0 1 1
0 y ;
 si Ax=3x, calcule el valor de 
a c
c
+
.
A) –1 B) 2 C) 1
D) 0 E) 3
9. Dada la matriz
 
A =
−









cos sen
sen cos
θ θ
θ θ
0
0
0 0 1
 indique lo correcto.
A) A2=I B) A2=A C) A · AT=I
D) A+A2=0 E) A2 – A=I
Álgebra
 
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10. Sean A y B dos matrices de R2×2. Se define el 
operador 〈 ; 〉 de la siguiente manera
 〈A; B〉=traz(AtB)
 Calcule el valor de A A; 
 
A
a a
a a
=




11 12
21 22
A) 2
B) 1
C) 0
D) a a11
2
22
2+
E) a a a a11
2
12
2
21
2
22
2+ + +
11. Sean A=[aij]3×3 y B=[bij]3×3 tal que |A|=2
cosp 
 además N=A10 · AT y M=A|4A–1|
 Calcule det(MN)+|B18| si se sabe que B es 
nilpotente de orden 17.
A) 64 B) 128 C) 256
D) 16 E) 512
12. Determine |A| si
 
A
x
x
x
=
−
− −
− − −












1 1 1 1
1 1 1
1 1 1
1 1 1
A) –1 B) 0 C) x2
D) 1 E) (x+1)3
13. Se sabe que A es una matriz de orden 2, tal que 
traz(– A)=|A|=1. Halle A48.
A) I B) – I C) A
D) A2 E) – A
14. Sea la matriz A=[aij]3×3, tal que satisface
 
3 0 0
0 6 0
0 0 9
4 0 0
0 4 0
0 0 4
12 12 12
24 24 24
36 36










⋅ ⋅










=A
336










 halle el valor de 2a23+3|A|.
A) – 4 B) – 2 C) 4
D) 8 E) 2
15. Sea
 
A =












1 1 1 1
0 1 1 1
0 0 1 1
0 0 0 1
 y B=An=[bij]4×4; n ∈ Z
 Determine b14 ÷ b13.
A) 
n + 2
3
 B) 
n + 1
2
 C) 
n + 3
2
D) 
n −1
3
 E) 
n −1
2
16. Sea A una matriztriangular superior y B una 
matriz involutiva, tal que AB=A+B. Determine 
la traz (A) si traz (B)=–10.
A) 0 B) 5 C) 10
D) – 5 E) –10
17. Si A2=A, B · BT=I, entonces la matriz
 (BTAB – (BTAB)2)2 es igual a
A) (A – B)2 B) (A+B)2 C) 0
D) (AB – BA)2 E) (A – I)2
18. Sea A una matriz de orden n que cumple
 Av=lv; v ∈ Rn×1, l ∈ R
 si P(x)=det(A – Ix), indique el valor de verdad (V) 
o falsedad (F) de las siguientes proposiciones.
 I. P(a) ≠ 0
 II. P(a)=0
 III. P(– A)=0
 IV. Si ∃ P ∈ Rn×n; B=P–1· A · P → P(B)=0.
A) FVFF 
B) VFFF 
C) FVFV
D) VFFV 
E) FVVF
19. Si An=∅ ∧ A ≠ ∅ ∧ A ∈ Rn×n (∅: matriz nula)
 calcule I+A+A2+...+An –1.
A) I+A B) (I+A)n C) (I – A)–1
D) I – A E) (I – A)n
Álgebra
 
22
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20. Calcule
 
det
1
1
1
z z
z z
z z










 si z = cis
π
3
.
A) 2 B) 0 C) – 2
D) 4 E) – 4
NIVEL AVANZADO
21. Dada la ecuación
 P(x)=ax
3+bx2+cx+d=0
 a+b+c+d=1
 Si la matriz
 
A =
−
−










1 1 0
0 1 1
1 0 1
 satisface dicha ecuación, halle a+b+c – d.
A) –1 B) – 2 C) 2
D) 3 E) – 3
22. Halle la suma de raíces de la ecuación
 
a a a a
x
x
x
n0 1 2
1 0 0
0 1 0
0 0 1 0
0
0 0 0 1
0
−
−
−
=
…
…
…
� …
� 
A) 0 B) 
a
a
1
0
 C) −
a
a
1
0
D) 
a
a
n
0
 E) 1
23. Si a ≠ b; b ≠ c; a ≠ c; abc ≠ 0, reduzca
 
1 1 1
3 3 3
a b c
a b c
b c c a a b−( ) −( ) −( )
A) a+b – c B) a+b+c C) a – b+c
D) a – b – c E) b – c – a
24. Indique verdadero (V) o falso (F) según corres-
ponda. 
 I. Si A es una matriz antisimétrica, entones su 
cuadrado es una matriz simétrica.
 II. Si A es una matriz idempotente, entonces 
|A2n – A|=0
 III. Si A es una matriz no singular, tal que A3=I, 
entonces tr(A2)=tr(A–1).
A) VVV B) VVF C) VFV
D) FVV E) FFF
25. Indique el valor de verdad (V) o falsedad (F) de 
las siguientes proposiciones.
 I. Si M es una matriz no singular, tal que 
N2M=MN, entonces traz(N2)=traz(N).
 II. Sea A una matriz involutiva, entonces 
|A|=1.
 III. Sean A y B dos matrices conmutables y no 
singulares, entonces
 B–1A3B=A3=B · A3B–1
A) VVV B) VFF C) VVF
D) VFV E) FVV
26. Sea A una matriz cuadrada de orden n, tal que
 (I – A)–1=I+A+A2+...+Ak –1; I: matriz
 Identidad de orden n.
 Halle traz(Ak).
A) 2 B) 3 C) 5
D) 0 E) – 2
27. Sea la matriz A=(aij)n×n, tal que
 
a
i j
i j
i j
ij =
>
=
<




λ;
;
;
 
 
 
2
0
 si se verifica que
 a A+b At=A · B · A · A–1· B–1· A–1
 donde B es una matriz cuadrada de orden n, 
halle a+b.
A) 1 B) −
1
2
 C) 
1
2
D) 
1
4
 E) 
1
6
Álgebra
 
23
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28. Determine el valor de verdad (V) o falsedad (F) 
de las siguientes proposiciones.
 I. La determinante de toda matriz antisimé-
trica es nula.
 II. Si A2 es una matriz singular, entonces 
 det(A – A2)=0.
 III. Si se cumple que |l A||A|=l|A|3; l ∈ R*, 
entonces orden (A)=2; R*=R – {0}.
A) VVF B) FFV C) VVV
D) FVV E) FVF
29. Determine el valor de verdad (V) o falsedad (F) 
de las siguientes proposiciones.
 I. Si A=(aij)n×n es tal que A
2=9I, donde I es la 
matriz identidad, entonces (A – 2I)2=I.
 II. Si AB=BA, entonces AnB=BAn.
 III. Si A es involutiva entonces (ABA)2=AB2A.
A) VVV 
B) VFV 
C) FVV
D) FFF 
E) FVF
30. Dada la matriz
 
D
n
n=












⋅ ⋅ ≠
λ
λ
λ
λ λ λ λ
1
2
1 2 3
0 0
0 0
0
�
�
� �
�
; ... 
 y sea A=PDP–1
 halle P –1 · eA · P si
 
e I A
A AA = + + + +
2 3
2 3! !
...
A) I B) eln C) e
D) el1+l2+...+ln E) eD
Álgebra
 
24
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NIVEL BÁSICO
1. Al resolver el sistema
 
2 1
4
1
x y z
x y
x y z
− + =
+ =
− − =




 
 
 calcule el valor del producto xyz.
A) – 6 B) – 4 C) 4
D) 6 E) 0
2. Si el sistema
 
p x y q
x y
−( ) + + =
+ =



2 12 3 0
8 7 4
 es indeterminado, indique el valor de 
q
p
.
A) 
3
5
 
B) 
2
5
 
C) 
7
22
D) 
4
3
 
E) 
23
27
3. Luego de resolver el sistema inicial
 
cx az b
ay bx c
bz cy a
+ =
+ =
+ =




 el valor de 2bcx es
A) a2 – b2+c2 
B) a2 – b2 – c2 
C) a2+b2 – c2
D) b2 – a2+c2 
E) b2 – a2 – c2
Programación lineal
4. Represente en R2 el conjunto
 A={(x; y) / x+y ≤ 1; y ≥ x2}
A) Y
X
 
B) Y
X
C) Y
X
D) Y
X
 
E) Y
X
5. En una urbanización popular se construirán 
casas de 2 tipos: A y B. La empresa cons-
tructora dispone para ello de un máximo de 
S/.1 800 000, y el costo de cada tipo de casa 
es de S/.30 000 y S/.20 000, respectivamente. 
El ayuntamiento exige que el número total de 
casas no sea superior a 80. Además se sabe 
que el beneficio obtenido por la venta de una 
casa de tipo A es S/.4000 y de tipo B es S/.3000. 
¿Cuántas casas se deben construir de cada 
tipo para obtener el máximo beneficio?
A) 20 y 60 B) 20 y 50 C) 30 y 50
D) 50 y 40 E) 40 y 45
Álgebra
 
25
Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. 
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NIVEL INTERMEDIO
6. Represente gráficamente el conjunto solución 
del siguiente sistema de inecuaciones.
 
y x x
y x
+ ≥ +
− ≤ +




2 4
2 2
2
A) Y
X
 
B) 
Y
X
C) Y
X
D) Y
X
 
E) Y
X
7. Se sabe que x; y ∈ N. Determine x+y+z si se 
tiene el siguiente sistema.
 
