Semestral Uni - Aritmética semana 01

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- Razones 
- Proporciones
- Serie de razones geométricas 
Equivalentes
ARITMÉTICA
Objetivos
• Conocer las clases de Razones y Proporciones:
Aritmética, Geométrica y Armónica.
• Conocer los tipos de Razones y Proporciones:
Discreta y Continua
• Conocer y aplicar la Igualdad de razones
geométricas equivalentes
Introducción
La importancia de la proporcionalidad aritmética,
tanto desde el punto de vista de la matemática, como desde
el punto de vista de su aplicación práctica, es innegable.
El razonamiento proporcional es una importante
herramienta matemática. Múltiples fenómenos físicos y
económicos pueden modelizarse utilizando los conceptos de
razón y proporción
La razón es un descubrimiento de los griegos. Las
leyes del pensamiento fueron observadas tempranamente
en la antigua Grecia, y posteriormente expresadas y
codificadas por diversos filósofos entre los que ciertamente
debemos mencionar a Sócrates, Platón y Aristóteles
Razón Es la comparación de 2 cantidades
Razón 
Aritmética
Razón 
Geométrica
Razón 
Armónica
𝑎 − 𝑏 = 𝑟
𝑎
𝑏
= 𝑘
1
𝑎
−
1
𝑏
= ℎ
Donde:
a es el antecedente
b es el consecuente
r es el valor de la razón aritmética
k es el valor de la razón geométrica
h es el valor de la razón armónica
Observaciones:
• En los problemas si sólo nos indican la RAZÓN de 2
cantidades, se deberá considerar la RAZÓN GEOMÉTRICA
• Se debe considerar que los términos de una razón son
enteros y positivos (𝑎 ∈ ℤ+ 𝑦 𝑏 ∈ ℤ+)
• Respecto a una razón geométrica, por ejemplo:
𝑎
𝑏
=
7
4
𝑎 = 7𝑛
𝑏 = 4𝑛
• Ejemplo de razón armónica:
Adrián hace una silla en 2 horas y su hijo Bruno lo hace en
3 horas, comparar el trabajo realizado en 1 hora
Se afirma que Adrián hace la mitad de la silla en 1 hora,
mientras que Bruno hace la tercera parte también en 1
hora:
1
2
−
1
3
=
1
6
“Adrián hace
1
6
mas de obra que
su hijo Bruno en 1 hora”
Aplicación 1
Dos números están en la relación de 9 a 4, si la razón
aritmética de los cuadrados de dichos números es 585. Halle
la suma de dichos números.
Resolución
•
𝑎
𝑏
=
9
4
Se tienen los datos:
𝑎 = 9𝑛
𝑏 = 4𝑛
• 𝑎2 − 𝑏2 = 585 (9𝑛)2−(4𝑛)2= 585
65𝑛2 = 585
𝑛 = 3
Piden:
𝑎 + 𝑏 = 9𝑛 + 3𝑛
𝑎 + 𝑏 = 12𝑛
𝑎 + 𝑏 = 12(3)
𝑎 + 𝑏 = 36∴
Aplicación 2
La razón de 2 números es 3/5, además la razón armónica de
los mismos es 1/30. Calcule la razón aritmética positiva de
los números.
Resolución
•
𝑛
𝑚
=
3
5
Se tienen los datos:
𝑛 = 3𝑘
𝑚 = 5𝑘
•
1
𝑛
−
1
𝑚
=
1
30
1
3𝑘
−
1
5𝑘
=
1
30
5 − 3
15𝑘
=
1
30
𝑘 = 4Piden:
𝑚 − 𝑛= 5𝑘 − 3𝑘
𝑚 − 𝑛 = 2𝑘
𝑚 − 𝑛 = 2(4)
∴ 𝑚 − 𝑛 = 8
Aldo
Beatriz
APLICACIONES DE LAS RAZONES
A. EN PROBLEMAS DE EDADES
Ejemplo:
Aplicación 3
Resolución
Se tienen los datos:
30
Aldo y Beatriz actualmente tienen 24 y 18 años
respectivamente. ¿Cuáles eran sus edades hace 8 años y
que edad tendrán dentro de 4 años?
