SEMESTRAL UNI 2021 SEMANA 18 TEORIA(1)

Vista previa del material en texto

SOLIDOS TRUNCADOS
GEOMETRÍA
18SEMANA
3 APLICAR LO APRENDIDO EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMASTIPO EXAMEN DE ADMISIÓN UNI.
OBJETIVOS
1 CONOCER LA DEFINICIÓN Y CARACTERÍSTICAS DE UN SOLIDO TRUNCADO .
2
CONOCER EL CÁLCULO DEL ÁREA DE LA SUPERFICIE Y 
CALCULO DEL VOLUMEN DE LOS SOLIDOS 
TRUNCADOS MAS UTILIZADOS.
Un tronco de prisma es una
porción del prisma comprendido
entre una de sus bases y un
plano secante al sólido no
paralelo a sus bases.
DEFINICIÓN
TRONCO DE 
PRISMA
Plano secante no paralelo 
a las bases
𝐴 𝐵
𝐶
𝐷
𝐸
𝑄
𝑀
𝑁
𝐿
𝑃
TRONCO DE PRISMA
ABCDE-MNLPQ
Sección recta
Bases
𝑐
𝑎
𝑏
𝐴
𝐵
𝐶
𝑀𝑁
𝑃
𝑒
𝐺2
𝐺1
𝑐 = 0
𝑐 = 0
 Área de la superficie lateral
 Área de la superficie total
 Volumen del tronco de prisma
Además:
Si 𝐺1 y 𝐺2 son los baricentros de 
las bases ABC y MNP, se cumple:
𝔸𝑆.𝐿 =෍
á𝑟𝑒𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑐𝑎𝑟𝑎𝑠
𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙𝑒𝑠
𝔸𝑆.𝑇 = 𝔸𝑆.𝐿 + ෍
á𝑟𝑒𝑎𝑠 𝑑𝑒
𝑙𝑎𝑠 𝑏𝑎𝑠𝑒𝑠
𝕍 = 𝑩
𝑎 + 𝑏 + 𝑐
3
𝑒 =
𝑎 + 𝑏 + 𝑐
3
𝕍 = 𝑩 ∙ 𝑒
Casos particulares
𝑏
𝑎
𝑏
Triangular 
recto
TRONCO DE 
PRISMA
𝕍 =
Se cumple:
𝑩
𝑎 + 𝑏
3
𝕍 =
Se cumple:
𝑩
𝑏
3
𝑎 = 0
𝕍𝐴𝐵𝐶−𝐷𝐸𝐶 =
𝕍𝐴𝐸𝐹−𝐷𝐸𝐹 =
ℎ1
Triangular 
oblicuo
TRONCO DE 
PRISMA
ℎ2
ℎ3
 Área de la superficie lateral
 Área de la superficie total
 Volumen del tronco de prisma
𝔸𝑆.𝐿 =෍
á𝑟𝑒𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑐𝑎𝑟𝑎𝑠
𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙𝑒𝑠
𝔸𝑆.𝑇 = 𝔸𝑆.𝐿 + ෍
á𝑟𝑒𝑎𝑠 𝑑𝑒
𝑙𝑎𝑠 𝑏𝑎𝑠𝑒𝑠
𝕍 = 𝑩
ℎ1 + ℎ2 + ℎ3
3
𝕍 = 𝔸𝑆.𝑅
𝑎 + 𝑏 + 𝑐
3
Casos particulares
Sección recta
Se cumple:
𝑎
𝑏
𝐴
𝐵
𝐶
𝐷 𝐸
𝑎
𝐹
𝐴
𝐷 𝐸
𝔸𝑆.𝑅
𝑎 + 𝑏
3
𝔸𝑆.𝑅
𝑎
3
Se cumple:
𝐺2
𝐺1
𝑒
Además: Si 𝐺1 y 𝐺2 son los baricentros de
las bases ABC y MNP, se cumple:
𝑒 =
𝑎 + 𝑏 + 𝑐
3
𝐴
𝐵
𝐶
𝑀 𝑁
𝑃
Resolución:
𝟐𝟎𝟏𝟑 − 𝑰𝑰EXAMEN UNI
En un tronco de prisma triangular oblicuo, la
longitud del segmento que une los baricentros
de sus bases es 16 𝑐𝑚. Calcule la longitud de
la menor arista (𝑒𝑛 𝑐𝑚), si éstas están en
razón de 3, 4 y 5.
