Semestral Uni - RM semana 10

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PLANTEO DE ECUACIONES II
RAZONAMIENTO
MATEMÁTICO
Introducción
Piensa en las siguientes situaciones: Límites de velocidad
en la autopista, pagos mínimos en las tarjetas de crédito,
el número de mensajes de texto que puedes enviar
desde tu celular cada mes, el tiempo que te toma llegar
al trabajo, la distancia mínima social, el máximo número
de personas que puede haber en una reunión social.
Todas estas pueden ser representadas como
desigualdades matemáticas. Y, de hecho, usas
pensamiento matemático cuando consideras éstas
situaciones cada día.
Una inecuación es toda desigualdad condicional que se
establece entre dos expresiones matemáticas donde
existe por lo menos una variable a la que
denominaremos incógnita en la que sus dos miembros se
relacionan por uno de estos signos: >; <; ≥; ≤.
AFORO: 3 personas
Peso máximo: 100kg Para la cantidad de
personas vemos que
2 ≤ 3
(Desigualdad)
Para los pesos tenemos
Peso de él + de ella ≤ 100
X + Y ≤ 100
(Inecuación)
OBJETIVO
Desarrollar la capacidad interpretativa de
situaciones contextualizadas mediante la
resolución de problemas con enunciados
utilizando las ecuaciones e inecuaciones.
Resolución de 
problemas genéricos de 
planteo de ecuaciones
Resolución de 
problemas genéricos de 
planteo de inecuaciones
PLANTEO DE 
ECUACIONES II
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS GENÉRICOS DE PLANTEO DE ECUACIONES
Enunciado Representación Simbólica
Traduciendo Enunciados
El precio de una fruta es como la mitad de
su precio aumentado en un sol.
Precio de la fruta: x x = 
𝐱
𝟐
+ 1
Se ha comprado cierto número de
lapiceros por S/100. ¿Cuál es el precio de
cada lapicero?
Con S/100 se ha comprado x lapiceros
Precio de cada lapicero = 
𝟏𝟎𝟎
𝐱
Tengo 20 animales entre patos y conejos,
además se cuentan 46 patas de animales.
Patos : x x + y = 20
Conejos: y 2x + 4y = 46 
Ana tiene dos veces más de lo que tiene
Betty. Si Ana le da S/15 a Betty, entonces
tendrán la misma cantidad. A : 3x
𝐁 ∶ 𝐱
3x -15 = x +15
6( x+3 – x ) = x(x+3)
6(3)= x (x+3)
18= x2 +3x 
60
x
-
60
(x+3)
= 10
6 ( 
1
x
-
1
(x+3)
) = 1
Halle el valor de x, en 
la siguiente ecuación:
6
x
-
6
(x+3)
= 1
x2 +3x -18 = 0 
(x-3)(x+6)= 0 
x = 3 v x = -6 
En caso nos indicaran que el valor de x 
representa una cantidad entera positiva 
entonces nos podríamos saltar algunos pasos.
Se ha comprado cierto número
de libros por S/.210. Si cada libro
hubiese costado S/.1 menos, se
habría comprado cinco libros
más con los S/.210 .
¿Cuántos libros se compraron?
A) 28
B) 30
C) 32
D) 34
E) 36
∴ Se compraron 30 libros.
Aplicación 01: Resolución:
De los datos: N° libros = 
Dinero
Costo de cada libro
S/210 S/210
S/ x S/ (x-1)
210
𝑥
210
(𝑥 − 1)
210
(𝑥−1)
-
210
𝑥
= 5 
210 
1
(𝑥−1)
−
1
𝑥
= 5
42 
1
(𝑥−1)
−
1
𝑥
= 1
42 = (x-1) x
x=7
Diferencia es 5
Resolviendo la ecuación
Reemplazando en el caso real:
210
7
= 30
Problemas con pasajeros 
En problemas con pasajeros se puede presentar el siguiente caso:
N° PASAJEROS QUE 
SUBEN EN EL 
PARADERO INICIAL
N° PASAJEROS QUE 
BAJAN EN EL 
PARADERO FINAL
N° PASAJEROS QUE 
SUBEN EN OTROS 
PARADEROS
N° PASAJEROS QUE 
BAJAN EN OTROS 
PARADEROS
a b c d
TODOS LOS QUE SUBEN TODOS LOS QUE BAJAN=
SE CUMPLE: TOTAL DE PASAJEROS = a + b = c + d 
Un ómnibus salió de un punto A
a otro punto B y en uno de sus
viajes recaudó S/460. Si el precio
único del pasaje es de S/5, en
cada paradero bajan 2 pasajeros,
pero suben 5, y el ómnibus llegó
a B con 62 pasajeros, ¿cuántos
pasajeros tenía el ómnibus al
salir de A?
A) 17
B) 18
C) 19
D) 20
E) 21
∴ El ómnibus partió del paradero inicial con 17 pasajeros.
