TEORIA SEM 19 SEMESTRAL VALLEJO

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Coordenadas Polares
Trigonometría
𝐃𝐄𝐅𝐈𝐍𝐈𝐂𝐈Ó𝐍
Eje polar
𝜃
𝑂
𝑃 𝑟; 𝜃
𝑟
𝑟; 𝜃 : Se denomina coordenadas polares de 𝑃
Donde
y se denota 𝑃 𝑟; 𝜃 .
𝜃: Se le denomina ángulo polar ( medido en sentido
horario o antihorario).
𝑟: Distancia dirigida del punto 𝑃 al polo.
Polo
Eje normal
Sistema de coordenadas polares 
Si 𝒓 < 𝟎, entonces 𝒓; 𝜽 es un punto que se
encuentra a una distancia 𝒓 del polo y sobre
la prolongación del lado final de 𝜽.
Para formar el sistema de coordenadas polares en el
plano, se fija un punto O, denominado polo (origen), y a
partir de este se traza un rayo horizontal a la derecha, al
cuál se le denomina eje polar.
La recta que pasa por el polo y es perpendicular al eje
polar
se le denomina eje normal.
Ejemplos
2;
𝜋
3
−2;
𝜋
3
π
3𝑂
2
2
Eje polar
Eje polar
−
π
4
−6;−
𝜋
4
6;−
𝜋
4
𝑂
6
6
Las coordenadas 𝑟; 𝜃 , 𝑟; 𝜃 + 2𝜋 ,
, −𝑟; 𝜃 + 𝜋 y −𝑟; 𝜃 − 𝜋 se
refieren al mismo punto. En general,
para 𝑛 ∈ ℤ
𝒓; 𝜽 = ( −𝟏 𝒏𝒓; 𝒏𝝅 + 𝜽)
OBSERVACIÓN
RELACIÓN ENTRE COORDENADAS POLARES Y
RECTANGULARES
Hacemos coincidir el eje polar con el eje X positivo,
Se cumple que
𝑋
𝑌
𝑃
𝑟
θ
𝑥; 𝑦
𝑂 𝑥𝑟cosθ
𝑦
𝑟senθ
𝒙 = 𝒓𝐜𝐨𝐬𝛉
𝒚 = 𝒓𝐬𝐞𝐧𝛉
𝒓𝟐 = 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐
Dado los puntos
𝑃1 3;
2𝜋
3
, 𝑃2 4;
𝜋
3
y 𝑃3 2;
𝜋
6
Coordenadas polares, determine el área del triángulo
formado por dichos puntos.
A) 3 − 1 B) 2 3 − 1 C) 3 3 − 1
D) 3 3 + 1 E) 3 3 + 2
Ejercicio 1
Resolución
𝑃1 3;
2𝜋
3
𝑃2 2; 2 3
𝑃3 3; 1
𝑃1 3 cos
2𝜋
3
; 3 sen
2𝜋
3
= −
3
2
;
3 3
2
𝑃2 4;
𝜋
3
𝑃2 4 cos
𝜋
3
; 4 sen
𝜋
3
= 2; 2 3
𝑃3 2;
𝜋
6
𝑃3 2 cos
𝜋
6
; 2 sen
𝜋
6
= 3; 1
𝑃1 −
3
2
;
3 3
2
3 1
2 2 3
−
3
2
3 3
2
3 1
6
𝟑 𝟑
−𝟑/𝟐
2
−𝟑 𝟑
𝟗/𝟐
𝟏𝟑
𝟐
− 𝟑 𝟑 𝟗
𝟐
+ 𝟑 𝟑
∴ 𝑺 = 𝟑 𝟑 − 𝟏
𝐄𝐂𝐔𝐀𝐂𝐈Ó𝐍 𝐏𝐎𝐋𝐀𝐑 𝐃𝐄 𝐋𝐀 𝐂Ó𝐍𝐈𝐂𝐀𝐒
Para hallar las ecuaciones polares de las cónicas
ubicamos al foco de dicha cónica en el polo origen .
