Semestral Uni-Aritmética semana 12

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TEORÍA DE NUMERACIÓN
- Sistema Posicional
- Representación Literal
- Conteo de Numerales
- Cambios de Base
ARITMÉTICA – SEM 12
Objetivos
• Repasar los principios fundamentales del sistema
Posicional de numeración.
• Recordar la representación de un numeral, y la
forma para determinar la cantidad de numerales.
• Aplicar los cambios de base y las propiedades, en
la solución de problemas.
Introducción
En el transcurso del desarrollo de la
humanidad, el hombre tuvo la necesidad de expresar el
número, al inicio presumiblemente solo en un lenguaje
simbólico y posteriormente mediante símbolos o cifras.
Si bien el sistema de numeración decimal es
muy importante y muy usado, hay otros también
importantes como el sistema binario utilizado en los
sistemas digitales.
En el presente capítulo recordaremos los
principales aspectos y conceptos utilizados en la teoría
de numeración, como la representación literal, la
descomposición polinómica y el cambio de base.
SISTEMA POSICIONAL DE NUMERACIÓN
PRINCIPIO DEL ORDEN
Toda cifra dentro de un numeral posee un lugar y un orden; el
orden se contara de derecha a izquierda empezando desde 1 y
el lugar de izquierda a derecha también empezando desde 1
Sea el número A = 64572 
LUGAR
A = 6 4 5 7 2
ORDEN5 4 3 2 1
1 2 3 4 5
En el número A la cifra 7 tiene lugar 4 y orden 2
PRINCIPIO DE LA BASE
La base de un sistema de numeración nos indica cuántas
unidades de cierto orden son necesarias para formar una
unidad del orden inmediato superior
En forma practica, la base nos indicara de cuanto en cuanto se
esta agrupando en dicho sistema de numeración
0 ≤ CIFRA < BASE
Debemos tener en cuenta que en todo numeral se cumple:
Algunos sistemas de numeración:
; CIFRA ∈ ℤ
REPRESENTACIÓN LITERAL
Ejemplos:
10,11,12,13,…,98,99
y su representación literal es: 𝑎𝑏
Además: 𝑎 puede ser 1,2,3,…,8,9
𝑏 puede ser 0,1,2,3,…,8,9
• Los números de 3 cifras de la base 6, son
1006, 1016, 1026, … , 5546, 5556 y su representación
𝑐𝑑𝑒6
Además:
𝑐 puede ser 1,2,3,4,5
𝑑 puede ser 0,1,2,3,4,5
literal es:
𝑒 puede ser 0,1,2,3,4,5
• Los números de 2 cifras, son
• Los números de 4 cifras consecutivas y crecientes de la
12348, 23458, 34568, 45678 y su
𝑛 𝑛 + 1 𝑛 + 2 (𝑛 + 3)
8
Además:
𝑛 puede ser: 1,2,3,4
literal es:
base 8, son:
representación
NUMERAL CAPICÚA 
Son aquellos numerales que tiene una representación
simétrica, es decir al ser leídos de derecha a izquierda y
de izquierda a derecha representa la misma cantidad
22 35753 2𝑎𝑎2
1318 𝑎𝑏𝑐𝑏𝑎7
Ejemplos:
DETERMINACIÓN DE LA CANTIDAD DE 
NUMERALES
Para saber la cantidad de numerales, se multiplican la cantidad
de valores que toman las cifras formadas por las variables
diferentes. Debemos considerar que la primera cifra debe ser
diferente de cero.
Ejemplo: Hallamos cuantos numerales de la forma hay.
𝒂 + 𝟑 𝒃(𝒃 − 𝟑)(𝟐𝒄)
Es una cifra que sólo
depende de la
variable 𝑎, se analiza
los valores que
tomará la cifra 𝑎 + 3 .
Se analiza los
valores que 
tomará 𝑏.
Es una cifra que
depende de la
variable 𝑐, se analiza
los valores que
tomará la cifra 2𝑐 .
Evaluando las variables de las cifras:
(𝒂 + 𝟑): 1; 2; 3; 4; … ; 9 9 valores
𝒃: 3; 4; 5; 6; … ; 9 7 valores
(𝟐𝒄): 0; 1; 2; 3; … ; 9 10 valores
Cantidad. de numerales: 𝟗 × 𝟕 × 𝟏𝟎 = 𝟔𝟑𝟎
DESCOMPOSICIÓN POLINÓMICA DE UN 
NUMERAL
Ejemplos:
Ejemplos:
POR CIFRAS
POR BLOQUES
* 9874 = 9×103 + 8×102 + 7×10 + 4
* 657438 = 6×8
4 + 5×83 + 7×82 + 4×8 + 3
* 786025n = 7n
5 + 8n4 + 6n3 + 2n + 5
* 727272 = 72×104 + 72×102 + 72
* 45345309 = 4539×9
4 + 4539×9
* 6506500658 = 658×8
7 + 658×8
4 + 658
CAMBIOS DE BASE.
