Semestral Uni - Álgebra semana 07

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INECUACIONES II
ÁLGEBRA
SEMANA 7
Las desigualdades aplicados a la economía
Uno de los usos que se le da actualmente a las
inecuaciones son en las APLICACIONES COMERCIALES.
Si es que vamos a poner una empresa o un negocio, con
el uso de las inecuaciones podremos planificar nuestros
ingresos, utilidades, costos fijos, costos variables y
costos totales, etc.
APLICACIÓN
La empresa VIDASALUD fabrica protectores faciales especiales que
tiene un precio unitario de venta de S/20 y su costo unitario es de
S/15. Si los costos fijos son de S/8000, determine el numero mínimo
de unidades que deben venderse parea que la empresa genere
utilidades.
INECUACIÓN POLINOMIAL DE GRADO SUPERIOR 
Resuelva las siguientes inecuaciones 
I.
𝒂𝟎𝒙
𝒏 + 𝒂𝟏𝒙
𝒏−𝟏 +⋯+ 𝒂𝒏−𝟏𝒙 + 𝒂𝒏 ≷ 𝟎
Forma general
𝐃𝐨𝐧𝐝𝐞: 𝒂𝟎 ≠ 𝟎 ∧ 𝒏 ≥ 𝟑
Resolución de una inecuación de grado superior 
A la inecuación le damos su forma general y es
conveniente que su coeficiente principal sea positivo.
Factorice en ℝ.
Aplique los teoremas necesarios para simplificar la
inecuación (se desarrollan mas adelante).
Utilice el criterio de los puntos críticos e indique el
conjunto solución.
II.
III.
IV.
Ejemplos
𝟏) 𝑥3 + 5𝑥2 ≤ 10𝑥 + 2𝑥2
I. 𝑥3 + 3𝑥2 − 10𝑥 ≤ 0
II. 𝑥 𝑥2 + 3𝑥 − 10 ≤ 0
𝒙
𝒙
𝟓
−𝟐
𝑥 𝑥 + 5 𝑥 − 2 ≤ 0
No hay necesidad de aplicar teoremas.III.
IV. Puntos críticos: 0;−5; 2
𝟐−𝟓 𝟎 +∞−∞
CS = ;∞−ۦ ሿ−5 ∪ 0; 2
𝟐) 𝑥3 − 7𝑥 + 6 > 0
Factorizando por DIVISORES BINÓMICOS.
1 0 −7 6
𝟏
1
1
1 −6
−6
0
1
𝒙𝒙𝟐
(𝑥 − 1)
1 es raíz
𝒙
𝒙
𝟑
−𝟐
𝑥 − 1 𝑥 + 3 𝑥 − 2 > 0
(𝑥2+ 𝑥 − 6) > 0
Puntos críticos: 1;−3; 2
𝟐−𝟑 𝟏 +∞−∞
CS = ;3−ۦ 1⟩ ∪ 2;+∞
TEOREMAS
Teorema 1
Sea la inecuación polinomial de grado superior, 𝑃 𝑥 ≷ 0
Si 𝑃 𝑥 presenta un factor positivo, dicho factor se puede
cancelar y no cambia el sentido de la desigualdad.
Ejemplos
𝟏) 𝑥2 + 4 𝑥 − 6 ≤ 0
𝑥 − 6 ≤ 0
Resuelva las siguientes inecuaciones 
+
𝑥 ≤ 6
+∞−∞ 𝟔
CS = ;∞−ۦ ሿ6
𝟐) 𝑥4 + 6𝑥3 + 16𝑥2 + 26𝑥 + 15 > 0
Factorizando por ASPA DOBLE ESPECIAL.
𝒙𝟐
𝒙𝟐
𝟑
𝟓
𝟑𝑥2
𝟓𝑥2
𝟒𝒙
𝟐𝒙
𝑥4 + 6𝑥3 + 16𝑥2 + 26𝑥 + 15
+
𝟖𝑥2
−
𝟖𝒙𝟐
𝑥2 + 2𝑥 + 5𝑥2 + 4𝑥 + 3 > 0
𝒙
𝒙
𝟑
𝟏
+
𝐜𝐨𝐞𝐟. 𝐩𝐫𝐢𝐧𝐜.> 𝟎
∆ < 𝟎
𝑥 + 3 𝑥 + 1 > 0
Puntos críticos: −3;−1
−𝟑 −𝟏 +∞−∞
CS = ⟨3−;∞−ۦ ∪ −1;+∞
Teorema 2
Si 𝑃 𝑥 presenta factores con exponente IMPAR, dicho exponente
se puede cancelar y no cambia el sentido de la desigualdad.
Ejemplos
Resuelva las siguientes inecuaciones 
𝟏) 𝑥 − 7 𝟓 𝑥 + 2 ≤ 0
𝑥 − 7 𝑥 + 2 ≤ 0 Puntos críticos: 7;−2
−𝟐 𝟕 +∞−∞
CS = [−2; 7ሿ
𝟐) 𝑥 + 6 𝟑 𝑥 − 4 𝑥𝟕 > 0
𝑥 + 6 𝑥 − 4 𝑥 > 0 Puntos críticos: −6; 4; 0
𝟒−𝟔 𝟎 +∞−∞
CS = ;6−ۦ 0⟩ ∪ 4;+∞
Teorema 3
Cuando 𝑃 𝑥 presenta factores con exponente PAR, se puede
cancelar dicho factor, pero teniendo en cuenta lo siguiente:
Si la desigualdad es ≤ o ≥ , se rescata la o las soluciones
de los factores cancelados igualándolos esta a cero.