 2 11
3 2 5
3 4
x y
x y
x z y
+ =
− =
≥ ≥




A) 13 B) 15 C) 17
D) 16 E) 19
8. Dado el sistema
 
4 5
2
2
2
e e e e e
e e e e e
x y x y
x y x y
⋅ + ⋅ =
⋅ + ⋅ =




−
−
A) −
1
3
 B) 
2
3
 C) 0
D) 1 E) 
1
3
9. Sea A un conjunto determinado por
 A={(x; y) ∈ Z×Z / |x+y| ≤ 2 ∧ x2+y2 ≤ 4 ∧ 
 –1 ≤ x < 2}
 El número de elementos del conjunto A es
A) 9 B) 10 C) 11
D) 12 E) 13
10. Dado el sistema lineal
 An×n · xn×1=bn×1
 indique el valor de verdad (V) o falsedad (F) 
de las siguientes proposiciones.
 I. Si |A|=0, entonces el sistema tiene infinitas 
soluciones.
 II. Si |A| ≠ 0; b=[0; 0; ...; 0]t, entonces el 
sistema tiene solución no trivial.
 III. Si el sistema no tiene solución, entonces 
|A|=0.
A) FFV 
B) VFV 
C) FVF
D) VFF 
E) FVV
11. Determine el valor de
 K z y x= + +3 5
 si se cumple que
 
3
9
3
11
3
16
x y y z z x− = − = −
 x+y+z=36
A) 10 B) 8 C) 4
D) 2 E) 6
Álgebra
 
26
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12. Se dispone de tres marcas de fertilizantes que 
proporcionan nitrógeno, fósforo y potasio. 
Una bolsa de cada marca proporciona las 
siguientes unidades de cada nutriente, como 
se muestra en el cuadro adjunto.
Marca
Nutrientes
Nitrógeno Fósforo Potasio
A 1 3 2
B 2 1 0
C 3 2 1
 Para un crecimiento ideal del espárrago en la 
ciudad de Ica, el ingeniero agrónomo estima 
que se necesitan 18 unidades de nitrógeno, 23 
unidades de fósforo y 13 unidades de potasio 
por hectárea. ¿Cuántas bolsas del fertilizante 
de la marca A deben usarse por hectárea para 
lograr un crecimiento ideal?
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
13. Un fabricante desea maximizar la ganancia en 
la venta de 2 productos. El primer producto 
genera una ganancia de S/.1,5 por unidad y el 
segundo una ganancia de S/.2 por unidad. El 
estudio de mercado y los recursos disponibles 
establecen las siguientes restricciones:
 I. El nivel de producción combinado no debe 
exceder de 1200 unidades mensuales.
 II. La demanda del segundo producto es me-
nor o igual que la mitad de la demanda del 
primer producto.
 III. El nivel de producción del primer producto 
es menor o igual que 600 unidades más tres 
veces el nivel de producción del segundo 
artículo.
 ¿A cuánto asciende en soles la máxima ga-
nancia?
A) 900 B) 1000 C) 1875
D) 2000 E)2275
14. Dado el problema de programación lineal
 Opt. Z=ax+by; 3b>a>b>0
 sujeto a la región convexa
 
5
1
1 3 4
E
D
BB
AA
C
 Podemos afirmar que
 I. Su máximo lo alcanza en D y su mínimo lo 
alcanza en A.
 II. Es posible trazar una diagonal del polígono 
ABCDEF, tal que su máximo sea en el punto F.
 III. Si la función objetivo fuese Z=ax – by, su 
máximo lo alcanza en A.
A) FFV B) VFV C) FVF
D) VVV E) FFF
15. La siguiente figura da la idea de tres planos 
según la recta L . ¿Cuáles de los sistemas de 
ecuaciones dados representa a la figura dada?
 
 I. 
 
 
2 3 1
5 2 4
8 5
x y z
x y z
x y z
+ − =
− + + =
+ + =




 II. 
 
 
x y z
x y z
x y z
− + = −
− + − = −
− + − =




3 2
2 2 6 4
3 2
 III. 
 
 
2 3
3 1
2 2 2
x y z
x y z
x y z
− + =
− + − =
− + =




A) solo I B) I, II y III C) I y III
D) solo III E) solo II
Álgebra
 
27
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NIVEL AVANZADO
16. Determine la figura que mejor representa la 
gráfica del conjunto.
 
A x y xy
x
y
= ( ) ∈ × ≤




; / R R
A) 
– 1
1
Y
X
 B) 
– 1
1
Y
X
C) Y
X
D) Y
X
 E) 
– 1
Y
X
17. Represente el conjunto
 A={(x; y) / |x – y| ≤ x}
A) Y
X
 B) 
Y=2x
Y
X
C) 
Y=2x
Y
X
D) Y
X
 E) Y
X
18. Sea {(x0; y0)} el punto de intersección de las 
rectas L1 y L2 como se indica.
 
y0
x0
L1 :5x – 2y=m
L2 : x+9y=m
Y
X
 Si x0 excede en 7 a y0, entonces del valor de m 
se puede afirmar que
A) m ∈ 〈59; 66〉
B) m ∈ 〈54; 59〉
C) m ∈ 〈48; 54〉
D) m ∈ 〈44; 48〉
E) m ∈ 〈38; 44〉
19. Al resolver el sistema
 
x x y y
x
y y
x
2 2
2
3 2 0
1 0
+ + − + =
+ +
−
=





 determine el valor de 5x+7y2.
A) 0 B) 1 C) 2
D) 3 E) 5
20. Luego de resolver el sistema
 
x y
x y
a
b c
x c
y b
a b
a c
+
−
=
−
+
+
=
+
+






 el valor de xy+(b – c)2 es
A) 2a2 
B) a2 
C) bc
D) a2+2bc 
E) a2 – 2bc
Álgebra
 
28
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21. El sistema homogéneo
 
1 0
2 2 0
1 0
−( ) + − =
− − =
− − +( ) =





k x y z
x ky z
x y k z
 
 es indeterminada, calcule la suma de valores de k.
A) –1 B) 0 C) 2
D) 3 E) 5
22. Determine los valores de m para que el sistema
 
m x my
mx m y m
+( ) + =
− −( ) = − ≠



2 1
2 1 0, 
 tenga solución única de componentes negativos.
A) 〈– 2; –1〉
B) −∞ − − −{ }; 1 2
C) − −2 1; 
D) − + ∞ − { }1 2; 
E) − −2 2; 
23. Dado el sistema de ecuaciones en R.
 
x y
y mx
−( ) + −( ) =
=




2 2 12 2
 determine los valores de m, de tal manera que 
el sistema tenga más de una solución.
A) m ∈
− +4 7
3
4 7
3
; 
B) m ∈
− +4 7
2
4 7
2
; 
C) m ∈ R
D) m ∈ f
E) m ∈ − +4 7 4 7; 
24. Resuelva el sistema para valores enteros y 
positivos
 
2
4 7
4 2
y x
y z
x z
<
>
− <




 Luego halle el producto de ellos.
A) 2 B) 5 C) 12
D) 15 E) 10
25. Indique cuál de los sistemas representa mejor 
al gráfico.
 
