Semestral Uni - Geometría semana 02

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SEMANA 02
GEOMETRÍA
CONGRUENCIA
OBJETIVOS
- Comprender que la congruencia y la simetría son operaciones
geométricas que aparecen frecuentemente en la naturaleza.
- Reconocer los diferentes casos de congruencia que se presentan para resolver
problemas, así como los elementos que se requieren para reconocerlos.
- Lograr que el estudiante genere las habilidades necesarias en la
construcción de figuras auxiliares.
La congruencia es en sí misma una operación
geométrica que lleva a una figura de un lugar del
espacio hacia otro o que incluso lo puede dejar
en la misma ubicación, mediante esta operación
la figura no pierde ni su forma ni su tamaño, es
decir se conserva. La simetría que se presenta en
la naturaleza es un ejemplo claro de la
importancia la congruencia para comprender el
entorno en que nos encontramos.
LA CONGRUENCIA
Dos triángulos se denominan congruentes si las longitudes de los lados en uno de ellos son respectivamente iguales a las 
longitudes de los lados del otro. Además cuando esto sucede las medidas de sus ángulos también son respectivamente iguales.
P
Q
R
θ’
β’
α'
a
b
c
A
B
C
θ
β
α
a
b
c
∆𝐴𝐵𝐶 ≅ ∆𝑃𝑄𝑅
CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
LADOS
BC = QR
AC = PR
AB = PQ
MEDIDAS ANGULARES
𝛼 = 𝛼′
𝛽 = 𝛽′
𝜃 = 𝜃′
TENER EN CUENTA
Son lados homólogos de dos triángulos
congruentes, aquellos que se oponen a medidas
angulares iguales en los diferentes triángulos
CASOS DE LA CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
A
B
C
α
TEOREMA: LADO - ANGULO - LADO
P
Q
R
α
c
c
b
b
∆𝐴𝐵𝐶 ≅ ∆𝑃𝑄𝑅
a
a
A
B
C
TEOREMA: ANGULO – LADO - ÁNGULO
P
Q
R
∆𝐴𝐵𝐶 ≅ ∆𝑃𝑄𝑅
θ
θ
β
β
a
a
A
B
C
TEOREMA: LADO – LADO - LADO
P
Q
R
∆𝐴𝐵𝐶 ≅ ∆𝑃𝑄𝑅
b
b
c
c
UNI 1996-I
𝐴) 15° B) 30° C) 25°
D) 22°30′ E) 20°
SOLUCIÓN
En un Δ ABC traza la ceviana 𝐵𝐷 tal que: 
AB=CD y D está en el lado 𝐴𝐶 , además 
m∢ABD=60° y m∡BAC=20°. Hallar la 
m∡BCA.
𝑥 = 20∴
A
B
C
𝑥
60°
20°
CLAVE: E
D 𝑎
𝑎 + 𝑏
Piden: 𝑥
Ya que: 𝑚∢𝐵𝐷𝐶 = 80°
Trazamos la ceviana 𝐵𝑃,
80°80°
𝑃 𝑏𝑏
Sea 𝐷𝑃 = 𝑎 y 𝑃𝐶 = 𝑏 𝐴𝐵 = 𝐴𝑃 = 𝑎 + 𝑏
Como 𝐵𝐷 = 𝐵𝑃
∆𝐴𝐵𝐷 ≅ ∆𝐶𝐵𝑃 (L. A. L)
De la congruencia:
tal que 𝑚∢𝐵𝑃𝐷 = 80°
y A𝐷 = 𝑃𝐶 y 𝑚∢𝐵𝐷𝐴 = 𝑚∢𝐵𝑃𝐶
Teorema
TEOREMA
de la Bisectriz
x = y
α
α
P
x
A
B
O
y
a
a
TEOREMA
de la Mediatriz
x = y
αα
P
x
O
y
a aA B
UNI 2020-I
𝐴) 11° B) 12° C) 13°
D) 14° E) 15°
SOLUCIÓN
En un triángulo acutángulo ABC, se cumple 
que 𝑚∠𝐴𝐵𝐶 = 3𝑚∠𝐴𝐶𝐵. Si la mediatriz de 
𝐵𝐶 interseca a la prolongación de la bisectriz 
interior 𝐵𝑀 en el punto P, entonces el mayor 
valor entero de la medida (en grados 
sexagesimales) del ángulo PCA es:
Teorema
A
B
C
Ya que ിℒ: Mediatriz
CLAVE: D
M
Piden: 𝑥
(mayor valor 
entero) 𝑚∢𝑃𝐵𝐶 = 𝑚∢𝑃𝐶𝐵
𝐵𝑃 = 𝑃𝐶
𝑥
𝑃
Ya que ∆𝐴𝐵𝐶: acutángulo
3𝜃 < 90°
𝜃
3𝜃
2
3𝜃
2
ിℒ Se sigue que:
𝑚∢𝐴𝐶𝑃 = 𝑥 =
𝜃
2
𝜃
2
< 15°
∴ 𝑥𝑚𝑎𝑦 = 14°
3𝜃
TEOREMA
de los puntos medios
x = y
M N
A
B
C
θ
x
b
m
a
a
y
θ
Base media
b = 2m
TEOREMA
de la mediana relativa a la hipotenusa
M
a = b
A
B
C
b
aa
¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?
