Semestral Uni - Aritmética semana 13

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TEORÍA DE DIVISIBILIDAD
- Notación de los múltiplos y los no 
múltiplos
- Principios de divisibilidad
- Principio de Arquimedes
ARITMÉTICA – SEM 13
Objetivos
• Repasar los conceptos de divisibilidad y
multiplicidad
• Recordar los principios de divisibilidad mediante
aspectos teóricos y ejemplos.
• Aplicar la teoría de divisibilidad en la resolución de
los problemas.
Introducción
La divisibilidad de los números es conocida
desde tiempos remotos. El matemático griego Euclides
demostró los teoremas básicos de la divisibilidad de
números enteros. Ya posteriormente, el matemático
francés Pascal (1623-1662) propuso las reglas para
conocer la divisibilidad de cualquier número.
La teoría de divisibilidad surge entre otras
situaciones, por la necesidad de explicar la división de
dos cantidades enteras, cuando esta no resulta ser
exacta, es decir por ejemplo de encontrar el residuo que
se obtiene sin necesitad de efectuar la operación de
división.
En el presente capítulo recordaremos los
principales aspectos y conceptos utilizados en la teoría
de divisibilidad, como la representación de los múltiplos
y no múltiplos y los principios más importantes.
DIVISIBILIDAD
Si A ∈ ℤ y 𝐵 ∈ ℤ+ y si además al dividir
A entre B , la división entera es exacta;
entonces se dirá que A es divisible por B
Ejemplo:
6 3
20
6 es divisible por 3
3 es divisor de 6
4
0
−28
−7
−28 es divisible por 4
4 es divisor de −28
Si A ∈ ℤ y 𝐵 ∈ ℤ+ y si además A es el
Resultado de multiplicar a B por un entero;
entonces se dirá que A es múltiplo de B
Ejemplo:
6 = 3 × 2
6 es múltiplo de 3
3 es modulo de 6
−28= 4 × −7
−28 es múltiplo de 4
4 es modulo de −28
CONCLUSIÓN: DIVISIBILIDAD
MULTIPLICIDAD
<> MULTIPLICIDAD
REPRESENTACIÓN DE LOS NO MÚLTIPLOS DE UN
NÚMERO
Si “A no es múltiplo de B” se puede representar de 2
maneras:
A = Bk + rd
POR DEFECTO: POR EXCESO:
A B 
rd K
A B 
re K+1
A = B(k+1) + re
A = B + rd
° A = B - re
°
Además por propiedad de la división inexacta se cumple:
rd + re = B
°
REPRESENTACIÓN DE LOS MÚLTIPLOS DE UN
NÚMERO
Si “A es múltiplo de B” se denotará:
A = B°
Donde: A ∈ Z
B ∈ Z+ (MÓDULO)
Significa: A = B k
k ∈ Z
Ejemplos:
9; 18; 27; 36; …
40 5=
∘
77 11 =
∘
120 12 =
∘
Si M = 9 
∘
M 9k =
⋅ ⋅ ⋅
⋅ 0
-9; -18; -27; -36; …
Si ab𝑐 = 25 
∘⋅ abc 25k =
{4; 5; 6; … ;39}
52 7 = + 3 o 52 7 = 4 −
⋅ 78 9 ∘= +3 o 78 9 ∘= 6 −
⋅ Si N 12 ∘= + 11 N 12 ∘= 1 −
Ejemplos:
⋅ ∘
∘
PRINCIPIOS DE DIVISIBILIDAD.
RESPECTO A UN MISMO MÓDULO POR OPERACIONES BÁSICAS:
n + n + n = n° ° ° ° n − n = n° ° °
° °(n) k = n; k ∈ ℤ ; k ∈ ℤ+k × n = n° °
24 + 16 +32 = 72 
8 
∘
8 
∘
8 
∘
8 
∘
88 16 = 72 
8 
∘
8 
∘
8 
∘
−
5 12 = 60 ×
6 
∘
6 
∘
( 6 ) = 1296 
4 
3 
∘
3 
∘
También se cumplirá:
• 3 =
• 4 =
• ( 8 + 3 ) 
∘
( 8 + 2 ) 
∘
= 8 
∘
+ 6 
• ( 9 – 2 ) 
∘
( 9 – 5 ) 
∘
= 9 
∘
+ 10 = 9 
∘
+
7 
∘
+ 2 7 
∘
+ 6 
5 
∘
+ 2 5 
∘
+ 8 
1
• ( 9 + 2 ) 
∘ 3 
= 9 
∘
+ 2 3 = 9 
∘
+ 8 
• ( 11 + 5 ) 
∘ 4 
= 11 
∘
+ 5 4 
• ( 13 – 3 ) 
∘ 2 
= 13 
∘
+ 3 2 = 13 
∘
+ 9 
• ( 17 – 4 ) 
∘ 3 
= 17 
∘
4 3 −
• ( 23 + 22 ) 
∘ 8 
= ( 23 – 1 ) 
∘ 8 
= 23 
∘
+ 1 
Entonces también se afirmara que:
°(n – r) k =
°(n + r) k = n + r k°
n + r k ; si k es PAR°
n – r k ; si k es IMPAR°
RESPECTO AL MÓDULO DE LA POTENCIA DE LA BASE:
abcden =
n + e°
n2 + den
°
n3 + cden
°
Ejemplos:
• 65247 = 7 + 4
°
• 134526 = 6
2 + 526
°
= 36 + 32
°
RESPECTO A LOS DIVISORES DEL MÓDULO:
Si un número A es múltiplo de un entero positivo B,
entonces A será múltiplo de todos los divisores de B:
Ejemplo:
como Div(12) : 1 ; 2 ; 3 ; 4; 6 ; 12
A = 1 ; 2 ; 3 ; 4; 6 ; 12° ° ° ° ° °
Si A = 12°
RESPECTO A VARIOS MÓDULOS
N = A ± r°
N = B ± r
°
N = C ± r°
N = ( MCM(A ;B ; C) ± r
°
Ejemplos:
* N = 6 + 2°
N = 4 + 2°
N = MCM(6 ;4 ) + 2
°
N = 12 + 2°
* M = 10 - 7°
M = 12 - 7°
M = 15 - 7°
M = MCM(10 ; 12 ; 15 ) - 7
°
M = 60 – 7
°
* P = 18 + 7°
P = 12 + 1° + 24
+ 18
P = MCM(18 ;12 ) + 25
°
M = 60 – 7
°
PRINCIPIO DE ARQUIMEDES
Sean dos números enteros A y B no nulos. Si A x B = n,
Además B y n tienen como único divisor común a la
unidad, entonces A = n
°
°
Ejemplos:
* 7A = 5°
A = 5°
* 2B = 14°
B = 7°
* 3C = 18 + 6°
C = 6 + 2°
* 5D = 7 + 1° + 14
D = 7 + 3°
* 24E = 11 + 5° + 11 (÷ 8)
3E = 11 + 2° + 22 (÷ 3)
E = 11 + 8°
* 30F = 13 + 5° + 13 (÷ 6)
5F = 13 + 3° – 13 (÷ 5)
F = 13 – 2°
APLICACIÓN (EXAMEN UNI 2019 – II)
Determine el conjunto de valores de n (n ∈ ℕ) de tal
modo que, la expresión
E(n)=(2n+1)(3n+2)
sea divisible por 6.
A) {6t–1/t ∈ ℕ} B) {6t–2/t ∈ ℕ} C) {6t–3/t ∈ ℕ}
D) {6t–4/t ∈ ℕ} E) {6t–5/t ∈ ℕ}
SOLUCIÓN:
Del enunciado: E(n)=(2n+1)(3n+2) = 6°
6n2+7n+2 = 6°
6n2+6n + n +2 = 6°
6
°
n +2 = 6°
n +2 = 6t
n = 6t – 2 
RESPUESTA: {6t–2/t ∈ ℕ}
APLICACIÓN 
Al dividir (2403)125 entre 7, que residuo se obtendrá.
RESOLUCIÓN 
Sea: E = (2473)125
Se tiene: 7 E 
q r + r 7 
∘
E =
Entonces: E = 125+ 2 7 
∘
= + 2 7 
∘
125 
×(E = + 2 7 
∘ 3 )
41 
2 2 
×(E = +7 
∘
)
41 
2 2 7 
∘
+ 1 
×(E = +7 
∘
) 4 7 
∘
+ 1 
E = +7 
∘
4 
Por lo tanto el residuo “r” será 4
+ r 7 x E = q 
Piden “r” Siendo r < 7
APLICACIÓN
Los estudiantes del ciclo Anual virtual UNI están
comprendidos entre 740 y 1020, y pueden formar grupos de
16, 20 y 25 sin que falte ninguno. ¿Cuántos estudiantes son?
RESOLUCIÓN
Sea N la cantidad de estudiantes. 
Por dato tenemos: 740 < N < 1020 
N =Además
16 
∘
20 
∘
25 
∘
∘
400 
∘
=N = MCM ( 16; 20; 25 )
Como se dedujo que N es múltiplo de 400 y debe estar 
entre 740 y 1020 
740 < N < 1020 
740 < 400 k < 1020 
2(única opción) 
Por lo tanto son 800 estudiantes 
BIBLIOGRAFÍA
 Asociación Fondo de Investigadores y Editores.
Aritmética. Análisis razonado del número y sus
aplicaciones. Lumbreras Editores, 2020.
 Asociación Fondo de Investigadores y
Editores. Aritmética: Colección compendio
académico UNI. Lumbreras Editores, 2018.
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