Semestral Uni - Aritmética semana 08

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ESTADISTICA II
- Medidas de Tendencia Central:
Media, Mediana y Moda
- Medidas de Dispersión:
Varianza y Desviación Estadar
ARITMÉTICA – SEM 8
Objetivos
• Recordar las diferentes medidas de tendencia
central para datos no agrupados y agrupados.
• Recordar algunas medidas de dispersión para
datos no agrupados y agrupados
• Resolver problemas utilizando las medidas de
tendencia central y de dispersión.
Introducción
Las medidas de tendencia central son medidas
estadísticas que pretenden resumir en un solo valor a un
conjunto de valores.
Las medidas de dispersión en cambio miden el
grado de dispersión de los valores de la variable. Dicho
en otros términos las medidas de dispersión pretenden
evaluar en qué medida los datos difieren entre sí.
Las medidas de tendencia central no son
suficientes para describir un conjunto de datos. Una
buena descripción de una distribución requiere, además
de un valor ‘promedio’ de las observaciones, alguna
medida de la dispersión o variabilidad de los valores
observados.
MedianaMedia
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL PARA 
DATOS NO CLASIFICADOS
1. MEDIA ( ഥ𝐗 )
Dado un conjunto de n datos u observaciones:
d1 ; d2 ; d3 ; … ; dn ,
La media de este conjunto de datos está
determinado por la Media Aritmética de los datos y
se calcula así:
ഥX =
d1+ d2 + d3 + … + dn
n
EJEMPLO :
* Sean las edades: 17 , 18 , 20 , 25
= 20ഥX =
* Sean los pesos: 42 , 46 , 55 , 57 , 59
ഥX = = 51.8
17 + 18 + 20 + 25
4
42 + 46 + 55 + 57 + 59
5
2. MEDIANA ( Me)
Dado un conjunto datos ordenados (en forma creciente
o decreciente), la mediana esta dado por un valor que
divide a todos los datos en dos partes iguales.
d1 ; d2 ; d3 ; d4 ; . . . . ; dn
Su MEDIANA Me se calcula mediante lo siguiente:
Así tenemos; dado el conjunto de “n” datos
ordenados en forma creciente:
Me =
; Si n es par
dn+1
2 ;
Si n es impar
dn
2 +
dn
2+1
2
EJEMPLO :
* Sean las edades: 17 , 18 , 20 , 25 , 30
𝐌𝐞 = 𝟐𝟎
* Sean los pesos: 42 , 46 , 55 , 58 , 59 , 63
𝐌𝐞 =
55 + 58
2
Ordenando: 165 , 168 , 170 , 171 , 172
𝐌𝐞 = 𝟏𝟕𝟎
* Sean las alturas: 170, 168 , 165 , 172 , 171
= 56,5
3. MODA ( Mo)
IMPORTANTE :
Debemos recordar que para calcular la Mediana
(Me) los datos deben estar ordenados
Dado un conjunto datos, la moda está determinado por
aquel dato cuyo valor (es) mas se repite(n).
EJEMPLO :
* Sean las edades: 17 , 18 , 17 , 20 , 25 , 23
𝐌𝐨 = 𝟏𝟕
* Sean los pesos: 42 , 46 , 55 , 57 , 59 , 46 , 57 , 58
𝐌𝐨 = 𝟒𝟔 𝐌𝐨 = 𝟓𝟕
* Sean las temperaturas: 32° , 36° , 35° , 27° , 29° , 26° , 30°
𝐌𝐨 = ∄ AMODAL
¡Observamos que no
hay algún dato que
aparezca mas veces!
