12 Ecuaciones diferenciales lineales definición y método general de solución Modelos de un compartimento (Presentación) autor Juan Ruiz Alvarez

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Introducción
Ecuaciones diferenciales lineales
Resolución de ecuaciones diferenciales lineales
Aplicación: Modelo de un compartimento
Ecuaciones diferenciales lineales: definición y
método general de solución. Modelos de un
compartimento.
Juan Ruiz Álvarez1
1Departamento de Matemáticas. Universidad de Alcalá de Henares.
Matemáticas (Grado en Bioloǵıa)
Juan Ruiz Álvarez Matemáticas (Grado en Bioloǵıa)
Introducción
Ecuaciones diferenciales lineales
Resolución de ecuaciones diferenciales lineales
Aplicación: Modelo de un compartimento
Contenidos
1 Introducción
2 Ecuaciones diferenciales lineales
3 Resolución de ecuaciones diferenciales lineales
4 Aplicación: Modelo de un compartimento
Juan Ruiz Álvarez Matemáticas (Grado en Bioloǵıa)
Introducción
Ecuaciones diferenciales lineales
Resolución de ecuaciones diferenciales lineales
Aplicación: Modelo de un compartimento
Índice
1 Introducción
2 Ecuaciones diferenciales lineales
3 Resolución de ecuaciones diferenciales lineales
4 Aplicación: Modelo de un compartimento
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Introducción
Ecuaciones diferenciales lineales
Resolución de ecuaciones diferenciales lineales
Aplicación: Modelo de un compartimento
Introducción
En temas anteriores hemos estudiado técnicas para encontrar
solucines expĺıcitas de ecuaciones diferenciales de variables
separadas. Aunque muchos problemas interesantes conducen a
ecuaciones de tipo diferencial, la mayor parte de ellas no pueden
separarse. En este tema estudiaremos uno de los procedimientos
usuales para resolver ecuaciones diferenciales lineales. De forma
general, estas ecuaciones serán del tipo:
dy
dt
= g(t) · y + r(t)
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Ecuaciones diferenciales lineales
Resolución de ecuaciones diferenciales lineales
Aplicación: Modelo de un compartimento
Índice
1 Introducción
2 Ecuaciones diferenciales lineales
3 Resolución de ecuaciones diferenciales lineales
4 Aplicación: Modelo de un compartimento
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Ecuaciones diferenciales lineales
Resolución de ecuaciones diferenciales lineales
Aplicación: Modelo de un compartimento
Ecuaciones diferenciales lineales
Ecuaciones diferenciales lineales
Una ecuación diferencial de primer orden es lineal si puede
escribirse en la forma,
dy
dt
= g(t) · y + r(t)
donde g(t) y r(t) son funciones arbitrarias de t.
Un ejemplo puede ser,
dy
dt
= t2 · y + cos(t)
Donde g(t) = t2 y r(t) = cos(t).
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Resolución de ecuaciones diferenciales lineales
Aplicación: Modelo de un compartimento
Ecuaciones diferenciales lineales
A veces es necesario alguna operación previa para determinar si
una ecuación es de tipo lineal. Por ejemplo,
ty + 2 =
dy
dt
− 3y
puede reescribirse como,
dy
dt
= (t + 3)y + 2.
Algunas ecuaciones caen en varias categoŕıas simultaneamente. Por
ejemplo,
dy
dt
= −2y + 8
es lineal con g(t) = −2, r(t) = 8. La ecuación también es
separable por ser una ecuación autónoma.
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Resolución de ecuaciones diferenciales lineales
Aplicación: Modelo de un compartimento
Ecuaciones diferenciales lineales
La palabra lineal en el nombre de la ecuación se refiere al hecho de
que la variable dependiente y aparece en la ecuación elevada solo a
la primera potencia. La ecuación
dy
dt
= y2
No es lineal ya que no puede ser reescrita en la forma
dy
dt
= g(t) · y + r(t).
Otros ejemplos de ecuaciones lineales son,
dP
dt
= e2tP − sin(t)
dw
dt
= sin(t) · w
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Resolución de ecuaciones diferenciales lineales
Aplicación: Modelo de un compartimento
Ecuaciones diferenciales lineales
Un ejemplo de ecuación no lineal es,
dz
dt
= t sin(z)
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Índice
1 Introducción
2 Ecuaciones diferenciales lineales
3 Resolución de ecuaciones diferenciales lineales
4 Aplicación: Modelo de un compartimento
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Resolución de ecuaciones diferenciales lineales
Aplicación: Modelo de un compartimento
Factor integrante
Para resolver una ecuación diferencial lineal, la reescribimos
primero como
dy
dt
+ a(t) · y = r(t)
Donde a(t) = −g(t). Esto se parece a la derivada de un producto.
