Semestral Uni - RM semana 08

Vista previa del material en texto

RAZONAMIENTO 
DEDUCTIVO
RAZONAMIENTO
MATEMÁTICO
Introducción
• El origen del método deductivo se atribuye a los
antiguos griegos, con el filósofo del silogismo,
Aristóteles, y posteriormente desarrollado por
Descartes, Spinoza y Leibniz.
• Es importante aclarar que la deducción no ofrece
nuevos conocimientos, ya que siempre conduce a la
particularidad de una ley general anteriormente
conocida.
• El método deductivo solo organiza y especifica los
conocimientos que ya se posee, desde un punto
inteligible, es decir, la verdad general, ya se
estableció, ir a otro punto interior de este plan
deductivo parte de una hipótesis general. La fuente
de la verdad para el deductivista es la lógica,
mientras que para el inductivista es la experiencia.
OBJETIVO
Desarrollar en el estudiante su razonamiento
numérico a través del análisis de todas las
posibilidades que se presentan en operaciones
planteadas.
INDUCTIVO NUMÉRICO
La deducción va de lo general a lo particular, es decir que a partir de conocimientos previos, criterios o casos
generales resolveremos problemas específicos. Lo representaremos de la siguiente forma:
CONOCIMIENTO 
PREVIO
Ley
Teorema 
Fórmula
CASO 1
CASO 2
CASO 3
CASO n
CASOS PARTICULARES
CASO GENERAL
RAZONAMIENTO DEDUCTIVO
RESOLVER
𝑎2 - 𝑏2 = (a + b)(a - b) ¿Cuál será el resultado de operar
50012 - 49992 ?
(5001 +4999 )( 5001-4999)
10000 x 2 = 20000
RAZONAMIENTO DEDUCTIVO
CIFRAS TERMINALES
SITUACIONES ALGEBRAICAS
RAZONAMIENTO 
DEDUCTIVO
RECONSTRUCCIÓN DE OPERACIONES BÁSICAS
En muchos problemas es necesario conocer la última cifra al efectuar algunas operaciones, para ello te
mostraremos algunos resultados importantes.
(……..0)n =
(……..1)n =
(……..5)n =
(……..6)n =
𝒏 ∈ 𝒁+
………..0
………..1
………..5
………..6
Por ejemplo: 1563 + 1654 + 65110
…63 + …54 + …110
…6 + …5 + …1 = …2
(……..4)N° PAR = ………..6
Por ejemplo:
(……..9)N° PAR = …....1
Por ejemplo: 910 + 923 + 20192
9PAR + 9IMPAR + ...9PAR
…1 + …9 + …1 = ...1
Para números que terminan en 0; 1; 5 ; 6
Para números que terminan en 4 y 9
417 + 3428 + 202421
4IMPAR + …4PAR + ...4IMPAR
…4 + …6 + …4 = ...4
(……..4)N° IMPAR = ………..4
(……..9)N° IMPAR = ..…..9
CIFRAS TERMINALES
Ejemplo :
Halle la última cifra del resultado de E
E = 9258 + 1373 + 4747
𝐸 = …4 + (…3 ) + (…3) = …0
Para números que terminan en 2, 3, 7 y 8
21 = 2
22 = 4
23 = 8
24 = 16 = …6
25 = 32 = …2
26 = 64 = …4
27 = 128 = …8
28 = 256 = …6
(…2)4 = ...6
(…2)4+1 =...2
(…2)4+2 =...4
(…2)4+3 = …8
o
o
o
o
En este caso los exponentes
se llevan a la forma ሶ𝟒 ƴ𝑜 ሶ𝟒 + 𝒓
∴ 𝐿𝑎 ú𝑙𝑡𝑖𝑚𝑎 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎 𝑑𝑒 𝐸 𝑒𝑠 𝑐𝑒𝑟𝑜.…2 ሶ4 = ... …2 ሶ4+𝑟 = ...
Termina en lo mismo 
que terminaría 24
FORMA PRACTICA
Termina en lo mismo 
que terminaría 2𝑟
Lo mismo ocurre con la cifra 3; 7 y 8
𝐸 = …2 ሶ4+2 + …3 ሶ4+1 + …7 ሶ4+3
𝟐𝟐 = 𝟒 𝟑𝟏 = 𝟑 𝟕𝟑 = 𝟑
En general:
Aplicación 01: Resolución:
La última cifra de A es 3.
Halle la última cifra de A
𝐴 = 2024 51 + 777 202
𝐴 = 2024 51 + 777 202
A = … 4 + … 9 
A = … 3
A) 6 
B) 3 
C) 1 
D) 7
E) 0
Analizamos la expresión E.
