Semestral Uni - Geometría semana 09

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RELACIONES MÉTRICAS I. 
GEOMETRÍA 
SEMANA 09 
3 Concluir que los resultados obtenidos para el triángulo rectángulo son enrealidad casos particulares de los teoremas obtenidos para la circunferencia.
OBJETIVOS
1 Reforzar los teoremas obtenidos en la semejanza de triángulos mediante suaplicación en la circunferencia.
2 Estudiar algunas relaciones entre las longitudes de los elementos de untriángulo rectángulo.
RELACIONES MÉTRICAS I 
El hombre antiguo siempre tuvo
que lidiar con las inundaciones de sus
terrenos y por ello con la construcciones
de canales que le permitieran dirigir el
cause de las aguas, ello le llevo
inicialmente al cálculo de áreas de
superficies y al uso de expresiones como
𝒙𝟐 para dichos cálculos.
Es así que se obtuvieron
diversos teoremas como el teorema de
Pitágoras por ejemplo. Pero años más
tarde va a suceder que Descartes al tratar
de formular una Geometría con ayuda del
Álgebra, va a poder darle un nuevo sentido
a las expresiones del tipo 𝒙𝟐 y con ello se
van a expresar teoremas sin necesidad del
uso de superficies, teoremas que hemos
denominado como Relaciones Métricas en
una figura.
TEOREMAS EN LA CIRCUNFERENCIA Y EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO
Relacionaremos las longitudes de las líneas asociadas a una circunferencia y al triángulo rectángulo.
Teorema de las cuerdas.
C
A
B
D
Dos cuerdas secantes de una misma 
circunferencia, determinan sobre sí 
mismas segmentos, tales que su 
producto se mantiene constante.
𝒂
𝒃
𝒎
𝒏
𝒂. 𝒃 = 𝒎.𝒏
P
𝒙
𝒂 𝒃
Se cumple:
𝒙𝟐 = 𝒂. 𝒃
PRACTIQUEMOS:
𝒙
𝒂 𝒃
𝒂 𝒃
𝒙
Se cumple:
𝒙𝟐 = 𝒂. 𝒃
𝒙
𝟒
Si T es punto de tangencia, calcula 𝒙
T
Resolución
𝒙
𝟒
T
• Completamos C1y C2 , 
C1
A
B
O
M N
C2
H
luego sea: AH = 𝒂 y HB = 𝒃
𝒂
𝒃
• En C1 teorema de cuerdas:
𝟒+ 𝒙
𝒂. 𝒃 = (𝟖+ 𝒙)𝒙
• En C2 teorema de cuerdas:
𝟒+ 𝒙
𝒂. 𝒃 = 𝟒(𝟒+ 𝟐𝒙)
𝟖𝒙+ 𝒙𝟐 = 𝟏𝟔+ 𝟖𝒙
∴ 𝒙 = 𝟒
TEOREMA:
Producto de dos lados
A
B
C
𝒂 𝒃
𝒉
𝑹
Se cumple:
𝒂. 𝒃 = 𝟐𝑹. 𝒉
Importante
UNI 1990
En un triángulo ABC, recto en B se traza la altura 
𝐵𝐻 relativa a la hipotenusa 𝐴𝐶; luego se trazan 
𝐻𝑃 ⊥ 𝐴𝐵 y 𝐻𝑄 ⊥ 𝐵𝐶. Si AP =1 y CQ = 8. Calcular 
la longitud de 𝐴𝐶.
𝐴) 5 5 B)4 5 C)3 5
D)2 5 E)7 5
HA
B
C
Resolución
P
Q
𝟏
𝟖
Piden: AC = 𝒙
𝒙
• Sea PH = 𝒂 y HQ = 𝒃
𝒂
𝒃
𝒂
𝒃
• ∆𝐴𝐵𝐻 por métricas:
𝒂𝟐= 1(𝒃)…….(I)
• ∆𝐵𝐻𝐶 por métricas:
𝒃𝟐= 𝟖(𝒂)……(II)
• Reemplazando (I) en (II) : (𝒂𝟐)𝟐= 𝟖(𝒂) 𝒂 = 𝟐
= 𝟐
y 𝒃 = 𝟒
= 𝟒
• Luego : AH = 𝟓
𝟓
y HC = 4 𝟓
4 𝟓
∴ 𝒙 = 𝟓 𝟓 Clave 𝑨
TEOREMA
TEOREMAS EN LA CIRCUNFERENCIA Y EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO.
Relacionaremos las longitudes de las líneas asociadas a una circunferencia y al triángulo rectángulo.
Teorema de la tangente.
P
T
B
A
El cuadrado de la longitud del segmento 
tangente es igual al producto de las longitudes 
del segmento secante(trazadas desde un mismo 
punto) con la de su parte externa.
𝒙𝟐 = 𝒂. 𝒃
𝒂
Se cumple:
𝒚
𝒎
𝒚𝟐 = 𝒎.𝒂
𝒂
𝒚
𝒎
𝒂
𝒚
𝒎
Se cumple: 𝒚𝟐 = 𝒎.𝒂
PRACTIQUEMOS
En la figura mostrada se tiene
un cuadrante AOB de radio 𝒚 .
Si T, E y S son puntos de tangen-
cia, calcule AT en función de 𝒚.
S
T
E
A
O B
Resolución
S
T
E
A
O B
𝒚
• Sea AT = 𝒙 • Primero probemos que A, S y E son colineales (Debido a que la m
෢𝐴𝑆 = m෢𝑆𝐸) 
𝜭
𝜭
𝜭
𝜭
• T. Tangente: 𝑥2= (AE)(AS)…(I)
• ∆AOE Por métricas:
ahora trazamos 𝑂𝑀 ⊥ 𝐴𝑆
M
𝑦2 = 𝐴𝐸 𝐴𝑀 … . (II) Se nota: 𝐴𝑆 = 2𝐴𝑀
• Dividiendo (I) y (II): ∴ 𝒙 = 𝒚 𝟐
ALGO CURIOSO…
𝑥2
𝑦2
= 2
TEOREMAS EN LA CIRCUNFERENCIA Y EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO.