A)
B)
Un triángulo escaleno puede tener
dos de sus alturas congruentes.
En un triángulo ABC, si BA + BC
= 10, el mayor valor entero de la
mediana BM es 4
Si en un triángulo, la mediatriz
interseca a dos lados, entonces el
triángulo no puede ser isósceles
En todo triángulo escaleno la
mediana de menor longitud es
relativa al lado menor.
C)
D)
Falso, por ejemplo la mediatriz podría 
intersecar a los dos lados congruentes 
del triángulo.
Falso, si dos de sus alturas son 
congruentes, entonces el triángulo 
resultará isósceles.
Verdadero, fácilmente se puede probar 
que: 𝐵𝑀 < (𝐵𝐴 + 𝐵𝐶)/2
Falso.
¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?
UNI 1985-I
𝐴) 6 B) 10 C) 4
D) 8 E) 5
SOLUCIÓN
En un triángulo escaleno ABC, se traza la 
mediana 𝐶𝑀. En el triángulo BMC se 
traza la mediana BN=9m. Sobre 𝐴𝐶 se 
toma un punto F, de modo que 𝑀𝐹 sea 
paralelo a 𝐵𝑁. Hallar MF.
Piden: MF
A
B
CF
2𝑎
𝑎
𝐿
M
𝑏
𝑏
𝑎 = 3
N
9
Prolongamos 𝐵𝑁 hasta L
Δ MCF: 𝑁𝐿 es base media, entonces: NL=𝑎 y MF=𝟐𝑎
Δ ABL : 𝑀𝐹 es base media, entonces: 𝐵𝐿 = 𝟒𝑎 = 9 + 𝑎
CLAVE: A
∴ 𝑀𝐹 = 2𝑎 = 6
Teorema
C U R S O D E G E O M E T R Í A
a
a
a 2
NOTABLES
a
2a
a 3
30°
4a
5a53°
3a
ADICIONALES
7a
24a
25a
16°
74°
a 5
a
2a
53°/2
127°/2
45°
a 17
14°
76°
4a
a
a 10
37°/2
143°/2
3a
a
UNI 2016-I
𝐴) 2/5 B) 3/7 C) 1/2
D) 3/5 E) 4/5
SOLUCIÓN
En la figura AB=8cm, AC=12cm, AE=10cm 
y D es punto medio de 𝐵𝐸. Calcule 
BB’
BB’’
CLAVE: C∴
Piden:
A
E
D
CB
B’’
B’
A
E
D
CB
B’’
B’
8 4
𝑥𝑦
10
3
3
37° 37°
Se observa que el triángulo ABE es notable de 37° ED = DB = 3
⊿𝐴𝐵′′𝐵: 𝑦 = 8𝑠𝑒𝑛37°
⊿𝐶𝐵′𝐵: 𝑥 = 4𝑠𝑒𝑛37° 𝑥
𝑦
=
1
2
𝐵𝐵′
𝐵𝐵′′
=
𝑥
𝑦
SUGERENCIAS 
ADICIONALES
Recomendaciones a situaciones frecuentes
En un triángulo isósceles:
Es recomendable:
𝑇𝑟𝑎𝑧𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎
𝜃 𝜃
𝜃 𝜃
Ya que es mediana
𝛼
Sugerencia:
SEMESTRAL UNI 2021
𝑚 𝑚
𝛼
Y también es bisectriz
En figuras como esta:
Sugerencia:
𝛼
𝛼
𝜃
Es recomendable:
𝛼
𝛼
𝜃
𝜃
𝑈𝑠𝑎𝑟 𝑠𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟í𝑎
De esa forma:
𝑥
𝑦
𝑥 = 𝑦
En figuras como esta:
Sugerencia:
𝛼
𝛼
𝜃
Es recomendable:
𝛼
𝛼
𝜃
𝜃
De esa forma:
𝑥
𝑦
𝑥 = 𝑦
𝑇𝑟𝑎𝑧𝑎𝑟
w w w. a c a d e m i a c e s a r v a l l e j o . e d u . p e