Cantidad de movimiento- Capa limite

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flujo viscoso
capa limite
arrastre
El experimento de Reynolds demostró los dos regímenes de flujo: laminar y turbulento
Otra forma de ilustrar estos diferentes regímenes de flujo y su dependencia del numero de Re es por la consideración del arrastre
la fuerza de arrastre debido a la fricción es causada por los esfuerzos cortantes en la superficie de un objeto solido que se mueve a través de un fluido viscoso
Arrastre friccional
 Cf es el coeficiente de fricción superficial (adimensional)y v∞ es la rapidez del fluido en la corriente libre 
El arrastre total sobre un objeto puede deberse a la presión lo mismo que a efectos fricciónales
Se define el coeficiente de arrastre CD
 Ap es el área proyectada de la 
 superficie( área máxima 
 proyectada por el cuerpo)
El arrastre por presión surge de dos fuentes
 una es el arrastre inducido o arrastre debido a la sustentación
otra es el arrastre de la estela, que se debe al hecho de que el esfuerzo cortante hace que las líneas de corriente se desvíen de sus trayectorias de flujo no viscoso y en algunos casos, se separen completamente del cuerpo
En un flujo incompresible, el coeficiente de arrastre depende del numero de Re y de la geometría del cuerpo
arrastre
Concepto de capa limite
La observación de una región decreciente de influencia del esfuerzo cortante a medida que el Re aumenta llevó a Prandtl a establecer el concepto de capa limite
Hipótesis de Prandlt:
 Los efectos de la fricción en un fluido a valores altos de Re solo se presentan en una delgada capa cerca de los limites de un cuerpo(capa limite)
 No hay un cambio significativo en la presión a través de la capa limite(la presión en la misma dentro y fuera de la capa limite)
Concepto de capa limite
El criterio para indicar que tipo de capa limite esta presente es la magnitud del Rex (Reynolds local, con base en la distancia x desde el borde de la entrada)
Para un flujo que pasa por una placa plana se tiene
 capa limite laminar
 
 capa limite laminar o turbulenta
 capa limite turbulenta
Ecuaciones de la capa limite
Para un flujo bidimensional e incompresible sobre una placa plana se tiene ,haciendo una serie de simplificaciones, la siguiente ecuación
Y con la ecuación de continuidad 
Se tienen las ecuaciones de la capa limite
Solución de blasius para la capa limite laminar sobre una placa plana
 Para el caso de una capa limite laminar sobre una placa plana en un flujo continuo, paralelo a la superficie con v∞(x)=v∞ y dP/dx=0 las ecuaciones por resolver son
Y 
 Con las condiciones en la frontera de Vx=Vy=0 a y=0 y Vx=V∞ a y=∞ 
 Blasius obtuvo una solución a este conjunto de ecuaciones y los resultados mas significativos son:
El espesor de la capa limite,δ
 O
 
 el coeficiente de fricción superficial a un valor particular de x(coeficiente local) será
 Rara vez es útil un valor local, conviene un coeficiente medio el cual blasius resolvió para una placa plana de espesor W y un largo L
Flujo con un gradiente de presión
En la solución de Blasius para flujo laminar sobre una placa plana el gradiente de presión fue cero
Una situación mucho mas común en el flujo implica un flujo con cierto gradiente de presión
El gradiente de presión juega un papel principal en la separación de flujo
Haciendo uso de la ecuación de la capa limite con las condiciones en la frontera en la pared Vx=Vy=0 a y=0 se tiene la siguiente expresión
Que relaciona la curvatura del perfil de rapidez en la superficie con el gradiente de presión
La siguiente figura muestra la variación de y sus derivadas para valores de dP/dx=0
La siguiente figura muestra la variación de y sus derivadas para valores de dP/dx≠0
Para que la separación ocurra, la rapidez en la capa de un fluido adyacente a la pared debe ser cero o negativa
El único tipo de flujo en la capa limite que tiene un punto de inflexión(valor cero en la segunda derivada) es el flujo con un gradiente de presión positivo
Entonces para que exista separación del flujo es necesario que haya un gradiente de presión positivo(gradiente de presión adverso)
El flujo puede permanecer sin separación con un gradiente de presión adverso, así que dP/dx>0 es condición necesaria, pero no suficiente para la separación
Un gradiente de presión negativo no puede causar separación de flujo(gradiente de presión favorable)
Análisis integral del momento de 
von karman
Se considera un método aproximado para obtener información para los sistemas en que intervienen otros tipos de flujos y que tiene otras geometrías
Se considerara el caso del flujo bidimensional, incompresible y continuo
Haciendo un análisis del momento de un volumen de control definido, una aplicación de la ecuación integral para la conservación de la masa y haciendo uso de la ecuación de Bernoulli ya que el concepto de capa limite supone un flujo no viscoso fuera de esta se llega a la expresión integral de momento de Von Karman
La ecuación anterior es una expresión general cuya solución requiere del conocimiento de la rapidez Vx, en función de la distancia a la superficie y. La exactitud del resultado final dependerá de cuanto se aproxime el perfil de rapidez supuesto al real
Para el caso de un flujo laminar sobre una placa plana, la rapidez de la corriente libre es constante por lo tanto (d/dx)V∞=0 y se tiene
Para poder resolver esta ecuación se supone que el perfil de rapidez es una función cubica y se hace uso de ciertas condiciones en la frontera que debe satisfacer la capa limite
 Vx=0 a y=0
 Vx=V∞ a y=
 a y=
 a y=0
Haciendo las sustituciones en las ecuaciones que corresponden se llega a una ecuación diferencial ordinaria en 
Que al integrar da como resultado
El coeficiente local de fricción superficial Cfx esta dado por
Al integrar el coeficiente local de fricción entre x=0 y x=L
Comparando estos resultados con los exactos obtenidos por Blasius para la misma situación se ve que hay una diferencia de aproximadamente 7% en  y 3% en Cf
Esta comparación ha demostrado la utilidad del método integral para la solución de la capa limite e indica un procedimiento que puede usarse con exactitud razonable para obtener valores de espesor de la capa limite y del coeficiente de fricción superficial cuando no es posible hacer un análisis exacto
2
2
¥
=
v
Cf
A
F
r
2
2
¥
º
v
C
A
F
D
P
r
m
r
xv
x
=
Re
5
10
2
Re
X
x
p
6
5
10
3
Re
10
2
x
X
x
p
p
x
X
Re
10
3
6
p
2
2
y
v
dx
dv
v
y
v
v
x
v
v
t
v
x
x
y
x
x
x
¶
¶
+
=
¶
¶
+
¶
¶
+
¶
¶
¥
¥
u
0
=
¶
¶
+
¶
¶
y
v
x
v
y
x
2
2
y
v
y
v
v
x
v
v
x
x
y
x
x
¶
¶
=
¶
¶
+
¶
¶
u
¥
=
v
x
n
d
5
x
x
Re
5
=
d
x
fx
C
Re
664
,
0
=
L
fL
C
Re
328
,
1
=
dx
dP
y
v
y
x
=
¶
¶
=
0
2
2
m
(
)
(
)
ò
ò
-
+
-
÷
ø
ö
ç
è
æ
=
¥
¥
¥
d
d
r
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0
0
0
dy
v
v
v
dx
d
dy
v
v
v
dx
d
x
x
x
(
)
ò
-
=
¥
d
r
t
0
0
dy
v
v
v
dx
d
x
x