Semestral Uni - Trigonometría semana 15

Vista previa del material en texto

Ecuaciones Trigonométricas
Trigonometría
ECUACIÓN TRIGONOMÉTRICA
donde
IGUALDAD CONDICIONAL ENTRE DOS EXPRESIONES 
TRIGONOMÉTRICAS
EXISTE AL MENOS UNA INCOGNITA
ECUACIÓN TRASCENDENTAL
Es una …
Es clasificada como…
3. sen2x + senx +4cosx= − 2
4. senx + cosx =secx + secxtanx
1.
cos3x
senx
−
cos2x
tanx
= 1
2. tan
π
4
− x + 3tanx = 0
3. cot2x =
1 − sen3x
1 − cos3x
EJEMPLOS
ECUACIÓN TRIGONOMÉTRICA ELEMENTAL
Son ecuaciones de la forma
F. T AX + B = N
donde
F.T: Función 
trigonométrica
Seno, coseno, 
tangente, etc.
A ≠ 0, B, N ∈ ℝ
EJEMPLOS
1. senx = 0
2. cos 𝑥 +
𝜋
3
= −1
3. tan
𝑥
2
− 3 = 3
4. csc
𝑥
5
= 2
SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN
Es aquel valor que toma
LA INCOGNITA Y VERIFICA LA 
IGUALDAD
EJEMPLO
 Si: senx =
1
2
; x ∈ 0; 1
Entonces: x =
𝜋
6
≈ 0,52
Es solución de la ecuación 
 Si: cosα =
2
2
; α ∈ 0°; 90°
Entonces α = 45°
Es solución de la ecuación 
Técnicas para resolver ecuaciones 
elementales 
𝑋
𝑌
𝟐𝐧𝝅
𝟐𝒏𝝅 + 𝝅
𝟐𝒏𝝅 +
𝟑𝝅
𝟐
𝟐𝒏𝝅 +
𝝅
𝟐
𝑛 ∈ ℤ
Para arcos 
cuadrantales
0
0
−1
1
−1 1
= sen(Ax + B)
= sen(Ax + B)
= sen(Ax + B)
= cos(Ax + B)
cos Ax + B =cos Ax + B =
 Si: senx = 1→ 𝐱 = 𝟐𝒏𝝅 +
𝝅
𝟐
EJEMPLOS
C. S = 2𝑛π +
π
2
; 𝑛 ∈ ℤ
 Si: sen(4x) = 0 → 𝟒𝐱 = 𝟐𝒏𝝅 ∨
𝟐𝒏𝝅 + 𝝅
→ 𝟒𝐱 = 𝒏𝝅
C. S =
𝑛π
4
; 𝑛 ∈ ℤ
 Si: cos
x
3
= −1 →
𝐱
𝟑
= 𝟐𝒏𝝅 + 𝝅
C. S = 6𝑛π + 3𝜋 ; 𝑛 ∈ ℤ
→ 𝒙 = 𝟔𝒏𝝅 + 𝟑𝝅
SEN AX + B = 0; ±1
→ x =
𝑛π
4
COS AX + B = 0; ±1
Forma 
general
F. T AX + B = N
𝑋
𝑌
3
2
= senx
𝜋
3𝜋 −
𝜋
3
; 2𝜋 +
𝜋
33𝜋 −
𝜋
3
;
EJEMPLOS  Resolver: senx =
3
2
; n ∈ ℤ
x =
𝜋
3
; 𝜋 −
𝜋
3
; 2𝜋 +
𝜋
3
; 3𝜋 −
𝜋
3
; …
Se deduce: x = 𝑛𝜋 + (−1)𝑛
𝜋
3
; n ∈ ℤ
∴ C. S = 𝑛𝜋 + (−1)𝑛
𝜋
3
; n ∈ ℤ
Generalizando, tenemos 
𝑠𝑒𝑛 𝐴𝑥 + 𝐵 = 𝑁; −1 ≤ N ≤ 1; n ∈ ℤ
𝐴𝑥 + 𝐵 = 𝑛𝜋 + −1 𝑛𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 𝑁 ; n ∈ ℤ
𝐶𝑜𝑠 𝐴𝑥 + 𝐵 = 𝑁; −1 ≤ N ≤ 1; n ∈ ℤ
𝐴𝑥 + 𝐵 = 2𝑛𝜋 ± 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 𝑁 ; n ∈ ℤ
𝑡𝑎𝑛 𝐴𝑥 + 𝐵 = 𝑁; 𝑁 ∈ ℝ
𝐴𝑥 + 𝐵 = 𝑛𝜋 + 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑁 ; n ∈ ℤ
Estas ecuaciones se resuelven transformando a
una o conjunto de ecuaciones trigonométricas
elementales.
