Semestral Uni - Álgebra semana 14

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GRÁFICA DE RELACIONES
ÁLGEBRA
INTRODUCCIÓN
En este tema se da un inicio al estudio de las gráficas
de relaciones, utilizando gráficas conocidas como la
gráfica de las lineales, parábolas, circunferencias,
etc. Además de las gráficas de regiones que se
forman por desigualdades.
Sus usos son amplios, como por ejemplo en el
estudio de la PROGRAMACIÓN LINEAL, para ello es
necesario conocer la REGIÓN FACTIBLE.
⧆
⧆
𝑨
𝒉
𝒈
GRÁFICA DE RELACIONES
Relación
Una relación ℛ de ℝ en ℝ es un subconjunto de ℝ × ℝ.
𝓡 ⊂ ℝ × ℝEs decir
Ejemplos
𝐗
𝐘
𝓡
𝐗
𝐘
𝓡𝟏
𝐗
𝐘
𝒇
𝐗
𝐘
𝐗
𝐘
𝐗
𝐘
Gráficas especiales
𝓡 = 𝒙; 𝒚 ∈ ℝ × ℝ / 𝒚 ≷ 𝒇(𝒙)
𝐗
𝐘
𝒚 ≥ 𝒇(𝒙)
𝐗
𝐘
𝒚 = 𝒇(𝒙)
𝒚 > 𝒇(𝒙)
𝐗
𝐘
𝒚 ≤ 𝒇(𝒙)
𝐗
𝐘
𝒚 < 𝒇(𝒙)
𝐗
𝐘
𝒚 = 𝟒
𝐗
𝐘
4
𝒚 ≥ 𝟒
𝐗
𝐘
4
𝒚 ≥ 𝟒
𝒚 > 𝟒
𝐗
𝐘
4
𝒚 > 𝟒
𝒚 ≤ 𝟒
𝐗
𝐘
4
𝒚 ≤ 𝟒
𝒚 < 𝟒
𝐗
𝐘
4
𝒚 < 𝟒
𝒚 = 𝒙𝟐
𝐗
𝐘
𝒚 ≥ 𝒙𝟐
𝐗
𝐘
𝒚 ≥ 𝒙𝟐
𝒚 > 𝒙𝟐
𝐗
𝐘
𝒚 ≥ 𝒙𝟐
𝒚 ≤ 𝒙𝟐
𝐗
𝐘
𝒚 ≤ 𝒙𝟐
𝒚 < 𝒙𝟐
𝐗
𝐘
𝒚 < 𝒙𝟐
𝒚 = 𝒙
𝐗
𝐘
𝒚 ≥ 𝒙
𝐗
𝐘
𝒚 > 𝒙
𝒚 ≥ 𝒙
𝐗
𝐘
𝒚 > 𝒙
𝒚 ≤ 𝒙
𝐗
𝐘
𝒚 ≤ 𝒙
𝒚 < 𝒙
𝐗
𝐘
𝒚 < 𝒙
𝓡 = 𝒙; 𝒚 ∈ ℝ𝟐 / 𝒙 ≷ 𝒈(𝒚)
𝐗
𝐘
𝒙 = 𝒈(𝒚)
𝒙 ≥ 𝒈(𝒚)
𝐗
𝐘
𝒙 > 𝒈(𝒚)
𝐗
𝐘
𝒙 ≤ 𝒈(𝒚)
𝐗
𝐘
𝒙 < 𝒈(𝒚)
𝐗
𝐘
𝐗
𝐘
𝒙 = 𝟑
3
𝒙 ≥ 𝟑
𝐗
𝐘
3
𝒙 > 𝟑
𝐗
𝐘
3
𝒙 ≥ 𝟑
𝒙 > 𝟑
𝒙 ≤ 𝟑
𝐗
𝐘
3
𝒙 ≤ 𝟑
𝒙 < 𝟑
𝐗
𝐘
3
𝒙 ≤ 𝟑
𝐗
𝐘
𝒙 = 𝒚𝟐
𝒙 ≥ 𝒚𝟐
𝐗
𝐘
𝒙 ≥ 𝒚𝟐
𝒙 > 𝒚𝟐
𝐗
𝐘
𝒙 > 𝒚𝟐
𝒙 ≤ 𝒚𝟐
𝐗
𝐘
𝒙 ≤ 𝒚𝟐
𝒙 < 𝒚𝟐
𝐗
𝐘
𝒙 ≤ 𝒚𝟐
𝓡 = 𝒙; 𝒚 ∈ ℝ × ℝ / 𝒇(𝒙, 𝒚) ≶ 𝒌
𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 = 𝟏𝟐
𝒙 𝒚
𝟎 𝟒
𝟎𝟔
𝐗
𝐘
𝟎
𝟒
𝟔
𝐗
𝐘
𝟎
𝟒
𝟔
𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 ≥ 𝟏𝟐
𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 ≥ 𝟏𝟐
𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 > 𝟏𝟐
𝐗
𝐘
𝟎
𝟒
𝟔
𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 > 𝟏𝟐
𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 ≤ 𝟏𝟐
𝐗
𝐘
𝟎
𝟒
𝟔
𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 ≤ 𝟏𝟐
𝐗
𝐘
𝟎
𝟒
𝟔
𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 < 𝟏𝟐
𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 < 𝟏𝟐
𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟏𝟔
Su gráfica es una circunferencia 
de radio 4 y de centro (0;0).
