Semestral Uni - RM semana 09

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PLANTEO DE ECUACIONES I
RAZONAMIENTO
MATEMÁTICO
C U R S O D E R A Z O N A M I E N T O M A T E M Á T I C O
Introducción
En el presente tema buscaremos encontrar solución a ciertas
situaciones haciendo uso de modelamientos es decir plantear una
ecuación que represente o nos indique los posibles cambios que se
dan en un contexto real o supuesto.
Muchos de los problemas presentados en la realidad son resueltos
aplicando modelos matemáticos que hacen uso de las ecuaciones, las
cuales pueden presentar varias incógnitas y formas como por
ejemplo ecuaciones lineales, cuadráticas y otras más avanzadas
usadas en las diversas ciencias.
Ecuación de la trayectoria
OBJETIVO
Lograr que el estudiante pueda interpretar
adecuadamente un enunciado y lo formalice
en una ecuación.
PLANTEO DE ECUACIONES 
Hola Anita, he logrado
recolectar muchos tomates,
cebollas y zanahorias pero
aún no logro contarlos.
Hola Bryan, no te preocupes
ya lo hice. “ Sin contar las
cebollas hay 24 vegetales; sin
contar los tomates, hay 36
vegetales, y sin contar las
zanahorias, hay 28 vegetales.
Gracias ahora ya lo sé, pero
para comprobar les
preguntaré a mis amigos del
Semestral UNI. ¿Cuál es el
número total de vegetales? ¡Tienes razón Bryan! ellos 
siempre nos ayudan.
:)
¿En qué consiste plantear una ecuación? LENGUAJE 
LITERAL
ENUNCIADO
LENGUAJE 
MATEMÁTICO
ECUACIÓN
1. Leer
2. Comprender
3. Plantear
En el ejemplo anterior:
Recolectó tomates, cebollas y zanahorias. N° de tomates = a N° de cebollas = b N° de zanahorias = c
Sin contar cebollas hay 24 vegetales TOTAL – b = 24 O también a + c = 24
Sin contar tomates hay 36 vegetales TOTAL – a = 36 O también b + c = 36
Sin contar zanahorias hay 28 vegetales TOTAL – c = 28 O también a + b = 28
Luego ya vemos como resolverlo, por ejemplo sumando
3(TOTAL) – (a + b + c) = 24 + 36 + 28
3(TOTAL) – 1(TOTAL) = 88 
2(TOTAL) = 88 TOTAL = 44 
También puedes reemplazar valores
a = 8
b = 20
c = 16
Resolución de 
problemas genéricos 
de traducción de 
enunciados
PLANTEO DE 
ECUACIONES I
Traduciendo Enunciados
Enunciado Representación Simbólica
Un número. x
El doble de un número más 2. 2 x + 2 
El doble de , un número aumentado en 2. 2 ( x + 2 )
A es dos veces B
A es tanto como B A = B
Gráficamente:
B A=
B
B
A = 2 B
A es dos veces más que B
2 veces más
B A= B
B
B
A = 3 B
Observación:
• n veces es diferente a n veces más
En general:
• A es n veces B → A = n B
• A es n veces más que B → A = (n +1) B
Enunciado Representación Simbólica
Traduciendo Enunciados
El exceso de A sobre B es 7. A - B = 7 ó también A = B + 7
La suma de 3 números consecutivos. x + (x +1) + ( x + 2)
La suma de 3 números impares consecutivos. x + (x +2) + ( x + 4); x: impar
Si tengo x . ¿cuánto me falta para tener 20? 20 - x
Si cuadruplico mi nota y le resto 40. Sea x mi nota 4x - 40
A es a B como 3 es a 5 =
𝟑
𝟓
𝑨
𝑩
Se tiene dos números que suman 30 x + y = 30 ó también x + (30 – x) = 30 
También A =3k , B = 5k 
Observación
La palabra sobre es 
equivalente a decir 
respecto a… 
El exceso de un número sobre 10
es tanto como tres veces más
que el exceso de 110 sobre
el doble de dicho número,
¿en cuánto es excedido la mitad
de dicho número por 40?