Si sólo un dato se repite más veces, se afirma que dicho
conjunto de datos es:
*
Si sólo dos datos se repiten más veces, se afirma que
dicho conjunto de datos es:
Debemos recordar que:
Si hubiera más de dos datos que se repiten más veces,
se afirma que dicho conjunto de datos es:
UNIMODAL
BIMODAL
POLIMODAL O MULTIMODAL
*
*
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL PARA 
DATOS CLASIFICADOS
Se presenta un cuadro de DISTRIBUCIÓN DE
FRECUENCIAS respecto a las edades de un grupo de 40
personas que asistieron a una fiesta de quince años
Ii Xi fi Fi hi Hi
[ 5 ; ۧ15 10 4 4 0,10 0,10
[ 15 ; ۧ25 20 8 12 0,20 0,30
[ 25 ; ۧ35 30 10 22 0,25 0,55
[ 35 ; ۧ45 40 12 34 0,30 0,85
[ 45 ; 55] 50 6 40 0.15 1
TOTAL 40 1
A continuación calcularemos LAS MEDIDAS DE
TENDENCIA CENTRAL:
Ejemplo Aplicativo
Se llama DATOS CLASIFICADOS o DATOS AGRUPADOS, a
aquellos datos que se encuentran en una Tabla de
distribución de frecuencias.
1. MEDIA ( ഥ𝐗 )
Dado un conjunto de datos clasificados en una tabla
de distribución de frecuencias, para calcular la media,
se utiliza la siguiente relación:
തx =
σi=1
k (xi)(fi)
n
തx = ෍
i=1
k
(xi)(hi)
o
Donde:
xi ∶ Marca de clase
fi ∶ Frecuencia Absoluta
hi ∶ Frecuencia Relativa
k ∶ N° de Intervalos de clase
n ∶ N° total de datos
Del Ejemplo Aplicativo:
Calculamos la Media:
Ii Xi fi Fi Xi fi
[ 5 ; ۧ15 10 4 4 40
[ 15 ; ۧ25 20 8 12 160
[ 25 ; ۧ35 30 10 22 300
[ 35 ; ۧ45 40 12 34 480
[ 45 ; 55] 50 6 40 300
TOTAL 40 1280
ഥX =
σi=1
5 xifi
40
=
10×4+20×8+30×10+40×12+50×6
40
ഥX =
= 32
1280
40
40 + 160 + 300 + 480 + 300
40
ഥX =
2. MEDIANA (Me)
Dado un conjunto de datos clasificados en una tabla
de distribución de frecuencias, para calcular la
mediana, se siguen los siguientes pasos:
1° Se ubica la CLASE MEDIANA (es el intervalo en la
cual por primera vez la frecuencia absoluta
acumulada ( 𝐅𝐢 ) es mayor o igual a la mitad de los
datos.
2° Se utiliza la siguiente relación:
Me = Liminf +wi
n
2 − Fi−1
fi
Donde:
Liminf ∶ Limite inferior de la CLASE MEDIANA
wi ∶ Ancho de clase de la CLASE MEDIANA
Fi−1 ∶ Frecuencia Absoluta acumulada del
n ∶ N° total de datos
fi ∶ Frecuencia Absoluta de la CLASE MEDIANA
Intervalo anterior a la CLASE MEDIANA
Del Ejemplo Aplicativo:
Calculamos la Mediana:
33
Ii Xi fi Fi
[ 5 ; ۧ15 10 4 4
[ 15 ; ۧ25 20 8 12
[ 25 ; ۧ35 30 10 22
[ 35 ; ۧ45 40 12 34
[ 45 ; 55] 50 6 40
TOTAL 40
CLASE 
MEDIANA
Me =
Me = 25 + 10
8
10
=
1° Hallamos la CLASE MEDIANA
25 + 10
40
2
− 12
10
3. MODA (Mo)
Dado un conjunto de datos clasificados en una tabla
de distribución de frecuencias, para calcular la
mediana, se siguen los siguientes pasos:
1° Se ubica la CLASE MODAL ( Es el intervalo que
tiene la mayor frecuencia absoluta o aquel que tiene
la mayor cantidad de datos)
Mo = Liminf +wi
d1
d1 + d2
Donde:
wi ∶ Ancho de clase de la CLASE MODAL
d1 : fMo − fMo−1
d2 : fMo − fMo+1
Liminf ∶ Limite inferior de la CLASE MODAL
Del Ejemplo Aplicativo:
Calculamos la Moda:
37.5
Ii Xi fi Fi
[ 5 ; ۧ15 10 4 4
[ 15 ; ۧ25 20 8 12
[ 25 ; ۧ35 30 10 22
[ 35 ; ۧ45 40 12 34
[ 45 ; 55] 50 6 40
TOTAL 40
CLASE 
MODAL
Mo =
Mo = 35 + 10
2
8
=
𝒅𝟏 = 12 – 10 = 2
𝒅𝟐 = 12 – 6 = 6
𝒅𝟏
𝒅𝟐
1° Hallamos la CLASE MODAL
35 +10 2
2 + 6
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL PARA 
UNA TABLA DE DISTRIBUCIÓN SIMÉTRICA
Si tenemos una tabla de distribución simétrica, con una
cantidad impar de intervalos y además unimodal,
gráficamente será de la forma:
Mo
തx = Me = Mo
Ii
fi
തx
Me
Si tenemos una tabla de distribución simétrica, con una
cantidad impar de intervalos y además es bimodal, se
cumplirá:
Ii
fi
തx
Me
തx = Me
Es decir se afirmará que:
Mo1 Mo2
Es decir se afirmará que:
Mo1 < < Mo2
MEDIDAS DE DISPERSIÓN PARA DATOS 
NO CLASIFICADOS.