𝐴) 4 𝐵) 8 𝐶) 12
𝐷) 16 𝐸) 48
𝐴
𝐵
𝐶
𝑀 𝑁
𝑃
𝐺2
𝐺1
16 𝑐𝑚
• Sean 𝐺1 y 𝐺2 son los baricentros
de las bases ABC y MNP.
Piden 3𝑘
• Sabemos que:
16 𝑐𝑚 =
3𝑘 + 4𝑘 + 5𝑘
3
→ 𝑘 = 4 𝑐𝑚
∴ 𝟑𝒌 = 𝟏𝟐 𝒄𝒎
Clave 𝑪
En el tronco de prisma triangular, si 𝐺1
y 𝐺2 son los baricentros de las bases
ABC y MNP, se cumple:
𝑮𝟏𝑮𝟐 =
𝑨𝑴+𝑩𝑵+ 𝑪𝑷
𝟑
Ten en cuenta:
𝐷′
𝐴
𝐵 𝐶
𝐷
𝐴′
𝐵′
𝐶′
𝐷′
𝐴
𝐵 𝐶
𝐷
𝐴′
𝐵′
𝐶′
𝑂′
𝑂
𝑂′
𝑂
 TRONCO DE PRISMA CUADRANGULAR RECTO DE BASE 
PARALELOGRÁMICA
 TRONCO DE PRISMA CUADRANGULAR OBLICUO DE BASE 
PARALELOGRÁMICA
Se cumple:
𝑒
𝑎
𝑏
𝑐
𝑑
𝒂 + 𝒄 = 𝒃 + 𝒅
Además:
𝒆 =
𝒂 + 𝒃 + 𝒄 + 𝒅
𝟒
𝕍 = 𝑩 ∙ 𝒆
Se cumple:
𝕍 = (𝔸𝑺.𝑹.)(𝑶𝑶
′)
Un tronco de cilindro es una porción de cilindro comprendido entre una de sus bases y un plano secante al sólido no paralelo a sus bases.
DE REVOLUCIÓN
TRONCO DE 
CILINDRO
Base elíptica
Base circular
𝑔𝑚
𝑔𝑀
𝑂1
 Área de la superficie lateral
 Área de la superficie total
 Volumen del tronco de prisma
𝔸𝑺.𝑳 =𝝅𝑹 𝒈𝒎 +𝒈𝑴
𝔸𝑺.𝑻 = 𝔸𝑺.𝑳 + ෍
á𝒓𝒆𝒂𝒔 𝒅𝒆
𝒍𝒂𝒔 𝒃𝒂𝒔𝒆𝒔
𝕍 =𝝅𝑹𝟐 𝒆 = 𝝅𝑹𝟐
𝒈𝒎 + 𝒈𝑴
𝟐
𝑔𝑚:
𝑔𝑀:
Generatriz menor
Generatriz mayor
𝑂1
𝑂2
𝑟
𝑟
OBSERVACIONES
𝑒
𝑔𝑀
𝑔𝑚 = 0
𝑂2𝑅
𝑂
𝑅
Uña cilíndrica
ℎ
Sección 
semielíptica
𝛼
 Área de la sección semielíptica
𝔸 =
𝝅𝒓𝒉(𝒄𝒔𝒄𝜶)
𝟐
 Volumen de la uña
𝕍 =
𝟐
𝟑
𝒓𝟐𝒉
OBLICUO DE SECCIÓN 
RECTA CIRCULAR
TRONCO DE 
CILINDRO
𝑔𝑚
𝑔𝑀
𝑂1
𝑂2
𝑟
Base elíptica
Base elíptica
Sección recta 
(S.R.)
