Semestral Uni - Geometría semana 01

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SEMANA 01
GEOMETRIA
TRIÁNGULOS
OBJETIVOS
- 1. Estudiar al triángulo en base a sus principales elementos, lados y
medidas angulares.
- 2. Reconocer las principales líneas notables que en él se pueden
trazar
- 3. Diferenciar los tipos de triángulos mediante la clasificación de
ellos respecto a sus medidas angulares y a la relación de sus lados.
La figura geométrica denominada triángulo,
destaca principalmente por el hecho de que posee
únicamente tres lados, entonces es imposible
deformar esta figura, lo cual le da la propiedad de
ser una estructura rígida, misma carácteristicas
que es muy bien usada en las construcciones más
variadas, por ejemplo en las construcciones de
antenas, puentes y cúpulas geométricas o Domos.
EL TRIÁNGULO
Región interior
EL TRIÁNGULO
LADOS
Segmentos de recta que unen los vértices: 
segmentos AB, BC y AC
VÉRTICES
Tres puntos no colineales que determinan el
triángulo: A, B, C
A
B
C
θ
β
α
𝜀2
𝜀3
𝜀1
a
b
c
SEMIPERÍMETRO
Semisuma de las longitudes de sus lados:
semiperímetro: (a + b + c)/2
Región exterior y relativa
al lado 𝐵𝐶
MEDIDAS ANGULARES INTERIORES
Interiores: 𝛼, 𝛽, 𝜃
MEDIDAS ANGULARES EXTERIORES
Exteriores: 𝜀1, 𝜀2, 𝜀3
P
P es un punto de la región Interior 
Q
Q es un punto de la región exterior 
REGIÓN TRIÁNGULAR
Es el conjunto formado por los
puntos del triángulo y de su región
interior
DEMOSTRACIÓN
TEOREMA
A
B
C
θ
β
α
Suma de medidas angulares internas
𝛼 + 𝜃 + 𝛽 = 180°
TEOREMA
Ángulo exterior
θ
A
B
C
β
α
𝜃 = 𝛼 + 𝛽
MEDIDAS ANGULARES EXTERIORES
Al considerer una de ellas en cada
vértice del triángulo, la suma de estas
tres medidas será 360°
A
B
C
θ
β
α
𝜃 + 𝛼 + 𝛽 = 360°
β
θ
α
Ya que la suma de las medidas angulares en torno a un mismo punto es 360°
∴ 𝜃 + 𝛼 + 𝛽 = 360°
UNI 1978
𝐴) 68°46′ B) 111°14′ C) 68°
D) 70°46′ E) 70°46′
SOLUCIÓN
El ángulo del vértice de un triángulo isósceles
mide 42°28′. ¿Cuál es el valor del ángulo
exterior formado por uno de los lados
iguales y la prolongación de la base?
A
B
C
42°28´
𝑥
Piden: 𝑥
𝑎 𝑎
Sea:
𝑚∢𝐵𝐴𝐶 = 𝑚∢𝐵𝐶𝐴 = 𝜃
𝜃𝜃
Se observa que:
𝜃 = 180° − 𝑥
∆𝐴𝐵𝐶:
180° − 𝑥 + 180° − 𝑥 + 42°28’ = 180°
𝑥 =
180° + 42°28′
2
Luego: 𝑥 = 90° + 21°14′
∴ 𝑥 = 111°14′
CLAVE: B
Teorema
A
B
C
θ
β
α
𝛼 + 𝜃 + 𝛽 = 180°
TEOREMA
Cuadrilátero Cruzado
𝜃 + 𝛼 =
𝜃
𝛼
𝛽
ω
𝛽 + ω
TEOREMA
Cuadrilátero de región Convexa
𝜃 + 𝛼 =
𝛽
ω
𝜃
𝛼
𝛽 + ω
TEOREMA
Cuadrilátero de región no convexa
𝜃 + 𝛼 + ω =
𝜃
𝛼
ω𝑥
𝑥
TEOREMA
Ángulos exteriores
𝜃
𝛼 𝛽
𝜃 + 180° = 𝛼 + 𝛽
Sugerencia:
En figuras como esta:
Es recomendable:
Prolongar
RELACIONES DE ORDEN EN EL TRIÁNGULO
𝑏
𝑐 𝑎
Teorema de Existencia
< a < b + c b – c
Si c < a < b < b < a + c a – c
< c < b + a b – a
Teorema de Correspondencia
θα
𝛼 > 𝜃
𝒂c
a > c
yx
Si 𝛼 > 𝜃 y > x
a
b
a
bθ
α
1
Además es útil tener en cuenta que:
yx
𝛼 > 𝜃Si y > x
a
b
a
bθ
α
2
TEOREMA
Siendo 2𝑝: 𝑝𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑟𝑖á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜
A
B
C
P
Para todo punto P de su región
Interior:
< PA + PB + PC < 2p p
B
CA
𝐴𝑙 á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟
𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑠𝑒 𝑜𝑝𝑜𝑛𝑒 𝑒𝑙 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒
𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑.