1. Varianza (𝜎2) 
Dado un conjunto de n datos, 𝑥1; 𝑥2; 𝑥3; … ; 𝑥𝑛 , con
media ҧ𝑥 la varianza de este conjunto de datos se
calcula como:
𝜎2 =
σi=1
n xi
𝟐
n
− തx 𝟐o𝜎2 =
σi=1
n xi − തx
𝟐
n
Ejemplo
Las notas de un alumno fueron 14; 17; 11; 12 y 06.
Halle la varianza de estas notas.
ҧ𝑥 =
14 + 17 + 11 + 12 + 6
5
En primer lugar, hallamos la media de las notas.
= 12
Usamos la primera relación para hallar la varianza:
= 13,2
𝜎2 =
(14 − 12)2+(17 − 12)2+(11 − 12)2+(12 − 12)2+(6 − 12)2
5
𝜎2 =
4 + 25 + 1 + 0 + 36
5
2. Desviación estándar 𝜎
Llamada también desviación típica, es la raíz cuadrada de 
la varianza. 
𝜎 = varianza
Ejemplo
Del ejemplo anterior hallemos la desviación estándar:
𝜎 = 13,2 = 3,53
MEDIDAS DE DISPERSIÓN PARA DATOS 
CLASIFICADOS.
1. Varianza (𝜎2) 
Cuando tenemos un conjunto de datos resumidos en
un tabla de distribución de frecuencias y con media തx ,
para calcular la varianza de estos datos usaremos:
𝜎2 =
σi=1
k xi − ഥX
𝟐fi
n
𝜎2 =
σi=1
k xi
𝟐fi
n
− ഥX 𝟐o
Ejemplo
De las edades de los profesores de aritmética distribuidos
en la siguiente tabla de distribución, halle la varianza.
𝐈𝐢 (edades)
[28 ; ۧ36
[36 ; ۧ44
[44 ; ۧ52
[52 ; ሿ60
𝐱𝐢 𝐟𝐢
32
40
48
56
5
10
2
3
160
400
96
168
20 824n
𝐱𝐢. 𝐟𝐢 𝐱𝐢
𝟐. 𝐟𝐢
5120
16000
4608
9408
35136
En primer lugar, hallamos la media de las edades.
ഥX =
824
20
= 41,2
Aplicamos la segunda relación para hallar la varianza.
𝜎2 =
35136
20
− 41,2 𝟐 = 59,36
2. Desviación estándar 𝜎
Al igual que en el caso de datos no agrupados la
desviación estándar se calcula.𝜎 = varianza
Ejemplo
Del ejemplo anterior hallemos la desviación estándar:
𝜎 = 59,36 = 7,7
BIBLIOGRAFÍA
❑ Asociación Fondo de Investigadores y Editores.
Aritmética. Análisis razonado del número y sus
aplicaciones. Lumbreras Editores, 2020.
❑ Asociación Fondo de Investigadores y
Editores. Aritmética: Colección compendio
académico UNI. Lumbreras Editores, 2018.
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