A) 10
B) 15
C) 20
D) 25
E) 30
∴ Es excedido en 15.
Aplicación 01: Resolución:
De los datos:
Sea el número: x
x - 10 = 4( )
x - 10 = 440 - 8x
9x = 450
x = 50
Planteando la ecuación
Resolviendo la ecuación
Reemplazando en lo pedido
40 –
50
2
= 40 – 25= 15 
Observación: 
Las expresiones excede, es excedido, es
menor en …, es mayor en …; se pueden
representar como una diferencia.
110 - 2 x
Nos piden: en cuanto es excedido la mitad del número por 40. 
∴ La cantidad de damas que había al inicio es 24.
Aplicación 02: Resolución:
En una reunión, el número de
caballeros es 2 veces más que el
número de damas . Después de 1
hora se retiran 8 parejas y el
número de caballeros que ahora
queda es 4 veces el nuevo número
de damas. ¿Cuántas damas había al
inicio?
A) 20
B) 24
C) 28
D) 32
E) 36
De los datos: Damas Caballeros
x 3
n 3n
- 8- 8
n-8 3n - 8
x 4
Planteando la ecuación
4(n-8) = 3n - 8 4n -32 = 3n - 8
n= 24
Resolviendo la ecuación
Nos piden: La cantidad de damas al inicio.
Tres amigos Ariel, Sandro y
Gabriel han jugado tres partidas
de naipes y el que perdió tuvo
que duplicar el dinero que en
ese momento tuvo los otros dos.
Al final, se observó que
cada amigo perdió una partida
en el orden indicado
quedándose cada uno con S/80.
¿Cuánto tenía Ariel antes de
comenzar las tres partidas?
A) 100 B) 130 C) 150
D) 180 E) 200
Aplicación 03: Resolución:
Representemos gráficamente las partidas
ARIEL SANDRO GABRIEL
Inicio
pierde
x2 x2
pierde
x2 x2
pierde
x2 x2
Final 80 80 80+ + = 240
+ + = 240
+ + = 240
+ + = 240
40 40 160
20 80140
70 40130
Ariel tenía al inicio S/130
Nos piden: el dinero que tenía Ariel antes de comenzar las tres partidas
Observación
Triángulos equiláteros 
compactos
Cuadrados compactos
1 4 9= 12 = 22 = 32
n2
Total de elementos es
1 = 3 = 6 =
Total de elementos es
𝒏(𝒏 + 𝟏)
𝟐
1(1 + 1)
2
2(2 + 1)
2
3(3 + 1)
2
n
n
n
n
n
3
3
2
2
2
3
∴ Inicialmente tenía 13 fichas
Aplicación 04: Resolución:
De los datos:
Sea n , el número de monedas por cada lado del cuadrado compacto. Con sus fichas, un niño ha formado
un cuadrado compacto y le ha
sobrado cuatro. Al día siguiente, le
regalan 8 fichas y ahora con todas
ellas puede formar un triángulo
equilátero compacto, en cuyo lado
hay el doble de fichas que había en
el lado del cuadrado. ¿Cuántas
fichas tenía inicialmente?
A) 9
B) 10
C) 11
D) 12
E) 13
n fichas
n fichas
2n fichas
𝒏𝟐
fichas 𝟐𝒏(𝟐𝒏 + 𝟏)
𝟐
sobra
4
le regalan
8
Al inicio tiene: 𝒏𝟐 + 4 fichas 
Cantidad de fichas para formar 
el triángulo compacto
n2 + 4 + 8 2n(2n + 1)
2
=
2𝑛2 + 24 = 4𝑛2 + 2 n
24 = 2𝑛2 + 2 n
12= 𝑛2 + n = n(n+1)
Al inicio tiene: (𝟑)𝟐 + 4 = 13 fichas n =3
w w w. a c a d e m i a c e s a r v a l l e j o . e d u . p e