Semestral Uni - Geometría semana 10

Vista previa del material en texto

RELACIONES MÉTRICAS II 
GEOMETRÍA 
SEMANA 10 
3
OBJETIVOS
1
2
CONOCER LAS DIFERENTES RELACIONES MÉTRICAS ( CÁLCULO DE LÍNEAS 
NOTABLES) DE LOS ELEMENTOS DE LOS TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS.
CONOCER LAS DIFERENTES RELACIONES MÉTRICAS DE LOS ELEMENTOS
DE LOS CUADRILÁTEROS ASOCIADOS A LA CIRCUNFERENCIA
CIRCUNSCRITA.
SABER APLICAR LOS DIVERSOS TEOREMAS EN LA RESOLUCCIÓN DE
PROBLEMAS TIPO ADMISIÓN UNI.
RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO OBLICUÁNGULO
TEOREMA DE PROYECCIONES:
H
A
B
C
𝑐 𝑎
𝑚 𝑛
AH y HC :
Proyecciones
ortogonales de
los catetos.
𝑎2 - 𝑐2 = 𝑛2 - 𝑚2
𝜃
TEOREMA DE COSENO:
A
B
C
𝑏
𝑐 𝑎
𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 - 2bc.Cos𝜃
𝑎
𝑚
8
𝜃
𝑎2 + 𝑏2 = 𝑛2 + 𝑚2 𝜃 = 60°
𝑶𝑩𝑺𝑬𝑹𝑽𝑨𝑪𝑰Ó𝑵 𝑶𝑩𝑺𝑬𝑹𝑽𝑨𝑪𝑰Ó𝑵
A
O B
T
Q
S
r
𝑂1
𝑂2
Del gráfico el radio del cuadrante AOB es 4, 
calcule r. (T, Q y S son puntos de tangencia)
RESOLUCIÓN:
Nos piden r
A
O B
T
Q
S
r
2+r
r 2-r
4-r
r
r
• De las observaciones, por la 
colinealidad de los centros y 
puntos de tangencia:
𝑂1𝑂2=2+r O𝑂2=4-r
• Trazamos 𝑂2𝑆 y 𝑂2𝐻 ⊥ 𝑂𝐵:
𝑂2S=OH=r
H𝑂1=2-r
• En el ∆O𝑂2𝑂1, por teorema de 
proyecciones:
(4−r)2 - (2+r)2 = (𝑟)2 - (2−r)2
H
∴ r = 1
TEOREMA DE 
PROYECCIONES
2
4
PRACTIQUEMOS
CÁLCULO DE LA MEDIANACÁLCULOS DE LA CEVIANA (teorema de Stewart)
A
B
C
𝑏
𝑐 𝑎
𝑛𝑚
𝑏
𝑐 𝑎𝑥
A
B
C
(𝑎)2𝑚 + (𝑐)2𝑛 = (𝑥)2𝑏 + 𝑏𝑚𝑛
𝑥
P
𝑎2 + 𝑐2 = 2𝑥2 + 
𝑏2
2
RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO OBLICUÁNGULO
𝑎 𝑎
𝑥
𝑛 𝑚
𝑥2 = 𝑎2 − 𝑛𝑚
𝑚𝑏
𝑚𝑎 𝑚𝑐
𝑎𝑐
𝑏
𝑚𝑎
2 +𝑚𝑏
2 + 𝑚𝑐
2 =
3
4
(𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2)𝑶𝑩𝑺𝑬𝑹𝑽𝑨𝑪𝑰Ó𝑵
𝑶𝑩𝑺𝑬𝑹𝑽𝑨𝑪𝑰Ó𝑵
Del gráfico la circunferencia esta 
inscrita en el cuadrado ABCD, si 
R=2. calcule PC
A
B C
D
P
R
RESOLUCIÓN:
Nos piden PC = x
𝑥
Dato:
R = 2
= 2