Para tener la derivada de un producto, podemos multiplicar toda la
ecuación por µ(t),
µ(t)
dy
dt
+ µ(t)a(t)y = µ(t)r(t)
La regla del producto para la derivada dice que,
d(µ(t) · y(t))
dt
=
dµ(t)
dt
y(t) + µ(t)
dy(t)
dt
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Resolución de ecuaciones diferenciales lineales
Aplicación: Modelo de un compartimento
Factor integrante
¿ Cómo encontrar µ(t)?.
Para encontrarlo disponemos de dos condiciones:
d(µ(t) · y(t))
dt
=
dµ(t)
dt
y(t) + µ(t)
dy(t)
dt
d(µ(t) · y(t))
dt
= µ(t)
dy
dt
+ µ(t)y(t)a(t)
Puesto que queremos que µ(t) satisfaga ambas condiciones,
hacemos
µ(t)
dy
dt
+
dµ(t)
dt
y(t) = µ(t)
dy
dt
+ µ(t)y(t)a(t)
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Factor integrante
Cancelando el primer término, obtenemos:
dµ(t)
dt
y(t) = µ(t)y(t)a(t),
que es otra ecuación diferencial de variables separadas y cuya
solución es,
µ(t) = e
∫
adt
Donde hemos elegido como constante de integración 0.
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Factor integrante
Una vez que conocemos µ(t), podemos reescribir la ecuación inicial
µ(t)
dy
dt
+ µ(t)a(t)y = µ(t)r(t)
como,
d(µ(t) · y(t))
dt
= µ(t)r(t).
Integrando ahora ambos miembros de la ecuación, obtemos que
µ(t) · y(t) =
∫
µ(t)r(t)dt
y, por tanto
y(t) =
1
µ(t)
∫
µ(t)r(t)dt.
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Aplicación: Modelo de un compartimento
Factor integrante
Siguiendo esta estrategia hemos encontrado una funciń µ(t),
denominada factor de integración o factor integrante. El
motivo es que si multiplicamos la ecuación original por este factor,
podemos resolverla por integración.
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Aplicación: Modelo de un compartimento
Factor integrante
Resolución de una ecuación lineal por pasos:
Para calcular la solución expĺıcita de una ecuación lineal del tipo,
dy
dt
+ a(t)y = r(t),
Procedemos según los siguientes pasos:
1 Calculamos el factor de integración
µ(t) = e
∫
a(t)dt
.
2 Multiplicamos ambos miembros de la ecuación diferencial
lineal por dicho factor de integración.
3 Procedemos a su integración.
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Aplicación: Modelo de un compartimento
Ejemplo
dy
dt
+
2
t
y = t − 1
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1 Introducción
2 Ecuaciones diferenciales lineales
3 Resoluciónde ecuaciones diferenciales lineales
4 Aplicación: Modelo de un compartimento
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Resolución de ecuaciones diferenciales lineales
Aplicación: Modelo de un compartimento
Modelo de un compartimento: Ejemplo
Supongamos un estanque que inicialmente tiene un volumen inicial
v0. En el instante inicial t = 0 el agua del estanque está limpia. El
estanque tiene 2 corrientes de entrada que fluyen hacia él, la A y la
B . Una tercera corriente C , fluye fuera del estanque. Supongamos
que de la corriente A fluye un volumen VA por d́ıa hacia el
estanque. De la corriente B fluye un volumen VB por d́ıa hacia el
estanque. A través de la corriente C se desaloja el agua que entra
traves de A y B , de forma que el volumen de agua que hay en el
estanque es siempre constante.
El agua aportada por la corriente A está contaminada. El
contaminante tiene una concentración en el agua de CA .
Asumimos que la concentración de contaminante en cada instante
de tiempo es constante dentro del estanque (el agua está bien
mezclada con el contaminante).
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Aplicación: Modelo de un compartimento
Modelo de un compartimento: Ejemplo
Aparte de esto, un d́ıa empieza a arrojarse al estanque un volumen
Vt de tierra, que va reduciendo el volumen del estanque d́ıa a d́ıa.
Para que el estanque no se desborde, se ajusta el volumen que sale
por C a VC . ¿Cual es la cantidad de contaminante que hay en el
interior del estanque en un instante t?
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Introducción
Ecuaciones diferenciales lineales
Resolución de ecuaciones diferenciales lineales
Aplicación: Modelo de un compartimento
Claudia Neuhaser. Matemáticas para ciencias. Ed. Pearson-
Prentice Hall.
Paul Blanchard. Ecuaciones Diferencials. Ed. Thomson.
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	Ecuaciones diferenciales lineales
	Resolución de ecuaciones diferenciales lineales
	Aplicación: Modelo de un compartimento