Nos piden: Hallar la última cifra de A
Aplicación 02: Resolución:
El valor de x es 6
Nos piden : El valor de x.Si (𝑎𝑏𝑐4)𝑚𝑛+32= ⋯6
Además (999…99
𝑛 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎𝑠
)𝑛
2
= ⋯(𝑥 − 5)
Calcule el valor de x
A) 1 
B) 9 
C) 7
D) 3 
E) 6
Del dato:
(𝑎𝑏𝑐4)𝑚𝑛+32= ⋯6
Debe ser par
𝑚𝑛 + 32 = par
parpar
𝑚𝑛 = par
𝑛 = par
Luego: 
(999…99
𝑛 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎𝑠
)𝑛
2
= ⋯(𝑥 − 5)
par
… 1 = ⋯(𝑥 − 5)
𝑥 − 5 = 1
𝑥 = 6
(N° impar) + (N° impar) = (N° par)
(N° par) (N° Z+) = (N° par)(N° par) + (N° par) = (N° par)
(N° par) + (N° impar) = (N° impar)
(N° impar) (N° impar) = (N° impar)
Criterios de paridad
Observación:
Se cumple que la cifra
de las decenas es 9
además
m + n = 9
Ejemplos:
8 4 1 - 5 7 2 - 4 2 3 -
1 4 8 2 7 5 3 2 4
6 9 3 2 9 7 9 9
Cuando en la adición, sustracción, multiplicación, etc., las cifras han sido omitidas o expresadas por letras, símbolos o
figuras, hay que tener en cuenta las reglas de la operación dada, así como el procedimiento para obtener el resultado.
I. EN LA ADICIÓN II. EN LA MULTIPLICACIÓN
Observación:
Se cumple que 
…𝑏 =…𝑎 + …0
Ejemplo:
Halle la última cifra de operar M
M =1x3x5x7x9x … x2021
N° impar N° impar
M = (N° impar)x 5 = … 5
∴ La última cifra de M es 5.
RECONSTRUCCIÓN DE OPERACIONES BÁSICAS
Ejemplos :
Calcule 𝐴𝐵𝐶 + 𝐵𝐶𝐴 + 𝐶𝐴𝐵
1
2 1 
Si 𝑈𝑀𝑆 X156 =…876
Halle las 3 últimas cifras del resultado de:
𝑈𝑀𝑆 X 468
+Ordenar conveniente, en este 
caso expresar la adición de la 
manera convencional
si A+B+C=19
𝐴𝐵𝐶
𝐵𝐶𝐴
𝐶𝐴𝐵
2
En algunos casos no es 
necesario hallar el valor 
de todas las letras
468 =156 x 3
𝑈𝑀𝑆 x 156x3
𝑈𝑀𝑆 x 468 = …628
∴ 𝐸𝑙 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑒𝑠 2109.
∴ 𝐿𝑎𝑠 𝑡𝑟𝑒𝑠 ú𝑙𝑡𝑖𝑚𝑎𝑠 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎𝑠 𝑠𝑜𝑛 628.
90
=(…876)3
Reconstruya la multiplicación siguiente
donde cada asterisco (*) representa
una cifra y calcule la suma de las cifras
del producto
Aplicación 03:
* * 3 x
* *
3 * 4 *
2 2 5 *
2 * * * 1
Resolución:
Comencemos a descubrir algunos valores
1
* *
* *
* *
2 *
* * *
3 x
3 4
2 5
14
7
2
6
4
9
4 o 5 5
4
2
2
6
6
7 x ( ) + 2 = …4
7 x ( 4 ) + 4 = 32
7 x ( 5 ) + 4 = 39
A) 20 B) 15 C) 19 D) 23 E)30
Nos piden: La suma de las cifras del producto
La suma de cifras del producto es 19.
3 x ( ) = …1
Ejemplos :
Calcule el valor de: A + B + C. Si se cumple
𝐴𝐵𝐶 x 999 =…463
Números formados solo por cifras 9
999 =(1000-1)
𝐴𝐵𝐶000 - Luego:
C = 7 
Si
𝐵
𝑈𝑀𝑆 = B Halle el valor de U + M + S
𝑈𝑀𝑆 = 𝐵𝐵
Analizando posibles casos
33 =27
44 =256
55 =3125
Luego: el valor de B es 4
𝐴𝐵𝐶 x (1000-1) =…463
∴ 𝐸𝑙 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 𝑒𝑠 15.
U = 2 M = 5 S = 6
∴ 𝐸𝑙 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑈 +𝑀 + 𝑆 𝑒𝑠 13.
Para la resolución de ciertos problemas es necesario conocer conceptos básicos de la matemática.
𝐴𝐵𝐶
…463
B = 3 A = 5
SITUACIONES ALGEBRAICAS
Aplicación 04: Resolución:
Si 𝑚 − 𝑛 = 𝑛 − 𝑝 =
7
7
Halle el valor de R
R =
(𝑚−𝑛)7+(𝑛−𝑝)7+(𝑚−𝑝)7
91
A) 20
B) 7
C) 14
D) 10
E) 0
𝑚 − 𝑛 =
7
7
𝑛 − 𝑝 =
7
7 +
𝑚 − 𝑝 = 2
7
7
R =
(𝑚−𝑛)7+(𝑛−𝑝)7+(𝑚−𝑝)7
91
R =
(
7
7)7+
91
R =
7 +
91
¿Cómo obtener 
(m-p)?
=
910
= 10
El valor de R es 10.
R =
(
7
7)7+(
7
7)7+
91
R =
(
7
7)7+(
7
7)7+(2
7
7)7
91
R =
7 + 7 +
91
R =
7 + 7 + 27 × 7
91
=
910
91
Nos piden: Hallar el valor de R
www.a cadem i a ce s a r v a l l e j o . e du . pe