Tema-9-Sucesiones -Limites

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MatemáticasI SOLUCIONARIO 
 
142 
 
UNIDAD 9: Sucesiones. Límites 
 
ACTIVIDADES-PÁG. 202 
 
1. Los términos pedidos son: 
 
 a) 
2
2 nn
an

 : 1, 3, 6, 10 y 15. 
 
 b) 22·3  nnb : 2
3
, 3, 6, 12 y 24. 
 
 c) nc nn ·)1(
1 : 1, - 2, 3, - 4 y 5. 
 
 d) nnn ddddd   1221 ,1,1 : 1, 1, 2, 3 y 5 
 
 
2. a) Las sumas parciales y la suma total son: 
1 = 1, 1 + 2 = 3, 1 + 2 + 3 = 6, 1 + 2 + 3 + 4 = 10, … , 1 + 2 + 3 + 4 + … + n = 
2
2 nn 
 
 
b) Las sumas parciales y la suma total son: 
12 = 1, 12 + 22 = 5, 12 + 22 + 32 = 14, 12 + 22 + 32 + 42 = 30, … , 12 + 22 + 32 + 42 + … + n2 = 
6
32 23 nnn 
 
 
 
3. Obtenemos: 
 
1er clavo = 0,01 euros. 
2º clavo = 0,02 euros. 
3er clavo = 0,04 euros. 
4º calvo = 0,08 euros. 
……………………….. 
32º clavo = 0,01 · 231 euros. 
 
Por el caballo pedía la suma de todos los términos anteriores: 
)12(·01,0
12
01,02·2·01,0 32
31



S euros. 
 
La sucesión es una progresión geométrica de razón r = 2. En total pedía 42 949 672, 95 euros. 
 
 
 
ACTIVIDADES-PÁG. 219 
 
1. Veamos que para n = 1 se cumple: 2 = 12 + 1. 
 
Supongamos que se cumple para n = p: 2 + 4 + 6 +…+ 2p = p2 + p. 
 
Veamos qué ocurre para n = p + 1: 
 
MatemáticasI SOLUCIONARIO 
 
143 
 
 
2 + 4 + 6 +…+ 2p + 2(p + 1) = (p2 + p) + 2(p + 1) = p2 + 3p + 2 = (p + 1)2 + (p + 1) 
 
Queda probado que la igualdad es cierta para todo número natural. 
 
 
2. Veamos que para n = 1 se cumple: 4
2
13
33
2
10 

 . 
 
Supongamos que se cumple para n = p: .
2
13
3...33
1
10 
p
p 
 
Veamos qué ocurre para n = p + 1: 
2
13
3
2
13
33...33
2
1
1
110 






p
p
p
pp 
 
Queda probado que la igualdad es cierta para todo número natural. 
 
3. Veamos que para n = 1 se cumple: (2 – 1)2 – 1 = 0 = 

8 
 
Veamos que para n = 2 se cumple: (4 – 1)2 – 1 = 8 = 

8 
 
Supongamos que se cumple para n = p: (2p – 1)2 – 1 = 

8 
 
 
Veamos qué ocurre para n = p + 1: 
         12121121112 22 ppp 
 
  

 888811214)12(4)12( 2 pppp 
 
Queda probado que la igualdad es cierta para todo número natural. 
 
 
4. Veamos que para n = 1 se cumple: S1 = a1 = (1 + 1)! – 1! = 2! – 1! = 2 · 1! – 1! = 1! · (2 – 1) = 1! · 1 = a1 
 
Supongamos que se cumple para n = p: Sp = a1 + a2 +…+ ap = (p + 1)! – 1!. 
 
Veamos qué ocurre para n = p + 1: 
Sp + 1 = [a1 + a2 +…+ ap] + ap + 1 = (p + 1)! – 1! + (p + 1) · (p + 1)! = 
 
= (1 + p + 1) · (p + 1)! – 1! = (p + 2)! – 1! 
 
Queda probado que la igualdad es cierta para todo número natural. 
 