= 𝟒𝟐
𝐗
𝐘
𝟒
𝟒
𝟒
−𝟒
−𝟒
𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 ≤ 𝟏𝟔
𝐗
𝐘
𝟒
𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 ≤ 𝟏𝟔
𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 < 𝟏𝟔
𝐗
𝐘
𝟒
𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 ≤ 𝟏𝟔
𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 ≥ 𝟏𝟔
𝟒
𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 ≥ 𝟏𝟔
𝐗
𝐘
𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 > 𝟏𝟔
𝟒
𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 ≥ 𝟏𝟔
𝐗
𝐘
𝒙 + 𝒚 = 𝟓
𝐗
𝐘
𝟓
𝟓
−𝟓
−𝟓
Su gráfica es un rombo de 
centro (0;0) y diagonal 2.5.
𝒙 + 𝒚 ≤ 𝟓
𝐗
𝐘
𝒙 + 𝒚 ≤ 𝟓
𝒙 + 𝒚 < 𝟓
𝐗
𝐘
𝒙 + 𝒚 < 𝟓
𝒙 + 𝒚 ≥ 𝟓
𝐗
𝐘
𝒙 + 𝒚 ≥ 𝟓
𝒙 + 𝒚 > 𝟓
𝐗
𝐘
𝒙 + 𝒚 > 𝟓
𝒙 − 𝒚 = 𝟐
𝐗
𝐘
𝟐−𝟐
𝒙 − 𝒚 ≤ 𝟐
𝐗
𝐘
𝟐−𝟐
𝒙 − 𝒚 ≤ 𝟐
𝒙 − 𝒚 < 𝟐
𝐗
𝐘
𝟐−𝟐
𝒙 − 𝒚 < 𝟐
𝒙 − 𝒚 ≥ 𝟐
𝐗
𝐘
𝟐−𝟐
𝒙 − 𝒚 ≥ 𝟐
𝒙 − 𝒚 > 𝟐
𝐗
𝐘
𝟐−𝟐
𝒙 − 𝒚 > 𝟐
Casos generales Valor absoluto
𝒚 = 𝒂|𝒙 − 𝒉| + 𝒌 𝒙 = 𝒂|𝒚 − 𝒌| + 𝒉Vértice: (𝒉; 𝒌)
𝒂 > 𝟎
𝒂 < 𝟎
Ejemplo
𝒚 = 𝟐|𝒙 − 𝟑| + 𝟒
𝐗
𝐘
Vértice: (𝟑; 𝟒)
3
4
𝒚 ≥ 𝟐|𝒙 − 𝟑| + 𝟒
𝐗
𝐘
3
4
𝒚 < 𝟐|𝒙 − 𝟑| + 𝟒
𝐗
𝐘
3
4
𝒂 > 𝟎 𝒂 < 𝟎
Ejemplo
𝒙 = 𝟑|𝒚 − 𝟏| + 𝟐 Vértice: (𝟐; 𝟏)
𝐗
𝐘
Vértice: (𝒉; 𝒌)
2
1
𝒙 ≥ 𝟑|𝒚 − 𝟏| + 𝟐
𝐗
𝐘
2
1
𝒙 < 𝟑|𝒚 − 𝟏| + 𝟐
𝐗
𝐘
2
1
Parábola
𝒚 = 𝒂 𝒙 − 𝒉 𝟐 + 𝒌 Vértice: (𝒉; 𝒌)
𝒂 > 𝟎
𝒂 < 𝟎
Ejemplo
𝒚 = 𝟒 𝒙 − 𝟐 𝟐 + 𝟑 Vértice: (𝟐; 𝟑)
𝐗
𝐘
2
3
𝒚 ≥ 𝟒 𝒙 − 𝟐 𝟐 + 𝟑
𝐗
𝐘
2
3
𝒚 < 𝟒 𝒙 − 𝟐 𝟐 + 𝟑
𝐗
𝐘
2
3
𝒙 = 𝒂 𝒚 − 𝒌 𝟐 + 𝒉 Vértice: (𝒉; 𝒌)
𝒂 > 𝟎 𝒂 < 𝟎
Ejemplo
𝒙 = − 𝒚 − 𝟏 𝟐 + 𝟑 Vértice: (𝟑; 𝟏)
𝐗
𝐘
3
1
𝒙 ≥ − 𝒚 − 𝟏 𝟐 + 𝟑
𝐗
𝐘
3
1
𝒙 < − 𝒚 − 𝟏 𝟐 + 𝟑
𝐗
𝐘
3
1
Sea el complejo:
La parte real 𝑥 , parte imaginaria 𝑦 , módulo 𝑧 y
argumento 𝑎𝑟𝑔(𝑧) son números reales, entonces se
pueden relacionar mediante una igualdad o desigualdad
con otras cantidades reales y representarlos en el plano
complejo, generando rectas, curvas o regiones.