A) 
 
 
x y z
x y z
x y z
− + =
− + =
+ + =




2
2 2 2 4
3
 
B) 
 
 3
x y z
x y z
x y z
+ + =
− + =
− + =




3
2 2 3 4
4 7
C) 
 
 
x y z
x y z
x y z
+ − =
+ + =
− + =




0
2 12
7
D) 
 2
 
6
x y z
x y z
x y
+ + =
− + =
+ + =




5 1
6
3 15 3
 
E) 
 
 
x y z
x y z
x z z
− + =
+ − =
− − + =




3
2 3 1
4 2 2
26. Calcule el valor mínimo de Z=x+2y sujeto a 
las restricciones
 
2 7
2 1
2 3
x y
y x
x y
+ ≥
− ≥ −
− ≥ −




A) 2 B) 3 C) 4
D) 5 E) 7
Álgebra
 
29
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27. Un fabricante de raquetas de tenis obtiene una 
utilidad de S/.15 por cada raqueta de tamaño 
extra y S/.8 por una de tamaño estándar. Para 
satisfacer la demanda de los distribuidores, la 
producción diaria del modelo extra debe estar 
entre 10 y 30, y entre 30 y 80 la del modelo es-
tándar. A fin de conservar la máxima calidad, 
el total de raquetas producidas no debe ser 
mayor de 80 diarias. ¿Cuántas de cada tipo de-
ben fabricarse cada día para obtener la máxi-
ma utilidad? Dé como respuesta el número 
óptimo de raquetas de tamaño estándar.
A) 28 B) 30 C) 38
D) 46 E) 50
28. (x0; y0) es el conjunto natural que verifica el 
sistema
 
y x x
y x y
+ > +
− <




8 3
2
2
 forma la cuadrática f(x)=0, cuyas raíces sean 
 x y x y0
2
0 0 0
2+ +{ }; .
A) x2 – 4x+4=0
B) x2+3x+1=0
C) x2 – 4x – 4=0
D) x2 – 4x+1=0
E) x2+4x –1=0
29. Determine el conjunto solución del sistema
 
 
 
x x
x x x
x x x
x x x
x x
1 2
1 2 3
2 3 4
3 4 5
4 5
1
4
3
2
+ =
+ + =
+ + = −
+ + =
+ = −−







 1
A) {6; – 5; 3; –1; 0}
B) {7; – 6; 3; 0; –1}
C) 
11
2
9
2
3
3
2
1
2
; ; ; ; − −{ }
D) {6 – t; – 5+t; 3; –1– t; t} / t ∈ R
E) f
30. Resuelva el sistema de ecuaciones
 
x x x
x x x
x x x
x x ax
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 3 2
0
3 2
4 0
+ + =
− + =
+ − = −
+ + =






 
 

 e indique el valor de a para que el sistema sea 
determinado.
A) 2 B) 1 C) 3
D) – 2 E) 4
Números complejos y ecuacioNes
01 - E
02 - C
03 - D
04 - D
05 - C
06 - B
07 - B
08 - E
09 - A
10 - E
11 - D
12 - A
13 - A
14 - D
15 - B
16 - C
17 - C
18 - A
19 - A
20 - E
21 - D
22 - A
23 - E
24 - B
25 - C
26 - D
27 - A
28 - A
29 - E
30 - C
DesigualDaDes e iNecuacioNes
01 - C
02 - E
03 - D
04 - A
05 - A
06 - D
07 - E
08 - E
09 - C
10 - C
11 - B
12 - C
13 - A
14 - A
15 - E
16 - E
17 - E
18 - A
19 - B
20 - B
21 - D
22 - B
23 - B
24 - D
25 - A
26 - A
27 - B
28 - A
29 - C
30 - A
FuNcioNes
01 - E
02 - E
03 - E
04 - D
05 - A
06 - D
07 - A
08 - A
09 - A
10 - A
11 - C
12 - C
13 - C
14 - E
15 - A
16 - E
17 - B
18 - E
19 - B
20 - B
21 - B
22 - C
23 - E
24 - E
25 - D
26 - D
27 - A
28 - D
29 - B
30 - C
sucesioNes y series
01 - D
02 - B
03 - D
04 - C
05 - E
06 - C
07 - D
08 - D
09 - B
10 - B
11 - C
12 - E
13 - A
14 - B
15 - C
16 - D
17 - D
18 - C
19 - C
20 - B
21 - D
22 - E
23 - D
24 - C
25 - C
26 - E
27 - A
28 - C
29 - B
30 - B
matrices y DetermiNaNtes
01 - A
02 - A
03 - C
04 - C
05 - C
06 - C
07 - C
08 - D
09 - C
10 - E
11 - E
12 - E
13 - A
14 - E
15 - A
16 - B
17 - C
18 - C
19 - C
20 - D
21 - E
22 - C
23 - B
24 - A
25 - D
26 - D
27 - C
28 - E
29 - C
30 - E
programacióN liNeal
01 - B
02 - C
03 - D
04 - B
05 - A
06 - B
07 - E
08 - E
09 - C
10 - E
11 - A
12 - E
13 - D
14 - C
15 - A
16 - B
17 - C
18 - D
19 - C
20 - B
21 - B
22 - D
23 - A
24 - E
25 - C
26 - D
27 - E
28 - A
29 - D
30 - B
Repaso UNI
S
h
e
r
a
t
o
n
 
M
o
o
n
 
H
o
t
e
l
UNIUNI
RepasoRepaso
2016
• Aptitud Académica
• Matemática
• Ciencias Naturales
• Humanidades
Aritmética
 
2
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NIVEL BÁSICO
1. En un aula de 50 alumnos, se realizó una en-
cuesta sobre la preferencia por algunos cursos.
	 •	 A	todos	los	alumnos	que	les	gusta	Álgebra,	
también	les	gusta	Aritmética.
	 •	 Los	que	gustan	de	Aritmética	y	Trigonome-
tría son 13.
	 •	 A	19	alumnos	les	gusta	Trigonometría,	pero	
no	Aritmética.
	 •	 Los	que	gustan	solo	de	Aritmética	son	8.
	 ¿Cuántos	 alumnos	 gustan	 solo	 de	 Álgebra	 y	
Aritmética	si	todos	prefieren	por	lo	menos	un	
curso?
A)	9	 B)	13	 	 	 C)	6
D)	14	 	 	 	 	 	 E)	10
2. De	 los	 jóvenes	profesionales	que	asistieron	a	
una	conferencia,	40	eran	peruanos,	de	los	cua-
les	los	3/4	tenían	anteojos	y	60	personas	eran	
ingenieros. De los peruanos con anteojos, la 
mitad	eran	ingenieros	y	5	de	cada	6	ingenieros	
tenían anteojos. Calcule cuántos jóvenes con 
anteojos no eran peruanos ni ingenierossi en 
total	85	tenían	anteojos.
A)	12	 B)	14	 	 	 C)	16
D)	18	 	 	 	 	 	 E)	20
3. Sean A; B	y	C	conjuntos	con	los	que	se	cumple	
lo siguiente:
	 •	 (C ∪ B)={1;	3;	7;	8;	32}
	 •	 (A ∪ C)C={1;	7;	8;	25;	2}
	 •	 (A ∩ B)C={1;	2;	3;	4;	8;	9;	25;	7;	32}
	 •	 P(C)	⊂ P(A)
Conjunto y teoría de números
	 •	 n(B ∪ A)=n(B)+n(A)
	 •	 (A  C)	∪ B={a; bc; b+2;	cb; a+6}
 Calcule el valor de a+b+c.
A)	6	 B)	5	 	 	 	 C)	8
D)	4	 	 	 	 	 	 E)	10
4. Sean A	y	B subconjuntos de un universo U. In-
dique	 la	 secuencia	 correcta	 de	 verdad	 (V)	 o	
falsedad	(F).
I. A ∆ BC=B → B ⊂ A
II. AC – B ⊂ A ∪ B → A ∪ B=U
III. A ⊂ B ↔ BC ⊂ AC
A)	FVV	 B)	VVF	 	 	 C)	VVV
D)	VFV	 	 	 	 	 	 E)	FFV
5. En	una	función	teatral,	de	las	39	personas	que	
participan,	 se	 observa	 que	 todos	 los	 actores	
son	 bailarines.	 Además,	 hay	 5	 personas	 que	
actúan	y	bailan	solamente;	8	poetas	que	bai-
lan,	pero	no	actúan;	30	en	total	son	poetas	y	23,	
bailarines.	¿Cuántos	actores	que	son	bailarines	
y	poetas	hay	en	dicha	función?
A)	3	 B)	4	 	 	 	 C)	5
D)	6	 	 	 	 	 	 E)	8
6. Al	expresar	3431n	a	base	(n+1),	
 la	suma	de	cifras	resultó	19.	Calcule	a+b+c 
 si 4aa(n	–2)=bc(2c)13.
A)	8	 B)	9	 	 	 	 C)	10
D)	11	 	 	 	 	 	 E)	12
Aritmética
 
3
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7. Si 4a53 de la base k	es	representada	en	base	8	
como 2b44;	halle	a+b+k.
A)	12	 B)	14	 	 	 C)	15
D)	16	 	 	 	 	 	 E)	13
8. Si	se	cumple	que	57a8=abb(a+1)n, ¿en cuán-
tos sistemas de numeración (n+1)(a	–	1)(b+2) 
se	expresa	con	4	cifras?	Dé	como	respuesta	la	
suma	de	dichas	bases.
A)	28	 B)	21	 	 	 C)	26
D)	30	 	 	 	 	 	 E)	27
9. Calcule el valor de a2+b2+n2	si	se	cumple	que	
bb b a a a a
n
n... ;
cifras
��� = 0 0 0 02 	además,	0=cero.
A)	21	 B)	18	 	 	 C)	12
D)	20	 	 	 	 	 	 E)	25
10. Se	cumple	que	abcn=2×cban, donde n es, mí-
nimo,	indique	la	suma	de	cifras	de	
 CA
cifras
abab ab c...
20
4� �� �� +( )