 
 
 
 
 
MatemáticasI SOLUCIONARIO 
 
144 
 
ACTIVIDADES-PÁG. 221 
 
1. a) Introducimos las sucesiones tecleando (sin espacios intermedios): 
 
 a(n) : = (1 - 4n) / (1 + 4n) b(n) : = (4n + 1) / (4n) c(n) : = (- 2) 
 
y después con las expresiones: 
 
 Suma [a(n), n, 1, 20] 
 
 Suma [b(n), n, 1, 20] 
 
 Suma [c(n), n, 1, 20] 
 
Obtenemos los resultados que pueden verse en el gráfico. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Los límites de las soluciones del enunciado son: 
  1
41
41









n
n
límalím n ;   14
14





 

n
n
límblím n y lím (cn) = lím (–2) = - 2 
 
Como las sucesiones son convergentes, los límites pedidos son: 
 
 lím (an + bn) = 0 lím (an - bn) ) = - 2 lím (2 · an) = - 2 lím (4 · bn) = 4 lím (an · bn) = - 1 
 
 
MatemáticasI SOLUCIONARIO 
 
145 
 
 lím (an · cn) = 2 lím (an : bn) = -1 lím (an : cn) = 1/2 lím nb = 1 lím  nanb = 1 
 
Los resultados anteriores pueden verse en las imágenes: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ACTIVIDADES-PÁG. 222 
 
1. Las sucesiones son: 
 
a) 1, 2, 4, 1, 2, 4, 1, 2, 4, 1, 2, 4… 
 
b) 2, 7, 12, 17, 22, 27, 32, … , 5n – 3. 
 
c) 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, … , 2n + 1 
 
d) 
2
2 1
...,,
64
65
,
49
50
,
36
37
,
25
26
,
16
17
,
9
10
,
4
5
,2
n
n 
 
 
 
 
MatemáticasI SOLUCIONARIO 
 
146 
 
e) 0, 7, 26, 63, 124, 215, 342, 511, … , (n3 – 1). 
 
f) 1, 2, 3, 5, 8,13, 21, 34, …….. 
 
g) 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384, …, 3 · 2n - 1 
 
h) 0,8; 0,88; 0,888, 0,8888, 0,88888, … 
 
i) 1, 3, 7, 13, 21, 31, 43, 57, …, (n2 + n + 1). 
 
 
2. Los términos de las sucesiones son: 
 
a) 0, 5, 14, 27, 44 y 65. 
 
b) 
13
11
11
9
,
9
7
,
7
5
,
5
3
,
3
1 
y 
 
c) – 2, 4, - 8, 16, - 32 y 64 
 
d) 6, 18, 54, 162, 486 y 1458 
 
e) 
729
11
243
1
,
81
1
,
27
1
,
9
1
,
3
1
y 
 
f) 
64
10
32
9
,
16
8
,
8
7
,
4
6
,
2
5
y 
 
g) 2, 9, 28, 65, 126 y 217 
 
h) 
64
63
32
31
,
16
15
,
8
7
,
4
3
,
2
1
y 
 
 
3. Los términos de las sucesiones son: 
 
a) 2, 1, - 1, - 4, - 8 y - 13 
 
b) 
16
43
8
21
,
4
11
,
2
5
,3,2 y 
 
 
4. Las sucesiones son: 
 
a) (an) = (2, 1, 0, - 1, … , 3 – n) 
 
b) (bn) = (- 1, 0, 1, 2, …, n – 2) 
c) (cn) = 







1
12
,...,
5
9
,
4
7
,
3
5
,
2
3
n
n
 
d) (dn) = (2, - 2, 2, - 2, … , (-1)n + 1 · 2) 
 
 
MatemáticasI SOLUCIONARIO 
 
147 
 
e) (en) = (- 1, - 2, - 2, - 3, - 4, - 4…) 
 
f) (fn) = (- 1, - 3, - 5, - 7, … , - 2n + 1) 
 
 
5. La acotación de las sucesiones queda: 
a) (an) acotada superiormente por 
2
3
 e inferiormente por 0. 
b) (bn) acotada superiormente por – 1 e inferiormente por 
2
3
 . 
c) (cn) acotada superiormente por 3 e inferiormente por 
2
1
. 
 