1ER CASO: DE BASE “ N ≠ 10 ” A BASE “ 10 ” 
MÉTODO: POR DESCOMPOSICIÓN POLINÓMICA
Ejemplo:
Exprese 67438 en el sistema decimal 
67438 = 7x8
2 +6x83 + 4x8 + 3
= 3072 + 448 + 32 + 3
= 3555
67438 = 3555 
2DO CASO: DE BASE “10 ” A BASE “ M ≠ 10 ” 
MÉTODO: POR DIVISIONES SUCESIVAS
Ejemplo:
Exprese 3546 en el sistema octanario
Si se desea expresar un numeral:
3746 8
2 468 8
4 58 8
2 7 
3746 = 72428
NOTA:
DE BASE “ N ≠ 10 ” A OTRA BASE “ M ≠ 10 ” 
Se aplican los dos casos anteriores, es decir:
BASE
“ N ≠ 10 “
BASE
“ M ≠ 10 “
BASE 10 
POR DESCOMPOSICIÓN 
POLINÓMICA
POR DIVISIONES 
SUCESIVAS
CASOS ESPECIALES DE CAMBIOS DE BASE.
1ER CASO:
• Se forman grupos de K cifras; a partir de la última cifra.
• Cada grupo así formado se descompone
polinómicamente, dicho resultado es la cifra en la
nueva base NK .
Ejemplo:
Exprese 10 202 112(3) en el sistema nonario.
10 20 21 12(3)
DE BASE “N” A BASE “ NK ” 
1x3+0 2x3+0 2x3+1 1x3+2
3 6 7 5(9)
10 202 112(3) = 3675(9)
.
2DO CASO:
• Cada cifra del numeral de la base NK genera un grupo
de k cifras en base N
• Las cifras de cada grupo se obtienen por divisiones
sucesivas entre N
Ejemplo:
Exprese 5 207(9) en el sistema ternario.
12 02 00 21(3)
DE BASE “NK ” A BASE “ N ” 
5 2 0 7(9)
5 207(9) = 12 020 021(9)
.
• Si las divisiones no generan K cifras, se completará
con ceros a la izquierda
5 3 
2 1
2 3 
2 0
0 3 
0 0
7 3 
1 2
Aplicación
Piden la suma de cifras de: 𝑎 + 𝑏 + 𝑛 + 𝑘
= 213312𝑛9𝑎𝑏(𝒏𝟐)
Por cambio de base especial, llevaremos el numeral de
base “n” a la base “𝑛2”
Resolución
Halle 𝑎 + 𝑏 + 𝑛 + 𝑘 en la siguiente igualdad:
9𝑎𝑏𝑘 = 213 312𝑛 donde 𝑘 = 𝑛
2:
Dé como respuesta la suma de cifras del resultado.
Se tiene
21 33 12𝑛
21𝑛 33𝑛
se descompone polinómicamente 
cada bloque que será la nueva cifra 
en base 𝑛2
(2𝑛 + 1)(3𝑛 + 3)(𝑛 + 2) 𝑛29𝑎𝑏 𝑛2 =
Como son iguales, se compara cada cifra correspondiente
9 = 2𝑛 + 1 𝑛 = 4
𝑎 = 3𝑛 + 3 𝑎 = 15
𝑏 = 𝑛 + 2 𝑏 = 6
𝑛2 = 𝑘 𝑘 = 16
𝑎 + 𝑏 + 𝑛 + 𝑘 = 41 ∴ 4 + 1 = 5
Por lo tanto, la suma de cifras es 5
Se tendría la siguiente igualdad:
PROPIEDADES.
Numeral de Cifras Máximas1.
K cifras
Ejemplos:
n − 1 n − 1 n− 1 . . . (n − 1)n = n
k − 1
103 − 1* 999 =
* 9999 = 104 − 1
∗ 88889 = 9
4 − 1 = 9260
∗ 777778 =85 − 1 = 32767
∗ 4444445 = 56 − 1 = 15624
∗ 2222. . . .223 = 3
12 − 1
12 cifras
Intervalo en el que se encuentra un numeral3.
K cifras
Ejemplos:
abc. . . pq n < nk
< 102
nk −1 ≤
ab
∗ 102 ≤
* 10 ≤
abc < 103
mnp9∗ 92 ≤ < 93
∗ 93 ≤ mnpq9 < 9
4
BIBLIOGRAFÍA
 Asociación Fondo de Investigadores y Editores.
Aritmética. Análisis razonado del número y sus
aplicaciones. Lumbreras Editores, 2020.
 Asociación Fondo de Investigadores y
Editores. Aritmética: Colección compendio
académico UNI. Lumbreras Editores, 2018.
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