2 2 2
2 2
4 4
A
B C
D
P
R
O
• Como la circunferencia 
esta inscrita al cuadrado 
ABCD:
AB=AD=4
OP=2
• Si O es centro del 
cuadrado:
AO=OC=2 2
• Del cuadrante BAD:
AP=4
• En el ∆APC, por cálculo 
de la mediana:
𝑥2 + 42 = 2(2)2 + 
(4 2)2
2
∴ x = 2 2
CÁLCULO DE LA 
MEDIANA:
PRACTIQUEMOS
𝜃
𝜃
Q
𝑥
CÁLCULO DE LA BISECTRIZ INTERNA
CÁLCULO DE LA BISECTRIZ EXTERIOR
𝑎
𝑏
𝐴𝐵, 𝐵𝐶: Lados adyacentes
𝐴𝑄, 𝐶𝑄: Segmentos 
determinados por la 
bisectriz exterior
𝜃
𝜃
A
B
C
𝑎 𝑏
𝐴𝐵, 𝐵𝐶: Lados adyacentes
𝐴𝑃 , 𝑃𝐶 :Segmentos
determinados por la
bisectriz interior
𝑛 𝑚
𝑥2 = (𝑎)(𝑏) – (𝑚)(𝑛)
𝑚
𝑛
𝑥2 = (𝑚)(𝑛) – (𝑎)(𝑏)
P
𝑥
RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO OBLICUÁNGULO
CÁLCULO DE LA ALTURA (Teorema de Heron)
𝑐 𝑎
𝑏
h
H
Si p es semi perímetro
p = 
𝑎+𝑏+𝑐
2
ℎ = 
2
𝑏
𝑝(𝑝 − 𝑎)(𝑝 − 𝑏)(𝑝 − 𝑐)
h13
14
ℎ = 12
A
B
C
𝑶𝑩𝑺𝑬𝑹𝑽𝑨𝑪𝑰Ó𝑵
PRACTIQUEMOS
Por la observación, 𝑃𝐻 es bisectriz.
AP=PB=11
• En el ∆BPQ, por cálculo de la 
bisectriz interior:
𝑥2 = (6)(11) - (m)(n)…(l)
• Por relaciones métricas en la semi 
circunferencia:
𝑦2 = (m)(n)… (ll)
𝜃
𝜃
Del gráfico A y B son puntos de tangencia, 
si PQ=6 y AQ=5. calcule (𝑃𝐻)2 + (𝑀𝐻)2
A
B P
Q
M
H
A
B P
Q
M
H
RESOLUCIÓN: Nos piden (𝑃𝐻)2 + (𝑀𝐻)2
(𝑥)2 + (𝑦)2
Dato:
PQ=6
AQ=5
m
n
CÁLCULO DE LA 
BISECTRIZ INTERNA
• Reemplazando (ll) en (l):
𝑥2 = 66 - 𝑦2
∴ 𝑥2 + 𝑦2 = 66
a
a
11
y
x
5
6
𝑑
RELACIONES MÉTRICAS EN EL CUADRILÁTERO
𝑚
𝑛
Si P y Q son puntos
medios de las
diagonales:
(𝑎 )2+(𝑏)2+(𝑐)2+(𝑑)2=
𝑐QP
(m)2+(n)2+ 4(𝑥)2
𝑎 𝑏
𝑐𝑑
m
n
(𝑎)2+(𝑏)2+(𝑐)2+(𝑑)2= (m)2+(n)2+ 4(𝑥)2
Si P y Q son 
puntos medios de 
las diagonales:
Q
P
𝑥
𝑥
b
𝑎 c
d
𝑚 𝑛
𝑎2 + 𝑐2 + 2(b)(d) = 𝑚2 + 𝑛2
En todo trapecio
cuando aplicamos el
teorema de Euler la
expresión se reduce.
TEOREMA DE EULER:
2(𝑎2 + 𝑏2) = 𝑚2 + 𝑛2
En todo paralelogramo
cuando aplicamos el
teorema de Euler la
expresión se reduce.