6. Las respuestas son: 
 
a) (an) está acotada entre 1 y 2: .2
1
2
1 


n
n
 
Demostración: 
 ciertonnn
n
n


 121
1
2
1 
 ciertonn
n
n
202222
1
2


 
b) (bn) está acotada entre - 
3
1
 y 
3
1
: .
3
1
3
2
3
1




n
n
 
Demostración: 
 ciertonn
n
n


 60363
3
2
3
1
 
 ciertonnnnn
n
n
16666336
3
1
3
2


 
 
c) (cn) está acotada entre – 3 y 0: .0
3
3 
n
 
Demostración: 
 ciertonnn
n
13333
3
3  
 .0
3
,0,0
3

n
entoncesncomo
n
 
 
 
7. Las sucesiones son: 
 
a) 











 ...,
2
4
,
2
3
,1,
2
1
2
)(
n
an . Estrictamente decreciente. 
 
b) (bn) = 2; 2,1; 2,1 ; 2,11; 2,2; 2,2; 2,22…). Creciente. 
 
c) (cn) = (+ 1; + 1,2; + 1,22; + 1,222…). Estrictamente creciente. 
 
MatemáticasI SOLUCIONARIO 
 
148 
 
 
d) 












 ...,
6
2
,
5
2
,
4
2
,
3
2
,1
1
2
)(
n
dn . Estrictamente decreciente. 
 
e)  2)( 2  nen = (-1, 2, 7, …). Estrictamente creciente. 
 
f) (fn) = (- 1, - 1, - 1…). No es monótona, es constante. 
 
 
8. Las soluciones son: 
 
a) 




 

4
31
)(
n
an . Estrictamente decreciente. 
 
Vamos a probar que an > an + 1: 
 
 3033131
4
)1(31
4
31




nn
nn
 
 
Con lo que, como esta desigualdad es siempre cierta, queda probado que an > an + 1. 
 
b) 










1
)(
2
2
n
n
bn . Estrictamente creciente. 
 
Vamos a probar que bn < bn + 1: 
 
 
 
 
0
)22(·)1(
12
0
11
1
11)1(
)1(
1 222
2
2
2
2
2
2
2












 nnn
n
n
n
n
n
n
n
n
n
 
 
La última desigualdad es siempre cierta. 
 
c)   21)( nc nn  . Estrictamente creciente. 
 
Vamos a probar que cn < cn + 1: 
 
nnnnnn nnnn 2012)1(·)1()1()1()1()1( 22212  
 
Esta desigualdad es siempre cierta, puesto que n ≥ 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
MatemáticasI SOLUCIONARIO 
 
149 
 
ACTIVIDADES-PÁG. 223 
 
9. Las sucesiones buscadas son: 
 
(an) + (bn) = 


















nn
nn
n
n
n
n
2
65
2
332
2
2
 
 
(an) - (bn) = 


















nn
nn
n
n
n
n
2
6
2
332
2
2
 
 
(bn) - (an) = 














 

 nn
nn
n
n
n
n
2
632
2
3
2
2
 
 
)(·
2
1
na = 




 





 
n
n
n
n
2
3232
·
2
1
 
 
(an) · (bn) = 
















nn
nn
n
n
n
n
2
96
2
3
·
32
2
2
 
 
 
 n
n
b
a
 = 







 















2
2
3
62
2
3
32
n
nn
n
n
n
n
 
 
 
 
 n
n
a
b
 = 
























62
3
32
2
3
2
2
nn
n
n
n
n
n
 
 
 
10. Las respuestas son: 
(an) está acotada entre 1 y 6: .6
5
1 


n
n
 
 
(an) es monótona estrictamente decreciente. Veamos que an > an + 1: 
 
0
5
1
65
1
65
2












nnn
n
n
n
n
n
n
n
 
 
A partir del tercer término: .33
5


n
n
n
 
 
 
 
 
 
 
MatemáticasI SOLUCIONARIO 
 
150 
 
11. Los límites son: 
 
a) lím (3n – 2) =  
 
b) 








12
76
4 2
n
n
nlím =  
 
c) 






n
lím
7
 = 0 
 
d) 






n
nlím
7
24 =  
 
e) lím (- n3 – n) =  
 
f) 



