Semestral Uni - RM semana 17

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SITUACIONES ARITMÉTICAS
RAZONAMIENTO
MATEMÁTICO
Introducción
Los vocablos matemática aplicada o matemáticas aplicadas se
refieren a aquellos métodos y herramientas matemáticas que
pueden ser utilizados en el análisis o resolución de problemas
pertenecientes al área de las ciencias básicas o aplicadas como el
cálculo, el álgebra lineal, las ecuaciones diferenciales, entre otras
que puede haber desde que se descubrió.
Muchos métodos matemáticos han resultado efectivos en el
estudio de problemas en física, química, biología, ingeniería,
medicina, ciencias sociales, informática, economía, finanzas o
ecología. Sin embargo, una posible diferencia es que
en matemáticas aplicadas se procura el desarrollo de las
matemáticas «hacia afuera», es decir su aplicación o transferencia
hacia el resto de las áreas. Y en menor grado «hacia dentro» o sea,
hacia el desarrollo de la matemática misma. Este último sería el
caso de las matemáticas puras o matemáticas elementales.
OBJETIVO
Aplicar las diversas situaciones aritméticas que
se plantean (fracciones, tanto por ciento,
máximos y mínimos y combinatoria) para poder
resolver situaciones que se presentan en la vida
real de manera práctica y eficaz.
GANANCIAS Y PÉRDIDAS EN FRACCIÓN Y PORCENTAJE
PROBLEMAS DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS
SITUACIONES 
ARITMÉTICAS
RELACIÓN PARTE TODO Y REDUCCIÓN A LA UNIDAD
VARIACIÓN PORCENTUAL
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS COMBINATORIOS
GANANCIAS Y PÉRDIDAS EN FRACCIÓN Y PORCENTAJE
Pierde 
(disminuye)
Queda
1
4
3
4
2
7
5
7
3
5
2
5
𝑎
𝑏
𝑏 − 𝑎
𝑏
Gana 
(aumenta)
Resulta
1
4
5
4
2
7
9
7
3
5
8
5
𝑎
𝑏
𝑎 + 𝑏
𝑏
Pierde 
(disminuye)
Queda
25% 75%
45% 55%
60% 40%
a% (100‒a)%
Gana 
(aumenta)
Resulta
25% 125%
45% 145%
60% 160%
a% (100+a)%
GANANCIAS Y/O PÉRDIDAS (FRACCIONES) GANANCIAS Y/O PÉRDIDAS (PORCENTAJES)
Aplicación 01: Resolución:
Edgar llevó cierto número de polos
al mercado y se observó que la
primera hora vendió 3/5 del total,
la segunda hora vendió 1/4 de lo
que le quedaba más 2 polos,
sobrándole 10 polos por vender.
¿Cuántos polos llevó al mercado?
A) 45 B) 60 C) 70
D) 40 E) 35
Llevó al mercado 40 polos
Nos piden el número de polos que llevó al mercado.
INICIO
La primera hora: 
vendió 3/5 del total
Lo que 
queda 
x 2/5 
La 2da hora: vendió 1/4 de lo 
que le quedaba más 2 polos
Lo que 
queda 
x 3/4 - 2
10
+ 2 x 4/3
16
x 5/2
40
Del enunciado:
Aplicando 
método del 
cangrejo
Aplicando 
método del 
cangrejo
10 + 2 ×
4
3
16 ×
5
2
Vende
Queda
Vende Queda
×
𝟏
𝟒
×
𝟑
𝟒
; +𝟐 ; −𝟐
RELACIÓN PARTE TODO Y REDUCCIÓN A LA UNIDAD
Toda la obra en En un día
A x días
B y días
(A + B) ? días
1
𝑥
𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
1
𝑦
𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
1
𝑥
+
1
𝑦
𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
Es la comparación de una parte respecto a un todo.
¿Qué fracción representa 3 respecto de 8?
𝑓 =
3
8
¿Qué fracción de 4 es 7?
𝑓 =
7
4
RELACIÓN PARTE-TODO REDUCCIÓN A LA UNIDAD
F = 
𝑃𝑎𝑟𝑡𝑒
𝑇𝑜𝑑𝑜
Se reconoce con las palabras: 
es, son, representa.