𝑒
 Área de la superficie lateral
 Área de la superficie total
 Volumen del tronco de prisma
𝔸𝑺.𝑳 = 𝝅𝒓 𝒈𝒎 + 𝒈𝑴
𝔸𝑺.𝑻 = 𝔸𝑺.𝑳 + ෍
á𝒓𝒆𝒂𝒔 𝒅𝒆
𝒍𝒂𝒔 𝒃𝒂𝒔𝒆𝒔
𝕍 =𝝅𝒓𝟐 𝒆 = 𝝅𝒓𝟐
𝒈𝒎 + 𝒈𝑴
𝟐
𝑔𝑚:
𝑔𝑀:
Generatriz menor
Generatriz mayor
Resolución:
𝟐𝟎𝟐𝟎 − 𝑰EXAMEN UNI
Un vaso que tiene la forma de un cilindro
circular recto cuyo diámetro mide 6 cm,
contiene agua hasta cierta altura. Se inclina el
vaso justo hasta que el agua llegue al borde,
en ese instante el borde opuesto del agua se
ha alejado del borde del vaso 4 cm. Determine
e área (en 𝑐𝑚2) de la película que se ha
formado por la inclinación.
𝐴) 𝜋 13 𝐵) 2𝜋 13 𝐶) 3𝜋 13
𝐷) 4𝜋 13 𝐸) 5𝜋 13
Nos piden 𝔸𝒑𝒆𝒍í𝒄𝒖𝒍𝒂 𝒅𝒆𝒍 𝒂𝒈𝒖𝒂
3
3
4
 Grafiquemos la situación
del vaso en la inclinación.
Película de agua 
(región elíptica)
2 13
RECUERDA:
𝐵
𝐴
𝐶
• En ⊿𝐴𝐵𝐶:
𝐴𝐵 = 2 13
Longitud del eje mayor 
• Además, tener en cuenta
que la longitud del eje
menor de la región
elíptica es igual al radio
del círculo de la base.
𝑒𝑗𝑒 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 = 6
∴ 𝔸𝒑𝒆𝒍í𝒄𝒖𝒍𝒂 𝒅𝒆 𝒂𝒈𝒖𝒂 = 𝟑 𝟏𝟑𝝅
Clave 𝑪
𝔸𝑺.𝑳 =
𝐷
𝑉
𝐴
𝐵
𝐶
𝑂
𝐷′𝐴′
𝐵′ 𝐶′
Es aquel tronco de pirámide
generado a partir de una
pirámide regular.
Base cuadrada
Base cuadrada
𝑎
𝑎 𝑎
Cara lateral
• Las bases en todo tronco de
pirámide son paralelas y
semejantes, si el tronco es
regular, las bases son
regulares.
• Las caras laterales son
regiones trapeciales, en el
caso del tronco de pirámide
regular son trapeciales
isósceles.
características
(región trapecial 
isósceles)
ℎ
ℎ
Altura 
Apotema
𝑎
𝑎𝑝
 𝑨′𝑩′𝑪′𝑫− 𝑨𝑩𝑪𝑫 es un tronco de
pirámide cuadrangular regular
𝜃
Del gráfico:
𝜃: medida del ángulo entre la arista
lateral y la base
𝛽
𝛽: medida del diedro entre la cara
lateral y la base
 Cálculo del área de la superficie lateral
𝔸𝟏 𝒄𝒂𝒓𝒂
𝒍𝒂𝒕𝒆𝒓𝒂𝒍
𝒏°𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒅𝒆
𝒍𝒂 𝒃𝒂𝒔𝒆
Resolución:
𝟐𝟎𝟎𝟖 − 𝑰EXAMEN UNI
En un tronco de pirámide cuadrangular
regular, las aristas básicas son 2 cm y 6 cm, la
apotema del tronco mide 4 cm. Calcule el
volumen del tronco (en 𝑐𝑚3).