Ecuaciones trigonométricas no elementales
Resolver la ecuación trigonométrica
sen2x + cos2x = − 1
Ejercicio 1
Resolución:
1
2
𝑠𝑒𝑛2𝑥 +
1
2
cos2𝑥 = −
1
2
→ 2x +
π
4
= nπ − (−1)n(
π
4
)
sen 2x +
π
4
= −
1
2
∴ C. S =
nπ
2
− −1 n
π
8
−
π
8
n ∈ Z
Un sistema de ecuaciones trigonométricas es un
conjunto de ecuaciones en la cual al menos una de
ellas es trigonométrica
Un criterio para resolver un sistema de ecuaciones
trigonométricas es eliminar una de las incógnitas
usando sustituciones adecuadas de las identidades
trigonométricas.
Sistema de Ecuaciones trigonométricas no 
elementales
Ejemplos
3. − cosx + cosy =
1
2
cos2x + cos2y =
1
2
1.- cosx +cosy= 
6
2
x+y = 
𝜋
2
2.- cos2x + cos2y = 1
tanx + tany = 2
Resolución:
Ejercicio 1
De 2 x =
π
2
− y
seny + cosy =
6
2
En 1 cos
π
2
− y + cosy =
6
2
y +
π
4
=
π
3
→
2 sen 𝑦 +
𝜋
4
=
2 3
2
x =
π
2
−
π
12
Resolver el sistema de ecuaciones
cosx + cosy =
6
2
… … (1)
x + y =
π
2
… … (2)
Siendo x, y agudos
∴ x =
5π
12
; y =
π
12
𝑦 =
𝜋
12
𝐬𝐞𝐧 𝐲 +
𝛑
𝟒
=
𝟑
𝟐
Sean las funciones y=f(x) e y=g(x)
cuyos dominios son Domf y Domg
respectivamente.
Las soluciones de la inecuación
𝑓 𝑥 ≤ 𝑔 𝑥 ∨ 𝑓 𝑥 ≥ 𝑔 𝑥 son
todos los números que pertenecen al
D𝑜𝑚𝑓 ∩ 𝐷𝑜𝑚𝑔 y que verifican la
desigualdad.
Las inecuaciones trigonométricas se
resuelven de manera analítica a
partir de la circunferencia
trigonométrica, propiedades
algebraicas y/o gráfica de funciones.
Inecuaciones trigonométricas
1
𝝅
𝟐
Resolver la inecuación trigonométrica
Resolución
Ejercicio 3
2senx – 1< 0 , 0< x < 𝜋
Veamos en la CT los arcos que cumplen la 
desigualdad
∴ 𝒙 ∈ 𝟎;
𝝅
𝟔
∪
𝟓𝝅
𝟔
; 𝝅
senx <
1
2
𝜋
6
5𝜋
6 1
2
00
𝜋
X
Y
CT
Ejercicio 4
Para que valores de x en 0; 2𝜋 , se cumple
3 sen 2𝑥 + 4 cos 2𝑥 + 6
sen 𝑥 − cos 𝑥
> 0
Resolución
Tenemos para 𝑥 ∈ 0; 2𝜋
−5 ≤ 3 sen 2𝑥 + 4 cos 2𝑥 ≤ 5 → 0 < 3 sen 2𝑥 + 4 cos 2𝑥 + 6
Luego para 𝑥 ∈ 0; 2𝜋
sen 𝑥 − cos 𝑥 > 0
𝐬𝐞𝐧 𝒙 > 𝐜𝐨𝐬 𝒙
𝝅 𝟑𝝅
𝟐
𝟐𝝅𝝅
𝟒
𝟑𝝅
𝟒
𝟓𝝅
𝟒
𝟕𝝅
𝟒
Del gráfico
∴ 𝒙 ∈
𝝅
𝟒
;
𝟑𝝅
𝟒
∪
𝟓𝝅
𝟒
;
𝟕𝝅
𝟒
Grafiquemos
RETO UNI
1. Resolver 
25 sin 2𝑥 − 30 cos 𝑥 + 40 sin 𝑥 − 24 = 0
Si 𝑥 ∈ −
𝜋
2
; 𝜋 . El número de soluciones que 
presenta la ecuación es:
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
3. Al resolver el sistema de ecuaciones
𝑥 + 𝑦 =
𝜋
3
tan 𝑥 tan 𝑦 tan
2𝜋
3
− 𝑦 = 3
k ∈ ℤ. El conjunto solución para x es:
A) 𝑘𝜋 +
𝜋
6
B) 
𝑘𝜋
3
+
𝜋
6
C) 
𝑘𝜋
3
+
𝜋
3
D) 
𝑘𝜋
3
+
𝜋
9
E) 
𝑘𝜋
2
+
𝜋
9
2. Si 𝑥 ∈ 0;
𝜋
4
resolver
sen(5𝑥) > cos(2𝑥)
A) 0;
𝜋
7
B) 
𝜋
7
;
𝜋
4
C) 
𝜋
14
;
𝜋
7
D) 
𝜋
14
;
𝜋
6
E) 
𝜋
6
;
𝜋
4
www.a c adem ia c e sa r v a l l e j o . e du . p e