Semestral Uni - Geometría semana 16(1)

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PRISMA Y CILINDRO
GEOMETRÍA
16SEMANA
3 APLICAR LO APRENDIDO EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMASTIPO EXAMEN DE ADMISIÓN UNI.
OBJETIVOS
1 CONOCER LA DEFINICIÓN Y CARACTERÍSTICAS DEL PRISMA REGULAR Y DEL CILINDRO DE REVOLUCIÓN.
2 CONOCER EL CÁLCULO DEL ÁREA DE LA SUPERFICIE Y CALCULO DEL VOLUMEN DEL PRISMA Y CILINDRO.
INTRODUCCIÓN
Continuando con el estudio de los sólidos
geométricos, en esta sesión desarrollaremos lo
referente al prisma, una figura de bastante uso en las
edificaciones arquitectónicas, seguramente por su
sencillez y rigidez al momento de la construcción,
además de poder adoptar diferentes bases, ésta
característica hace que el arquitecto pueda idear los
más impresionantes e imponentes diseños.
Las Torres Blancas , Madrid-España diseñada por
el arquitecto Francisco Javier Sáenz (1969)
Esta es una estructura de hormigón armado
conformada por estructuras prismáticas y un número
mayor de estructuras cilíndricas.
NOTA
Se define así a la superficie que se genera cuando una línea recta
llamada generatriz, recorre todos los puntos de una poligonal
plana denominada directriz, de tal forma que lo realiza siempre
paralela a si misma.
GENERATRIZ
DIRECTRIZ
SUPERFICIE PRISMÁTICA
La superficie
prismática
generada en
el gráfico
mostrado es
abierta.
𝐹′ 𝐸′
𝐴′
𝐵′ 𝐶′
𝐷′
𝐹
𝐴
𝐵 𝐶
𝐷
𝐸
Planos 
paralelos
Superficie prismática 
cerrada
PRISMA
Base
Arista básica
Arista lateral
Cara lateral
Altura 
NOTACIÓN:
Prisma ABCDEF-A’B’C’D’E’F’
DEFINICIÓNPRISMA
Es el sólido geométrico que se encuentra limitado por una superficie
prismática cerrada y dos planos paralelos y secantes a ella.
ELEMENTOS 
Oblicuo
Un prisma es recto, cuando sus aristas
laterales son perpendiculares a las
bases.
𝐸
𝐴
𝐵
𝐶
𝐷
𝐸′
𝐴′
𝐵′
𝐶′
𝐷′
Un prisma es oblicuo, cuando sus
aristas laterales son oblicuas a las
bases.
Recto
 Volumen
ℎ
𝕍 = (𝔸𝒃𝒂𝒔𝒆) 𝒉
En un prisma recto, la longitud de la
arista lateral y de la altura son iguales.
En un prisma oblicuo, la longitud de la
altura es menor que la longitud de la
arista lateral.
𝑎
𝑎
ℎ
• Las bases en todo prisma son paralelas y
congruentes.
• Las caras laterales son regiones
paralelográmicas.
• De lo anterior se deduce que las aristas
laterales son paralelas y de longitudes
iguales.
características
Se cumple:  Área de la superficie lateral
 Área de la superficie total
𝔸𝑺.𝑳 = 
á𝑟𝑒𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠
𝑐𝑎𝑟𝑎𝑠 𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙𝑒𝑠
𝔸𝑺.𝑻 = 𝔸𝑺.𝑳 + 𝟐𝔸𝒃𝒂𝒔𝒆
Resolución:
𝟐𝟎𝟏𝟏 − 𝑰𝑰EXAMEN UNI
El volumen y el área lateral de un prisma recto
de base triangular son 50𝑚3 y 200𝑚2
respectivamente. Calcule el radio (en m) de la
circunferencia inscrita en la base del prisma.
𝐴) 0,25 𝐵) 0,5 𝐶) 1
𝐷) 2 𝐸) 3
Recordar:
𝑟
ℎ
𝑎 𝑏
𝑐
𝔸𝑆.𝐿 = 200𝑚
2
Dato:
𝕍 = 50𝑚3
Piden 𝑟
⊙Inscrita en la base
• Del dato del volumen, sabemos:
𝕍 = 𝔸𝐵𝑎𝑠𝑒(ℎ)= 50𝑚
3
𝑎 + 𝑏 + 𝑐
2
(𝑟)(ℎ) = 50𝑚3 …(𝑖)
• Del dato de la superficie lateral,
sabemos:
𝔸𝑆.𝐿. = 
á𝑟𝑒𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠
𝑐𝑎𝑟𝑎𝑠 𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙𝑒𝑠
= 200𝑚2
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 ℎ = 200𝑚2…(𝑖𝑖)
• Dividimos 𝑖 ÷ 𝑖𝑖 :
∴ 𝒓 = 𝟎, 𝟓
Clave 𝑩
Es aquel prisma recto en el cual las bases son regiones poligonales regulares.