Se reconoce con las palabras: 
de, del, respecto de.
Aplicación 02: Resolución:
Un obrero puede hacer una obra
en 2 días, trabajando solo, y un
segundo obrero puede hacer la
misma obra en 3 días, trabajando
solo. ¿en cuántos días acabarán
dicha obra si trabajan juntos?
A) 1 B) 2 C) 1/2
D) 6/5 E) 3/2
Acabarán la obra en 6/5 días
Nos piden ¿en cuántos días acabarán dicha obra si trabajan juntos?
Del enunciado:
Primer obrero
Segundo obrero
Tiempo En 1 día 
2 días 
3 días
1
2
1
3
Sea la obra:
= 3K
= 2K
6K
6K
6K
Primer y segundo
trabajando juntos X días
1
𝑋
6K
Lo que hacen
los dos obreros
en 1 día
= 5K
1
𝑋
(6K) = 5K
X = 6/5
VARIACIÓN PORCENTUAL
Nos indica en qué tanto por ciento aumenta o disminuye una cantidad respecto a su valor inicial.
Observación:
Para conocer la variación porcentual de una cantidad, dicha
variación dependerá solo de las cantidades que varían, las
constante no afectan la variación porcentual.
Por ejemplo:
• Si A varía en 20% → 2A varía en 20%
• Si R varía en 10% → 2𝜋𝑅 varía en 10%
A:100  A:120 2A: 200  2A: 240
100% 120%
R:100  R:110
2𝜋R: 200𝜋 2𝜋R: 220𝜋
100% 110%
Aplicación 03: Resolución:
Si la base de un triángulo
disminuye 30% y la altura aumenta
40%, ¿en qué tanto por ciento
varía su área?
A) 1%
B) 2%
C) 4%
D) 5%
E) 6%
El área del triángulo varía en 2%
Nos piden ¿en qué tanto por ciento varía su área?
INICIO
Para conocer en cuánto varía el área se necesita conocer el área al 
inicio y al final.
FINAL
10a
10b 14b
7a
+ 40%
- 30%
Área 
inicial =
Área 
inicial =
(10a)(10b) 
2
= 50ab
(7a)(14b) 
2
= 49ab
Variación
del área 
=
50ab – 49ab 
50ab
x100 % = 2%
PROBLEMAS DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS
LA FUNCIÓN CUADRÁTICA:
El valor de 𝑋𝑜 que hace que F sea mínimo es 
−𝑏
2𝑎
; es 
decir: 𝐹𝑚í𝑛 = 𝐹(
−𝒃
𝟐𝒂
)
El valor de 𝑋𝑜 que hace que F sea máximo es 
−𝑏
2𝑎
; es 
decir: 𝐹𝑚á𝑥 = 𝐹(
−𝒃
𝟐𝒂
)
Forma general: 
Primer caso: (a> 0 ) Segundo caso: (a< 0 )
𝐹𝑚í𝑛 = 𝐹(𝑥𝑜)
𝐹𝑚á𝑥 = 𝐹(𝑥𝑜)
APLICACIONES EN EXPRESIONES ALGEBRAICAS
𝐹 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ; 𝑎 ≠ 0
𝑋𝑜
𝑋𝑜
Otra forma de determinar el 
valor máximo o mínimo de una 
función cuadrática, es 
completando cuadrados
Aplicación 04: Resolución:
Halle el valor de x que hace que el
valor de P sea mínimo:
P(x;y) = 4𝑥2 + 2𝑦2 − 4𝑥𝑦 − 8𝑦 + 26
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
El valor de x pedido es 2
Nos piden el valor de x que hace que el valor de P sea mínimo
Se observa que la expresión es de grado 2, por ello completamos cuadrados.
P(x;y) = 4𝑥2 + 2𝑦2 − 4𝑥𝑦 − 8𝑦 + 26
Ordenamos convenientemente.