𝒛 = 𝒙 + 𝒚𝒊 / 𝒙, 𝒚 ∈ ℝ
Ejemplos
Determine la gráfica de todos los 𝑧 ∈ ℂ tal que cumpla la 
siguiente igualdad: 3𝑅𝑒 𝑧 + 4𝐼𝑚 𝑧 = 24
Sea 𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖, reemplacemos en la igualdad
3𝒙 + 4𝒚 =24
𝒙 𝒚
𝟎 𝟔
𝟎𝟖 𝑹𝒆
𝑰𝒎
𝟎
𝟔
𝟖
𝟑𝑹𝒆 𝒛 + 𝟒𝑰𝒎 𝒛 = 𝟐𝟒
𝐴={𝑧 ∈ ℂ / 5𝐼𝑚(𝑧) −2𝑅𝑒(𝑧) ≤ 10}
Grafique el conjunto 
Sea 𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖, reemplacemos en
5𝐼𝑚(𝑧) −2𝑅𝑒(𝑧) ≤ 10 5𝑦 −2𝑥 ≤ 10
Graficamos 5𝒚 −2𝒙 = 10
𝒙 𝒚
𝟎 𝟐
𝟎−𝟓
𝑹𝒆
𝑰𝒎
𝟎
𝟐
−𝟓
Graficamos 5𝒚 −2𝒙 ≤ 10
𝑹𝒆
𝑰𝒎
𝟎
𝟐
−𝟓
𝑨
GRÁFICA DE RELACIONES EN ℂ
Grafique |𝑧−2−3𝑖|=4
𝟐
𝟑
Sea 𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖, y reemplacemos en la igualdad
𝑥 + 𝑦𝑖 − 2 − 3𝑖 = 4 → 𝑥 − 2 + 𝑦 − 3 𝑖 = 4
→ 𝑥 − 2 2 + 𝑦 − 3 2 = 4
→ 𝑥 − 2 2 + 𝑦 − 3 2 = 42
Centro: 𝟐; 𝟑
Radio: 𝟒
𝑹𝒆
𝑰𝒎
. . . ( )𝟐
𝟒
Observación 
La ecuación 𝒛 − 𝒉 − 𝒌𝒊 = 𝒓
genera un circunferencia de centro
𝒉; 𝒌 y de radio 𝒓.
Grafique 𝑧 + 1 < 3
Graficamos 𝑧 + 1 = 3
𝑧 + 1 + 0𝑖 = 3
Centro: −𝟏; 𝟎
Radio: 𝟑
−𝟏 𝟎 𝑹𝒆
𝑰𝒎
𝟑
Graficamos 𝑧 + 1 + 0𝑖 < 3
−𝟏 𝟎 𝑹𝒆
𝑰𝒎
𝟑
𝒛 + 𝟏 < 𝟑
|𝒛 − 𝟐 − 𝟑𝒊| = 𝟒
𝑀={𝑧 ∈ ℂ / 𝑅𝑒(𝑧) + 𝐼𝑚(𝑧) ≤ 1 ∧ 0 ≤ 𝐴𝑟𝑔(𝑧) ≤ π/2}
Grafique el conjunto 
Sea 𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖, y reemplacemos en
𝑅𝑒(𝑧) + 𝐼𝑚(𝑧) ≤ 1 
𝑥 + 𝑦 ≤ 1 
𝑹𝒆
𝑰𝒎
𝟏
−𝟏
−𝟏
𝟏
0 ≤ 𝐴𝑟𝑔(𝑧) ≤
π
2
𝟎
𝝅
𝟐
Intersectando las graficas anteriores
𝑴
𝟏
𝟏
www.a c adem ia c e sa r v a l l e j o . e du . p e