𝐴)
52 3
3
𝐵)
78 3
3
𝐶)
104 3
3
𝐷)
130 3
3
𝐸)
156 3
3
𝐷
𝐴
𝐵
𝐶
𝑂
𝐷′𝐴′
𝐵′ 𝐶′
ℎ ℎ
𝑎𝑝
60°
Piden 𝕍𝑇𝑅𝑂𝑁𝐶𝑂
6
2
2
2
6
6
= 4
• Se observa que: 𝕍𝑡𝑟𝑜𝑛𝑐𝑜 =
𝒉
3
22 + 62 + 4 ∙ 36
• Calculemos ℎ
Base cuadrada
Base cuadrada
11
2
• El ⊿𝑠𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒𝑎𝑑𝑜 es de 60°
→ ℎ = 2 3
= 2 3
…(𝑖)
• Reemplazamos en 𝑖 :
𝕍𝑡𝑟𝑜𝑛𝑐𝑜 =
𝟐 𝟑
3
22 + 62 + 4 ∙ 36
∴ 𝕍𝒕𝒓𝒐𝒏𝒄𝒐 =
𝟏𝟎𝟒 𝟑
𝟑
Clave 𝑪
𝑙
𝑙
𝑙
𝑙
𝑎 𝑎
𝑎𝑎
45°
C
U
A
D
R
A
D
O
RECUERDA:
ൗ𝒍 𝟐
𝑛
𝑚
 Se muestra un tronco de pirámide
Regiones 
paralelas 
Se cumple:
𝕏 =
𝒎 𝔸+ 𝒏 𝔹
𝒎+ 𝒏
𝟐
NOTA:
El teorema se cumple para un tronco
de pirámide de cualquier base
 Si el vértice de una pirámide,
equidista de los vértices de su base, se
cumple:
El pie de su altura coincide con el
centro de la circunferencia
circunscrita a la base
 Si el vértice de una pirámide,
equidista de las aristas básicas, se
cumple:
El pie de su altura coincide con el
centro de la circunferencia inscrita
en la base
NOTA:
Los teoremas se cumple para pirámides
de cualquier base
Es aquel tronco de cono generado
a partir de un cono de revolución.
𝑅
𝐵𝐴
𝑂
𝑟
𝑉
Base circular
Base circular
• Las bases en todo tronco de
cono de revolución son
paralelas y semejantes.
características
𝑔 𝑔
• Todas las generatrices tienen
la misma longitud.
Generatriz
ℎ
Altura 
ℎ
𝐷 𝐶𝑂′
Del gráfico:
• 𝑂 𝑦 𝑂′: Centros de las bases
• 𝐴𝐵𝐶𝐷: Sección axial
 Volumen
Se cumple:
∴ 𝕍𝒕𝒓𝒐𝒏𝒄𝒐
𝒅𝒆 𝒄𝒐𝒏𝒐
=
𝝅𝒉
𝟑
𝑹𝟐 + 𝒓𝟐 + 𝑹 ∙ 𝒓
DESARROLLO DE LA 
SUPERFICIE LATERAL
𝑟
𝑅
𝜃
𝑔
𝑔
𝑔
Desarrollar la superficie lateral
de un tronco de cono de
revolución es aplicar su
superficie sobre un plano, si
esto se realiza separando una
generatriz, entonces el
desarrollo será un trapecio
circular.
