Semestral Uni - Trigonometría semana 14

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Funciones trigonométricas 
inversas II
Trigonometría
FUNCIÓN DOMINIO RANGO
y= senx
y= cosx [-1; 1]
y= cotx
y= secx
y= cscx
y= tanx
Para que las funciones trigonométricas
sean inyectivas y por consiguiente tengan
inversa, en la siguiente tabla se muestran
las restricciones.
RECORDAR
X
Y
PROPIEDAD FUNDAMENTAL
CARACTERÍSTICASFUNCIÓN ARCO TANGENTE
La función inversa de la tangente es la función
ARCOTANGENTE, denotado por 𝐚𝐫𝐜𝐭𝐚𝐧 o 𝐭𝐚𝐧−𝟏 y se
define por
𝒚 = 𝐚𝐫𝐜𝐭𝐚𝐧 𝒙 si y solo si 𝐭𝐚𝐧 𝒚 = 𝒙
Para −∞ < 𝒙 < +∞ además −
𝝅
𝟐
< 𝒚 <
𝝅
𝟐
X
Y
X
Y
X
Y
𝒚 = 𝐚𝐫𝐜𝐜𝐨𝐭 𝒙 ⇔ 𝐜𝐨𝐭 𝒚 = 𝒙
−∞ < 𝒙 < +∞ ∧ 𝟎 < 𝒚 < 𝝅
Función arco cotangente 𝒚 = 𝐚𝐫𝐜𝐬𝐞𝐜 𝒙 ⇔ 𝐬𝐞𝐜𝒚 = 𝒙
𝒙 ∈ ℝ − −𝟏;𝟏 ∧ 𝒚 ∈ 𝟎; 𝝅 −
𝝅
𝟐
Función arco secante
𝒚 = 𝐚𝐫𝐜𝐬𝐜 𝒙 ⇔ 𝐜𝐬𝐜𝒚 = 𝒙
𝒙 ∈ ℝ − −𝟏;𝟏 ∧ 𝒚 ∈ −
𝝅
𝟐
;
𝝅
𝟐
− 𝟎
Función arco cosecante
RESOLUCIÓN
EJERCICIO 1
UNI 2012-II
Sea f una función definida por 
𝑓 𝑥 = arcsen 𝑥 + arctan 𝑥
Determine el rango de f
A) 0;
𝜋
2
B) 0; 
𝜋
2
C) 0; 
3𝜋
4
D) 0;
3𝜋
4
E) 0; 𝜋
PROPIEDAD 1
𝐚𝐫𝐜𝐬𝐞𝐧 −𝐱 = −𝐚𝐫𝐜𝐬𝐞𝐧 𝐱 ; ∀𝐱 ∈ −𝟏;𝟏
𝐚𝐫𝐜𝐜𝐨𝐬 −𝐱 = 𝛑 − 𝐚𝐫𝐜𝐜𝐨𝐬 𝐱 ; ∀𝐱 ∈ −𝟏; 𝟏
𝐚𝐫𝐜𝐭𝐚𝐧 −𝐱 = −𝐚𝐫𝐜𝐭𝐚𝐧 𝐱 ; ∀𝐱 ∈ ℝ
𝐚𝐫𝐜𝐜𝐨𝐭 −𝐱 = 𝛑 − 𝐚𝐫𝐜𝐜𝐨𝐭 𝐱 ; ∀𝐱 ∈ ℝ
𝐚𝐫𝐜𝐬𝐞𝐜 −𝐱 = 𝛑 − 𝐚𝐫𝐜𝐬𝐞𝐜 𝐱 ; ∀𝐱 ∈ ℝ − −𝟏;𝟏
𝐚𝐫𝐜𝐜𝐬𝐜 −𝐱 = −𝐚𝐫𝐜𝐜𝐬𝐜 𝐱 ; ∀𝐱 ∈ ℝ − −𝟏;𝟏
EJEMPLOS
Determine el valor de los siguientes arcos
1. arcsen −
1
2
=
2. arcos −
1
2
=
𝐬𝐞𝐧 𝐚𝐫𝐜𝐬𝐞𝐧(𝒏) = 𝐧; ∀𝐧 ∈ −𝟏;𝟏
𝐚𝐫𝐜𝐬𝐞𝐧 𝐬𝐞𝐧𝛉 = 𝛉; ∀𝛉 ∈ −
𝛑
𝟐
;
𝛑
𝟐
𝐜𝐨𝐬 𝐚𝐫𝐜𝐜𝐨𝐬 𝐧 = 𝐧; ∀ 𝐧 ∈ −𝟏; 𝟏
𝐚𝐫𝐜𝐜𝐨𝐬 𝐜𝐨𝐬 θ = θ; ∀ θ ∈ 𝟎;𝛑
𝐭𝐚𝐧 𝐚𝐫𝐜𝐭𝐚𝐧 𝐧 = 𝐧; ∀ 𝐧 ∈ ℝ
𝐚𝐫𝐜𝐭𝐚𝐧 𝐭𝐚𝐧 θ = θ; ∀ θ ∈ −
𝛑
𝟐
;
𝛑
𝟐
PROPIEDAD 2
EJEMPLOS
Determine el valor de las expresiones
1. . sen arcsen
3
7
=
2. . arcsen sen
π
5
=
3. . arcsen sen
3π
4
3
7
