Semestral Uni - Álgebra semana 16

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Determinante de 
una Matriz 
Álgebra
OBJETIVO
01
02
03
Conocer la definición y sus propiedades 
de los determinantes de las matrices 
Conocer la definición y sus 
propiedades de la matriz inversa
Resolver problemas utilizando las 
definiciones y propiedades 
estudiados.
Determinantes 
Es una función, que a cada matriz cuadrada, le 
hace corresponde un único valor numérico.
El determinante de matrices de dimensión
menor que 4 se calcula rápidamente mediante
reglas o fórmulas. Para dimensiones mayores,
es necesario utilizar la regla de Laplace.
El determinante de una matriz, nos
permite saber si una matriz tiene
inversa, o si un sistema de ecuaciones
tiene solución.
𝐴 =
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
𝐴 = 𝑎11
𝑎22 𝑎23
𝑎32 𝑎33
− 𝑎21
𝑎12 𝑎13
𝑎32 𝑎33
+𝑎31
𝑎12 𝑎13
𝑎22 𝑎23
Notación: det 𝐴 = 𝐴
Cálculo de determinantes 
1. De orden 𝟐 × 𝟐
Si 𝐴 =
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
→ 𝐴 =
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
= 𝑎11𝑎22 − 𝑎21𝑎12
Ejemplo:
Si 𝐴 =
3 5
6 4
→ 𝐴 =
3 5
6 4
= 3 × 4 − 5 × 6 = −18
2. De orden 𝟑 × 𝟑
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
𝑎31 𝑎32
++
++
−
Ejemplo:
3 2 −1
1 2 4
−2 1 1
3 2
1 2
−2 1
4 + 12 + 2 = 18
6 − 16 − 1 = −11
−
= −29
Utilizaremos la regla de Sarrus
Nota :
3 2 −1
1 2 4
−2 1 1
=
3 2 −1
1 2 4
−2 1 1
6 − 16−1
−
3 2 −1
1 2 4
−2 1 1
4 +2 +12 = −29
Otra forma de presentar la regla de Sarruz
(Regla de la estrella) es la siguiente:
3. De orden 𝒏 × 𝒏
Utilizaremos la regla de Laplace 
Ejemplo:
Calcule el siguiente determinante 
Paso1 Escogemos cualquier fila o columna (de preferencia la 
que tiene más ceros, para hacer menos operaciones ) 
Paso2 A los elementos de la fila o columna escogida, le
multiplicaremos por signos alternados, de acuerdo a
su ubicación en la siguiente matriz de signos
+ − + −
− + − +
+
−
−
+
+
−
−
+
Paso3 Al primer elemento de la fila o columna escogida,
con el signo que resulto, le multiplicamos el
determinante que se obtiene al eliminar la fila y
columna de su ubicación
+3
2 1 3 2
4 1 2 5
3
2
2
0
0
1
1
4
= 3
1 3 2
1 2 5
0 1 4
Paso4 Se continua, lo mismo del paso anterior, con los otros 
elementos y al sumar los resultados obtendremos el 
determinante
𝐴 =
2 1 3 2
4 1 2 5
3
2
2
0
0
1
1
4
𝐴 = 3
1 3 2
1 2 5
0 1 4
− 2
2 3 2
4 2 5
2 1 4
+ 0
2 1 2
4 1 5
2 0 4
− 1
2 1 3
4 1 2
2 0 1
𝐴 = 3 10−17 −2 −54 66 +0−1 6−10 = 7
Propiedades de los determinantes 
𝐴𝐵 = 𝐴 𝐵
1 3
2 2
4 1
5 2
=
=
1 3
2 2
4 1
5 2
= −4 ∙ 3 = −12
𝐴𝑚 = 𝐴 𝑚
4 3
2 1
5
=
4 3
2 1
5
= −2 5 = −32
3 5
4 2
= −14
3 4
5 2
= −14
𝐴𝑇 = 𝐴 𝜆𝐴 = 𝜆𝑛 𝐴 ; 𝑛 orden de 𝐴
3
5 1
3 2
= 32
5 1
3 2
= 9 ∙ 7 = 63
Si intercambiamos dos filas o
columnas el determinante
cambia de signo.
2 3 5
7 4 1
1 0 1
= −
3 2 5
4 7 1
0 1 1
Si a una fila (o columna) se le
multiplica por una constante y luego
le sumamos a otra fila (o columna),
el determinante no cambia.
