Semestral Uni - Geometría semana 04

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SEMANA 04
GEOMETRIA
CIRCUNFERENCIAS
OBJETIVOS
- Resaltar la importancia de esta figura en la naturaleza así como el
beneficio de su forma especial en la construcción de diversas maquinas.
- Recordar los principales teoremas relacionados con la circunferencia.
- Reconocer el uso conveniente de la simetría de esta figura en la
solución de problemas.
El estudio de la circunferencia es de suma
importancia para el desarrollo de la
matemática y la innovación misma de muchas
tecnologías presentes en la actualidad.
La sencillez de su forma llevó al
hombre a estudiar a fondo sus propiedades
siendo la principal de ellas la forma simétrica
que posee, es así que su primera importante
aplicación fue en la creación de la rueda.
CIRCUNFERENCIA
Es aquella figura geométrica formada por el conjunto de todos los puntos de un plano, que equidistan de un punto fijo del mismo 
plano conocido como centro.
LA CIRCUNFERENCIA
RADIO
𝑂𝐷 = 𝑟
CENTRO
Punto fijo del plano: O 
ARCO
𝐴𝑟𝑐𝑜 𝐷𝑄 ( arco mayor QPD)
CUERDA
Segmento de recta: 𝑃𝑄
DIÁMETRO
Cuerda de mayor longitud: 𝐴𝐵
MEDIDA ASOCIADA
Medida angular = 360°
LONGITUD
Longitud = 2πr
T
P
A
Q
D
B
O
M
N
r
RECTA TANGENTE
Aquella que tiene un único punto en
común con la circunferencia y 
pertenece a su mismo plano
RECTA SECANTE
Aquella recta que interseca a la 
circunferencia en dos puntos
Región interior
(T: punto de tangencia)
TEOREMA
Ángulo central
𝑥 𝜃O
x = θ
O: centro
Ángulo Inscrito
TEOREMA
P
P ∈ C
𝑥
𝜃
𝑥 =
𝜃
2
C
ARQUÍMEDES
Los antiguos griegos sabían que la
relación entre la longitud de la
circunferencia y el diámetro era
siempre un valor constante.
Leonhard Euler usaba constantemente el término Pi para referirse a dicha
relación entre la longitud y el diámetro.
𝐿1
𝐷1
𝐿2
𝐷2
𝐿3
𝐷3
Arquímedes por medio hexágonos y dodecágonos regulares 
inscritos en la circunferencia, pudo calcular que:
22
7
<
𝐿𝑖
𝐷𝑖
<
223
71
TEOREMA
Ángulo interior
P
P ∈ R.I(C)
𝑥 𝜃
𝑥 =
𝜃+𝛼
2
C
α
Ángulo semi-inscrito
TEOREMA
C
T
T: punto tangencia
𝜃
𝑥 =
𝜃
2
𝑥
¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?
A)
C)
P es punto del diámetro de una
circunferencia, A y B son puntos
de ella, y la medida del arco AB es
igual a la medida del ángulo APB,
entonces P es el centro.
En una circunferencia, dos cuerdas
congruentes pueden determinar
arcos diferentes.
Si una recta tiene un único punto
de contacto con una circunferencia,
entonces es una recta tangente a
dicha circunferencia.
Si P es un punto de una
circunferencia, entonces no es
punto del círculo que determina
B)
D)
Falso : debe pertenecer al mismo plano 
de la circunferencia.
Falso, ya que PA y PB podrían ser 
diferentes
Verdadero: una puede determinar un 
arco de 120° y en la otra considerar el 
arco determinado de 240°
Falso. 
¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?
TEOREMA
Ángulo exterior
𝑥𝜃 P
P ∈ 𝑅. 𝐸(C)
C
α
𝑥 =
α − 𝜃
2
Ángulo exterior
TEOREMA
𝑥
𝜃
P
P ∈ 𝑅. 𝐸(C)C
α
𝑥 =
α − 𝜃
2
TEOREMA
Ángulo exterior
𝑥𝜃 P
P ∈ 𝑅. 𝐸(C)
C
α
T, S: puntos de
tangencia
T
S
𝑥 =
α − 𝜃
2
TEOREMA
Ángulo exterior
𝑥𝜃 P
P ∈ 𝑅. 𝐸(C)
C
α
𝑥 + 𝜃 =180°
α − 𝑥 =180°
T, S: puntos de
tangencia
T
S
Además:
Para las tangentes:
𝑃
𝐴
𝐵
𝑃𝐴 = 𝑃𝐵
𝑂
𝐻
𝑃𝑂 ∶ Bisectriz
𝑃𝑂 ⊥ 𝐴𝐵
𝜃
𝜃
UNI 2003-II
𝐴) 95u B) 96u C) 97u
D) 98𝑢 E) 100𝑢
Resolución
En la siguiente figura, si 𝑅 + 𝑟 = 10, 
entonces BD+DE es :
CLAVE: E
Piden: 𝐵𝐷 + 𝐷𝐸
𝑥 = 100∴𝐵
𝐴
𝐶𝐷
𝐸
𝑟
𝑟𝑅
𝐵
𝐴
𝐶𝐷
𝐸
𝑟
𝑟𝑅
Dato: 𝑅 + 𝑟 = 10
Vemos que 𝐷𝐸 = 𝑟
𝑟
𝑂𝐸 = 𝑅 + 𝑟
𝑅
𝑟
𝐻
Trazamos 𝐸𝐻 ⊥ 𝑂𝑇
O
𝑇
−𝑟
𝑟
⊿𝑂𝐻𝐸: 𝐻𝐸2 + (𝑅 − 𝑟)2= (𝑅 + 𝑟)2
Operando:
𝐻𝐸 = 2 𝑅𝑟
𝐵𝐷 + 𝐷𝐸 = 𝐵𝑇 + 𝑇𝐷 + 𝐷𝐸
𝑇𝐷 = 2 𝑅𝑟
2 𝑅𝑟
𝑅𝑅
𝐵𝐷 + 𝐷𝐸 = 𝑅 + 2 𝑅𝑟 + 𝑟
𝐵𝐷 + 𝐷𝐸 = ( 𝑅 + 𝑟)2
𝐵𝐷 + 𝐷𝐸 = (10)2
TEOREMA
Perpendicular a la tangente
O
x = 90°
O: centro
T: punto tangencia
C
T
𝑥
Ángulo en una semicircunferencia
TEOREMA
P
P ∈ C
𝑥
𝑥 = 90°
C
A B
𝐴𝐵: Diámetro
TEOREMA
Rectas paralelas
𝜃
C
α
A B
C D
𝐴𝐵 ∥ 𝐶𝐷
Si y solo si
α = θ
TEOREMA
Cuerdas y arcos
𝜃
α
a
b
𝑎 = 𝑏
Si y solo si
α = θ
Además:
En todo cuadrante
P
P ∈ C
C
O
O: centro
𝑥
x = 45°
TEOREMA
Tangentes, una interior a la otra
O
O, O’ ,T: colineales
O, O’: centros
O’
T T: punto de tangencia
L : pasa por T
L
θ
α
α = θ
OO’ = R - r
R
r
Tangentes exteriores
TEOREMA
R
r
O
O, O’ ,T: colineales
O, O’: centros
O’
T
T: punto de tangencia
L : pasa por T
L
θ
α
α = θ
OO’ = R + r
TEOREMA
Secantes
r
R
O x = 90°
O, O’: centros
O’
A
ി𝑎 ∥ ി𝑏
B
x
a
b
OO’ < R + r
Ángulo exterior
TEOREMA
O
𝑂𝑂′ ⊥ 𝐴𝐵
𝑂𝑂′ ⊥ 𝐶𝐷
O, O’: centros
O’ A, B, C, D: puntos
de tangencia
α = θ
A
B
C
D
θ
α
AC = BD 
r
R
OO’ > R + r
UNI 1994-II
𝐴) 30° B) 37° C) 45°
D) 53° E) 60°
En la figura mostrada se tienen dos 
circunferencias tangentes exteriormente en 
T , y tangente a dos de los lados del triángulo 
rectángulo ABC , siendo los puntos de 
tangencia P, R, S, y Q . Hallar la medida del 
ángulo REN , siendo E el punto común de las 
rectas que pasan por 𝑅𝑀y 𝑆𝑁. 
E
R S
P
Q
A
B
C
T
𝑀 𝑁
Resolución
E
R S
P
Q
A
B
C
T
α
2α
θ
2θ
180°-2α 180°-2θ
Sean: 𝑚∢𝐸𝑀𝑁 = 𝛼
𝑚∢𝐸𝑁𝑀 = 𝜃
Piden 𝑥
α
θ
Se deduce que:
𝑚∢𝑃𝑀𝑅 = 𝛼
𝑚∢𝑆𝑁𝑄 = 𝜃
De los ángulos inscritos: 𝑚∢𝑃𝐴𝑅 = 180° − 2𝛼
𝑚∢𝑄𝐶𝑆 = 180° − 2𝜃
𝑥 = 180° − 𝛼 − 𝜃 …(i)
M N
𝑚𝑃𝑅 = 2𝛼
𝑚𝑄𝑆 = 2𝜃
∆𝐴𝐵𝐶: 𝛼 + 𝜃 = 135°
en (i) CLAVE: C𝑥 = 45°∴
SUGERENCIAS 
ADICIONALES
Recomendaciones a situaciones frecuentes
En la siguiente figura:
Tener presente:
SEMESTRAL UNI 2021
𝑥
𝜃
P
T
S
𝑥 = 𝜃
T, S: puntos de tangencia
Se cumple que:
Sugerencia:
En la siguiente figura:
T: puntos de tangencia
𝑥T
S
𝑇𝑟𝑎𝑧𝑎𝑟 𝑙𝑎
𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒
𝑝𝑜𝑟 𝑆
𝜃
Se cumple que:
𝑥 = 𝜃
Tener en cuenta:
Circunferencias congruentes:
𝑂1 𝑂2
Unimos los centros 
𝑃
Se cumple que:
∆𝑂1𝑂2𝑃: 𝐸𝑞𝑢𝑖𝑙á𝑡𝑒𝑟𝑜
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