CLASIFICACIÓN DEL TRIÁNGULO
Según las longitudes de sus lados
Escaleno EquiláteroIsósceles
a≠b
b≠c
c≠a
a
b c
a=b
a b
a a
a
θ
θ = 60°
α α
Según sus medidas angulares:
RectánguloAcutángulo Obtusángulo
α
θ
β α
α < 90°
θ < 90°
β < 90°
𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2
a
b c
90° < α < 180°
PONS ASINORUM
Antiguamente se decía que todo
buen estudiante debía ser capaz
mínimamente de probar que:
“𝑙𝑜𝑠 á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜𝑠 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜𝑠 𝑎 𝑙𝑜𝑠 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑢𝑛
𝑡𝑟𝑖á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑖𝑠ó𝑠𝑐𝑒𝑙𝑒𝑠, 𝑠𝑜𝑛 𝑡𝑎𝑚𝑏𝑖é𝑛 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑒𝑠”
α α
Debido a esto, este resultado
era conocido como “Pons
Asinorum” o puente del burro
𝑎2 + 𝑏2 > 𝑐2
𝑎2 + 𝑐2 > 𝑏2
𝑏2 + 𝑐2 > 𝑎2
𝑎2 + 𝑏2 < 𝑐2
a
b c
a
b c
UNI 2016 - I
𝐴) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
SOLUCIÓN
Determine el número de triángulos escalenos,
de perímetro menor que 10 y cuyos lados
tengan medidas enteras.
𝑏
𝑐 𝑎
B
CA
θα
Datos:
𝑎, 𝑏 𝑦 𝑐: números enteros
Además: 𝑎 ≠ 𝑏
𝑏 ≠ 𝑐
𝑐 ≠ 𝑎
y 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 < 10
Piden: 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑖á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑎𝑡𝑖𝑠𝑓𝑎𝑐𝑒𝑛 𝑑𝑖𝑐ℎ𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠
Sabemos que: 𝑏 < 𝑎 + 𝑐 2𝑏 < 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 2𝑏 < 10
Se sigue que: 𝑏 < 5 de manera análoga: 𝑎 < 5 y 𝑐 < 5
Ya que 𝑎, 𝑏 y 𝑐 deben ser distintos: 𝑏 = 4, 𝑎 = 3, 𝑐 = 2
∴ Existe un único triángulo CLAVE: A
Teorema
A
B
C
𝑏 − 𝑎 < 𝑐 < 𝑏 + 𝑎
𝑎
𝑏
𝑐
θ
θ
θθ
ALTURA MEDIANA BISECTRIZ MEDIATRIZ
H
F
l
LÍNEAS NOTABLES
MH
F CA
B
B
CA
A
B
CA
B
C
A
B
C
A
B
C
Acutángulo
Obtusángulo
a a
Interior
Exterior
a a
TEOREMAS PARA ÁNGULOS ENTRE BISECTRICES
θ
x
α
α
𝛽
𝛽
𝛽
𝛽
α
α
θ
x
B
C
A
Segmentos bisectrices interiores
𝑥 = 90° +
𝜃
2
B
C
A
Segmentos bisectrices exteriores
𝑥 = 90° −
𝜃
2
θ
x
α
α
𝛽
𝛽
B
C
A
Segmentos bisectrices 
𝑥 =
𝜃
2
UNI 2008 - II
𝐴) 110° B) 115° C) 120°
D) 125° E) 130°
SOLUCIÓN
Sobre los lados 𝐴𝐶 y 𝐵𝐶 de un triángulo
acutángulo 𝐴𝐵𝐶 se ubican los puntos 𝐷 y 𝐸,
respectivamente, de tal modo que AD=BD=BE
y 𝑚∠𝐷𝐸𝐵 = 𝑚∠𝐴𝐵𝐶. Si las bisectrices de los
∠𝐵𝐴𝐶 y ∠𝐴𝐶𝐵 se cortan en 𝑃 y 𝑚∠𝐸𝐷𝐶 =
40°, entonces ∠𝐶𝑃𝐴 es.
