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MARÍA GALVÁN UNIDAD 5: VECTORES 
TEORÍA Y EJERCICIOS 
 
Matemáticas I 1 
1. VECTORES, ELEMENTOS Y COMPONENTES 
Un vector es un segmento orientado que queda determinado por dos puntos A y B, y el orden de estos. El 
primer punto se llama origen (A) y el segundo se llama extremo (B). 
El vector se nombra con las dos letras mayúsculas de su origen y extremo o con una letra minúscula: 𝐴�⃗� o 𝑢. 
Los elementos del vector son: 
- Módulo: es la longitud del segmento AB y se denota: 𝑨𝑩 . 
- Dirección: es la recta sobre la que está situado el vector o cualquier 
paralela a ella. 
- Sentido: es la forma de recorrer el segmento AB 
(de A a B o de B a A). 
Vectores Equivalentes: 
Se dice que dos o más vectores son equivalentes o equipolentes cuando tiene el mismo módulo, 
dirección paralela (distintos orígenes y destinos) y sentido. 
Hablamos de vector libre cuando nos referimos a cualquiera de los vectores equivalentes a uno dado. 
Los Componentes o Coordenadas de un vector: 
En el sistema de referencia cartesiano, los componentes de un vector 𝐴�⃗� son las coordenadas de un 
punto extremo menos las de su punto origen: 
𝐴(𝑎 , 𝑎 )
𝐵(𝑏 , 𝑏 )
 𝐴�⃗� = (𝑏 − 𝑎 , 𝑏 − 𝑎 ) 
 El módulo se calcula haciendo uso del Teorema de Pitágoras, así: 
𝑢 = (𝑢 , 𝑢 )  |𝑢| = + 𝑢 + 𝑢 
 Cuando el módulo de un vector vale 1, se dice que el vector es unitario. 
EJEMPLO 
E1) Sea A(-2, 1) y B(3, -2). Calcular las coordenadas del vector y su módulo. Además, hay que dibujar varios 
vectores libres a 𝐴�⃗�. 
Utilizando lo aprendido, tenemos que las coordenadas del vector serán: 
𝐴�⃗� = (3 − (−2), −2 − 1) = (5, −3) 
Y el módulo del vector será: 
𝐴�⃗� = + 5 + (−3) = √25 + 9 = 5.83 
 
 
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Matemáticas I 2 
2. OPERACIONES CON VECTORES 
Suma y Resta de vectores: 
 La operación de suma de dos o más vectores da como resultado otro vector. Para realizar la suma 
de vectores existen distintos métodos, ya sea de manera algebraica o mediante el uso de 
geometría analítica. 
El método algebraico es conocido como método directo. Para sumar dos o más vectores se suman 
sus respectivas componentes de cada vector. En el caso de dos vectores �⃗�(𝑣 , 𝑣 ) y 𝑢(𝑢 , 𝑢 ), la 
suma se realiza de la siguiente forma: 
�⃗� + 𝑢 = (𝑣 + 𝑢 , 𝑣 + 𝑢 ) 
Los métodos usando geometría analítica son: 
En el método del triángulo para sumar dos vectores 
libres �⃗� y 𝑢 se escogen como representantes dos 
vectores tales que el extremo de uno coincida con el 
origen del otro vector. 
En el método del paralelogramo se toman como representantes dos 
vectores, �⃗� y 𝑢, con el origen en común, se trazan rectas paralelas a los 
vectores obteniéndose un paralelogramo cuya diagonal coincide con la 
suma de los vectores. 
El método del polígono es utilizado cuando queremos sumar más de dos vectores, y consiste en 
colocar un vector a continuación del otro, de modo que el extremo de uno coincida con el origen 
del otro, y así sucesivamente, hasta colocar todos los vectores, la resultante será el vector que 
cierra el polígono, es decir, es aquel que va desde el inicio del primero al extremo del último vector. 
El método del triángulo es el caso particular del método del polígono cuando únicamente se 
suman dos vectores 
 La operación de resta de dos o más vectores da como resultado otro vector. Se actua igual que 
en la suma, sólo que hay que tener en cuenta que se trata con el opuesto del vector. Para restar 
dos vectores libres �⃗� y 𝑢 se suma �⃗� con el opuesto de 𝑢. Vamos a ver el caso algebraico: 
�⃗� = (𝑣 , 𝑣 ) y 𝑢 = (𝑢 , 𝑢 ) �⃗� = (−𝑢 , −𝑢 ) 
�⃗� − 𝑢 = (𝑣 − 𝑢 , 𝑣 − 𝑢 ) 
 Propiedades de la suma y la resta de vectores: 
Asociativa: 𝑢 + (�⃗� + 𝑤) = (𝑢 + �⃗�) + �⃗� 
Conmutativa: 𝑢 + �⃗� = �⃗� + �⃗� 
Elemento neutro: 𝑢 + 0⃗ = 𝑢 
Elemento opuesto: 𝑢 + (−𝑢) = 0⃗ 
EJEMPLO 
E2) Dados los puntos A(1, 3), B(4, 6), C(3, 3) y D(3, 1), calcula: 
a. 𝐴�⃗� + 𝐶�⃗� 
𝐴�⃗� = (4, 6) − (1, 3) = (4 − 1, 6 − 3) = (3, 3) 
𝐶�⃗� = (3, 1) − (3, 3) = (3 − 3, 1 − 3) = (0, −2) 
𝐴�⃗� + 𝐶�⃗� = (3, 3) + (0, −2) = (3 + 0, 3 − 2) = (3, 1) 
b. 𝐴�⃗� − 𝐶�⃗� 
𝐴�⃗� − 𝐶�⃗� = (3, 3) − (0, −2) = 3 − 0, 3 − (−2) = (3, 5) 
𝑣 
𝑢 
𝑣 
𝑢 
𝑣 + 𝑢 
𝑣 
𝑢 
𝑣 + 𝑢 
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Matemáticas I 3 
Multiplicación por un escalar: 
La multiplicación de un número real k por un vector 𝑢 es otro vector, 𝑘 · 𝑢, que tiene las siguientes 
propiedades: 
i. Es paralelo a �⃗�, teniendo el mismo sentido si k es positivo y contrario si k es negativo. 
ii. Su módulo es k veces el módulo de �⃗�. 
EJEMPLO 
E3) Dado el vector 𝑢(2, 1), calcula 3𝑢 y −2�⃗�: 
 
