Semestral Uni - Aritmética semana 09

Vista previa del material en texto

TEORÍA DE CONJUNTOS
- Noción, Pertenencia y diagrama de Venn
- Relaciones entre conjuntos y conjuntos 
especiales
- Operaciones y leyes de Conjuntos
ARITMÉTICA – SEM 9
Objetivos
• Recordar los conceptos básicos de la teoría de
conjuntos
• Reconocer los conjuntos especiales y las relaciones
entre conjuntos
• Resolver problemas utilizando las operaciones
entre conjunto y sus respectivas leyes.
Introducción
La teoría de conjuntos es parte de las
matemáticas que estudia las propiedades y relaciones
de los objetos; los conjuntos y sus operaciones más
elementales son una herramienta básica en la
formulación de cualquier teoría matemática.
El desarrollo histórico de la teoría de conjuntos
se atribuye a Georg Cantor, cuando insistió en definir a
los conjuntos infinitos, que hasta el siglo XVIII, no le
tomaban importancia, por no parecer relevante.
Los conjuntos, como agrupación de objetos se
estudia desde muy temprana edad, debido a que nos
sumerge en el mundo intuitivo de las matemáticas y de
las operaciones básicas que se pueden realizar con ellas.
Entendamos que esta teoría también es un pilar
fundamental en la matemática superior.
NOCIÓN DE CONJUNTOS
Se entiende por conjunto a la agrupación de
objetos reales o abstractos a los cuales se les llamará
elementos. Generalmente a los conjuntos se les
denota mediante letras mayúsculas y a sus elementos
encerrados entre signos de colección como: { } ; ( ) ; [ ];
etc.
A = {las vocales}
B = {a; e; i; o; u}
EJEMPLOS :
OBS 1:
ℕ = { 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; ….}
ℤ = { … ; -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; …. }
Veamos algunos conjuntos numéricos:
OBS 2: DIAGRAMAS DE VENN EULER:
Son figuras geométricas
cerradas planas que tienen
la condición de agrupar
todos los elementos de un
conjunto
B a
e
i
o
u
Elemento
RELACIÓN DE PERTENENCIA
Q = {1 ; 2 ; {2} ; 3 ; {5} ; {7 ;8 } ; 9 }
EJEMPLO :
CONJUNTO
Si está en el
Si no está en el
Є
Є/
1 Q
2 Q
3 Q
5 Q
6 Q
7 Q
{2} Q
{3} Q
{5} Q
{2; 5} Q
{7; 8} Q
{8 ; 9} Q
Dado el siguiente conjunto:
Establezca la relación de pertenencia:
∉
∈
∈
∈
∉
∉
∈
∉
∈
∉
∈
∉
CARDINAL DE UN CONJUNTO
Dado un conjunto A, el Cardinal de A (n(A)), nos indica
la cantidad de elementos diferentes que tiene el
conjunto A
EJEMPLO :
Sea el conjunto B = {a; e; i; o; u}
Se observa que tiene 5 elementos n(B) = 5
Sea el conjunto M = {
Se observa que tiene 3 elementos n(M) = 3
Esta observación no se cumple para objetos reales
, , }
Sean los conjuntos T y S
T = { Τ2a + 1 a ∈ ℕ, 3 < a < 6}
S = { Τ(2a + 1) ∈ ℕ 3 < a < 6}
Determine n(T) + n(S)
APLICACIÓN 1
RESOLUCIÓN
* Para el conjunto T
T = { Τ2a + 1 a ∈ ℕ, 3 < a < 6}
4
5
9
11
T = {9,11} n T = 2Se observa que
* Para el conjunto S 
𝑆 = { Τ(2𝑎 + 1) ∈ ℕ 3 < 𝑎 < 6}
3 < 𝑎 < 6
Multiplicando por 2: 6 < 2𝑎 < 12
Sumando 1: 7 < 2𝑎 + 1 < 13
8, 9, 10, 11, 12
S = {8,9,10,11,12}Se observa que n S = 5
Piden:
n(T) + n(S) = 2 + 5 = 𝟕
RELACIONES ENTRE CONJUNTOS
1. INCLUSIÓN ( ):⊂
A ⊂ B ↔ ( ∀ x ∈ A → x ∈ B)
T = {1 ; 2 ; {2} ; 3 ; {5} ; {7 ;8 } ; 9 }
EJEMPLO : Dado el siguiente conjunto:
Establezca la relación de inclusión y no inclusión:
{ 1 } T
{ 2 } T 
{ 3 } T 
{ 5 } T
{ { 1 } } T
{ { 2 } } T
{ 1; 2 } T
{ 2; 5 } T 
{ 3 ; { 5 }} T 
{{ 5 } ;{ 7 }} T
{ { 7; 8 } } T
{ 2 ; 3 ; 9 } T
⊂
NOTA :
2. IGUALDAD ( = ):
A = B ↔ ( A ⊂ B ↔ B ⊂ A )
Si dos conjuntos A y B tienen por lo menos un
elemento no común, se llamaran diferentes y
se denotará: A ≠ B 
3. COMPARABLES:
Un conjunto A estará incluido en otro conjunto B, si
todos los elementos de A, son también elementos de B
Dado dos conjuntos diferentes A y B, se dirá que son 
comparables, cuando sólo uno de ellos este incluido 
en el otro.