Presente FuturoPasado
24
18
28
22
16
10
8 años 4 años
Diferencia de
edades
6 66
CONCLUSIÓN: En problemas de edades se cumplirá que
la diferencia de edades de dos personas siempre será la
misma, en cualquier punto del tiempo.
La diferencia de las edades 
siempre es la misma 
= =
Las edades de José y Katy están en la relación de 5 a 3
respectivamente y dentro de 10 años sus edades estarán en
la relación de 10 a 7. Cual es la edad de José.
José
Katy
Hoy Futuro
10
7
5
3
10 años
Diferencia de edades: 2 3
igualesDel cuadro tenemos
Toma el 
valor de 5𝑘
5𝑘 = 10
𝑘 = 2
15𝑘 =
× 2𝑘
× 2𝑘
× 2𝑘
× 3𝑘
× 3𝑘
× 3𝑘 = ?
Piden la edad de José:
15 2 =∴
APLICACIONES DE LAS RAZONES
B. EN PROBLEMAS DE MEZCLAS
Ejemplo:
Aplicación 4
Un recipiente contiene Agua y alcohol en la relación de 1 a
3. Si se le agrega 50 litros de agua, la nueva relación será de
2 a 1. Calcule el volumen inicial del recipiente.
Resolución
20L
10
20
2
4
8
16
Al inicio
Juan mezcla en un barril 20L de gaseosa con 10 litros de
vino, si luego extrae 6L de mezcla, ¿Cuántos litros de cada
ingrediente queda al final en dicho barril?
G
10LV
Se extrae
30L
6L
G
V
La 5ta 
parte
4L
2L
16L
Al final
G
8LV
24L
Relación de
ingredientes
V:
G:
CONCLUSIÓN: En problemas de mezclas se cumplirá que
la relación de los ingredientes, al inicio, de lo que se
extrae y al final, siempre será la misma.
= =
3 ×
Al inicio
Alcohol
1 ×Agua
Se agrega
Agua 50
1 ×
Al final
Alcohol
2 ×Agua
Se tiene:
“El volumen de alcohol no varía”
3𝑘
3𝑘
𝑘
𝑘
Respecto al agua, se observa:
𝑘 +50 = 6𝑘 → 𝑘 = 10
Piden, el volumen inicial del recipiente:
404𝑘 = 4 10 =∴
APLICACIONES DE LAS RAZONES
C. EN PROBLEMAS DE REUNIONES
Ejemplo:
Aplicación 5
En una reunión , el número de varones que bailan es al
número de mujeres que no bailan como 3 es a5. Además, el
número de mujeres es al número de varones que no bailan
como 1 es a 7. Determine cuántas personas bailan si en total
asistieron 201 personas
Resolución
A una reunión asisten 80 personas de las cuales se
observa que 30 varones bailan y 5 mujeres no están
bailando. Calcule la diferencia entre el total de varones
y total de mujeres
Varones
𝑉 −𝑀 = 45 − 35
CONCLUSIÓN: En problemas de REUNIONES se cumplirá
que la cantidad de varones que bailan, será igual a la
cantidad de mujeres que bailan.
Mujeres
Bailan
No Bailan
𝟑𝟎
𝟓
IGUALES 30
(𝟑𝟓)(𝟒𝟓)
15
Diferencia: = 10
Varones Mujeres
Bailan
No Bailan
𝟑𝒌
𝟓𝒌
IGUALES 3𝑘
56𝑘
(𝟖𝒌)
Además: 𝑁°𝑀
𝑁°𝑉 𝑛𝑜 𝑏𝑎𝑖𝑙𝑎𝑛
=
1
7
× 8𝑘
× 8𝑘
(𝟓𝟗𝒌)
Por dato:
59𝑘 + 8𝑘 = 201 𝑘 = 3
Piden:
3𝑘 + 3𝑘 = 6𝑘 = 6(3)
Piden:
∴ = 18
APLICACIONES DE LAS RAZONES
D. EN PROBLEMAS DE MÓVILES
Ejemplo:
𝑉𝐴
𝑉𝐵
=
2
3
Dos móviles A y B están separados 150km y parten
simultáneamente a su encuentro con velocidades de 20
km/h y 30 km/h. Calcule la distancia que los separa
después de 2h
Relación de
Velocidades
CONCLUSIÓN: En problemas de MÓVILES se cumplirá que
la relación de velocidades será igual a la relación de
distancias recorridas.