2 1 2
3 5 6
4 2 1
= −21
𝐹3 ← 𝐹3 − 2𝐹1:
2 1 2
3 5 6
0 0 −3
= −21
Si dos filas o (columnas) son
proporcionales, el determinante
es cero
5 6 15
3 5 9
1 2 3
= 0
𝐶1 𝑦 𝐶3 son proporcionales 
El determinante de una matriz 
triangular es igual al producto de 
los elementos de la diagonal 
principal
2 6 1
0 5 4
0 0 4
= 2 ∙ 5 ∙ 4 = 40
Sea 𝐴 y 𝐵 matrices cuadradas de orden 𝑛 ; 𝜆 ∈ ℝ; 𝑚 ∈ ℤ+
Nota: Algunos determinantes notables 
Determinante de Vandermonde
1 1 1
𝑎 𝑏 𝑐
𝑎2 𝑏2 𝑐2
= 𝑐 − 𝑏 𝑐 − 𝑎 𝑏 − 𝑎
Determinante de una matriz antisimétrica de orden impar 
0 𝑛 𝑚
−𝑛 0 𝑝
−𝑚 −𝑝 0
= 0
Definiciones: Sea 𝐴 una matriz cuadrada 
• 𝐴 es singular ↔ 𝐴 = 0
• 𝐴 es no singular ↔ 𝐴 ≠ 0
Matriz inversa
Sea 𝐴 una matriz cuadrada, si existe una matriz 𝐵,
del mismo orden que de 𝐴, tal que 
𝐴𝐵 = 𝐵𝐴 = 𝐼 siendo 𝐼 la matriz identidad 
Decimos que 𝐵 es la inversa de 𝐴 y lo denotaremos 
por 𝐵 = 𝐴−1
Nota:
• Una matriz cuadrada 𝐴 es invertible si y 
solo si es no singular ( 𝐴 ≠ 0).
• No toda matriz es invertible.
• Si existe la matriz inversa, esta es única.
• 𝐴 y 𝐴−1 son conmutables, por que
𝐴𝐴−1 = 𝐴−1𝐴 = 𝐼
(considerando que exista la inversa)
Calculo de la matriz inversa
1. Para orden 𝟐 × 𝟐
Si 𝐴 es una matriz no singular 
𝐴 =
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
→ 𝐴−1 =
1
𝐴
𝑑 −𝑏
−𝑐 𝑎
Ejemplo:
Si 𝐴 =
2 5
1 4
→ 𝐴 =
2 5
1 4
= 3 ≠ 0
𝐴 es una matriz invertible 
→ 𝐴−1 =
1
3
4 −5
−1 2
∴ 𝐴−1 =
4
3
−5
3
−1
3
2
3
2. Para orden 𝒏 × 𝒏
Explicaremos los pasos a seguir con un ejemplo
Formamos una matriz, cuyos elementos son los determinantes, que se 
obtiene al eliminar la fila y columna de cada elemento, como se muestra. 
3 1
2 1
1 1
1 1
1 3
1 2
1 0
2 1
2 0
1 1
2 1
1 2
1 0
3 1
2 0
1 1
2 1
1 3
Luego asignamos signos alternados, empezando con positivo.
Sea 𝐴 =
2 1 0
1 3 1
1 2 1
+ − +
− + −
+ − +
Finalmente le tomamos la transpuesta y le multiplicamos por el 
inverso de su determinante, para así hallar la matriz inversa.
T
1
𝐴
𝐴−1 =
∴ 𝐴−1 =
1/2 −1/2 1/2
0 1 −1
−1/2 −3/2 5/2
A esta matriz se 
le llama adjunta
Matriz adjunta (Adj)
Del ejemplo anterior se deduce que 
𝐴−1 =
1
𝐴
Adj(𝐴) ↔ Adj 𝐴 = 𝐴 𝐴−1
Siendo 𝐴 una matriz invertible 
Propiedades: Si 𝐴 es invertible 
𝐴−1 −1 = 𝐴
2 1
5 3
−1
−1
=
2 1
5 3
𝐴𝑇 −1 = 𝐴−1 𝑇
4 0
2 1
𝑇
−1
=
4 0
2 1
−1 𝑇
𝐴𝑛 −1 = 𝐴−1 𝑛
4 0
2 1
𝑛 −1
=
4 0
2 1
−1 𝑛
𝐴−1 = 𝐴 −1 =
1
𝐴
4 5
1 2
−1
=
4 5
1 2
−1
=
1
3
Considerando 𝐴 y 𝐵 matrices invertibles de orden 𝑛, 𝜆 es un escalar 
𝐴𝐵 −1 = 𝐵−1𝐴−1
4 2
3 2
2 1
5 3
−1
=
2 1
5 3
−1 4 2
3 2
−1
𝜆𝐴 −1 =
1
𝜆
𝐴−1
7
1 2
3 4
−1
=
1
7
1 2
3 4
−1
La matriz adjunta cumple propiedades muy similares que la 
inversa, ya que la adjunta es la inversa multiplicado por el escalar 
determinante. 
Adj 𝐴𝑇 = Adj 𝐴 𝑇
Adj 𝐴𝐵 = Adj 𝐵 Adj 𝐴
Adj 𝐴𝑛 = Adj 𝐴 𝑛
Adj 𝜆𝐴 = 𝜆𝑛−1Adj 𝐴
Adj 𝐴−1 = Adj 𝐴 −1 Adj 𝐴 = 𝐴 𝑛−1
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