3𝑢 = 3(2, 1) = (3 · 2, 3 · 1) = (6, 3) 
 
−2𝑢 = −2(2, 1) = (−2 · 2, −2 · 1) = (−4, −2) 
 
En la gráfica que se muestra a la derecha se puede observar la 
representación de los dos nuevos vectores, 3𝑢 y −2𝑢, surgidos a partir 
de 𝑢 por un escalar. 
EJERCICIOS PARA PRACTICAR: OPERACIONES CON VECTORES 
1) Dibuja los puntos A(2, 1) y B(1, 2) y calcula: 
a. Las coordenadas de los vectores 𝐴�⃗� y 𝐵�⃗�. 
b. Sus módulos. 
2) Dados los puntos A(0, 3), B(2, 1), C(-2, 2) y D(-3, 4), halla los vectores: 
a. 𝐴�⃗� − 𝐶�⃗� 
b. 𝐴�⃗� − 𝐷�⃗� 
c. 𝐵𝐷 − 𝐶�⃗� 
3) Encuentra cuáles son vectores paralelos: 
 
�⃗� = (2, 1) 𝑏 = (−2, −1) 𝑐 = (−2, 1) 𝑑 = (2, −1) 𝑒 = (4, 2) 𝑓 = (−6, 3) 
4) Dados 𝑢 = (2, −1) y �⃗� = (0, 3), realiza las siguientes operaciones de vectores: 
a. 𝑢 − 3�⃗� 
b. 5𝑢 + �⃗� 
c. −𝑢 + 2�⃗� 
3. PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES 
El producto escalar de dos vectores �⃗� = (𝑢 , 𝑢 ) y �⃗� = (𝑣 , 𝑣 ): 
- Se escribe: �⃗� · �⃗� 
- Es el número que resulta de multiplicar sus módulos por el coseno del ángulo que forman: 
�⃗� · �⃗� = |�⃗�| · |�⃗�| · 𝒄𝒐𝒔 
- Puede calcularse a partir de sus componentes como: 
�⃗� · �⃗� = 𝒖𝟏 · 𝒗𝟏 + 𝒖𝟐 · 𝒗𝟐 
 