B
CA
θ
𝜃
𝐷
𝐸
40°
𝑃
𝑥
Piden: 𝑥
∆𝐷𝐵𝐸 𝐼𝑠ó𝑠 :
𝑚∢𝐵𝐷𝐸 = 𝑚∢𝐵𝐸𝐷 = 𝜃
∆𝐵𝐷𝐴 𝐼𝑠ó𝑠 : Por ángulo exterior 𝑚∢𝐵𝐴𝐷 = 𝑚∢𝐴𝐵𝐷 = 20° + 𝜃/2
Se sigue que: 𝑚∢𝐷𝐵𝐸 = 𝜃/2 − 20°
∆𝐷𝐵𝐸 𝐼𝑠ó𝑠 : 𝜃 + 𝜃 + 𝜃/2 − 20° = 180°
Operando: 𝜃 = 80°
Por teorema: 𝑥 = 90° +
𝜃
2
∴ 𝑥 = 130°
CLAVE: E
θ
20° +
𝜃
2
𝜃
2
− 20°
Teorema
𝛽
𝛽
α
α
θ
x
B
C
A
𝑥 = 90° +
𝜃
2
OTROS TRIÁNGULOS
Existen otros tipos de geometría que se desarrollan en superficies 
que no son planas, en dichas geometrías la suma de las medidas de 
los ángulos de un triángulo ya no es necesariamente 180°
𝐺𝑒𝑜𝑚𝑒𝑡𝑟í𝑎𝑠 𝑒𝑛 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑠
TEOREMA
x
αθ θ
α
𝑎
𝑏
𝑥 =
𝑎 + 𝑏
2
TEOREMA
x
θβ
𝛽 θ
𝑎
𝑏
𝑥 =
𝑎 + 𝑏
2
A
B
C
SUGERENCIAS 
ADICIONALES
Recomendaciones a situaciones frecuentes
𝛼
2𝜃
2𝜃
En figuras como esta:
Es recomendable:
𝑇𝑟𝑎𝑧𝑎𝑟 𝑢𝑛𝑎 𝑐𝑒𝑣𝑖𝑎𝑛𝑎
2𝜃 𝜃
2𝜃 𝜃
Para obtener triángulos isósceles
𝜃
En figuras como esta:
Es recomendable:
𝑇𝑟𝑎𝑧𝑎𝑟 𝑢𝑛𝑎 𝑐𝑒𝑣𝑖𝑎𝑛𝑎
3𝜃 𝜃
𝜃
Para obtener triángulos isósceles
𝜃
3𝜃
2𝜃
En figuras como esta:
Si: 𝛼 + 𝜃 = 90°
Es recomendable:
2𝜃
𝛼
2𝜃
𝛼
𝑇𝑟𝑎𝑧𝑎𝑟 𝑢𝑛𝑎 𝑐𝑒𝑣𝑖𝑎𝑛𝑎
Para obtener triángulos isósceles
𝛼
Sugerencia: Sugerencia: Sugerencia:
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