Veamos los casos más usuales:
𝑎
𝑎
𝑎
𝑏
𝑏
𝑏
𝑏
𝑎
𝑎
𝑎 𝑎
𝑎
𝑎
 Prisma triangular regular  Prisma cuadrangular regular
 Prisma hexagonal regular
Ten en cuenta que para
cualquier prisma regular las
caras laterales son
congruentes.
NOTA:
Base región triangular 
equilátera
Base región cuadrada
Base región 
hexagonal regular
Entonces, en todo prisma regular:
𝔸𝑺.𝑳 =(𝒏) 𝔸𝟏 𝒄𝒂𝒓𝒂 𝒍𝒂𝒕𝒆𝒓𝒂𝒍
Donde:
n: N° de lados de la base
𝔸𝑺.𝑳 = 𝟐𝒑𝑩𝑨𝑺𝑬 𝒉
𝒉
𝒉
𝒉
SECCIÓN RECTA
La sección recta de un prisma, es la sección que determina en él, un plano perpendicular a sus aristas laterales, dicha
sección es la proyección ortogonal de las bases sobre dicho plano.
Sección recta (S.R.)
Base (B)
𝔸𝑆.𝑅. = B∙cosβ
h = a∙cosβ
𝕍𝑝𝑟𝑖𝑠𝑚𝑎 = (𝐵)(ℎ)
𝕍𝒑𝒓𝒊𝒔𝒎𝒂 = 𝔸𝑺.𝑹. (𝒂)
Reemplazando
𝛽
ℎ𝑎
Del gráfico:
Sabemos:
También podemos indicar que: 𝔸𝑺.𝑳 = (𝟐𝒑𝑺.𝑹.)(𝒂)
Recuerda:
Donde:
2𝑝𝑆.𝑅: Perímetro de la S.R
𝜷: Medida del diedro determinado por
la base y la sección recta.
𝐷𝐸𝑆𝐴𝑅𝑅𝑂𝐿𝐿𝑂 𝐷𝐸 𝐿𝐴
𝑆𝑈𝑃𝐸𝑅𝐹𝐼𝐶𝐼𝐸 𝑇𝑂𝑇𝐴𝐿
𝐷𝐸𝑆𝐴𝑅𝑅𝑂𝐿𝐿𝑂 𝐷𝐸 𝐿𝐴
𝑆𝑈𝑃𝐸𝑅𝐹𝐼𝐶𝐼𝐸 𝐿𝐴𝑇𝐸𝑅𝐴𝐿
Fuente de la imagen: www.ceiploreto.es/sugerencias/ceibal/Prismas/rea_del_prisma.html
PRISMA HEXAGONAL 
REGULAR
𝑛 𝑛𝑛 𝑛 𝑛𝑛
𝑛
𝑛
𝑛𝑛
𝑛
OBSERVACIÓN:
El desarrollo de la superficie
lateral puede ser una región
rectangular como también una
región cuadrada.
Veamos un caso particular:
ℎ
ℎ
Resolución:
𝟐𝟎𝟏𝟕 − 𝑰EXAMEN UNI
La superficie lateral de un prisma recto regular
triangular es un rectángulo cuya diagonal
mide 12𝑚 y su altura 6 3𝑚. Calcule el área
total del sólido (𝑒𝑛 𝑚2).
𝐴) 38 3 𝐵) 39 3 𝐶) 40 3
𝐷) 41 3 𝐸) 42 2
Piden 𝔸𝑆.𝑇.
Ten en cuenta:
= 2 = 2
= 2
6 3 6 3
6
12
𝑎 𝑎
𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 • Del desarrollo de la superficie
lateral se observa:
3𝑎 = 6 → 𝑎 = 2
• Luego, calculamos lo pedido:
 𝔸𝑆.𝐿. = 6 6 3
 𝔸𝑏𝑎𝑠𝑒 =
22 3
4
= 3
• Con ello:
𝔸𝑆.𝑇 = 36 3 + 2 3
∴ 𝔸𝑺.𝑻 = 𝟑𝟖 𝟑
Clave 𝑨
PARALELEPÍPEDO RECTANGULAR
Es un paralelepípedo recto, cuyas bases son regiones
rectangulares.