𝐂𝐀𝐒𝐎 𝟏 ( directríz vertical)
DIRECTRÍZ A LA DERECHA
Eje polar
𝐿𝐷
𝜃
𝑟
𝐹
𝑃
𝑑
𝑟cos𝜃
𝑑 𝑃; 𝐹
𝑑 𝑃; 𝐿𝐷
= 𝑒
Se cumple
𝑟
𝑑 − 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃
= 𝑒
si 𝑒 = 1 parábola
Si 0 < 𝑒 < 1 elipse
Eje polar
𝐿𝐷
𝜃
𝑟
𝐹
𝑃 𝑟; 𝜃
𝑑
𝑉
Eje normal
Eje polar
𝐿𝐷
Eje normal
𝑑
𝜃
𝑟
𝑃 𝑟; 𝜃
𝐹 𝑉
𝑉
e: excentricidad
𝒓 =
𝒆𝒅
𝟏 + 𝒆𝒄𝒐𝒔𝜽
DIRECTRÍZ A LA IZQUIERDA
Eje polar
𝜃
𝑟
𝑑
𝐿𝐷
𝑃
π − 𝜃
𝑟cos π − θ
𝑑 𝑃; 𝐹
𝑑 𝑃; 𝐿𝐷
= 𝑒
Se cumple
𝐹
𝑟
𝑑 − 𝑟cos π − θ
= 𝑒
𝑟
𝑑 + rcosθ
= 𝑒
𝐂𝐀𝐒𝐎 𝟐 ( directríz horizontal)
Eje polar
𝐿𝐷
𝑟
𝑃 𝑟; 𝜃
𝜃
𝐹
Eje normal
𝑑
𝑉
𝑉
𝐿𝐷
Eje polar
Eje normal
𝑟
𝜃
𝑃 𝑟; 𝜃
𝐹
𝑑
𝑉
𝒓 =
𝒆𝒅
𝟏 − 𝒆𝐜𝐨𝐬𝜽
𝒓 =
𝒆𝒅
𝟏 + 𝒆𝒔𝒆𝒏𝜽
𝒓 =
𝒆𝒅
𝟏 − 𝒆𝒔𝒆𝒏𝜽
Grafique la cónica de ecuación polar 𝑟 =
10
2 − senθ
RESOLUCIÓN
La ecuación es de la forma:
𝑟 =
10
2 − senθ
𝑟 =
5
1 −
1
2
senθ
→
𝑒 =
1
2
Elipse
𝑒𝑑 = 5
𝐿𝐷
𝐹
Eje polar
Eje normal
𝑉
𝑑 = 10
Dato
Identificando
→ 𝑑 = 10
𝑑𝑒𝑙 𝑓𝑜𝑐𝑜
Directríz debajo
𝒓 =
𝒆𝒅
𝟏 − 𝒆𝒔𝒆𝒏𝜽
Aplicación
La primera Ley de Kepler afirma que los planetas
viajan en órbitas elípticas que tienen al Sol en uno
de los focos, Para encontrar la ecuación de una
órbita, se coloca el polo O en el centro del Sol y el
eje polar a lo largo del eje mayor de la elipse.
Demostrar que la ecuación de la órbita es
𝒓 =
𝟏 − 𝒆𝟐 𝒂
𝟏 − 𝒆 𝐜𝐨𝐬𝜽
Donde 𝒆 es la excentricidad y 𝟐𝒂 la longitud del
eje mayor
Ejercicio 2
Resolución
Eje polar
𝐿𝐷
𝜃
𝑟
𝐹
𝑃 𝑟; 𝜃
𝑑
𝑉
Tenemos en general:
𝒓 =
𝒆𝒅
𝟏 − 𝒆𝐜𝐨𝐬𝜽
… (𝑰)
Vértice: 𝑉(𝑎 − 𝑐; 𝜋)
Además: 𝑒 =
𝑐
𝑎
→ 𝑐 = 𝑎 ∙ 𝑒
Luego: 𝑉(𝑎 − 𝑎 ∙ 𝑒; 𝜋)
Reemplazamos en (I)
𝒂 − 𝒂 ∙ 𝒆 =
𝒆𝒅
𝟏 − 𝒆𝐜𝐨𝐬𝝅
𝒂(𝟏 − 𝒆) =
𝒆𝒅
𝟏 + 𝒆
𝒂(𝟏 − 𝒆𝟐) = 𝒆𝒅
Reemplazamos en (I)
∴ 𝒓 =
𝟏 − 𝒆𝟐 𝒂
𝟏 − 𝒆 𝐜𝐨𝐬𝜽
Dada la ecuación de la cónica
𝒓 =
𝟖
𝟓 − 𝟓𝒔𝒆𝒏𝜽
Identificar y hallar las coordenadas de los
vértices y la ecuación polas de la directriz
Ejercicio 3
Resolución
Dividiendo cada término por 5, tenemos: 
𝑟 =
8/5
1 − sen𝜃
Entonces 𝑒 = 1
Por tanto, se tiene una parábola
𝐿𝐷: 𝑦 = −𝑑
X
3𝜋
2
𝐹
𝑑
𝑉
Y
Vértice: 𝑉(𝑙;
3𝜋
2
)
𝑙
𝑙 =
8/5
1 − sen
3𝜋
2
=
4
5
𝑽
𝟒
𝟓
;
𝟑𝝅
𝟐
Ecuación de la directriz
𝑦 = −𝑑 = −8/5
𝑟 sen 𝜃 = −8/5
𝒓 = −
𝟖
𝟓
𝐜𝐬𝐜 𝜽
además 𝑒𝑑 = 8/5
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