A)	11	 B)	12	 	 	 C)	10
D)	13	 	 	 	 	 	 E)	9
11. Calcule la suma de todos los números de la 
forma m(2m)n(3n+1).
A)	43	812	 B)	83	124		 	 C)	24	106
D)	36	312	 	 	 	 	 	 E)	36	168
12. La	suma	de	 los	complementos	aritméticos	de	
todos	los	números	de	2	cifras	diferentes	que	se	
pueden formar con los dígitos a, b	y	c	(a ≠ b ≠ c)	
es	336.	Halle	la	suma	de	los	complementos	arit-
méticos de los números de 3 cifras diferentes 
que	se	pueden	formar	con	los	mismos	dígitos.
A)	3336	 B)	2964	 	 	 C)	2096
D)	3994	 	 	 	 	 	 E)	2996
13. Al	multiplicar	un	número	de	3	cifras	consecu-
tivas crecientes con cierto número, se obtiene 
un número de 5 cifras. Si al multiplicando se le 
disminuye	32	unidades,	entonces	el	producto	
disminuye	en	1184.	Además,	si	el	multiplican-
do se divide entre el multiplicador, se obtiene 
un residuo igual al cociente. Calcule la suma 
de cifras del producto inicial.
A)	22	 B)	24	 	 	 C)	26
D)	28	 	 	 	 	 	 E)	30
14. La	 suma	 de	 los	 n	 primeros	 términos	 de	 una	
sucesión se plantea como
 
S
n
n nn = + +[ ]6 2 3 19
2
 Calcule la suma de los términos de los lugares 
11	y	15.
A)	352	 B)	340	 	 	 C)	312
D)	360	 	 	 	 	 	 E)	384
15. Sea la sucesión
	 –	1;	5;	15;	29;	...;	1797
	 Calcule	el	número	de	 términos	y	 la	 suma	de	
los términos centrales.
A)	35;	955	 B)	30;	956	 	 C)	32;	930
D)	34;	900	 	 	 	 	 	 E)	30;	965
NIVEL INTERMEDIO
16. En	una	encuesta	a	95	personas	sobre	las	pre-
ferencias	por	 los	productos	A	y	B,	se	observa	
que	 hay	 tantos	 varones	 que	 prefieren	 solo	 A	
como	mujeres	que	prefieren	solo	B.	Los	varo-
nes	que	prefieren	B	son	el	doble	de	las	muje-
res	que	prefieren	solo	A.	Si	 las	personas	que	
no prefieren ningún producto son tantas como 
las	mujeres	 que	 prefieren	B,	 calcule	 cuántas	
mujeres,	como	máximo,	prefieren	por	 lo	me-
nos un producto.
A)	46	 B)	56	 	 	 C)	64
D)	42	 	 	 	 	 	 E)	50
Aritmética
 
4
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17. Sean A, B, C	y	D	conjuntos	con	los	que	se	cum-
ple lo siguiente:
	 •	 n[P(A∩ B)]=1
	 •	 n(C ∩ D)=3
	 •	 n[P(A	–	(C ∪ D)]=16
	 •	 n[P((D ∪ B)	–	C)]=128
	 •	 n[(A ∪ B ∪ C ∪ D)C]=54
	 •	 n[U]=84
	 Halle	n(C).
A)	14	 B)	17	 	 	 C)	19
D)	21	 	 	 	 	 	 E)	24
18. Si	se	cumple	que
 (b	–	7)ax=(a	–	5)1bx
	 calcule	la	suma	del	menor	y	mayor	base	en	la	
que	axb	se	representa	con	4	cifras.
A)	20	 B)	32	 	 	 C)	15
D)	16	 	 	 	 	 	 E)	18
19. Si ab cd ce memmm4 6 5 9 30( )( )( ) =( ) ( ); calcule 
a+b+c+d+e+m.
A)	13	 B)	14	 	 	 C)	12
D)	10	 	 	 	 	 	 E)	11
20. Si a > b, b > c	 y	 abcd=dcba+2m7n, además, 
ab+dc=96;	calcule	a×b×c×d.
A)	945	 B)	895	 	 	 C)	900
D)	495	 	 	 	 	 	 E)	800
21. Calcule la suma de las cifras de un número for-
mado por 3 cifras pares significativas, si esta 
es	igual	a	la	suma	de	todos	los	números	de	2	
cifras	diferentes	que	se	pueden	formar	con	la	
combinación	de	dichas	cifras.
A)	20	 B)	22	 	 	 C)	14
D)	12	 	 	 	 	 	 E)	8
22. En	una	división	entera,	se	sabe	que	si	aumen-
tamos	 145	 unidades	 al	 dividendo,	 el	 residuo	
y	el	cociente	aumentan	en	17	y	4,	respectiva-
mente.	Pero	si	al	dividendo	se	le	disminuye	60	
unidades,	el	cociente	disminuye	2	unidades	y	
el	nuevo	residuo	es	7.	Calcule	la	suma	de	cifras	
del	dividendo	si	el	cociente	inicial	es	9.
A)	9 B)	8 C)	10
D)	15 E)	12
23. ¿Cuál	es	el	mayor	número	de	cifras	que	puede	
tener P=A3×B3×C6	si	se	sabe	que	A2×B tiene 
12	cifras	y	 A
C2
	tiene	8	cifras.
A)	14	 B)	10	 	 	 C)	15
D)	12	 	 	 	 	 	 E)	13
24. Si ab4, ba5, (b+1)(a+1)5, ..., mn7 están en 
progresión	aritmética	creciente,	halle	la	suma	
máxima	de	estos	términos.
A)	213	 B)	197	 	 	 C)	203
D)	190	 	 	 	 	 	 E)	207
25. En la numeración de un libro de 5ab páginas, 
se utilizaron 15ab cifras. ¿Cuántas cifras se uti-
lizarán en la numeración de un libro de abb 
páginas?
A)	1388	 B)	1400	 	 	 C)	1524
D)	1389	 	 	 	 	 	 E)	1200
NIVEL AVANZADO
26. Se	cumple	que
 
A
x
y
x y=
+




∈ < < ∧ < <






1
20 59 4 7Z /
 B={(m+n)2 ∈ Z / m; n ∈ Z}
	 Señale	la	secuencia	correcta	de	verdad	(V)	o	
falsedad	(F).
	 • A	y	B son disjuntos.
	 •	 A	y	B	son	equipotentes.
	 •	 n[P(A ∩ B)]=4
	 •	 P(A)	∩ P(B)={{5},{7}}
A)	FVFV	 B)	FFVF	 	 	 C)	FFVV
D)	VFVV	 	 	 	 	 	 E)	VVFV
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27. Sean A={x ∈ Z / 0 < x	<	8}	y	B={y ∈ Z / 0 ≤ x ≤	7}.	
Indique	la	secuencia	correcta	de	verdad	(V)	o	
falsedad	(F).
	 •	 ∃ x ∈ A / ∀ y ∈ B: x+y ≠	8
	 •	 ∀ x ∈ A: ∀ y ∈ B: x+y >	6
	 •	 ∃ x ∈ A / ∃ y ∈ B: x+y=5
	 •	 ∀ x ∈ A: ∃ y ∈ B / ∀z ∈ B: x+y < z
A)	FVFV	
B)	FFVV	 	 	
C)	FVVV
D)	VFVV	 	 	 	 	 	
E)	VFVF
28. Se	cumple	que
 
abcabc abc... 6
60
9
6 1
43
=
−





 Calcule a+b+c.
A)	3	 B)	7	 	 	 	 C)	5
D)	9	 	 	 	 	 	 E)	11
29. Si	multiplicamos	un	número	de	 18	 cifras	 por	
su	doble	y	por	su	triple,	y	al	resultado	lo	dividi-
mos	por	el	cuádruplo,	por	el	quíntuplo	y	por	el	
séxtuplo	de	otro	número;	se	observa	que	esta	
operación tiene por lo menos seis cifras. ¿Cuál 
es	el	mayor	número	de	cifras	que	tendrá	el	re-
sultado?
A)	13	 B)	14	 	 	 C)	12
D)	11	 	 	 	 	 	 E)	10
30. Si an
n
= + + +50 49 482 2 2 ...;
sumandos
� ���� ���� además, se tiene que
 a1+a2+a3+...+a50=abcdefg, calcule el valor 
 de a+b+c+d+e+f+g.
A)	20
B)	27
C)	31
D)	24
E)	34
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Teoría de números I
NIVEL BÁSICO
1. ¿Cuántos	 números	 de	 4	 cifras	 son	 divisibles	
por	9	y	por	15;	pero	no	por	25?
A)	50	 B)	150	 	 	 C)	160
D)	200	 	 	 	 	 	 E)	300
2. Se	cumple	que	ab ba1 44=
o
. Calcule el residuo 
de dividir W	entre	9	si	W a ba ba b= 