∈ −
𝛑
𝟐
;
𝛑
𝟐
π
5
∈ −𝟏;𝟏
≠
3π
4
∉ −
𝛑
𝟐
;
𝛑
𝟐
sen
3π
4
= sen π −
π
4
= sen
π
4
arcsen sen
3π
4
= arcsen sen
π
4
=
π
4
UNI 2010-I
Calcule el valor de:
−2 arcsen cos
33π
5
A)
π
13
B)
π
11
C)
π
9
D)
π
7
E)
π
5
EJERCICIO 2
RESOLUCIÓN
PROPIEDAD 3
𝐜𝐨𝐬 𝐚𝐫𝐜𝐬𝐞𝐧 𝐧 = 𝟏 − 𝐧𝟐; ∀ 𝐧 ∈ −𝟏; 𝟏
𝐬𝐞𝐧 𝐚𝐫𝐜𝐜𝐨𝐬 𝐧 = 𝟏 − 𝐧𝟐; ∀ 𝐧 ∈ −𝟏; 𝟏
EJERCICIO 4
Grafique y calcule el rango de la función 
f x = −cos arcsen x sen(arccos(x))
RESOLUCIÓN
X
Y
0
𝐚𝐫𝐜𝐬𝐞𝐧 𝐱 = 𝐚𝐫𝐜𝐜𝐬𝐜
𝟏
𝐱
; −𝟏 ≤ 𝐱 ≤ 𝟏 − 𝟎
𝐚𝐫𝐜𝐜𝐨𝐬 𝐱 = 𝐚𝐫𝐜𝐬𝐞𝐜
𝟏
𝐱
;−𝟏 ≤ 𝐱 ≤ 𝟏 − 𝟎
𝐚𝐫𝐜𝐭𝐚𝐧 𝐱 = 𝐚𝐫𝐜𝐜𝐨𝐭
𝟏
𝐱
; 𝐱 > 𝟎
𝐚𝐫𝐜𝐭𝐚𝐧 𝐱 = 𝐚𝐫𝐜𝐜𝐨𝐭
𝟏
𝐱
− 𝛑; 𝐱 < 𝟎
PROPIEDAD 3
𝐚𝐫𝐜𝐬𝐞𝐧 𝐱 + 𝐚𝐫𝐜𝐜𝐨𝐬 𝐱 =
𝛑
𝟐
↔ −𝟏 ≤ 𝐱 ≤ 𝟏
𝐚𝐫𝐜𝐭𝐚𝐧 𝐱 + 𝐚𝐫𝐜𝐜𝐨𝐭 𝐱 =
𝛑
𝟐
; ∀𝐱 ∈ ℝ
𝐚𝐫𝐜𝐬𝐞𝐜 𝐱 + 𝐚𝐫𝐜𝐜𝐬𝐜 𝐱 =
𝛑
𝟐
; ∀𝐱 ∈ ℝ − −𝟏;𝟏
Dada la función f, definida por: 
f x = arcsen x + arccos x + arctan
1
x + 1
Determine el rango de f.
RETO UNI 2010-II
RESOLUCIÓN
PROPIEDAD
𝐚𝐫𝐜𝐭𝐚𝐧 𝐱 + 𝐚𝐫𝐜𝐭𝐚𝐧 𝐲 = 𝐚𝐫𝐜𝐭𝐚𝐧
𝐱 + 𝐲
𝟏 − 𝐱𝐲
+ 𝐤𝛑
Donde
k = 0 ↔ xy < 1
k = 1 ↔ xy > 1 ∧ x > 0
k = −1 ↔ xy > 1 ∧ x < 0
RESOLUCIÓN
Calcule el valor de la siguiente expresión.
arctan
1
2
+ arctan
9
2
−
π
2
arctan
1
4
A) 2 B) 1 C) − 2
D) − 1 E) 1/2
EJERCICIO 3
OBSERVACIÓN
𝐒𝐢 𝐱 > 𝟎 ∧ 𝐲 > 𝟎, 𝐞𝐧𝐭𝐨𝐧𝐜𝐞𝐬
𝐚𝐫𝐜𝐭𝐚𝐧 𝐱 − 𝐚𝐫𝐜𝐭𝐚𝐧 𝐲 = 𝐚𝐫𝐜𝐭𝐚𝐧
𝐱 − 𝐲
𝟏 + 𝐱𝐲
1. Halle la suma de los 5 términos de
arctan
1
3
+ arctan
1
7
+ arctan
1
13
+ ⋯
A) arctan(5/6) B) arctan(1/7) C) arctan(6)
D) arctan(10/7) E) arctan(5/7)
UNI 2014-I
2. Si x ∈ −∞;0 , entonces el rango de la función
f x =
5π
arctanx + 2 arccotx
, es:
A) 0; 1 B) 1;2 C) 0; 2
D) 2; 5 E) 5;+∞
Para 0 < x < 1, resuelva la ecuación
arccot x = arctan
1
1 − x
A)
−1 + 5
2
B)
−1 + 4
2
C)
−1 + 3
2
D)
−1 + 2
2
E)
−2 + 2
2
UNI 2011-II
PROBLEMAS ADICIONALES
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