𝑉𝐴= 20 km/h
2 h 2 h 
𝑑𝐴= 40 km 𝑑𝐵 = 60km
𝑉𝐵= 30 km/h
Relación de
Dist. Recorridas
𝐷𝐴
𝐷𝐵
=
2
3
∴ Distancia que los separa después de 2 horas es 50 Km
Aplicación 6
Pedro y Randy están separados cierta distancia y parten a su
encuentro con velocidades que están en la relación de 3 a 8.
Si al cabo de cierto tiempo aun están separados 400 m y
hasta ese momento Randy avanzo 160 m. ¿Cuál es la
separación inicial de las personas?
Resolución
𝑉𝑃 = 3a 𝑉𝑅 = 8a
160 m400 m
Luis Erick
𝑋 m
𝐷𝑃 m
= ?
Como se cumple que:
𝑉𝑃
𝑉𝑅
=
𝐷𝑃
𝐷𝑅
3
8
=
𝐷𝑃
160
𝐷𝑃 = 60
Piden:
𝑋 = 60 + 500 + 160 = 770∴
Proporción
Es la igualdad de 2 razones equivalentes de la
misma clase
Proporción 
Aritmética
Proporción 
Geométrica
Proporción 
Armónica
𝑎 − 𝑏 = 𝑐 − 𝑑
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
1
𝑎
−
1
𝑏
=
1
𝑐
−
1
𝑑
Donde:
𝑎 𝑦 𝑐 son los antecedentes
𝑏 𝑦 𝑑 son los consecuentes
𝑎 ; 𝑏 ; 𝑐 ; 𝑑
Además el orden de los términos es:
: 1𝑟𝑜 ∶ 2𝑑𝑜 ∶ 3𝑟𝑜 ∶ 4𝑡𝑜
Siendo:
𝑎 𝑦 𝑑 los términos extremos
𝑏 𝑦 𝑐 los términos medios
Aplicación 7
En una proporción aritmética, la relación de los dos
primeros términos es de 4 a 1, mientras que la relación
de los 2 últimos es de 20 a 11. Si la suma de los términos
de la proporción aritmética es 138. Halle el segundo
término
Resolución
𝑎 − 𝑏 = 𝑐 − 𝑑Se tiene:
4𝑚 − 1𝑚 20𝑛 − 11𝑛=
3𝑚= 9𝑛
𝑚 = 3𝑛
Por dato: 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 = 138
12𝑛 + 3𝑛 + 20𝑛 + 11𝑛 = 138
46𝑛 = 138 𝑛 = 3
Piden:
𝑏 = 3𝑛 = 3(3) = 9
Tipos de Proporción
Proporción Aritmética Discreta
Cuando los términos medios son diferentes Cuando los términos medios son iguales
12 8 = 7 3 3 es la cuarta diferencial
de 12 , 8 y 7
Proporción Geométrica Discreta
20
5
=
12
3
3 es la cuarta proporcional
Proporción Aritmética Continua
13 - 9 = 9 - 5 5 es la tercera diferencial de 13 y 9
Proporción Geométrica Continua
4
12
=
12
36
36 es la tercera proporcional de 4 y 12
9 es la media diferencial de 13 y 5
12 es la mediaproporcional de 4 y 36
diferentes
diferentes
iguales
iguales
Proporción Armónica Discreta
1
2
1
3
1
4
1
12
diferentes
Proporción Armónica Continua
1
3
1
4
1
4
1
6
iguales
6 es la tercera armónica de 3 y 4
4 es la media armónica de 3 y 6