2 2 2
301
201
...
cifras
� ��� ��� .
A)	3	 B)	2	 	 	 	 C)	1
D)	4	 	 	 	 	 	 E)	0
3. Si N	se	pasa	a	base	8;	¿cuál	es	la	última	cifra?	
 N=52+94+136+...+24131206
A)	1	 B)	4	 	 	 	 C)	5
D)	2	 	 	 	 	 	 E)	3
4. Exprese	N= 743253255325 59...
1202 cifras
� ���� ���� 	en	base	80.	Dé	
como respuesta la última cifra.
A)	30	 B)	27	 	 	 C)	67
D)	58	 	 	 	 	 	 E)	79
5. Si a b3524 33 21= +
o
	y	5 27 4 99 35c d = +
o
; calcule el 
residuo de dividir abcd	entre	12.
A)	3	 B)	2	 	 	 	 C)	6
D)	5	 	 	 	 	 	 E)	7
6. Si m(3m+1) n	posee	(a+1)	divisores,	¿cuántos	
divisores tendrá (2m	–	2)(m+2)(m+1) n? Con-
sidere	 que	 a es el triple del primer número 
perfecto.
A)	18	 B)	25	 	 	 C)	31
D)	37	 	 	 	 	 	 E)	43
7. Se	sabe	que	N	tiene	5	cifras,	4	divisores	primos	
y	91	compuestos;	además,	al	dividir	N	entre	16;	
49	y	27	 se	obtienen	como	 residuos	8;	35	y	9;	
respectivamente. ¿Cuántos de los divisores de 
N son ≠ 28
o
?
A)	72	 B)	48	 	 	 C)	64
D)	24	 	 	 	 	 	 E)	49
8. Un número A=5n×6n+2	tiene	242	divisores	no	
primos. Otro número B	es	tal	que	admite	solo	
2	 divisores	 primos	 y	 9	 divisores	 compuestos,	
siendo	 la	 suma	 de	 todos	 sus	 divisores	 1240.	
¿Cuántos divisores cuadrados perfectos tienen 
en común A	y	B?
A)	2	
B)	4	 	 	 	
C)	6
D)	5	 	 	 	 	 	
E)	3
9. Si ab=(n	–	1)(n	–	2)n	 y	 (a+b)	 es	 máximo,	
¿cuántos divisores tiene a(b+1)! si ab! tiene m 
divisores?
A)	(m+1) B)	
35
17
m C)	
80
69
m
D)	
490
423
m E)	
17
31
m
10. Se	sabe	que	entre	6N	y	10N	existen	96	números	
PESI con N. Calcule cuántos números PESI con 
7N	existen	entre	28N	y	49N si N ≠ 7
o
.
A)	18	 B)	96	 	 	 C)	192
D)	432	 	 	 	 	 	 E)	504
11. Calcule la suma de todos los números menores 
que	103	y	PESI	con	él.
A)	200	000	 B)	40	000		 	 C)	400
D)	20	000	 	 	 	 	 	 E)	600
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12. Se	cumple	que
	 MCM[24A,	72B]=4320
	 MCM[90B,	198C]=29	700
 Calcule MCM[5A, 15B, 33C].
A)	9900	
B)	4950	 	 	
C)	19	800
D)	8500	 	 	 	 	 	
E)	14	850
13. Se calculó el MCD de A	y	B	(A > B)	mediante	el	
algoritmo de Euclides. De ello, se obtuvo como 
cocientes	sucesivos	2;	4;	5	y	3.	Si	el	MCD	es	el	
menor	 número	 impar	 que	 tiene	 10	divisores,	
calcule	la	suma	de	cifras	del	mayor	de	los	nú-
meros.
A)	18	 B)	24	 	 	 C)	17
D)	20	 	 	 	 	 	 E)	31
14. Si A	y	B son PESI; además,
 MCD 2 2
142 2A B A
B
−( )  =;
 MCM[A;	(A – B)]=6A
 Calcule A×B.
A)	35	 B)	14	 	 	 C)	21
D)	49	 	 	 	 	 	 E)	91
15. Se	quiere	dividir	un	terreno	de	forma	rectangu-
lar,	cuyas	dimensiones	son	1092	y	3528	metros,	
en	parcelas	cuadradas,	todas	iguales	y	sin	que	
sobre	terreno.	Luego	se	colocarán	estacas,	de	
tal	modo	 que	 exista	 una	 estaca	 en	 cada	 es-
quina	de	las	parcelas,	pero	una	de	las	estacas	
debe estar en el centro del terreno. Calcule el 
número total de estacas si el lado de las parce-
las	está	entre	20	y	30,	y	es	la	menor	cantidad	
posible de estas.
A)	4425	
B)	8957	 	 	
C)	569
D)	1208	 	 	 	 	 	
E)	9875
NIVEL INTERMEDIO
16. ¿Cuántos	 números	 impares	 menores	 que	
140	400	no	son	divisibles	por	3,	por	5	ni	por	13?
A)	1200	 B)	34559	 	 	 C)	34560
D)	34561	 	 	 	 	 	 E)	32540
17. Si N abcabc abca
c c
=
( ) +( )
...
3 2 4 cifras
� ��� ��� al ser dividido entre 11, 
deja 5 como residuo, calcule a+b+c si se sabe 
que	N es mínimo.
A)	5	 B)	6	 	 	 	 C)	7
D)	8	 	 	 	 	 	 E)	9
18. Si 5 78 5 78 5 78 5 78 11 3
0005
9
c d c d c d c d
mm
...
cifras
o
� ������ ������ = +
 calcule	(c+d)c	si	(c > d).
A)	9	 B)	125	 	 	 C)	16
D)	25	 	 	 	 	 	 E)	27
19. Si abab
m
...
24
7 5
 cifras
o
��� �� = 		y		acacac... ;
41
11 8
 cifras
o
� �� �� =
	 halle	el	máximo	valor	de	(a+b+c).
A)	18	 B)	14	 	 	 C)	15
D)	16	 	 	 	 	 	 E)	17
20. Un número N	 tiene	 2	 divisores	 primos.	 Si	 se	
le	multiplica	por	27	y	por	625;	su	cantidad	de	
divisores	se	duplica	y	triplica,	respectivamente.	
Calcule la suma de cifras de N.
A)	8	 B)	18	 	 	 C)	15
D)	12	 	 	 	 	 	 E)	9
21. Se sabe abc m m8
12 13
00 0 0! ... ... ; .= ≠
ceros

 Calcule el 
máximo	valor	de	c2 – b2 – a4+1.	Considere	que	
a+b+c	es	máximo.
A)	18	 B)	20	 	 	 C)	30
D)	26	 	 	 	 	 	 E)	32
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22. El producto de divisores de N es 372×2108×5180. 
Determine b – a si a la cantidad de divisores 
múltiplos	de	3	y	PESI	con	26	del	cuadrado	de	 la	
suma de divisores de N;	y	b, la cantidad de divisores 
múltiplos	de	3	y	no	múltiplos	de	26,	 también	del	
cuadrado de la suma de divisores de N.
A)	12	 B)	216	 	 	 C)	648
D)	486	 	 	 	 	 	 E)	270
23. Si MCD
cifras cifras
200 0 500 0 009 6... ; ... .
! !ab m
a��� �� ��� ��





= ... ;0
12
n
cifras
��� ��
 además, 
MCM(am; mn)	 tiene	 k divisores cuadrados 
perfectos; calcule el valor de k.
A)	6	 B)	10	 	 	 C)	8
D)	4	 	 	 	 	 	 E)	12
24. Si MCD abc bab c c; ,1
2
( ) = 