 Diagonal 
 Área de la superficie
 Volumen 
𝑐
Del gráfico: 𝑎, 𝑏, 𝑐: Son las dimensiones del sólido.
𝑑2 = 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2
𝔸𝑆.𝑇 = 2(𝑎 ∙ 𝑏 + 𝑎 ∙ 𝑐 + 𝑏 ∙ 𝑐)
𝕍 = 𝑎 ∙ 𝑏 ∙ 𝑐
TRONCO DE 
PRISMA
𝑑
𝑑: Diagonal.
𝑐
DEFINICIÓNCILINDRO
Es el sólido geométrico que se encuentra limitado por una superficie
cilíndrica cerrada y dos planos paralelos y secantes a ella.
Planos 
paralelos
Superficie cilíndrica 
cerrada
CILINDRO
Base
Superficie 
lateral
Altura 
ELEMENTOS 
Generatriz
• Las bases en todo cilindro son paralelas y congruentes.
• Todas las generatrices tienen la misma longitud.
características
Oblicuo
Un cilindro es recto, cuando sus
generatrices son perpendiculares a las
bases.
Un cilindro es oblicuo, cuando sus
generatrices son oblicuas a las bases.
Recto
Se cumple:
 Volumen
𝕍 = (𝔸𝒃𝒂𝒔𝒆) 𝒉
ℎ
𝑔
En un cilindro oblicuo, la longitud de la altura ℎ
es menor que la longitud de la generatriz 𝑔 .
ℎ
En un cilindro recto, la longitud de la generatriz
𝑔 y de la altura ℎ son iguales.
𝑔
La forma cilíndrica se pueden
encontrar en muchos objetos de la
realidad
𝑂1
𝑂2
Eje de giro
Región rectangular
que generará al
cilindro
Ésta debe de girar
360° en torno al
eje de giro
Genera 
Cilindro de revolución o 
cilindro circular recto
Del gráfico:
• 𝑂1 y 𝑂2 son los centros de las bases.
• 𝑂1𝑂2 es el eje del cilindro.
• 𝐴𝐵𝐶𝐷 es la sección axial.
• 𝐴𝐷 y 𝐵𝐶 son generatrices
diametralmente opuestas
𝑟
𝑟  Volumen
𝕍 = (𝝅𝒓𝟐) 𝒈
𝐷
𝐴
𝐵
𝐶
NOTA
Si la sección axial de un cilindro de revolución es
una región cuadrada, a dicho cilindro se le
denomina equilátero.
𝑔= 2𝑅
𝑅
𝑅
𝑅𝑅
𝑔
2
2
6
Resolución:
𝟐𝟎𝟏𝟒 − 𝑰𝑰EXAMEN UNI
En un cilindro circular recto, de radio 2 𝑐𝑚 y
altura 6 𝑐𝑚 , se inscribe un paralelepípedo
rectangular. El máximo volumen 𝑒𝑛 𝑐𝑚3 que
puede tener tal paralelepípedo es:
𝐴) 44 𝐵) 45 𝐶) 48
𝐷) 49 𝐸) 51
Nos piden 𝕍𝒑𝒂𝒓𝒂𝒍𝒆𝒍𝒆𝒑í𝒑𝒆𝒅𝒐(𝒎á𝒙)
• Calculemos el volumen
𝕍𝒑𝒂𝒓𝒂𝒍𝒆𝒍𝒆𝒑í𝒑𝒆𝒅𝒐 = 𝔸𝒃𝒂𝒔𝒆 𝟔
NOTA:
Como el paralelepípedo es un prisma,
podemos calcular su volumen como el
producto del área de la base con la longitud
de su altura.
• Notamos que el volumen depende del área de
la base, analicemos:
2
2
2
2 𝛽
𝔸𝑏𝑎𝑠𝑒 =
4 ∙ 4
2
𝑠𝑒𝑛𝛽
→ 𝔸𝑏𝑎𝑠𝑒= 8𝑠𝑒𝑛𝛽
• Con ello:
𝕍𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑒𝑝í𝑝𝑒𝑑𝑜 = 48𝑠𝑒𝑛𝛽
• Como el volumen debe ser máximo, entonces
𝑠𝑒𝑛𝛽 debe ser máximo, con lo cual 𝑠𝑒𝑛𝛽 = 1
∴ 𝕍𝒑𝒂𝒓𝒂𝒍𝒆𝒍𝒆𝒑í𝒑𝒆𝒅𝒐(𝒎á𝒙) = 𝟒𝟖
Clave 𝑪
Se cumple:
 Área de la superficie lateral
 Área de la superficie total
𝔸𝑺.𝑳 =
𝔸𝑺.𝑻 = 𝔸𝑺.𝑳 + 𝟐𝔸𝒃𝒂𝒔𝒆𝑂1
𝑂2
𝐷
𝐴 𝐵
𝐶
𝑟
𝑟
DESARROLLO DE LA SUPERFICIE LATERAL
Desarrollar la superficie lateral de un cilindro de revolución (Cilindro circular
recto) es aplicar su superficie sobre un plano, si esto se realiza separando una
generatriz, entonces el desarrollo será una región rectangular.