  83nlím =  
 
g)   


















2
3
·0·
2
3 22
n
n
límn
n
lím 
 
h) 






2
1
7
n
lím = 7 
 
i)   4
2
4
·0)(·
2
4















 n
n
límn
n
lím 
 
j) 
12
3
2
2 





 n
n
n
lím = 0 
 
k)   n
n
nlím
12
52

 = 0 
 
l) 
n
lím
2
2
1






= 0 
 
m) nlím 32 = 0 
 
n) 
n
n
n
lím









23
1
=  
 
o) 
42
2
3
1







n
nlím =  
 
 
MatemáticasI SOLUCIONARIO 
 
151 
 
p) 
3
51
2
3 2
2
7
2 










 n
n
n
n
lím = 0 
 
q) 
2
)2(
2
2


n
n
lím = 1 
 
r) 
nn
n
nn
lím











3
3 54
2 6
1
= 0 
 
 
 
12. Los límites son: 
 
a) 0
56
43
3
2










n
nn
lím 
 
b) 4
26
47
2
2










nn
n
lím 
 
c) 









152
365
2
45
nn
nn
lím 
 
d)  
4
3
234
434
234
2
22
2 













 
nnn
nnn
límnnnlím 
 
e) 











1
2
2
3
2
3
n
n
n
n
lím  
 
0
22
)1(·
·)1(2
24
23
22
2323














nn
nn
lím
nn
nnnn
lím 
 
f)        )1287(22 2332 nnnlímnnlím 
 
g)     0
63
3
63 


nn
límnnlím 
 
h)   2
6
12
)23(79
312
)23(79
2
2 















 
nn
n
límnnlím 
 
i)   


 8
3252
3252
1 nn
lím
nn
lím 
 
j) 
2
1
4
1
24
7
45
5










nn
nn
lím 
 
MatemáticasI SOLUCIONARIO 
 
152 
 
 
k) 43
3024
1
3
32
·
52
52
3
23
4
24
3
232
2
3
32 





















eee
n
nn
lím nn
nn
lím
n
nn
n
n
límn
n
 
 
l) 24
5
64 2
1
27
2
2 3
3










  n
n
n
n
lím 
 
m)   1
2














 
nnnn
n
límnnnnlím 
 
n)       3215215·3 22 nnnnlímnnnlím 
 
 2
32152
124
22











nnnn
n
lím 
 
o) 
2
1
2
2...21
2
2
2
2
2















 
n
nn
lím
n
nn
lím
n
n
lím 
 
p) 






 


2
8
52 2
5
2
2 2
3
nn
n
n
n
lím 
 
q) 1
2...422
...
42
2
2
2222













 







n
nn
lím
n
n
lím
n
n
nn
lím 
 
r) 




  














ee
n
n
lím n
n
nnlím
nn
1
1
·)12(
12
1
 
 
 
ACTIVIDADES-PÁG. 224 
 
13. Los metros de perforación del túnel siguen una progresión geométrica de razón 1,05 ya que los primeros 
días se perfora: 
a1 = 3 m, a2 = 3 · 1,05 m, a3 = 3 · 1,052 m, a4 = 3 · 1,053 m… 
Teniendo en cuenta la suma de n términos de una progresión geométrica, 
1
· 11



r
ara
S
n
, obtenemos: 



 10105,130305,1·3
105,1
305,1·3
6000 nn
n
 
díasn 9559,94
05,1log
101log
 
 
MatemáticasI SOLUCIONARIO 
 
153 
 
14. Los límites son: 
a)   9
423
5
2
2
1
23
543
2















e
n
nn
lím
n
n
 
b) 1
1
2
3
1
2
3
23
23






































n
n
nn
nn
límlím 
c)  
5
4
2·5
254·2
254
2
2
2
2
2













 




 











nn
nn
lím
nn
nn
lím 
 
d) 
 
e
n
n
lím
nnn
nn
lím
nn
nn
lím
n
n
n
n
lím
a
a
lím
n
n
n
n
nnn
n
n





 

