12 es la cuarta armónica
de 2 , 3 y 4
de 20 , 5 y 12
24
8
=
15
5
Ejemplo:
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
En general:
Se observa: Se cumple:
•
24+8
8
=
15+5
5
•
𝑎+𝑏
𝑏
=
𝑐+𝑑
𝑑
•
24−8
8
=
15−5
5
•
𝑎−𝑏
𝑏
=
𝑐−𝑑
𝑑
•
24
24+8
=
15
15+5
•
𝑎
𝑎+𝑏
=
𝑐
𝑐+𝑑
•
24
24−8
=
15
15−5
•
𝑎
𝑎−𝑏
=
𝑐
𝑐−𝑑
•
24+8
24−8
=
15+5
15−5
•
𝑎+𝑏
𝑎−𝑏
=
𝑐+𝑑
𝑐−𝑑
⋮ ⋮
PROPIEDADES DE LAS PROPORCIONES
En una proporción geométrica continua de razón entera, la
suma de los términos es 405. Calcule la suma de la media
proporcional y la tercera proporcional
Dada la proporción geométrica
𝑘=
𝑐𝑘2
=
PIDEN Suma de la media proporcional y la tercera proporcional
𝑐𝑘
𝑐𝑘
𝑐
continua
iguales Razón
entera
Por dato, la suma de términos es 405:
𝑐𝑘2 + 𝑐𝑘 + 𝑐𝑘 + 𝑐 = 405
=𝑐 (𝑘 + 1)2 5 9
2
×
2𝑐𝑘
𝑐 ( 𝑘2 + 2𝑘 + 1) = 405
𝑐 = 5𝑘 = 8
Media
proporcional
= 5
= 5 × 8 = 40
Tercera 
proporcional
𝑐𝑘
𝑐
∴
Aplicación 8
Resolución
Se observa que::
40 + 5 = 45
= = =
𝑒
= 𝐾
Igualdad de Razones 
Geométricas Equivalentes
Es llamada también: Serie de Razones Geométricas
Equivalentes (SRGE). Es de la forma:
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
=
𝑒
𝑓
=
𝑔
ℎ
= 𝐾
Donde:
𝑎; 𝑐; e; g; son los antecedentes
𝑏; 𝑑; 𝑓; ℎ; son los consecuentes
𝐾 es la constante de proporcionalidad
𝑎 = 𝑏𝐾
𝑐 = 𝑑𝐾
𝑒 = 𝑓𝐾
𝑔 = ℎ𝐾
Una Igualdad de razones geométricas equivalentes y 
continua, es de la forma:
𝑎
𝑏
=
𝑏
𝑐
=
𝑐
𝑑
=
𝑑
𝑒
= 𝐾
O también:
𝑒𝐾
𝑒𝐾
𝑒𝐾2
𝑒𝐾2
𝑒𝐾3
𝑒𝐾3
𝑒𝐾4
𝑎 ; ℎ; son los términos extremos
Ejemplos:
36
12
=•
30
10
=
21
7
=
12
4
= 𝟑
120
20
=•
90
15
=
72
12
= 𝟔
Ejemplos:
64
32
=
32
16
=
16
8
=
8
4
= 𝟐•
81
27
=•
27
9
=
9
3
= 𝟑
36
12
=
30
10
=
21
7
=
6
2
= 𝟑
Ejemplo: Dado
•
36+30
12+10
PROPIEDADES DE LA IGUALDAD DE RAZONES GEOMÉTRICAS 
EQUIVALENTES
Se cumple:
= 𝟑 •
30+21+6
10+7+2
= 𝟑
•
36−21
12−7
= 𝟑 •
30−6
10−2
= 𝟑
•
30−21+6
10−7+2
= 𝟑 •
36−30+21−6
12−10+7−2
= 𝟑
•
21×6
7×2
= 𝟑𝟐 •
36×30×21
12×10×7
= 𝟑𝟑
Si se cumple que:
Aplicación 9
Resolución
𝑏 + 16
𝑎 − 32
=
𝑎
𝑏
=
𝑏 + 51
𝑎 − 27
Calcule 𝑎 + 𝑏
𝑏 + 16
𝑎 − 32
=
𝑎
𝑏
=
𝑏 + 51
𝑎 − 27
−
•
−
=
𝑏 + 51 − (𝑏 + 16)
𝑎 − 27 − (𝑎 − 32)
=
35
5
𝑎
𝑏
=
7
1
𝑎 = 7𝑘
𝑏 = 𝑘
Reemplazando:
𝑘 + 16
7𝑘 − 32
=
7
1
𝑘 = 5
∴ 𝑎 + 𝑏 = 8𝑘 = 8(5) = 40
www.a cadem i a ce s a r v a l l e j o . e du . pe