(2𝑥 − 𝑦)2 (𝑦 − 4)2
𝑦 − 4 = 02𝑥 − 𝑦 = 0
y = 42x − 4 = 0
𝑀í𝑛𝑖𝑚𝑜 = 0 = 0
Pmín = 10
x = 2
+𝑦2 + 𝑦2= (2𝑥)2 −4𝑥𝑦 −8𝑦 +26
P (x;y) = (2𝑥)2−4𝑥𝑦 + 𝑦2 + 𝑦2 − 8𝑦+16 + 10
PROBLEMAS DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS
Si a; b; c; …; m son números reales positivos , 
tal que:
a + b + c + …… + m = S 
IMPORTANTE: En 𝑅+ considere la siguiente
desigualdad al momento de maximizar o minimizar
expresiones matemáticas:
𝑥 +
1
𝑥
≥ 2
𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚é𝑡𝑖𝑐𝑎 ≥ 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 𝑔𝑒𝑜𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎
𝑎+𝑏
2
≥ 𝑎𝑏
entonces el máximo valor de: axbxcx ….. xm
se obtiene cuando: a = b = c = …. = m 
; 𝑥 ∈ ℝ +
𝑥+
1
𝑥
2
≥ 𝑥
1
𝑥
De lo anterior se deduce que:
APLICACIONES EN SITUACIONES GEOMÉTRICAS
El gráfico muestra
una mesa de billar.
Si la bola de billar
debe realizar el
recorrido mostrado
hasta llegar al
agujero, ¿cuál es la
longitud del menor
recorrido a realizar?
60 cm
80 cm
Longitud
mínima
Del gráfico:
Para un mismo plano
DISTANCIA MÍNIMA ENTRE 2 PUNTOS
60 cm 60 cm
20 cm
80 cm
= 180 2 cm
a
a
b
c
c
Aplicación 05: Resolución:
El gráfico muestra una hormiga
ubicada en el punto M, y a lo largo
del segmento AB cierta cantidad
de miel regada. Si la hormiga debe
recoger un poco de miel y llevarla
al punto N, halle la longitud del
menor recorrido que puede
realizar. Considere  = 22/7
A) 264cm B) 250 cm C) 240 cm
D) 275 cm E) 260 cm
La longitud del menor recorrido es 275 cm
Nos piden la longitud del menor recorrido.
La hormiga se encuentra dentro del 
cilindro, parte de M y recorre por el 
desarrollo hasta llegar al segmento AB.
Luego recorriendo otra parte del 
desarrollo se dirige al punto N.
N
M
77 cm
2(42) = 84
84(22/7) 
77
= 7(11)
= 24(11)
25(11)
= 275
A
B
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS COMBINATORIOS
PRINCIPIOS DE CONTEO Adición ( o ) Multiplicación ( y )
TÉCNICAS DE CONTEO Permutación ( Ordenar ) Combinación ( Escoger )
PERMUTACIÓN LINEAL
P
n
r
n!
(n – r )!
P
n
n
= P = n!=
( n )
PERMUTACIÓN CIRCULAR
P
c
n
= (n-1)!
PERMUTACIÓN CON ELEMENTOS REPETIDOS
P
n
a,b,c
n!
a!
=
b! c!x x
COMBINACIÓN
c
n
k
n!
(n – k )!
=
k! x
C
n
1 = n
C
n
n = 1
C
n
k
= C
n
n-k
C
n
0
+ C
n
1
+ C
n
2
+ … C
n
n
+ = 2
n
Aplicación 06: Resolución:
María tiene en su laptop 10
canciones, y ella debe seleccionar
6 de ellas para escuchar. ¿De
cuántas maneras puede realizar la
selección, si elladecide que en sus
elecciones siempre estará la
canción te amare?
A) 60 B) 120 C) 720
D) 126 E) 24
Puede seleccionar la canción de 126 maneras
Nos piden ¿De cuántas maneras puede realizar la selección?
Tiene 10 canciones
Seleccionar 6 de estas,
donde siempre estará la
canción te amare
te amare
Estará en 
todos los 
grupos
De las 9 canciones restantes 
se seleccionaran 5
C9
5
=
9!
5! (9-5)!×
= 126
Número de formas de
seleccionar las 6 canciones en
donde siempre elegí te amare
= 126
( × 8 × 7 × 6×5×4!)
5! 4!×
5 factores
9
www.a c adem ia c e sa r v a l l e j o . e du . p e