Relacionaremos las longitudes de las líneas asociadas a una circunferencia y al triángulo rectángulo.
Importante
P
Q
M
Secante 
común
𝒂
𝒃
Se cumple: 𝒂 = 𝒃
APLICACIÓN
• Prolongamos 
𝐴𝑃
R 𝒂𝒂
• BR=RC
𝟐𝒂
𝟓𝟑°
𝟐
𝟒𝟓° ∴ 𝒙 = 
𝟑𝟕°
𝟐
Si P y Q son puntos
de tangencia.
𝒙
Se muestra un cuadrado, un cuadrante
y una semicircunferencia, calcule 𝒙
A
B C
D
P
Teorema de las secantes.
El producto de las longitudes del 
segmento secante con la de su parte 
externa se mantiene constante para 
las secantes trazadas desde un mismo
punto.
B
A
𝒂
C
D
𝒂. 𝒃 = 𝒎.𝒏
P
Si el cuadrilátero es inscriptible, se puede 
aplicar el teorema de la secante con las 
prolongaciones de los lados.
Para un cuadrilátero inscriptible.
𝒂
𝒃
𝒎
𝒏
Se cumple:
𝒂. 𝒃 = 𝒎.𝒏
Cuadrilátero 
inscriptible
OTROS TEOREMAS EN UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO.
Producto de catetos.
A
B
CH
𝑎2= 𝐴𝐻 𝑐 𝑏
2= 𝐶𝐻 𝑐
(𝑎𝑏)2 = (𝐴𝐻)(𝐶𝐻)𝑐2
Pero sabemos que: ℎ2 = (𝐴𝐻)(𝐶𝐻)
Reemplazando: 𝒂𝒃 = 𝒉𝒄
TEOREMA:
𝒂 𝒃
𝒄
𝒉
Razón de proyecciones de sus catetos.
A
B
CH
𝑎2= 𝐴𝐶 𝒎 𝑏2= 𝐴𝐶 𝒏
(𝑎/𝑏)2= (𝒎)/(𝒏)
Dividiendo ambas expresiones:
𝒎
𝒏
=
𝒂𝟐
𝒃𝟐
TEOREMA:
𝒂 𝒃
𝒎 𝒏
Altura en función de los catetos.
HA
B
C
𝑎2= 𝐴𝐻 (𝐴𝐶) 𝑏2= 𝐶𝐻 (𝐴𝐶)
1
𝑎2
+
1
𝑏2
= (
1
𝐴𝐻
+
1
𝐶𝐻
)
1
(𝐴𝐶)
𝟏
𝒂𝟐
+
𝟏
𝒃𝟐
= 
𝑪𝑯+𝑨𝑯
𝑨𝑯 𝑪𝑯
𝟏
(𝑨𝑪)
=
𝟏
𝒉𝟐
TEOREMA:
𝒂 𝒃
𝒉
𝒂𝒃 = 𝒉𝒄 𝒎
𝒏
=
𝒂𝟐
𝒃𝟐
𝟏
𝒂𝟐
+
𝟏
𝒃𝟐
=
𝟏
𝒉𝟐
Según el gráfico ABCD es un cuadrado inscrito
en la circunferencia de radio 𝑹, calcule CP en
función de 𝑹.
𝑅
𝐴
𝐵 𝐶
𝐷
𝑃
𝑁
Piden: CP = 𝒙PRACTIQUEMOS
𝐻
Resolución
𝑅
𝐴
𝐵 𝐶
𝐷
𝑃
𝑁
𝐻
• ∆NPC por métricas:
𝑥2= (CN)(CH)
𝟒𝟓°
90°
𝟒𝟓°
• También :
m∢CBD = m∢BNC = 𝟒𝟓°
• ∆NBC por 
antiparalelas:
• BC = R 𝟐
(R 𝟐)2= (CN)(CH)
• Analizando las relaciones
obtenidas
𝑥2= (R 𝟐)2
∴ 𝒙 = R 𝟐
UNI 2010-II
En un trapecio rectángulo ABCD (recto en A y D) 
sus diagonales se intersecan perpendicularmente
en E. Si AD = 3𝑚 y AE = 1𝑚. Determinar (en 𝑚 ) la 
proyección de 𝐵𝐶 sobre 𝐷𝐶. 
𝐴)
21 2
4
B)
21 2
4
C)9
D)10 E)11 2
A B
C
D
Resolución
E
Piden: CH = 𝒙Para encontrar la 𝑃𝑟𝑜𝑦⊥ pedida trazamos 𝐵𝐻 ⊥ 𝐷𝐶. 
H 𝒙
OBSERVACIÓN
𝟑
𝟏
• ∆𝐴𝐷𝐶 por métricas: 𝟑𝟐= 1(𝐴𝐶) EC= 𝟖
𝟖
• ∆ABE ~ ∆CDE:
𝐴𝐵
𝐷𝐶
= 
𝑯𝑩𝑩𝟏
𝟖
𝒌
𝟖𝒌
𝒌
= 𝟕𝒌
• ∆𝐴𝐷𝐶 por métricas: (𝟖𝒌)2= 𝟖(𝟗)
𝑘 = 
3 2
4
∴ 𝒙 = 
𝟐𝟏 𝟐
𝟒
Clave 𝑨
www.a cadem i a ce s a r v a l l e j o . e du . pe