 
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Matemáticas I 4 
Además, tiene las siguientes propiedades y características: 
a. El producto escalar es conmutativo, es decir: 
𝑢 · �⃗� = �⃗� · 𝑢 
b. El producto escalar es distributivo, es decir: 
𝑢 · (�⃗� + 𝑤) = 𝑢 · �⃗� + 𝑢 · �⃗� 
c. El producto escalar es positivo cuando el ángulo que forman los vectores es agulo (1er cuadrante), y 
negativo cuando el ángulo que forman es obtuso (2o cuadrante). 
d. Dos vectores paralelos (igual sentido y dirección) tienen el producto escalar positivo, que se calcula 
como el producto de sus módulos (cos 0o = 1). 
e. Dos vectores antiparalelos (sentido contrario e igual dirección) tienen producto escalar negativo, 
que se calcula como el opuesto del producto de sus módulos (cos 180o = -1). 
f. Dos vectores perpendiculares tienen el producto escalar nulo (cos 90o = 0). 
g. El producto escalar se utiliza fundamentalmente para identificar vectores perpendiculares y para 
calcular el ángulo que forman dos vectores. 
EJERCICIOS PARA PRACTICAR: PRODUCTO ESCALAR 
5) Sean los vectores 𝑢 = (0, 2), �⃗� = (1, −1) y �⃗� = (0, −1). Calcula: 
a. 𝑢 · �⃗� 
b. 𝑢 · (�⃗� + 𝑤) 
c. �⃗� · �⃗� 
d. 𝑢 · �⃗� 
e. 𝑢 · (�⃗� − 2�⃗�) 
f. −2�⃗� · 3�⃗� 
6) El producto escalar de dos vectores coincide con el producto de sus módulos. ¿Qué puedes decir de los 
vectores? 
7) Halla el producto escalar de los vectores 𝑢 = (3, 2) y �⃗� = (4, −6). ¿Qué deduces del resultado? 
8) Calcula el ángulo que forman estos vectores expresados: 
a. 𝑢 = (1, −3) y �⃗� = (2, 3) 
b. 𝑢 = (−1, 2) y �⃗� = (4, 3) 
9) Encuentra tres vectores perpendiculares y otros tres paralelos a los siguientes vectores: 
a. �⃗� = (1, 1) 
b. 𝑏 = (3, 2) 
c. 𝑐 = (0, 1) 
d. 𝑑 = (1, −5) 
 
4. APLICACIONES DE LOS VECTORES 
Normalizar un vector, 𝑢: 
Se trata de calcular un vector unitario con la misma dirección y sentido 
que el vector dado.𝑢 =
�⃗�
|�⃗�|
=
1
|�⃗�|
· �⃗� 
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TEORÍA Y EJERCICIOS 
 
Matemáticas I 5 
 
 
Distancia entre dos puntos A y B: 
La distancia entre dos puntos es el módulo del vector 
determinado por ellos. 
𝑑(𝐴, 𝐵) = 𝐴�⃗� = + (𝑥 − 𝑥 ) + (𝑦 − 𝑦 ) 
Punto medio (M) de un segmento, 𝑨𝑩: 
Se calcula teniendo en cuenta la proporcionalidad 
entre vectores: 
𝐴�⃗� = 2 · 𝐴�⃗� 
Sus coordenadas son: 
𝑀
𝑥 + 𝑥
2
,
𝑦 + 𝑦
2
 
Punto simétrico (A’) a un punto, P: 
Se calcula teniendo en cuenta la proporcionalidad 
entre vectores o que P es el punto medio entre A y su 
simétrico A’: 
𝐴𝐴′⃗ = 2 · 𝐴�⃗� 
Sus coordenadas son: 
𝐴′(2𝑥 − 𝑥 , 2𝑦 − 𝑦 ) 
Puntos Alineados: 
Tres puntos 𝐴(𝑎 , 𝑎 ), 𝐵(𝑏 , 𝑏 ) y 𝐶(𝑐 , 𝑐 ) están alineados si los vectores 
que forman 𝐴�⃗�, 𝐴�⃗�, 𝐵𝐶 son proporcionales. 
Ángulo entre dos vectores y vectores ortogonales: 
Se calcula haciendo uso del producto escalar. 
Proyección de un vector sobre otro: 
𝑃𝑟𝑜𝑦 𝑣 ⃗ = |�⃗�| · 𝑐𝑜𝑠 =
𝑢 · �⃗�
|𝑢|
 
 
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Matemáticas I 6 
EJERCICIOS PARA PRACTICAR: PRODUCTO ESCALAR 
10) Comprueba si los puntos 𝐴(1, 2), 𝐵(3, −2) y 𝐶(−3, 4) están alineados. 
https://www.geogebra.org/m/xrv62xjf 
 
 
 
11) Si la respuesta anterior es que NO lo están, al unir esos tres puntos se formarán un triángulo. 
a. Calcula el perímetro, comprobando si es equilátero, isósceles o escaleno. 
b. Calcula los ángulos, comprobando el tipo de triángulo qué es. 
c. Calcula su área. 
12) Dados los puntos 𝐴(−2, 3), 𝐵(1, −2), halla y comprueba con representaciones gráficas: 
a. El punto medio del segmento que determinan. 
b. El punto simétrico de A respecto de B. 
c. El simétrico de B respecto de A. 
13) Los puntos 𝐴(0, −5), 𝐵(3, 0) y 𝐶(7, −2), son tres de los vértices de un paralelogramo. 
https://www.geogebra.org/m/ggxxdtgn 
a. Calcula el cuarto vértice. 
b. Calcula sus ángulos. 
c. Calcula sus diagonales. 
d. Calcula sus lados y su perímetro. 
e. Calcula el punto donde se cortan ambas diagonales.