𝑏
𝑎 𝑚 𝑛
𝑏
𝑎
𝑶
𝑩
𝑺
𝑬
𝑹
𝑽
𝑨
𝑪
𝑰
Ó
𝑵
𝑶
𝑩
𝑺
𝑬
𝑹
𝑽
𝑨
𝑪
𝑰
Ó
𝑵
TEOREMA DE PTOLOMEO
𝑎
𝑏
𝑐
𝑑
𝑚 𝑛
En todo cuadrilátero
inscrito o inscriptible
se cumple:
(𝑚)(𝑛) =
TEOREMA DE CHADÚ
En un cuadrilátero inscrito o 
inscriptible donde ABD es 
equilátero.
𝑐 =
2𝑚2= 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2
𝑚
𝑚
𝑚
𝑎
𝑏c
(𝑎)(𝑐) + (𝑏)(𝑑)
A
B
C
D
𝑎 + 𝑏
RELACIONES MÉTRICAS EN EL CUADRILÁTERO
TEOREMA DE PACKEIN
TEOREMA DE VIETTE
𝑎
𝑏
𝑐
𝑑
𝑥
𝑦
Relaciona los segmentos
determinados por una
diagonal sobre la otra.
𝑥
𝑦
=
𝑥
𝑦
𝑎
𝑏
𝑐
𝑑
Razón de diagonales.
𝑥
𝑦
=
(𝑎)(𝑏)
(𝑑)(𝑐)
𝑎 𝑏 + (𝑐)(𝑑)
𝑎 𝑑 + (𝑏)(𝑐)
En un heptágono regular ABCDEFG 
AC=a y AD=b. calcule el perímetro de 
dicho polígono, si 
1
𝑎
+ 
1
𝑏
= 
1
5
.
A
B
C
D
E
F
G
RESOLUCIÓN:
Nos piden perímetro: 2p
2p=7x
a
b a
b
x
x
x
x
x
x
x
Todo polígono regular se inscribe y 
circunscribe en una circunferencia, 
además el heptágono tiene 
diagonales de iguales longitudes.
• Por característica de 
polígono regular:
AB=BC=CD=DE=x
• Diagonales:
AC=CE=a
AD=AE=b
• En ACDE, por teorema de Ptolomeo:
(a)(b)=(a)(x)+(b)(x)
(a)(b)=x(a+b)
1
𝑥
= 
1
𝑎
+ 
1
𝑏
= 
1
5
x = 5 2p = 7(5) = 35
PRACTIQUEMOS
TEOREMA DE MARLEN
(𝑎)2+ (𝑐)2 =
(𝑎)2+ (𝑐)2 = (𝑏)2+ (𝑑)2
En todo
rectángulo o
cuadrado si
ubicamos un
punto interno
o externo se
cumple:
𝑎 𝑏
𝑐𝑑
𝑎 𝑏
𝑐𝑑
P
(𝑏)2+ (𝑑)2
P
RELACIONES MÉTRICAS EN EL CUADRILÁTERO
𝑏
𝑐
𝑎
𝑑
R
𝑚 𝑛
𝑝
𝑟
𝑚2 + 𝑟2 + 𝑛2 + 𝑝2 = 4𝑅2
𝑎2 + 𝑐2 = 𝑏2 + 𝑑2 = 4𝑅2
TEOREMA DE FAURE
TEOREMA DE ARQUIMEDES
PRACTIQUEMOS
45°
45°
Del gráfico ABCD es un cuadrado, si PQ=6 
y QB= 2, calcule QC.
RESOLUCIÓN:
Nos piden QC = x
6
1
1
5
5 2
5
5
8
A
B C
D
Q
P
C
DA
B
Q
P
• Por el cuadrante PAB y notable de 45°:
QH=HB=1
• El ⊿PHB notable de 8° y 82°:
PB=5 2
• Entonces: AP=5 (⊿PAB not 45°)
PA=AQ=AD=5
• El ⊿PQD es rectángulo por mediana relativa 
a la hipotenusa y notable de 37° y 53°:
QD=8
• En ABCD, teorema de Marlen:
(x)2+(5)2 = ( 2)
2
+(8)2
x = 41
x2
H
www.a c adem ia c e sa r v a l l e j o . e du . p e