Ejemplos
Resuelva las siguientes inecuaciones 
𝟏) 𝑥 − 4 𝟐 𝑥 − 1 ≤ 0
𝑥 − 1 ≤ 0 ∨ 𝑥 − 4 = 0
𝑥 ≤ 1 ∨ 𝑥 = 4
CS = ∪ 4
𝟐) 𝑥 + 3 𝟒 𝑥 − 5 𝑥 − 8 𝟔 ≥ 0
𝑥 − 5 ≥ 0 ∨ 𝑥 + 3 = 0 ∨ 𝑥 − 8 = 0
𝑥 ≥ 5 ∨ 𝑥 = −3 ∨ 𝑥 = 8
CS = ∪ −3
Ya se encuentra 
en el CS
;∞−ۦ ሿ1
[5; ⟩+∞
Si la desigualdad es < o >, se rescata la o las
restricciones obtenidas de los factores cancelados,
indicando que estas deben ser diferente a cero.
Ejemplos
Resuelva las siguientes inecuaciones 
𝟏) 𝑥 − 5 𝟒 𝑥 − 9 < 0
𝑥 − 9 < 0 ∧ 𝑥 − 5 ≠ 0
𝑥 < 9 ∧ 𝑥 ≠ 5
CS = − 5−∞; 9
𝟐) 𝑥 − 6 𝟐 𝑥 − 4 𝑥 + 1 𝟖 > 0
𝑥 − 4 > 0 ∧ 𝑥 − 6 ≠ 0 ∧ 𝑥 + 1 ≠ 0
𝑥 > 4 ∧ 𝑥 ≠ 6 ∧ 𝑥 ≠ −1
CS = − 6
El CS NO toma 
este valor4;+∞
INECUACIÓN FRACCIONARIA
Forma general
𝑷(𝒙)
𝑸(𝒙)
≶ 𝟎
Donde:
𝑷 𝒙 𝐲 𝑸 𝒙 𝐬𝐨𝐧 𝐩𝐨𝐥𝐢𝐧𝐨𝐦𝐢𝐨𝐬
° 𝑸 𝒙 ≥ 𝟏
Teorema
𝑷(𝒙)
𝑸(𝒙)
≶ 𝟎↔ 𝑷(𝒙). 𝑸(𝒙)≷ 𝟎 ∧ 𝑸(𝒙) ≠ 𝟎
𝑥 + 5
𝑥2 − 2𝑥 − 3
≥ 0
𝑥2 + 5𝑥 − 6
𝑥2 − 4
< 0
Ejemplos
⊛ ⊛
Resolución de una inecuación fraccionaria
Darle su forma general.
Aplique el teorema.
Reducir la inecuación obtenida usando la teoría de
inecuaciones polinomiales para hallar su CS.
I.
II.
III.
Ejemplos
Resuelva las siguientes inecuaciones 
1
𝑥 − 2
≤
1
𝑥 + 3
𝟏)
I.
1
𝑥 − 2
−
1
𝑥 + 3
≤ 0
𝑥 + 3 − (𝑥 − 2)
𝑥 − 2 𝑥 + 3
≤ 0
5
𝑥 − 2 𝑥 + 3
≤ 0
II. 5 𝑥 − 2 𝑥 + 3 ≤ 0 ∧ 𝑥 − 2 𝑥 + 3 ≠ 0
Puntos críticos: 2;−3 ∧ 𝑥 − 2 ≠ 0 ∧ 𝑥 + 3 ≠ 0
𝑥 ≠ 2 ∧ 𝑥 ≠ −3
−𝟑 𝟐 +∞−∞
CS = ;3−ۦ 2⟩
III.
𝑥2 − 5𝑥 + 6
𝑥2 − 4
< 0𝟐)
𝑥 − 2 𝑥 − 3
𝑥 + 2 𝑥 − 2
< 0
𝑥 − 3
𝑥 + 2
< 0 ∧ 𝑥 − 2 ≠ 0
𝑥 − 3 𝑥 + 2 < 0
𝑥 ≠ 2
∧ 𝑥 + 2 ≠ 0
𝑥 ≠ −2
Puntos críticos: 3;−2
−𝟐 𝟑 +∞−∞
CS = ;2−ۦ 3⟩
𝟐
− 2
También 
CS = ;2−ۦ 2⟩ ∪ ;2ۦ 3⟩
𝑥2 + 2𝑥 + 3 8 𝑥 − 3 4 𝑥 + 5 6
𝑥2 + 𝑥 − 20
≥ 0𝟑)
𝑥2 + 2𝑥 + 3 8 𝑥 − 3 4 𝑥 + 5 6
𝑥 + 5 𝑥 − 4
≥ 0
𝑥2 + 2𝑥 + 3 8 𝑥 − 3 4 𝑥 + 5 5
𝑥 − 4
≥ 0 ∧ 𝑥 + 5 ≠ 0
𝑥 ≠ −5
𝑥2 + 2𝑥 + 3 8 𝑥 − 3 4 𝑥 + 5 5 𝑥 − 4 ≥ 0 ∧ 𝑥 − 4 ≠ 0
𝑥 ≠ 4
𝑥 + 5 𝑥 − 4 ≥ 0 ∨ 𝑥2 +2𝑥 + 3 = 0 ∨ 𝑥 − 3 = 0
∆ < 𝟎
NO tiene soluciones 
reales
𝑥 = 3Puntos críticos:−5; 4
−𝟓 𝟒 +∞−∞ 𝟑
CS = ⟨5−;∞−ۦ ∪ ⟨∞+;4ۦ ∪ 3
www.a cadem i a ce s a r v a l l e j o . e du . pe