Semestral Uni - RM semana 04

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LÓGICA
PROPOSICIONAL
RAZONAMIENTO
MATEMÁTICO
¿Para que nos sirve la lógica?
La persona que ha estudiado lógica tiene
mayor posibilidad de razonar correctamente que aquella
que nunca ha considerado los principios generales
implicados en esa actividad. […].
El estudio de la lógica suministrará al estudiante ciertas
técnicas y métodos de fácil aplicación para determinar la
corrección o incorrección de todos los razonamientos,
incluso propios. El valor del conocimiento reside en que
cuando es posible localizar fácilmente los errores
entonces es menor la posibilidad de que se cometan.
Fuente: Irving M. Copi
Introducción a la Lógica
(*) La Lógica también sirve para “pulir” tus matemáticas,
pues ayuda a clarificar muchos de sus conceptos más
fundamentales y aumenta la rigurosidad de las pruebas.
OBJETIVO
Comprender y aplicar correctamente las
tablas de verdad de los operadores lógicos
así como también las leyes de la lógica
proposicional.
Lima es la capital del Perú y no es cierto que 5 es mayor que 7
p q
La lógica proposicional es la parte de la lógica basada en proposiciones.
Conceptos Básicos
Una proposición lógica es aquel enunciado que asume un único valor de verdad sin
ambigüedad, es decir es verdadero o falso.
Por ejemplo: - Lima es la capital de Perú.
- 5 es mayor que 7.
Conectivos lógicos son símbolos que niegan una proposición o enlazan dos o mas proposiciones.
De forma práctica: a cada proposición se le denota con una letra minúscula (p, q, r, s, …) de tal
forma que una proposición compuesta por estas se represente mediante sus letras y los
conectivos lógicos que los relacionen. Por ejemplo en Lima es la capital del Perú y no es cierto
que 5 es mayor que 7 tendríamos lo siguiente:
^ 
Conectivos y tablas de verdad
Negación, implicancia y equivalencia
Leyes del álgebra proposicional
LÓGICA 
PROPOCISIONAL
Conectivos Lógicos
También toman el nombre de operadores o conectores. 
Los conectivos lógicos son
No es cierto que jugaré fútbol 
Miguel va a comer o beber 
Si me rio entonces estoy jugando 
Luisa trabaja y estudia
O me caso o me quedo soltero
Ingresare si y solo si estudio
OPERACIÓN
LÓGICA
CONECTIVOS LÓGICOS SÍMBOLO REPRESENTACIÓN
NEGACIÓN No es cierto que
CONJUNCIÓN … y …
DISYUNCIÓN
INCLUSIVA
… o …
CONDICIONAL Si … entonces …
BICONDICIONAL … si y solo si …
DISYUNCIÓN
EXCLUSIVA
o … o …
~ p~
p  q
p  q
p → q→
p  q
p  q
Resolución:Aplicación 01:
Usando las proposiciones dadas p, q y r, simbolizamos:
La simbolización resultante es:
Dadas las proposiciones
p: Coral aprueba sus cursos.
q: Coral va a la fiesta.
r: Coral estudia para su examen.
Simbolice
Si Coral va a la fiesta, entonces no
estudiará para su examen, además
no es el caso que vaya a la fiesta y
apruebe sus cursos. De ahí que
Coral estudie para su examen.
A) [(q → ∼ r) ∧ ∼ (q ∧ p)] → ∼ r
B) [(∼ q → r) ∧ ∼ (q ∧ p)] → ∼ r
C) [(∼ q → ∼ r) ∧ ∼ (q ∧ p)] → r
D) [(q → ∼ r) ∧ ∼ (q ∧ p)] → r
E) [(q → r) ∧ (∼ q ∧ p)] → r
Si Coral va a la fiesta , entonces no estudiará para su examen , además 
no es el caso que vaya a la fiesta y apruebe sus cursos . De ahí que 
Coral estudie para su examen.
q → ∼ r ∧
∼ q p∧ →
r
(
)
)
(
[ ( q → ∼ r ) ∧
[
∼ ( q ∧ p ) ] → r
]
Con la coma 
se agrupa 
una idea
Hasta el punto se 
agrupa todo lo 
anterior
I. NEGACIÓN
~ p : No voy a dormir 
Se lee:
No p
No es cierto que p
Nunca p
Es falso que p
II. CONJUNCIÓN
Se lee:
además, pero, sin
embargo, aunque,
también, …
III. DISYUNCIÓN DÉBIL O INCLUSIVA 
Se lee:
salvo que, o sino,
excepto que , …
p o q o ambos
IV. CONDICIONAL
Se lee:
Si p, q q, si p
p sólo si q q porque p
p por lo tanto q
q dado que p
V. BICONDICIONAL
Se lee:
Cuando y solo cuando,
es necesario y suficiente
para, es lo mismo que, …
VI. DISYUNCIÓN FUERTE O EXCLUSIVA
Se lee:
salvo que solo, ...o…o,
a menos que solamente, …
p o q
no ambos
Estas son las palabras que más se emplean para cada conector lógico.
Es una tabla que muestra el valor de verdad de una proposición para cada combinación de
valores de verdad que se puede asignar a sus componentes.
Negación es aquel conectivo
que cambia el valor de
verdad de la proposición.
p ~ p
V
F
F
V
PRINCIPALES CONECTIVOS LÓGICOS
Tablas de verdad
Conjunción enlazan dos
proposiciones mediante
el conectivo lógico y.
p q p  q
V V V
F
F
F
V F
F V
F F
Disyunción enlazan dos
proposiciones mediante el
conectivo lógico o.
p q p  q
V
V
F
F
V
F
V
F F
V 
V
V
Condicional permite enlazar
proposiciones mediante el conectivo
lógico:
Si p, entonces q.
p q p → q
V
V
F
F
V
F
V
F
F
V 
V
V
ANTECEDENTE
CONSECUENTE
Bicondicional permite enlazar
proposiciones mediante el
conectivo lógico:
p si y solo si q
p q p  q
V
V
F
F
V
F
V
F
F
F
V 
V
Disyunción Fuerte enlazan dos
proposiciones mediante el
conectivo lógico:
O p o q.
p q p  q
V
V
F
F
V
F
V
F
V
V
F 
F
Aplicación 02:
Encuentre la matriz principal en los siguientes casos:
a.  (p  q)  ( p   q)
b. p  [ p   (q  r) ]
Resolución:
p q  (p  q)  ( p   q)
V
V
F
F
V
F
V
F
F
F
F
V
F
F
F
V
V
V
V
V
a. 
 p  q
F
F
V
V
F
V
F
V
p q r p  [ p   (q  r) ]
V
V
V
V
F
F
F
F
V
V
F
F
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
V
F
b. 
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
F
V
V
F
F
V
V
V
V
V
F
F
F
F
V
V
V
V
V
F
F
V
V
V
V
V
F
F
F
F
V
V
V
V
F
F
F
F
OBSERVACIÒN
p  [ p  Z ] = p
• TAUTOLOGÍA (todos V)
• CONTRADICCIÓN (todos F)
• CONTINGENCIA (V y F indistintamente)
De acuerdo a la matriz principal:
OBSERVACIÓN
¿Qué resulta el siguiente esquema
molecular?
(p  q) → p
Resolución:
p q ( p  q ) → p
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
F
F
V
V
F
F
V
V
V
V
A B→
Nota: Si al evaluar dos proposiciones A y B
mediante la condicional resulta una tautología
entonces se obtiene una IMPLICANCIA y se
escribe: A  B
En el ejemplo tenemos (p  q) p
Es decir que (p  q) implica a p
En RM, las implicancias no son 
temas de examen UNI y no debe 
usarse. Por el contrario, se debe 
emplear equivalencias.
¿Qué resulta el siguiente esquema
molecular?
[ p  (p  q) ]  p
Resolución:
p q [ p  (p  q) ]  p
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
F
F
V
V
F
F
V
V
V
V
A B
Nota: Si al evaluar dos
proposiciones A y B
mediante la bicondicional
resulta una tautología
entonces se obtiene una
EQUIVALENCIA y se
escribe: A  B
En el ejemplo tenemos
[ p  (p  q) ] p
Es decir que
[p  (pq) ] es equivalente
a p o también  p
V
V
F
F
V
V
F
F
Esto es importante
porque cuando veamos
[p  (p  q)] podremos
poner en su lugar el
equivalente ósea solo a p.
EQUIVALENCIAS
LEYES DE LA LÓGICA PROPOSICIONAL
Las demostraciones de dichas leyes se hacen 
construyendo la tabla de verdad en cada caso.
Veamos el siguiente ejemplo con una ley muy conocida.
Ley de la condicional
p→ q ≡ ~p  q
p→ q ≡ ~q→ ~p
V
F
V
V
V
F
V
V
Se comprueba las equivalencias lógicas al 
tener todas la misma matriz principal.
Entre las leyes más usadas tenemos las siguientes:
• ~(~p)≡ p
• p  q≡ q  p
• p  q≡ q  p
• p q≡ q p
• p  q≡ q  p
• p→ q≡ ~p  q
• p→ q≡ ~q→ ~p
• ~ (p  q)≡ ~ p  ~ q
• ~ (p  q)≡ ~ p  ~q
• p  (p  q)≡ p
• p  (p  q)≡ p
• p  (~ p  q)≡ p  q
• p  (~ p  q)≡ p  q
Aplicación 03:
Simplificar: 
( p → ~q )  [ ( q → ~p )  (q → ~r ) ]
A) p  q
B) ~ p  ~ q
C) p  ~ r
D) q  r
E) ~ q  ~ r
Resolución:
Aplicando la ley condicional, lo equivalente será:
(~p  ~q )  [ (~ q  ~p )  (~ q  ~r ) ]
Por ley conmutativa :
(~p  ~q )  [ (~ p  ~q )  (~ q  ~r ) ]
Por absorción:
(~p  ~q )
(~p  ~q )
Condicional
p→ q≡ ~p  q
p→ q≡ ~q→ ~p
Conmutativa
p  q≡ q  p
p  q≡ q  p
Absorción
p  ( p  q)≡ p
p  (~ p  q)≡ p  q
Nos piden simplificar lo siguiente:
( p → ~q ) [ ( q → ~p )  (q → ~r ) ]
Sea p, q y r proposiciones,
además la siguiente expresión
es falsa.
(~(p→ ~q))→ (~p  (q  r))
Indique el valor de verdad de
p, q y r respectivamente
Nos piden los valores de verdad de p, q, r.
Aplicación 04:
Resolución:
( ~( p → ~q ) ) → ( ~p  ( q  r ) ) ≡ F
FV
F
V V
FF
V F
p ≡ V q ≡ V r ≡ F
Del enunciado:
A) VVV B) VVF C)VFF
D) FVV E) FFV
Observación:
No se aplica leyes si no te piden, 
menos tablas, debes resolver 
según los datos y lo que te piden. 
Un circuito lógico es un esquema
simplificado de diversos circuitos
electrónicos, nosotros estudiaremos
los circuitos mas simples: circuito en
serie y circuito en paralelo.
CIRCUITOS LÓGICOS
CIRCUITO EN SERIE
CIRCUITO EN PARALELO
p q
p
q
p  q
p  q
Describir simbólicamente
el siguiente circuito lógico
Aplicación 05:
Resolución: ~p q
p
~q
r
En el circuito
~p q
p
~q
r
p  ~ q
r  (p  ~ q)
~ p  q
≡
~p  q
r  (p  ~ q)
( r  (p  ~ q) )  (~p  q )
w w w. a c a d e m i a c e s a r v a l l e j o . e d u . p e