𝑔
= 2𝜋𝑟
𝟐𝝅𝒓𝒈
𝑔
𝔸𝒓𝒆𝒈𝒊ó𝒏 𝒓𝒆𝒄𝒕𝒂𝒏𝒈𝒖𝒍𝒂𝒓
𝔸𝑺.𝑳 =
2𝜋𝑟𝑔 𝜋𝑟2
𝔸𝑺.𝑻 = 𝟐𝝅𝒓 𝒈+ 𝒓
ℓ⊙𝑏𝑎𝑠𝑒
El desarrollar la superficie lateral de un cilindro de
revolución se puede encontrar en muchos ejemplos de
nuestra realidad
𝜃
𝜃
ℎ𝑔
Sección recta 
(S.R.)
Es aquel cilindro cuyas generatrices no son perpendiculares a las bases elípticas. Recuerda que la sección recta es la sección
plana determinada en el cilindro por un plano secante a todas las generatrices perpendicularmente.
 𝜽: Medida del diedro
determinado por la base y
la sección recta.
𝔸𝑆.𝑅. = B∙cosθ
h = 𝑔 ∙cosθ
𝕍𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 = (𝑩)(ℎ)
𝕍𝒄𝒊𝒍𝒊𝒏𝒅𝒓𝒐 = 𝔸𝑺.𝑹. (𝒈)
Reemplazando
Del gráfico:
Sabemos:
Base elíptica
𝑟
 Como la sección recta es circular, se tiene:
𝕍𝒄𝒊𝒍𝒊𝒏𝒅𝒓𝒐 = 𝝅𝒓
𝟐 (𝒈)
 Además, el área de la superficie lateral:
𝔸𝑺.𝑳 = (2𝑝𝑆.𝑅.)(𝑔) = 𝟐𝝅𝒓𝒈
 Área de la superficie total:
𝔸𝑺.𝑻 = 𝔸𝑺.𝑳 + 𝟐𝑩
 Área de una región elíptica:
𝑏
𝑎
𝑎𝑏
𝐶𝐷:
𝐴𝐵:
Eje menor
Eje mayor
𝔸𝒓𝒆𝒈. 𝒆𝒍í𝒑𝒕𝒊𝒄𝒂 = 𝒂𝒃𝝅Centro de 
la elipse
𝐷
𝐴 𝐵
𝐶
El volumen de un cilindro oblicuo es 40𝜋 𝑐𝑚3
y la proyección de su generatriz sobre el plano
de la base mide 5 𝑐𝑚. Si el radio de su sección
recta mide 2 𝑐𝑚, calcule el área de la base en
𝑐𝑚2.
Resolución:
𝟐𝟎𝟏𝟐 − 𝑰𝑰EXAMEN UNI
𝐴)
2𝜋
3
𝐵)
4𝜋
3
𝐶)
6𝜋
3
𝐷)
8𝜋
3
𝐸)
10𝜋
3 ℎ
𝑔
Sección recta 
(S.R.)
||
Nos piden 𝑩
Dato:
𝕍𝑐𝑖𝑙 = 40𝜋
5
• Además:
𝕍𝑐𝑖𝑙 = 𝔸𝑆.𝑅. ∙ 𝑔
2
• Como tenemos de dato a la sección
recta, podemos calcular la longitud de
la generatriz, usamos:
40𝜋 = 𝑩 ∙ 5 3
→ 𝑔 = 10
10 =
= 5 3
• Con ello: ℎ = 5 3
𝕍𝑐𝑖𝑙 = 𝑩 ∙ ℎ
40𝜋 = 𝜋 ∙ 22 ∙ 𝑔
∴ 𝑩 =
𝟖𝝅
𝟑
Clave 𝑫
w w w. a c a d e m i a c e s a r v a l l e j o . e d u . p e