 además;
 MCM(ab; ba)=...5;	 calcule	 en	 cuántos	 ceros	
termina ab!	cuando	se	expresa	en	base	c.
A)	28	 B)	35	 	 	 C)	40
D)	38	 	 	 	 	 	 E)	42
25. Tres	autos	participan	en	una	prueba	de	velo-
cidad en un autódromo con 3 pistas concén-
tricas. Un cuadrado de 300 m de lado, otro de 
150	m	 y	 una	 pista	 circular	 con	 una	 longitud	
de	 720	m.	 Las	 velocidades	 de	 los	 tres	 autos	
que	recorren	estas	pistas	son	80	m/s;	75	m/s	y	
60	m/s,	 respectivamente	 y	 los	 puntos	de	par-
tida de las tres pistas están en línea recta, de 
modo	que	pasan	por	2	vértices	de	los	cuadra-
dos	y	por	el	centro	común.	Calcule	el	tiempo	
que	transcurre	para	que	los	3	autos	estén	por	
novena vez en el punto de partida.
A)	10	min	
B)	12	min	 	
C)	14	min
D)	16	min	 	 	 	 	 	
E)	18	min
NIVEL AVANZADO
26. Si m c a24 5 8=
o
	 y	mcmcmc = 44
o
 además, c es 
máximo;	calcule	el	residuo	que	se	obtiene	al	
dividir amcamcamc
a c
...
× cifras
� ��� ��� 9 	entre	7.
A)	3	 B)	5	 	 	 	 C)	2
D)	4	 	 	 	 	 	 E)	6
27. Calcule b – a si ab = 13
o
; además
 7 9 8 56× + = + +( )ba ab a b
o
A)	3	 B)	4	 	 	 	 C)	1
D)	2	 	 	 	 	 	 E)	–	1
28. Calcule	la	suma	de	valores	que	toma	ab(ab	<	30)	
y	1213 1213 1213 52+ + =×ab ab
o
A)	300	 B)	230	 	 	 C)	205
D)	242	 	 	 	 	 	 E)	250
29. Calcule la suma de las 3 últimas cifras del de-
sarrollo	de	(m+1)297	expresado	en	base	7;	se		
sabe	que	m es la cantidad de números primos 
que	se	obtendría	de	N=16a+4b+c, donde a, b 
y	c	son	menores	que	4	y	a ≠ 0; además a, b	y	c 
toman valores no negativos.
A)	10	 B)	11	 	 	 C)	14
D)	13	 	 	 	 	 	 E)	17
30. Se	sabe	que	A
k
= 111 112...
cifras
��� �� 	y	B
m
= 111 112... ;
cifras
��� �� además, 
MCD(5A; 3B)=5	y	m < k < 10 entonces P es el 
máximo	valor	de	k+m. 
 Cuando el MCM de C nnn nn n= +( )...
50
2 1
cifras
� �� �� 	 y	
E nnn nn n= +( )...
75
2 1
cifras
� �� �� se	expresa	en	base	 (2n+1),	
se	 observa	 que	Q es la suma de sus cifras. 
Calcule P×Q.
A)	1080n	 B)	2550n	 	 	 C)	260n
D)	980n	 	 	 	 	 	 E)	460n
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Teoría de números II
NIVEL BÁSICO
1. Si aabc9	 es	 un	 cuadrado	 perfecto	 máximo,	
además,	su	raíz	es	9º.	Halle	a+b+c.
A)	8	 B)	9	 	 	 	 C)	10
D)	15	 	 	 	 	 	 E)	21
2. ¿Cuál es la suma de las cifras del menor núme-
ro	 cuadrado	 perfecto	 que	 puede	 ser	 residuo	
máximo	de	una	raíz	cúbica?
A)	8	 B)	9	 	 	 	 C)	6
D)	12	 	 	 	 	 	 E)	10
3. ¿Cuántos números de tres cifras tienen la raíz 
cuadrada	y	la	raíz	cúbica	con	el	mismo	residuo	
no nulo?
A)	52	 B)	53	 	 	 C)	54
D)	55	 	 	 	 	 	 E)	56
 UNI 2007 - II
4. Al	extraer	la	raíz	cuarta	de	un	número	natural,	
el	 residuo	por	 defecto	 es	 94	 y	 el	 residuo	por	
exceso	es	81.	Determine	la	suma	de	cifras	de	
dicho	número.
A)	13	 B)	15	 	 	 C)	16
D)	14	 	 	 	 	 	 E)	12
5. Al	extraer	la	raíz	cuadrada	de	un	número	se	ob-
tuvo	como	residuo	22.	Si	el	número	se	cuadru-
plica,	la	raíz	cuadrada	aumenta	en	13	y	el	resi-
duo	en	17.	Halle	la	suma	de	cifras	del	número.
A)	13	 B)	14	 	 	 C)	12
D)	20	 	 	 	 	 	 E)	18
6. Se	cumple	que	el	numeral	abbc es un cuadra-
do perfecto, además, 14 0 1
ab
b= +( ), . Calcule el 
valor de a×b×c.
A)40	 B)	42	 	 	 C)	22
D)	48	 	 	 	 	 	 E)	24
7. ¿Cuántas fracciones impropias irreductibles me-
nores	que	5	existen	cuyo	denominador	sea	35?
A)	95	 B)	96	 	 	 C)	97
D)	93	 	 	 	 	 	 E)	94
8. Halle	m+n	si	se	sabe	que
 
m n
n m
37 9
0 1 0+ = +( ),
A)	3	 B)	8	 	 	 	 C)	11
D)	13	 	 	 	 	 	 E)	15
9. Se	tiene	que
 
E = + + + +
1
6
2
36
3
216
4
1296
...
 
T = + + + + +
2
6
3
25
1
125
3
625
1
3125
...
 Calcule E+T	y	dé	como	respuesta	la	suma	de	
cifras del numerador de la fracción irreductible 
equivalente.
A)	8	 B)	12	 	 	 C)	10
D)	11	 	 	 	 	 	 E)	15
10. Indique	cuántos	valores	puede	tomar	el	deno-
minador	de	una	fracción	propia	cuyo	numera-
dor es 33, si este genera un decimal periódico 
mixto	de	2	cifras	periódicas	 y	 6	 cifras	no	pe-
riódicas.
A)	12	 B)	15	 	 	 C)	13
D)	14	 	 	 	 	 	 E)	25
Aritmética
 
10
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11. Calcule	la	última	cifra	del	periodo	que	origina	
la siguiente fracción.
 
F
cv
=
58
127 2014
A)	7	 B)	2	 	 	 	 C)	8
D)	4	 	 	 	 	 	 E)	6
12. Si la fracción irreductible c a
a
a
−( )





 +( )
2
2
1
 genera un 
decimal de la forma 0 2 2, ;a c a+( ) +( ) calcule 
el valor de a×c.
A)	12	 B)	16	 	 	 C)	8
D)	9	 	 	 	 	 	 E)	10
13. Se	cumple	que	 480
160
0
700
= ,... .mn Calcule la suma 
de todas las fracciones propias e irreductibles, 
cuyo	denominador	sea	mn.
A)	40	 B)	50	 	 	 C)	60
D)	70	 	 	 	 	 	 E)	20
14. Si ab
c
mn
1
0 5 13= , , determine la suma de los 
valores posibles de a+b.
A)	20	 B)	40	 	 	 C)	42
D)	30	 	 	 	 	 	 E)	38
15. Si 4b, an8=2aa, 03n, ¿cuál es la suma de las 
cifras de la parte periódica de M
n
bn
= ?
A)	11	 B)	10	 	 	 C)	5
D)	6	 	 	 	 	 	 E)	16
NIVEL INTERMEDIO
16. De los siguientes enunciados
I.	 Existen	únicamente	10	números	de	cuatro	
cifras	que	son	cubos	perfectos.
II. El residuo de la raíz cúbica de un número 
positivo	es	siempre	menor	que	el	triple	del	
cuadrado de la raíz más el triple de la raíz 
más uno.
III.	La	 suma	 de	 los	 cubos	 de	 tres	 números	
enteros consecutivos es divisible por tres 
veces	el	número	del	medio	y	por	nueve.
	 Podemos	afirmar	correctamente	que:
A)	FFF		
B)	FVF	 	 	
C)	FVV
D)	VFV	 	 	 	 	
E)	VVV
 UNI 2000 - I
17. Al	extraer	la	raíz	cuadrada	de	un	número	de	5	
cifras	que	empieza	con	4,	se	obtuvo	como	resi-
duos	parciales	0	y	35;	y	como	residuo	final,	164.	 
Determine	la	suma	de	cifras	de	dicho	número.
A)	35	
B)	33	 	 	
C)	20
D)	22	 	 	 	 	 	
E)	25
18. Al	extraer	la	raíz	cuadrada	de	2abb4; se obtiene 
como raíz 1cd	y	el	residuo	máximo.	Calcule	el	
valor de a+b+c+d.
A)	11	
B)	15	 	 	
C)	16
D)	18	 	 	 	 	 	
E)	19
19. Si n es la cantidad de fracciones propias e irre-
ductibles de la forma A
120
	y	m, la cantidad de 
fracciones impropias,	irreductibles	y	menores	
que 3 de la forma 
B
180
;	halle	cuántas	fracciones	
de la forma 
ab
cde
	son	equivalentes	a	
n
m
.
A)	50	
B)	56	 	 	
C)	65
D)	71	 	 	 	 	 	
E)	84
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20. Determine la cantidad de cifras no periódicas 
que	genera	la	siguiente	fracción.
 