Se cumple:
 Área de la superficie lateral
 Área de la superficie total
𝔸𝑺.𝑳 =
𝔸𝑺.𝑻 = 𝔸𝑺.𝑳 + 𝔸𝒃𝒂𝒔𝒆 𝟏 +
𝝅(𝑹 + 𝒓)𝒈
𝔸𝒕𝒓𝒂𝒑𝒆𝒄𝒊𝒐 𝒄𝒊𝒓𝒄𝒖𝒍𝒂𝒓
𝔸𝑺.𝑳 =
𝜋(𝑅 + 𝑟)𝑔 𝜋𝑅2
𝔸𝑺.𝑻 = 𝝅 𝑹 + 𝒓 𝒈 + 𝝅(𝑹
𝟐 + 𝒓𝟐)
 Cálculo de la medida del ángulo de desarrollo
𝜃 = 𝟑𝟔𝟎°
𝑹− 𝒓
𝒈
𝜃: Medida del ángulo 
de desarrollo
Del gráfico:
𝔸𝒃𝒂𝒔𝒆 𝟐
𝜋𝑟2Resolución:
𝟐𝟎𝟏𝟓 − 𝑰EXAMEN UNI
En la panamericana cerca de Casma se ha
formado una duna en forma de tronco de
cono de revolución. Las longitudes de las
circunferencias son 4𝜋𝑚 y 2𝜋𝑚. Ver figura.
Halle el volumen de la duna en metros
cúbicos.
𝐴) 3𝜋 𝐵) 5𝜋 𝐶)7𝜋
𝐷) 10𝜋 𝐸) 11𝜋
Piden 𝕍𝑇𝑅𝑂𝑁𝐶𝑂
𝑟
𝑅
1
= 2
1
1
ℎ
Del dato:
2𝜋𝑟 = 2𝜋
• Longitudes de las circunferencias de
las bases:
→ 𝑟 = 1
2𝜋𝑅 = 4𝜋 → 𝑅 = 2
= 1
=
𝝅𝒉
𝟑
𝑹𝟐 + 𝒓𝟐 + 𝑹 ∙ 𝒓 …(𝒊)
= 3
• Con ello en el triángulo rectángulo
resaltado:
ℎ2 + 12 = 10
2
→ ℎ = 3
• Reemplazamos en r, 𝑅, ℎ 𝑒𝑛 𝑖 :
𝕍𝑻𝑹𝑶𝑵𝑪𝑶 =
𝝅𝟑
𝟑
𝟐𝟐 + 𝟏𝟐 + 𝟐 ∙ 𝟏
∴ 𝕍𝒕𝒓𝒐𝒏𝒄𝒐 = 𝟕𝝅
Clave 𝑪
𝑛
𝑚
 Se muestra un tronco de cono
Regiones 
paralelas 
Se cumple:
𝕏 =
𝒎 𝔸+ 𝒏 𝔹
𝒎+ 𝒏
𝟐
𝐵𝐴
𝑉
𝑂
𝑈
𝑅
𝑆
𝑇
 Se muestra un cono de revolución
Se cumple:
Sección plana secante 
a la superficie lateral
1
𝑉𝑅
+
1
𝑉𝑆
=
1
𝑉𝑇
+
1
𝑉𝑈
Veamos:
Sea ▰𝑀 ∥ ▰𝑁
𝐻
ℎ
𝔹
𝔸
=
𝕍𝑽−𝑳𝑷𝑸𝑺
𝕍𝑽−𝑨𝑩𝑪𝑫
=
𝒉
𝑯
= ⋯
𝒈′
𝒈
𝟐
=
𝒓
𝑹
𝟐
=
𝒉
𝑯
𝟐
= ⋯
𝒓
𝑹
𝟑
=
𝒉
𝑯
𝟑
= ⋯
 RAZÓN DE LÍNEAS:
 RAZÓN DE ÁREAS:
 RAZÓN DE VOLÚMENES:
SE CUMPLE
𝑔′
Tronco 
de cono
Cono parcial 
o deficiente
𝑔
Cono 
total
𝑅
𝑟
𝒈′
𝒈
=
𝒓
𝑹
=
𝕍𝒕𝒓𝒐𝒏𝒄𝒐 𝒅𝒆
𝒄𝒐𝒏𝒐
=
 Para el tronco de cono, el volumen se calcula:
𝒉′
𝟑
𝔸 +𝔹 + 𝔸 ∙ 𝔹
ℎ′
w w w. a c a d e m i a c e s a r v a l l e j o . e d u . p e