  1
·!·)1(
!·)1(
!)1(·
!·)1(
!
:
!)1(
1 1111 
 
 
15. Las sucesiones asociadas a los cuadrados son: 
 
 
Lados 
 
1 
 
2
1
 
 
2
1
 
 
 
22
1
 
 
4
1
 
 
… 
 
1
2
1







n
 
 
Perímetros 
 
4 2
4
 
 
2 2
2
 
 
1 
 
… 
1
2
1
4







n
 
 
Áreas 
 
1 2
1
 
4
1
 
8
1
 
16
1
 
 
… 
 
1
2
1







n
 
 
 
Las sucesiones asociadas a los cuadrados son: 
 
 
Lados 
 
1 
 
2
1
 
 
4
1
 
 
 
8
1
 
 
16
1
 
 
… 
 
1
2
1







n
 
 
Perímetros 
 
3 3
2
 
4
3
 
8
3
 
16
3
 
 
… 
1
2
1
3







n
 
 
Áreas 4
3
 
16
3
 
64
3
 
256
3
 
1024
3
 
 
… 
 
1
4
1
3







n
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MatemáticasI SOLUCIONARIO 
 
154 
 
16. Las respuestas a los distintos apartados son: 
 
a) El primer cilindro ha de tener la altura de longitud doble que el radio de la 
base. La segunda esfera tendrá por radio el radio de al base del cilindro en el que 
se encaja. 
 
Primer cilindro: .
2
10
10 1
22
1
2
1 mrrr  
Segundo cilindro: .5
2
10
2
2
2
2
2
2 mrrr 





 
 
Tercer cilindro: .
2
5
5 3
22
3
2
3 mrrr  
 
La sucesión de los radios de los cilindros es:  








 ...
22
5
,
2
5
,
2
5
,5,
2
10
cr . 
 
b) La sucesión del radio de las esferas es:  








 ...
22
5
,
2
5
,
2
5
,5,
2
10
,10eR . 
 
La sucesión de los volúmenos de las esferas es:  








 ,...
23
250
,
3
500
,
23
2000
,
3
4000 
eV , es una sucesión 
geométrica de razón .
22
1
 
 
La sucesión de los volúmenes de los cilindros es:   





 ,...
4
1250
,
2
125
,250,
2
1000 


cV , es una sucesión 
geométrica de razón .
4
2
 
 
 
17. Operando, obtenemos, en cada caso: 
 
a) El valor del límite es: 
      a
annann
an
límnannanlím 














22
2
1
22
1
2 2·· 
Por tanto, con a ≠ 0 obtenemos 
2
1
a . 
b) El valor del límite es:   a
na
e
n
nn
lím 






 1
1
·
2
2
. 
 
Tenemos que si con a ≠ 0 obtenemos a = - 1. 
 
 
 
 
MatemáticasI SOLUCIONARIO 
 
155 
 
18. La respuesta a las cuestiones es: 
 
a) Para realizar la tabla pedida, en Vista 
hacemos aparecer Hoja de Cálculo. 
 
Escribimos en ella lo que aparece en la tabla 
adjunta. 
 
Aparecen los valores 1 y 80, respectivamente. 
 
Seleccionamos cada una de estas dos celdas y desde el vértice inferior 
derecho, y con el botón derecho de ratón presionado, arrastramos hacia 
abajo hasta el valor que deseemos. 
 
En la tabla que sigue aparecen los diez primeros valores. 
 
Una vez realizada la tabla, seleccionamos ambas columnas y con 
el botón derecho del ratón desplegamos el menú y elegimos Crea 
lista de puntos. 
 
Aparecen los puntos dibujados en la Vista Gráfica (será 
necesario ajustar los ejes para poder ver los puntos). 
 
También podemos ver en la Ventana algebraica la lista de 
dichos puntos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A B 
1 Profundidad Luminosidad 
2 0 100 
3 =A2+1 (Enter) =B2-(20/100)*B2 (Enter) 
 
MatemáticasISOLUCIONARIO 
 
156 
 
Podemos encontrar la curva que se ajuste a los puntos dibujados y su ecuación, tecleando en la Ventana de 
entrada: 
Si[x>0,AjusteExp[lista1]] 
 
Obtenemos la función de expresión: 
f (x) = 100 · e - 0,22x 
 
La curva puede verse en el dibujo de abajo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) La intensidad de luz que tiene el buzo al bajar 0,5 metros será: 100 · (0,80) 0,50 = 89,44. 
 