Es decir:
Se lee: “A está incluido en B” o “A es subconjunto de B”
⊂
⊂
⊄
⊄
⊂
⊂
⊄
⊂
⊄
⊂
⊂
Dos conjuntos A y B serán iguales, si ambos poseen los
mismos elementos.
Es decir:
Es decir: A ⊂ B ∨ B ⊂ A
RELACIONES ENTRE CONJUNTOS
4. DISJUNTOS :
Dos conjuntos A y B, son disjuntos , si no tienen
algún elemento en común.
A = {x / x es un número par}
EJEMPLO : Dado los conjuntos:
B = {x / x es un número impar}
Se observa que A y B son disjuntos
5. COORDINABLES O EQUIPOTENTES :
Dos conjuntos A y B, son coordinables, si entre sus
elementos se puede establecer una correspondencia
biunívoca.
A = {lunes, martes, miércoles, … , domingo}
Ejemplo : Dado los conjuntos:
B = {a ; b ; c ; d ; e ; f ; g }
NOTA : Dado dos conjuntos finitos, serán coordinables si
dichos conjuntos tienen el mismo número
cardinal
ℕ = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; . . . }
EJEMPLO : Dado los conjuntos de los naturales y el
conjunto de los pares:
ℙ = {2 ; 4 ; 6 ; 8 ; 10 ; 12 ; 14 ; . . . }
Se observa que los conjuntos ℕ y ℙ son COORDINABLES
Se observa que:
A y B son COORDINABLES ↔ n(A) = n(B)
CONJUNTOS ESPECIALES
1. CONJUNTO NULO O VACÍO ( ):∅
D= Τx x ∈ ℤ ∧ 5 < x < 6 D = ∅
NOTA: El conjunto vacío ( ∅ ) esta incluido en 
cualquier conjunto
2. CONJUNTO UNITARIO O SINGLETÓN:
E = { Τ(x + 5) (x − 3)(x + 4)=0 ∧ x ∈ ℕ}
Sea el conjunto E
Sea el conjunto D
Es aquel conjunto que no tiene elementos
EJEMPLO :
Es aquel conjunto que tiene un solo elemento
EJEMPLO :
Si x = 3 E = {8}
Sea el conjunto F = { p , q }
Los subconjuntos de F son:
∅, 𝑝 , 𝑞 , 𝑝, 𝑞
El conjunto Potencia de F es
P(F) = { ∅, 𝑝 , 𝑞 , 𝑝, 𝑞 }
En general:
𝐸𝑙 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒
𝑠𝑢𝑏𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝐴
= 𝑛 𝑃(𝐴) = 2𝑛(𝐴)
3. CONJUNTO POTENCIA:
El conjunto Potencia de A (P(A)), es aquel conjunto que 
tiene como elementos a todos los subconjuntos de A
EJEMPLO :
𝐸𝑙 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒
𝑠𝑢𝑏𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠
𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝐴
= 2𝑛(𝐴) − 1
OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
1. UNIÓN ( ):∪ A ∪ B = { x / x ∈ A ˅ x ∈ B }
Se lee: “A o B"
2. INTERSECCIÓN ( ):∩ A ∩ B = { x / x ∈ A ˄ x ∈ B }
Se lee: “A y B"
3. DIFERENCIA ( ):− A − B = { x / x ∈ A ˄ x ∉ B }
Se lee: “Sólo A"
4. DIFERENCIA 
SIMÉTRICA( ):∆
A Δ B = { x / x ∈ (A − B) ˅ x ∈ (B − A) }
Se lee: “Sólo A o sólo B"
5. COMPLEMENTO: A C = { x / x ∈ 𝕌 ˄ x ∉ A }
Se lee: “No A"
LEYES DEL ÁLGEBRA DE CONJUNTOS
IDEMPOTENCIA :
A U A = A 
A ∩ A = A
CONMUTATIVA :
(A U B ) U C = A U (B U C) 
(A ∩ B ) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
ASOCIATIVA :
A U B = B U A 
A ∩ B = B ∩ A
A Δ B = B Δ A
DE LA DIFERENCIA:
A – B = A ∩ B C
LEYES DEL ÁLGEBRA DE CONJUNTOS
A U A = A 
A ∩ A = A
(A U B )U C = A U (B U C) 
(A ∩ B )∩C = A ∩ (B ∩ C)
ASOCIATIVA :
A U B = B U A 
A ∩ B = B ∩ A
DE LA DIFERENCIA:
A – B = A ∩ B C
IDEMPOTENCIA :
CONMUTATIVA :
DISTRIBUTIVA:
AU(B∩C ) = (A U B) ∩ (A U C) 
A∩(BUC ) = (A ∩ B) U (A ∩ B) 
DE MORGAN:
(AUB) C = A C ∩ B C
(A∩B) C = A C U B C
DE ABSORCIÓN:
A U ( A ∩ B) = A 
A ∩ (A U B) = A 
A U (A C ∩ B) = A U B 
A ∩ (A CU B) = A ∩ B 
A Δ B = (A – B) U (B – A )
A Δ B = (A U B) – (A ∩ B )
DEL COMPLEMENTO:
AUA C = 𝕌
A∩A C = ∅
(A C) C = A 
(𝕌) C = ∅
(∅ ) C = 𝕌
(A C) C) C = A C
DE LA UNIDAD:
A U 𝕌 = 𝕌
A ∩ 𝕌 = A 
A U ∅ = A 
A ∩ ∅= ∅
DE LA DIFERENCIA SIMÉTRICA:
APLICACIÓN 2
Un club deportivo tiene 68 jugadores, de los cuales 48
practican el fútbol, 25 practican el básquet y 30 el
béisbol. Si sólo 6 jugadores practican los tres deportes,
¿cuántos jugadores practican exactamente un deporte?
RESOLUCIÓN :
Del enunciado se tiene el siguiente diagrama:
Nos piden , cuantos jugadores practican exactamente un
deporte (Área sombreada de verde)
FUTBOL( )48 BASQUET( )25
BEISBOL( )30
6
𝒂 𝒃
𝒄
𝒏
𝒑𝒎
Se observa:
No practican Futbol:
No practican Básquet:
No practican Beisbol:
Sumando estas ecuaciones:
(𝑎 + 𝑏 + 𝑐) + (𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑚 + 𝑝 + 𝑛) = 101
𝑎 + 𝑏 + 𝑐
Despejando se tiene:
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 39
0
62 = 101+
𝕌 ( )68
Colocamos variables a las regiones generadas
𝑏 + 𝑝 + 𝑐 = 20
𝑎 + 𝑚 + 𝑐 = 43
𝑎 + 𝑛 + 𝑏 = 38
Halle el valor de verdad de las siguientes
proposiciones, si A, B y C son conjuntos:
I. Si 𝕌 es el conjunto universal, entonces
{ [ (A – B ) ∩ B ] ∩ [ ( A U B ) ∩ C ] } ᶜ = 𝕌
II. Si A B , entonces A – B = ∅⊂
III. Si n(A) = 6 y n(B) = 8 , el máximo valor de
n [ P(A) U P(B) ] = 320
RESOLUCIÓN :
I. { [ ( A – B ) ∩ B ] ∩ [ ( A U B ) ∩ C ] } ᶜ
{ ∅ ∩ [ ( A U B ) ∩ C ] } ᶜ
∅ ᶜ = 𝕌 ….( V )
Además A ∩ B ᶜ = (A ∩ B) ∩ B ᶜ
II. Como A B , entonces A ∩ B = A ⊂
A ∩ B ᶜ = A ∩ ( B ∩ B ᶜ )
A ∩ B ᶜ = A ∩ (∅ )
A ∩ B ᶜ = ∅
A – B = ∅
….( F )
III. n [ P(A) U P(B) ] es máximo si A y B son disjuntos.
Además P(A) y P(B) tienen en común al conjunto vacío
n [ P(A) U P(B) ] = n [ P(A) ] +n [ P(B) ] – 1
= 2⁶ + 2⁸ – 1
= 319
….( V )
La respuesta al final seria: V V F
APLICACIÓN 3
BIBLIOGRAFÍA
❑ Asociación Fondo de Investigadores y Editores.
Aritmética. Análisis razonado del número y sus
aplicaciones. Lumbreras Editores, 2020.
❑ Asociación Fondo de Investigadores y
Editores. Aritmética: Colección compendio
académico UNI. Lumbreras Editores, 2018.
www.a cadem i a ce s a r v a l l e j o . e du . pe