F
k k
=
−
−
+9 9
55 44
1
! !
A)	32	 B)	37	 	 	 C)	38
D)	34	 	 	 	 	 	 E)	36
21. ¿Cuántas fracciones genera un decimal perió-
dico	mixto	de	la	forma	0 4, ab si el denomina-
dor no es 3
o
?
A)	8	
B)	11	 	 	
C)	9
D)	10	 	 	 	 	 	
E)	12
22. Si	 la	 expresión	 3 11 36
3
2n n
n
n
+ +
+





 ∀ ∈ +; Z da 
como resultado un número entero, calcule la 
suma	de	todos	los	valores	que	toma	n.
A)	51	 B)	34	 	 	 C)	36
D)	10	 	 	 	 	 	 E)	48
23. Una pieza mecánica, para ser procesada, pasa 
por tres etapas. En la primera, se le añade cero, 
aumentando su peso en 1/5; en la segunda, al 
efectuar	unos	cortes	y	agujeros,	se	pierde	1/10	
del	 peso	 que	 quedaba,	 y	 en	 la	 tercera,	 se	 le	
añade	nuevamente	acero	por	lo	que	aumenta	
su	peso	3/10	del	peso	que	quedaba.	Si	al	final	
del	proceso	dicha	pieza	aumenta	su	peso	en	
202	gramos,	calcule	el	precio	inicial.
A)	500	gr	
B)	560	gr	 	 	
C)	380	gr
D)	460	gr	 	 	 	 	 	
E)	580	gr
24. Halle	la	suma	de	los	términos	de	una	fracción	
propia e irreductible al convertirla a los siste-
mas	de	base	5	y	7	se	obtienen	fracciones	perió-
dicas puras de dos cifras periódicas cada una, 
cuyas	últimas	cifras	 son	 iguales,	 y	 la	primera	
de una de ellas es el doble de la otra.
A)	5	 B)	8	 	 	 	 C)	9
D)	10	 	 	 	 	 	 E)	11
25. Se	cumple	que	 a
bc
eba= 0, 	y	
eb
b c
mne
−( )
=
1
0, . 
Calcule la suma de la cantidad de cifras perió-
dicas	y	no	periódicas	que	genera	la	fracción
 
f
e b
me n e
=
−( )
+( )
1 0
2 2
A)	8	 B)	12	 	 	 C)	10
D)	11	 	 	 	 	 	 E)	9
NIVEL AVANZADO
26. Si mn5 2=abcde, además, a=b – c,	 halle	 la	
cantidad	de	ceros	en	que	termina	el	 factorial	
de	la	suma	de	todos	los	valores	que	asume	ab.
A)	18	 B)	22	 	 	 C)	26
D)	28	 	 	 	 	 	 E)	16
27. Cuando	a	un	número	se	 le	extrae	su	 raíz	cú-
bica,	 el	 residuo	 que	 se	 obtiene	 es	 igual	 a	 la	
raíz	cuadrada	del	residuo	máximo.	Pero	si	ha	
dicho	número	 se	 le	 suma	cierta	 cantidad,	 se	
convierte en el siguiente cubo perfecto. ¿Cuál 
es la cantidad mínima sumada?
A)	5	
B)	6	 	 	 	
C)	23
D)	29	 	 	 	 	 	
E)	31
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28. Tres	equipos	de	obreros	podrían	hacer	el	mis-
mo	 trabajo:	el	primero	en	8	días,	el	 segundo	
en	10	días	y	el	 tercero	en	12	días.	Se	toma	la	
mitad	del	primer	equipo,	 la	 tercera	parte	del	
segundo	equipo	y	los	3/4	del	tercer	equipo.	¿En	
cuántos	días	quedará	terminada	la	19/30	parte	
del trabajo?
A)	2	días	 B)	3	días	 	 	 C)	4	días
D)	5	días	 	 	 	 	 	 E)	6	días
29. Se tiene un tonel con V litros de los cuales los 
2/5	son	de	alcohol	puro	y	el	resto	agua.	Se	le	
extrae	el	60	%	de	lo	que	no	se	extrae,	luego	se	
extrae	el	30	%	de	lo	que	no	se	extrae	y	por	úl-
timo	el	50	%	de	lo	extraído	hasta	el	momento,	
observándose	que	en	 lo	que	queda	 los	 volú-
menes	de	alcohol	y	agua	se	diferencian	en	385	
litros. Calcule V.
A)	5048 B)	5246	 	 	 C)	5408
D)	5216 E)	5480
30. La	 fracción	 propia	 N/D genera un decimal 
exacto.	Si	D es la cantidad de números de la 
forma abcdef 0	y	que	sean	cubos	perfectos.	Dé	
como	respuesta	la	suma	de	valores	que	asume	
p si 3p	es	PESI	con	la	suma	de	los	valores	que	
asume N.
A)	10	 B)	12	 	 	 C)	13
D)	14	 	 	 	 	 	 E)	15
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Proporcionalidad
NIVEL BÁSICO
1. Se	tienen	3	razones	geométricas	equivalentes	
de razón entera. Si la suma de los cuadrados 
de	los	antecedentes	es	189	y	los	consecuentes	
forman una proporción geométrica continua, 
Halle	la	suma	de	los	antecedentes.
A)	24	 B)	28	 	 	 C)	32
D)	21	 	 	 	 	 	 E)	42
2. Si a
n
b
n
c
n! ! !
=
+( )
=
+( )1 2
	y	a+b+c=5887;	donde 
a, b, c ∈ N.	Halle	la	suma	de	cifras	de	a×b×c.
A)	43	 B)	44	 	 	 C)	45
D)	46	 	 	 	 	 	 E)	47
3. Se	 tiene	que	
a
b
b a
a
b
a b−
=
− +
+
=
+
+ +3
5
10
3
4
.	Halle	
el valor de la media diferencial de a	y	b.
A)	10,5	 B)	12,5	 	 	 C)	11
D)	14	 	 	 	 	 	 E)	11,5
4. En una proporción geométrica discreta, el 
producto	 de	 los	 antecedentes	 es	 108	 y	 su	
diferencia es igual al doble del menor de los 
antecedentes.	 Si	 la	 suma	 de	 los	 4	 términos	
de	la	proporción	es	144;	halle	el	menor	de	los	
consecuentes.
A)	24	 B)	28	 	 	 C)	30
D)	32	 	 	 	 	 	 E)	36
5. Si las magnitudes A, B	y	C guardan cierta rela-
ción de proporcionalidad. Calcule x+y.
A 3 12 1 21 9
B 5 20 5 x 45
C 2 2 18 50 y
A)	193	 B)	112,4	 	 	 C)	312,5
D)	12	 	 	 	 	 	 E)	324,5
6. Sean A	y	B	magnitudes,	tales	que
	 •	 A DP B cuando B ≤	6
	 •	 A IP B cuando B ≥	6
	 Se	 sabe	 que	 para	 B=x, A=5;	 x <	6	 y	 para	
B=2x+6,	A=z, además, al realizarla gráfica de 
las magnitudes A	 y	B	 se	 observa	 que	 el	 valor	
máximo	de	A	es	10.	Halle	la	suma	de	cifras	de	z4.
A)	10	 B)	14	 	 	 C)	12
D)	11	 	 	 	 	 	 E)	13
7. Si A	hace	un	trabajo	en	8	días	y	B	lo	hace	en	10	
días,	¿en	cuántos	días	harán	el	trabajo	juntos?	
Considere	que	B	disminuye	su	eficiencia	en	su	
50	%	y	A	la	aumenta	en	su	20	%.
A)	5	 B)	2	 	 	 	 C)	3
D)	4	 	 	 	 	 	 E)	6
8. Se	reparten	S/.800	000	en	forma	IP	a	las	raíces	
cuadradas	de	las	edades	de	2	personas.	Si	una	
de	ellas	recibe	S/.300	000	y	se	sabe	que	la	suma	
de	 las	 edades	 es	 68	 años,	 halle	 la	 diferencia	 
de años.
A)	12	 B)	10	 	 	 C)	4
D)	26	 	 	 	 	 	 E)	32
9. Una	familia	tiene	víveres	para	47	días,	pero	al	
cabo de algunos días recibieron la visita de un 
tío,	su	esposa	y	su	hijo,	por	lo	que	los	víveres	
duraron	trece	días	menos.	¿Luego	de	cuántos	
días recibieron la visita?
A)	5	
B)	8	 	 	 	
C)	6
D)	4	 	 	 	 	 	
E)	7
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10. Del gráfico, calcule b1+b2+b3.
0
2
Q
R
B
A
D hipérbolab1
b2
b3
42 8
A)	22	 B)	24	 	 	 C)	26
D)	28	 	 	 	 	 	 E)	30
11. En determinado momento de una fiesta, se 
observa	 que	 el	 40	%	 de	 los	 varones	 que	 no	
bailan	 es	 la	mitad	 de	 las	mujeres	 que	 si	 los	
hacen;	y	las	mujeres	que	no	bailan	son	el	50	%	
de	los	varones	que	bailan.	¿Cuántas	personas	
no	bailan	si	en	total	habían	120	personas?
A)	52	 B)	50	 	 	 C)	48
D)	56	 	 	 	 	 	 E)	65
12. Haydi	gasta	el	 lunes	un	10	%	de	 lo	que	 tenía;	
el	martes,	20	%	del	resto;	el	miércoles,	30	%	de	
lo	que	le	quedó,	y	así	sucesivamente	hasta	el	
viernes,	en	que	se	queda	con	S/.189.	¿Cuánto	
tenía inicialmente?
A)	S/.1450	 B)	S/.1050	 	 C)	S/.1350
D)	S/.1150	 	 	 	 	 	 E)	S/.1250
13. Para fijar el precio de venta de un producto, se 
aumentó su costo en cierto tanto por ciento, 
pero	al	venderse,	se	hizo	un	descuento	equi-
valente	al	mismo	tanto	por	ciento	que	se	au-
mentó,	de	lo	que	resultó	una	pérdida	equiva-
lente	al	10,89	%.	Halle	el	 tanto	por	ciento	que	
se aumentó.
A)	35	%	
B)	31	%	 	 	
C)	33	%
D)	27	%	 	 	 	 	 	
E)	37	%
14. Miguel	vende	su	televisor	y	gana	el	33 3, %