Aplicación 02: Resolución:
De los datos:
Recaudación = S/460
Costo del pasaje = S/5
N° pasajeros = 
460
5
= 92
N°pasajeros = 
𝑅𝑒𝑐𝑎𝑢𝑑𝑎𝑐𝑖ó𝑛
𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑎𝑠𝑎𝑗𝑒
Suben al 
INICIO
Suben en
cada 
paradero
Bajan en
cada
paradero
Bajan al
FINAL
62
Todos los que viajan suben y luego bajan
N° pasajeros que suben = N° pasajeros que bajan
9292
2( )5( )17 1515 =75 =30
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS GENÉRICOS DE PLANTEO DE INECUACIONES
Traduciendo Enunciados
Enunciado Representación Simbólica
15
B no es menor que 18
A < 15 
A está comprendido entre 4 y 23 4
A excede a B
A no es mayor que 15 o A = 15 
23
→ A ≤ 15 
A es más que 15 A<
B es menos que 18 B 18<
B > 18 o B = 18 → B ≥ 18 
A< <
BA >
A no excede a B BA ≤
A es como máximo 25 25A ≤
B como mínimo es 18 B18 ≤
Debe considerar:
<: “menor que”
>: “mayor que”
≤ : “menor o igual que”
≥ : “mayor o igual que”
Traduciendo Enunciados
Enunciado Representación Simbólica
7NSiete veces un número, disminuido en tres es menor que quince 3-
El triple de un número menos cinco es al menos diez
15<
Dos, mas cinco veces cierto número excede a treinta
3N 5- 10≥
A excede a B en no mas de 8
>2 5x+ 30
≤A B- 8
Planteamiento y resolución
Para resolver un problema con inecuaciones debemos seguir los siguientes pasos:
1° asignación de variables. Asignar una letra (variable) a los términos
desconocidos.
2° planteamiento. Establecer relaciones entre los datos conocidos
y los desconocidos, planteando una o varias
inecuaciones.
3° Resolución de inecuaciones. Hallar los valores para las incógnitas, tales que
cumplan con las condiciones dadas.
El número de canicas que hay en
una caja es tal que su duplo
aumentado en 18 es menor que
100, pero su triple disminuido en
17 canicas es mayor que 100,
¿Cuántas canicas hay en la caja?
A) 40 B) 41 C) 44
D) 39 E) 42
Aplicación 03: Resolución:
Nos piden: ¿Cuántas canicas hay en la caja?
De lo datos:
Sea Número de canicas = C
* 2C + 18 < 100 * 3C - 17 > 100
2C < 82
C < 41
3C > 117
C > 39
C < 4139 <
→ C = 40
( C ∈ ℤ+ )
El número de canicas en la caja es 40∴
Un comerciante compro cierta
cantidad entera de kg de arroz, luego
vendió 18 kg y le quedó mas de la
mitad de lo que había comprado. Al
día siguiente, logro vender 7 kg y le
quedó , finalmente, menos de 13 kg.
¿Cuántos kg. de arroz compró el
comerciante?
A) 37
B) 41
C) 50
D) 48
E) 35
Resolución:
Nos piden: ¿Cuántos kg. de arroz compró el comerciante?
De los datos:
Sea Cantidad de kg. de arroz = x ( x ∈ ℤ+ )
1° venta
queda > 
𝐱
2
x − 18 > 
𝐱
2
2x − 36 > 𝐱
x > 36
2° venta (al día siguiente)
quedó < 13 
( x − 18 ) − 7 < 13 
x − 25 < 13 
x < 38
x < 3836 <
→ x = 37
La cantidad de kg. de arroz que compró es 37∴
Aplicación 04:
Aplicación 05: Resolución:
Se han comprado mascarillas,
jabones y protectores faciales.
Entre mascarillas y jabones
no llegan a 10, el número de
jabones es mayor que el de
protectores faciales, y el número de
mascarillas es mayor que el de
protectores faciales, aumentado en
4. Calcule el número de protectores
faciales.
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
Nos piden: el número de protectores faciales.
De los datos:
Sea Cantidad de mascarillas = x
Cantidad de jabones = y
Cantidad de protectores faciales = z
x + y < 10
y > z
x > z + 4
10 > x + y
y > z
x > z + 4
+
10 + x + y > 2z + 4 + x + y
6 > 2z
3 > z
…(I)
…(II)
…(III)
…(IV)
→ z = 1 o 2
( z ∈ ℤ+ )
( y ∈ ℤ+ )
( x ∈ ℤ+ )
Para z=2 en (II) y (III) queda:
y > 2
x > 6
→ y = 3; 4; 5; …
→ x = 7; 8; 9; …
Pero ninguno cumple la condición (I), 
es decir ninguno cumple x + y < 10 (No cumple)
Cantidad de protectores faciales = 1∴
www.a cadem i a ce s a r v a l l e j o . e du . pe