También la podemos calcular con la función anterior, es decir, f (0,50) = 100 · e (- 0,22 · 0,50) = 89,58. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MatemáticasI SOLUCIONARIO 
 
157 
 
c) Si baja a 20 metros la luz que detectará será: 100 · (0,80) 20 = 1,15 
 
También, f (20) = 100 · e (- 0,22 · 20) = 1,22 
 
Gráficamente podemos hallarlo cortando la 
curva con la recta x = 20 y determinando el 
punto de corte que es P (20; 1,15). 
 
 
 
d) Para determinar la profundidad a la que 
puede bajar y aún detectar cierta luminosidad la podemos calcular de la forma que sigue: 
 
85,27
80,0ln
002,0ln
002,0ln80,0ln·002,0
100
2,0
)80,0(2,0)80,0(·100  xxxx 
 
25,28
22,0
002,0ln
002,0lnln·22,0002,0
100
2,0
2,0·100 22,022,0 

  xexee xx
 
Gráficamente podemos hallarlo cortando la curva con la recta y = 0,2 y determinando el punto de corte que 
es Q (27,85; 0,2). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para representar gráficamente una sucesión, por 
ejemplo 
nn
n
an


2
23
, creamos un deslizador 
con las condiciones que aparecen en el gráfico. 
 
Nombre: n 
Mínimo 1; Máximo 50 e Incremento 1. 
 
 
En el campo de entrada introducimos: (n,(3n^2)/(n^2+n)) y aparece un punto. En el Menú contextual del 
punto activamos Propiedades del objeto, Básico y Muestra rastro. 
 
MatemáticasI SOLUCIONARIO 
 
158 
 
 
Movemos el deslizador y van apareciendo los puntos de la sucesión que tienden al límite 3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ACTIVIDADES-PÁG. 225 
 
Explica la formación del copo de nieve: Dibujamos un triángulo equilátero, dividimos cada lado en tres 
partes y sobre la parte central, dibujamos otro triángulo equilátero, en el siguiente paso sobre cada uno de los 
6 triángulos equiláteros repetimos el proceso e iterando obtenemos esta curva. 
Consideramos que el triángulo equilátero inicial tiene de lado a unidades. 
 
NÚMERO DE 
CURVA 
PERÍMETRO ÁREA 
1 3a 
4
3·2a
 
2 12a/3 
4
3·2a
+3 36
3·2a
 
3 48a/9 
4
3·2a
+3 36
3·2a
+12 4·81
3·2a
 
4 192a/27 
4
3·2a
+3 36
3·2a
+12 4·81
3·2a
+48 4
3·2a
+3 36
3·2a
+12 4·729
3·2a
 
enésima 
a
n
n
2
1
3
4


 4
3·2a 












1
9
4
3
1
1
n
 
 
MatemáticasI SOLUCIONARIO 
 
159 
 
Como vemos en la tabla la sucesión de los perímetros es una sucesión geométrica de razón 4/3. Por lo que su 
longitud es infinita pues 




alím
n
n
n 2
1
3
4
.La sucesión de las áreas es una sucesión geométrica de 
razón 4/9. Su superficie es finita pues: n
lím
4
3·2a 












1
9
4
3
1
1
n
 = 4
3·2a
 
 
La propiedad que tienen estas curvas es que siendo su longitud infinita encierran una superficie finita. 
 
La curva “Anticopo de nieve” es la que vemos en el dibujo: 
 
 
 
 
 
 
Es la configuración opuesta al copo de nieve. Se forma del mismo modo pero metiendo los triángulos hacia 
adentro. 
 
Se obtienen los mismos resultados que en la anterior y tienen la misma propiedad. 
 
 
UNIDAD 10: Propiedades globales de las funciones 
 
ACTIVIDADES-PÁG. 226 
 
1. El día 31 de julio ocupará una superficie de 1· 1,0831 = 10,87 cm2 
 
 
2. La gráfica buscada podría ser la siguiente: