Semestral Uni - Aritmética semana 18

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NÚMEROS RACIONALES ℚ
- Clases de equivalencia
- Definición de los números racionales
- Definición y clasificación de las 
fracciones.
ARITMÉTICA – SEM 18
OBJETIVOS DE LA SESIÓN 
INTRODUCCIÓN
El conjunto de los racionales se construye con la finalidad que las cuatro operaciones
fundamentales queden bien definidas; es decir las operaciones de adición, sustracción,
multiplicación y división son cerradas en dicho conjunto.
Teniendo en cuenta que una operación es cerrada en un conjunto si para cualesquiera dos
elementos de dicho conjunto al operarlos el resultado también pertenece a dicho conjunto.
Ejemplo:
aún teniendo términos distintos; serán pares ordenados
equivalentes.
𝑎
𝑏
= 𝑎; 𝑏
INTRODUCCIÓN A LOS NÚMEROS RACIONALES
Ejemplos:
−3
5
= −3; 5
0
7
= 0; 7
•
18
6
= 18; 6•
1
2
= 1; 2•
ℤ × ℤ∗ = 𝑎; 𝑏 /𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ∗
Es decir: ℤ × ℤ∗ = 1,2 , 18,6 , −3,5 , 0,7 ,…
También: 
ℤ × ℤ∗ =
1
2
,
18
6
,
−3
5
,
0
7
, …
• 1,2 =
1
2
= 0,5 𝟏, 𝟐 ≈ 𝟐,𝟒•
 En el conjunto ℤ × ℤ∗ definimos la siguiente relación:
Se observa que la relación ≈
2,4 =
2
4
= 0,5
𝑎; 𝑏 ≈ 𝑐; 𝑑 ↔ 𝑎 × 𝑑 = 𝑏 × 𝑐
•
Dado que la relación ≈ es reflexiva, simétrica y transitiva,
entonces es una relación de
equivalencia.
𝟏,𝟐 ≈ 𝟑,𝟔
 Consideraremos: donde: 𝑏 ≠ 0
•
 Definimos el conjunto:
Es decir: ℤ∗ = … ,−3, −2,−1, 1 , 2 , 3 ,…
 Definimos el conjunto producto: Es Reflexiva: 1,2 ≈ 1,2
Es Simétrica: 1,2 ≈ 2,4 2,4 ≈ 1,2
Es Transitiva: 1,2 ≈ 2,4 y 2,4 ≈ 3,6
•
•
 Observamos pares ordenados que generan igual cociente,
ℤ∗ = ℤ − 0
1
2
 Se denomina CLASE DE EQUIVALENCIA a los
conjuntos cuyos elementos son pares ordenados
equivalentes:
= …; −2:−4 ; −1;−2 ; 1;2 ; 2;4 ; . . .
Representante canónico:
 Gráfica de la clase de equivalencia 
1
2
:
v
Ejemplo:
 La gráfica de una clase de equivalencia
𝑎
𝑏
son puntos
que forman parte de una recta que pasa por el origen.
Pendiente de la recta:
𝑏
𝑎
CONJUNTOS DE LOS NÚMEROS RACIONALES
NOTA: 
• El conjunto de los racionales es un conjunto de conjuntos.
• El conjunto de los racionales es infinito y denso.
𝟏; 𝟐
1 2 3 4−4 − 3 − 2 − 1
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
ℤ∗
ℤ
vℚ =
𝑎
𝑏
/ 𝑎; 𝑏 ∈ ℤ × ℤ∗
• ℚ ∪ℚ′ = ℝ ∧ ℚ ∩ ℚ′ = ∅ (ℚ′ es el conjunto de los
números irracionales )
• Todo número entero es un número racional:
vℤ =
𝑎
1
/ 𝑎; 1 ∈ ℤ × ℤ∗
Indique la secuencia correcta después de determinar si
la proposición es verdadera (V) o falsa (F). (UNI 2019-I)
I. El producto de un número irracional por otro
irracional es siempre irracional.
II. La suma de dos números irracionales siempre es
un número irracional.
III. Entre dos números racionales diferentes siempre
existe otro número racional.
APLICACIÓN 1
RESOLUCIÓN:
Para 𝐈 : “Veamos un contraejemplo”
5 − 1 5 − 1 =5 + 1× 4
Por lo tanto, el producto de dos números
irracionales puede resultar un número racional.
irracional
=
𝐈 es Falsa
irracional racional
Para 𝐈𝐈 : “Veamos un contraejemplo”
3 − 5 3 + 3 =3 + 5+ 6
Por lo tanto, la suma de dos números
irracionales puede resultar un número racional.
irracional
=
𝐈𝐈 es Falsa
irracional racional
Por lo tanto, la secuencia de valores de verdad es FFV
Para 𝐈𝐈𝐈 : Se sabe que el conjunto de los números
racionales es un conjunto denso; es decir, entre
dos racionales cualesquiera hay infinitos
racionales.
Por lo tanto, entre dos racionales diferentes
siempre existe otro número racional.
𝐈𝐈𝐈 es Verdadera
APLICACIÓN 2 (UNI 2018-2) 
Sean las clases de equivalencia de números racionales:
𝑎
𝑏
; 
𝑚
𝑛
y 
𝑟
𝑠
Dadas las siguientes proposiciones:
I. Si 
𝑎
𝑏
∩
𝑚
𝑛
= ∅, entonces 𝑎𝑛 = 𝑏𝑚.
II. Si 
𝑎
𝑏
∩
𝑚
𝑛
≠ ∅, entonces 
𝑛
𝑏
=
𝑚
𝑎
.
III. Si 
𝑎
𝑏
+
𝑚
𝑛
=
𝑟
𝑠
, entonces 
𝑎𝑛+𝑏𝑚
𝑏𝑛
∈
𝑟
𝑠
.
¿cuáles son correctas?
RESOLUCIÓN
Sean las clases de equivalencia de números racionales:
𝑎
𝑏
; 
𝑚
𝑛
y 
𝑟
𝑠
Donde: 𝑎;𝑚; 𝑟 ⊂ ℤ
𝑏; 𝑛; 𝑠 ⊂ ℤ∗
Para 𝐈 :
Si 
𝑎
𝑏
∩
𝑚
𝑛
= ∅, entonces 𝑎𝑛 = 𝑏𝑚.
𝑎
𝑏
≠
𝑚
𝑛
𝑎𝑛 ≠ 𝑏𝑚 𝐈 es Falsa
Para 𝐈𝐈 : Si 𝑎 = 0, entonces no cumple. 𝐈𝐈 es Falsa
Para 𝐈𝐈𝐈 :
𝐈𝐈𝐈 es Verdadera
𝑎
𝑏
+
𝑚
𝑛
=
𝑎𝑛
𝑏𝑛
+
𝑏𝑚
𝑏𝑛
=
𝑎𝑛 + 𝑏𝑚
𝑏𝑛
𝑎𝑛 + 𝑏𝑚
𝑏𝑛
∈
𝑎
𝑏
+
𝑚
𝑛
𝑎𝑛 + 𝑏𝑚
𝑏𝑛
∈
𝑟
𝑠
Por lo tanto, solo III es correcta
DEFINICIÓN DE FRACCIÓN
𝒇 es una fracción, si:
Ejemplos : 3
5
Son fracciones
𝒇 =
𝑁
𝐷
Donde:
Numerador
No son fracciones
Denominador
;
7
2
;
4
6
←
−2
9
;
−8
−10
;
6
3
←
y
CLASIFICACIÓN DE LAS FRACCIONES
1. Por la comparación de su valor respecto a la unidad
PROPIA IMPROPIA
𝑁
𝐷
< 1 ↔ 𝑁 < 𝐷
3
5
;
7
9
;
13
30
;
25
40
𝑁
𝐷
> 1 ↔ 𝑁 > 𝐷
9
2
;
21
9
;
101
100
;
25
4
2. Por su denominador
DECIMAL ORDINARIA
; 𝐷 = 10𝐾𝑁
𝐷
; 𝐾 ∈ ℤ+
3
10
;
120
100
;
43
1000
;
25
104
; 𝐷 ≠ 10𝐾𝑁
𝐷
; 𝐾 ∈ ℤ+
3
7
;
12
5
;
44
200
;
25
35
NÚMEROS FRACCIONARIOS
Son aquellos números racionales que no son enteros.
Ejemplos:
3
4
;
12
−26
;
−5
30
;
−23
−7
15
3
;
24
−6
;
−70
10
;
−40
−5
Son números
fraccionarios
No son números
fraccionarios 
 𝑁 ∈ ℤ+; 𝐷 ∈ ℤ+ ; 𝑁 ≠ 𝐷
°
3. Por la cantidad de divisores comunes de sus términos
REDUCTIBLE IRREDUCTIBLE
𝑁
𝐷
; 𝑀𝐶𝐷 𝑁;𝐷 ≠ 1
4
12
;
120
70
;
40
34
;
25
65
𝑁
𝐷
; 𝑀𝐶𝐷 𝑁;𝐷 = 1
4
3
;
80
7
;
32
33
;
35
9
4. Por grupo de fracciones
HOMOGÉNEAS HETEROGÉNEAS
Si todas tienen el mismo
denominador:
3
20
;
7
20
;
16
20
;
25
20
Si no todas tienen el
mismo denominador:
10
12
;
11
12
;
38
12
;
25
4
Observación:
Fracciones equivalentes
Ejemplo:
3
4
<>
6
8
<>
9
12
<>
12
16
<> . . .
3𝑘
4𝑘
<> ; 𝑘 ∈ ℤ+
x 2
x 2
x 3
x 3
x 4
x 4
Fracción irreductible
Propiedades de las fracciones
Sean 𝑎
𝑏
𝑆𝑖
𝑎
𝑏
+
𝑐
𝑑
= 𝑘 ∧ 𝑘 ∈ ℤ+ 𝑏 = 𝑑
Sean 𝑎
𝑏
;
𝑐
𝑑
;
𝑒
𝑓
𝑀𝐶𝐷
𝑎
𝑏
;
𝑐
𝑑
;
𝑒
𝑓
=
𝑀𝐶𝐷 (𝑎; 𝑐; 𝑒)
𝑀𝐶𝑀(𝑏; 𝑑; 𝑓)
𝑀𝐶𝑀
𝑎
𝑏
;
𝑐
𝑑
;
𝑒
𝑓
=
𝑀𝐶𝑀 (𝑎; 𝑐; 𝑒)
𝑀𝐶𝐷(𝑏; 𝑑; 𝑓)
fracciones irreductibles
fracciones irreductibles𝑐
𝑑
y
Entonces:
¿Cuántas fracciones equivalentes a 513/684 existen, de modo
que la suma de sus términos sea múltiplo de 91 y dicha suma
esté comprendida entre 100 y 500?
APLICACIÓN 3
RESOLUCIÓN
513
684
=
3
4
𝑓 =
3𝑘
4𝑘
7𝑘 = 91°
13°
Suma de términos: 3𝑘 + 4𝑘= 7𝑘
Por dato:
Simplificamos:
Además: 100 < 7𝑘 < 500
14,2 ≤ 𝑘 ≤ 71,4
𝑘 =
Entonces: 𝑎 ∶ 26;39;52; 65
Por lo tanto, hay 4 fracciones equivalentes
=
9 19 3
9 19 4
× ×
× ×
(÷ 𝟕)
La suma de dos fracciones irreductibles es 3. Además
sus denominadores suman 14 y los numeradores son
consecutivos. Halle el mayor numerador.
APLICACIÓN 4
RESOLUCIÓN
Por lo tanto; el mayor numerador es 11.
Por dato:
Sean las fracciones irreductibles: 𝑎
𝑏
𝑦
𝑐
𝑑
𝑎
𝑏
+
𝑐
𝑑
= 3
Por propiedad: 𝒃 = 𝒅
𝑦 𝑏 + 𝑑 = 14
→ 𝑏 = 𝑑 = 7
Luego:
𝑎
7
+
𝑐
7
= 3 𝑎 + 𝑐 = 21
𝟏𝟎 𝟏𝟏
𝟏𝟏 𝟏𝟎
¿Cuántas fracciones propias de términos positivos impares y
consecutivos menores de
9
10
existen?
APLICACIÓN 5
RESOLUCIÓN:
Sea: 𝑛
𝑛 + 2
𝑓 =
Además:
𝑛
𝑛 + 2
<
9
10
10𝑛 < 9𝑛 + 18
𝑛 < 18
𝟏; 𝟑; 𝟓; 𝟕; 𝟗; 𝟏𝟏; 𝟏𝟑; 𝟏𝟓; 𝟏𝟕
→
Por lo tanto, hay 9 fracciones.
𝟗 valores
impares consecutivos 
→
Numeradores
consecutivos
BIBLIOGRAFÍA
 Asociación Fondo de Investigadores y Editores.
Aritmética. Análisis razonado del número y sus
aplicaciones. Lumbreras Editores, 2020.
 Asociación Fondo de Investigadores y
Editores. Aritmética: Colección compendio
académico UNI. Lumbreras Editores, 2018.
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