Semestral Uni - Trigonometría semana 11

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Funciones trigonométricas I
Trigonometría
INTRODUCCIÓN
Dentro de la ingeniería los modelos matemáticos son importantes para comprender los problemas ingenieriles 
como la transmisión de señales, el movimiento de estructuras, etc. En estas se presenta las funciones reales como 
una herramienta útil para comprenderlas y manipularlas.
La palabra función, en sentido 
Matemático, se le atribuye a…
Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716)
Uno de los pioneros en los 
métodos de cálculo
Leonhard Euler(1707-1783)
Quien introduce la conocida 
notación y = 𝑓(𝑥)
Pero fue… Diagrama de la “Maquina” para una función 
𝑥
𝑓
𝑓(𝑥)
Valores del dominio
Valores del rango
DEFINICIÓN DE FUNCIÓN
“Se dice que y es una 
función de x si a cada 
valor de x le corresponde 
un único valor de y”
Regla de Correspondencia
𝑦 = 𝑓(𝑥)
𝑥: Variable independiente
𝑦: Variable dependiente 
Dominio Rango
Es el conjunto de valores que admite
La variable independiente x
Dom(f) ∨ Df
Es el conjunto de valores que admite
La variable dependiente y
Ran f ∨ Rf
Notación Notación
T R I G O N O M E T R Í A
Cálculo del Dominio de una Función 
1. Forma general de los arcos cuadrantales
nπ
𝑋
𝑌
𝑋
𝑌
2nπ; 𝑛 ∈ ℤ(2n + 1)π
(4n + 3)
π
2
(4n + 1)
π
2
(2n + 1)
π
2
𝑛π
2
2. Principales Restricciones y criterios de existencia
Por funciones trigonométricas
tanx; secx: 𝑥 ≠ 2𝑛 + 1
π
2
; 𝑛 ∈ ℤ
cotx; cscx: 𝑥 ≠ 𝑛π; 𝑛 ∈ ℤ
senx y cosx no generan
restricciones
Tenga en cuenta !
Por función racional
Se establece que
1
𝑥
∈ ℝ
Por existencia de Radicales
Se establece que 𝑛 𝑥 ∈ ℝ; (𝑛: par)
Por otras funciones
lnx ∈ ℝ ∀𝑥 > 0 𝑥 = ቊ
𝑥; 𝑥 ≥ 0
−𝑥; 𝑥 < 0
𝑥 = 𝑛 ↔ n ≤ x < n + 1; n ∈ ℤ
𝑥 ≠ 0
∀𝑥 ≥ 0
Cálculo del Dominio de una Función 
Principales Criterios para el Cálculo del Dominio
✓ No simplificar la regla de correspondencia.
✓ Se deben establecer las principales restricciones.
✓ Se realiza el respectivo cálculo del dominio
Determine el dominio de la función f 
definida por 
EJEMPLO
f(x)= 1+ tanx . cot x
f está definida en ℝ si:
Al tener tanx → x ≠ (2n + 1)
π
2
, n ∈ Z
Al tener cotx → x≠ nπ, n ∈ Z
De ambas relaciones x ≠
nπ
2
n ∈ Z
∴ 𝐃𝐨𝐦𝐟 = 𝐑 −
𝐧𝛑
𝟐
, 𝐧 ∈ ℤ
RESOLUCIÓN
UNI 2015-II
Determine el dominio de la función con
Regla de correspondencia:
f x =
4
2sec2x − tan4x − 3 − 4
A)
nπ
4
∕ n ∈ ℤ B)
2n + 1
4
π ∕ n ∈ ℤ
C)
nπ
4
∕ n ∈ ℤ D) nπ ∕ n ∈ ℤ
E) 2nπ ∕ n ∈ ℤ
EJERCICIO 1
∴ Domf = 2n + 1
π
4
; n ∈ ℤ
RESOLUCIÓN
f x está definida en ℝ.
2sec2x − tan4x − 3 ≥ 0
2(1 + tan2x) − tan4x − 3 ≥ 0
tan4x − 2tan2x + 1 ≤ 0 → (tan2x − 1)2≤ 0
Luego, solo es posible
tan2x − 1 = 0 → tan2x = 1
sen2x
cos2x
= 1 → cos2x − sen2x = 0
cos2x = 0 → 2x = 2n + 1
π
2
; n ∈ ℤ
✓ Establecer las restricciones solo de ser 
necesario.
✓ Reducir la regla de correspondencia, hasta 
expresarlo a un único operador trigonométrico.
✓ Si no se puede reducir, asumir criterios como:
desigual de medias, gráficos de funciones ,
función creciente, decreciente, derivadas, etc.
✓ Calcule el rango de la función basado en las 
restricciones.
FUNCIÓN DOMINIO(𝐧 ∈ ℤ) RANGO
Rango de las Funciones
Trigonométricas
Criterios para el Cálculo del Rango
y= senx [-1; 1]
y= cosx [-1; 1]
y= tanx ℝ
ℝy= cotx
y= secx ሿ−∞; −1 ∪ ሾ1; +∞
y= cscx ሿ−∞; −1 ∪ ሾ1; +∞
ℝ
ℝ
ℝ − nπ
ℝ − (2n + 1)
π
2
ℝ − (2n + 1)
π
2
ℝ − nπ
UNI 2011-II
Si x ∈ π;
5π
4
, determine el rango de la función
f x = 1 + 2 senx cosx
𝐴) 0;
2
2
B) 0; 1 C) 0; 2
D) 0; 3 E) 0; 2 + 1
EJERCICIO 2 Como x ∈ π;
5π
4
, senx < 0 → senx = −senx
f x = 1 − sen2x → 2x ∈ 2π;
5π
2
Analizando en la C.T
X
Y
1
2π
5π
2
2x
sen2x
0 < sen2x < 1
→ 1 > 1 − sen2x > 0
1 > 1 − sen2x > 0
0 < f x < 1
∴ Ran f = 0; 1
RESOLUCIÓN
www.a cadem i a ce s a r v a l l e j o . e du . pe