 de su 
costo,	luego	de	haber	descontado	en	la	venta	
un	30	%.	¿Qué	tanto	por	ciento	del	precio	fijado	
representa el precio de costo?
A)	49,5	%	 B)	50,5	%		 	 C)	52,5	%
D)	54,5	%	 	 	 	 	 	 E)	56,5	%
15. Determine	la	secuencia	correcta	de	verdad	(V)	
o	falsedad	(F).
	 I.	 El	precio	de	venta	siempre	es	menor	que	el	
precio fijado.
	 II.	 Dos	 descuentos	 sucesivos	 de	 40	%	 y	 30	%	
equivalen	a	un	descuento	único	del	58	%.
	 III.	El	precio	de	costo	es	mayor	que	el	precio	
de venta.
A)	FVV	 B)	FFF	 	 	 C)	VFF
D)	FVF	 	 	 	 	 	 E)	VVF
NIVEL INTERMEDIO
16. En	una	fiesta,	las	cantidades	de	varones	y	mu-
jeres asistentes están en la relación de 3 a 1. 
Después	de	transcurridas	2	horas,	se	retiran	20	
parejas	 y	ocurre	que	 la	nueva	 relación	es	de	
5	a	1.	Finalmente	cuando	transcurren	2	horas	
más, se retiran x	parejas	más	y	la	nueva	rela-
ción	es	de	6	a	1.	Calcule	el	valor	de	x.
A)	3	 B)	4	 	 	 	 C)	5
D)	6	 	 	 	 	 	 E)	10
17. En	una	proporción	geométrica	continua,	cuya	
razón	 es	 un	 número	 natural,	 se	 cumple	 que	
la	 suma	 de	 los	 términos	 extremos	menos	 la	
suma	de	los	términos	medios	es	450.	Calcule	
la	 suma	 de	 las	 cifras	 del	 máximo	 valor	 del	
primer antecedente.
A)	5 B)	8			 	 	 C)	9
D)	15 E)	18
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18. En	una	igualdad	de	4	razones	geométricas	de	
términos diferentes, la suma de términos es a 
la	suma	de	consecuentes	como	9	es	a	2;	ade-
más, el producto de los términos de lugar par 
es	12	320.	Calcule	el	mayor	 término	de	 la	se-
rie	 si	 todos	 los	 términos	 son	mayores	que	 la	
razón.
A)	76	 B)	77	 	 	 C)	36
D)	44	 	 	 	 	 	 E)	88
19. Un	registro	de	200	soldados	tiene	víveres	para	
40	días	a	 razón	de	3	 raciones	diarias.	Pero	al	
cabo	de	20	días,	reciben	40	soldados	con	víve-
res	para	30	días	a	razón	de	4	raciones	diarias.	
Si	se	juntan	los	víveres	y	se	consumen	a	razón	
de	2	raciones	diarias,	¿para	cuántos	días	alcan-
zaron los víveres?
A)	30	 B)	35	 	 	 C)	40
D)	45	 	 	 	 	 	 E)	50
20. Veinte	 obreros	 realizan	 una	 obra	 en	 40	 días,	
trabajando	 ocho	 horas	 diarias.	 Pero,	 faltando	
15	días	para	culminar	la	obra,	se	retiran	8	obre-
ros,	por	lo	cual,	los	obreros	que	quedaron	du-
plicaron	su	eficiencia.	A	raíz	de	esto,	cada	día	
solo	podían	trabajar	5	horas.	¿Cuántos	días	de	
más se demoraron en terminar la obra?
A)	2	 B)	18	 	 	 C)	4
D)	5	 	 	 	 	 	 E)	20
21. Tres	 socios	 A,	 B	 y	 C	 formaron	 una	 empresa	
que	 duró	 10	 meses,	 en	 la	 que	 aportaron	
S/.4000,	 S/.5000	 y	 S/.6000;	 respectivamente.	
A	 estuvo	 los	 10	 meses;	 B,	 los	 4	 primeros	
meses;	 C,	 los	 6	 primeros	meses	 y	 hubo	 una	
utilidad	total	de	S/.12	000.	Si	el	socio	C	hubiera	
retornado	 faltando	dos	meses	 (para	el	 cierre	
de	la	empresa)	con	una	aportación	de	S/.7000,	
entonces	este	socio	hubiera	ganado	un	33 3, %

 
más	que	en	el	primer	caso.	Halle	 la	suma	de	
las cifras de la utilidad total del segundo caso.
A)	3	 B)	4	 	 	 	 C)	2
D)	5	 	 	 	 	 	 E)	6
22. Tres	 personas	 A,	 B	 y	 C	 forman	 un	 negocio	
aportando	S/.15	000;	S/.20	000	y	S/.30	000;	res-
pectivamente.	Al	 cabo	de	un	año,	A	 y	B	 reti-
ran	 S/.10	000	 y	 S/.15	000;	 respectivamente.	 Si	
el	 negocio	 se	 liquidó	 después	 de	 2	 años	 de	
funcionamiento	y	el	socio	A	recibió	S/.2040	de	
ganancia	menos,	que	lo	que	hubiera	recibido	
si	no	 retiraba	parte	de	 su	dinero,	halle	 la	 ga-
nancia	de	B.
A)	S/.2500	 B)	S/.6000	 	 C)	S/.6500
D)	S/.6900	 	 	 	 	 	 E)	S/.7200
23. Se	procede	a	 inflar	una	pelota	de	 fútbol	 y	 se	
observa	que	la	sombra	que	proyecta	varía	en	
44	%.	 ¿Qué	 tanto	por	 ciento	 varía	 el	 volumen	
de la pelota?
A)	172,8	%	 B)	36,4	%		 	 C)	72,8	%
D)	64,6	%	 	 	 	 	 	 E)	74,6	%
24. Dos recipientes contienen vino. El primero, 
hasta	la	mitad	de	su	capacidad;	y	el	segundo,	
hasta	un	tercio	de	su	volumen.	Se	completa	lo	
que	 falta	 en	 cada	 caso	 con	 agua,	 y	 luego	 se	
vierten las mezclas en un tercer recipiente. Si 
la capacidad del segundo recipiente es el triple 
que	 la	 del	 primero,	 determine	 qué	 tanto	 por	
ciento de vino contiene el tercer recipiente.
A)	60	%	 B)	62,5	%		 	 C)	75	%
D)	37,5	%	 	 	 	 	 	 E)	53,5	%
25. Con	el	dinero	que	tiene	Jessica,	se	puede	com-
prar cierto número de camisas. Pero si al costo 
de	 cada	 camisa	 se	 le	 hacen	 dos	 descuentos	
sucesivos	del	10	%	y	20	%,	compraría	7	camisas	
mas.	¿Cuántas	camisas	compraría	si	le	hacen	
un	descuento	del	10	%?
A)	30	 B)	25	 	 	 C)	35
D)	20	 	 	 	 	 	 E)	15
Aritmética
 
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NIVEL AVANZADO
26. Se	mezclan	en	un	recipiente	40	 litros	de	vino	
con	30	litros	de	agua.	Luego	se	extraen	28	litros	
de	la	mezcla	y	se	reemplazan	por	12	litros	de	
vino;	después	se	extraen	de	 la	nueva	mezcla	
18	litros	y	se	reemplazan	por	6	litros	de	agua,	
para	finalmente	extraer	a	litros	de	la	mezcla	y	
se	logre	reemplazar	por	12	litros	de	vino.	Todo	
este	proceso	origina	que	la	relación	final	entre	
vino	y	agua	sea	de	16	a	3.	Calcule	a.
A)	12	 B)	13	 	 	 C)	35
D)	20	 	 	 	 	 	 E)	6
27. Se	tienen	4	recipientes	que	contienen	vino,	ga-
seosa,	alcohol	y	agua,	respectivamente;	cuyos	
volúmenes en litros, en ese orden forman una 
serie	 de	 3	 razones	 geométricas	 equivalentes	
continuas.	Además,	el	vino	y	la	gaseosa	hacen	
un	total	de	1200	litros;	el	alcohol	y	el	agua	ha-
cen	un	total	de	432	litros.	Cuando	se	mezclan	
el	vino	y	el	agua,	así	como	la	gaseosa	y	el	alco-
hol,	 se	 consumen	 304	 litros	 de	 cada	mezcla.	
Determine la razón aritmética de las cantida-
des	finales	de	agua	y	alcohol	en	litros.
A)	24	
B)	28	 	 	
C)	36
D)	44	 	 	 	 	 	
E)	48
28. Se	estima	que	la