UNIDAD 06 estadistica

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ESTADÍSTICA 
 UNIDAD 06 : GUÍA DE RESOLUCIÓN 
1.-Una hipótesis estadística es: 
 Un supuesto sobre el comportamiento de uno o más constantes. 
 Un supuesto sobre el comportamiento de uno o más estimadores. 
 Un supuesto sobre el comportamiento de uno o más sucesos dados. 
 Un supuesto sobre el comportamiento de uno o más elementos. 
 Un supuesto sobre el comportamiento de uno o más parámetros. (X) 
 
 2.-Señalar cuál es la afirmación INCORRECTA dando razones de su respuesta. 
a)Para un test bilateral con un nivel de significación 𝛼 ,la región de aceptación o no rechazo, 
se encuentra entre los dos valores críticos. 
b)Si la potencia de un test es 0,90 entonces el valor del error de tipo 2 (β ) es 0,10. 
c)Con un nivel de significación pequeño , entonces la probabilidad de rechazar una 
hipótesis nula cuando ésta es verdadera, disminuye. 
d)El p-valor es una medida de credibilidad, para rechazar o no la hipótesis nula , que puede 
tomar cualquier valor real. 
d) Incorrecta porque p es una probabilidad y, por lo tanto, 0≤ 𝒑 ≤ 𝟏. 
 
3.-Para determinar si las soldaduras de las tuberías en una planta de energía nuclear 
satisfacen las especificaciones, se selecciona una muestra aleatoria de 100 soldaduras y se 
realizan pruebas en cada una de ellas, encontrándose que la resistencia media (como fuerza 
requerida para romperla) es de 100.5 lb/pulg2. Suponga que las especificaciones indican 
que la resistencia media de las soldaduras sigue una distribución normal con media µ=100 
lb/pulg2 y σ=1,45 lb/pulg2 .Utilizando un nivel de significación del 5%, pruebe la hipótesis 
de que la media es 100 lb/pulg2. 
Los datos que se tienen son: 
 Tamaño de las muestras n= 100. 
 Valor de la media muestral 𝑿= 100,5 lb/pulg2. 
 Parámetros poblacionales (bajo la suposición) µ= 100 lb/pulg2, σ= 1,45 lb/pulg2 
 Nivel de significación ∝= 𝟎, 𝟎𝟓 
Se pide probar la hipótesis de que la media es 100 lb/pulg2, lo cual, significa que de las 
tres relaciones posibles la que corresponde es: 
H0: 𝝁=𝝁𝟎 versus H1: 𝝁 ≠ 𝝁𝟎 . En nuestro caso: 
H0: Las especificaciones indican que la resistencia media de las soldaduras es 100 
lb/pulg2. 
H1: Las especificaciones indican que la resistencia media de las soldaduras difiere de 
100 lb/pulg2. 
Por tanto, el planteo de la hipótesis, es el siguiente: 
H0: 𝝁=𝟏𝟎𝟎 versus H1: 𝝁 ≠ 𝟏𝟎𝟎 PRUEBA BILATERAL 
Ahora calculamos el estadístico de prueba o variable pivotal, teniendo en cuenta que la 
resistencia media de las soldaduras sigue una distribución normal con media µ=100 
lb/pulg2 y σ conocida(1,45 lb/pulg2). Luego, el estadístico es: 
𝒁𝑯𝟎 =
𝒙 − 𝝁𝟎
𝝈/√𝒏
~𝑵(𝟎, 𝟏) → 𝒁𝑯𝟎 =
𝟏𝟎𝟎, 𝟓 − 𝟏𝟎𝟎
𝟏, 𝟒𝟓
√𝟏𝟎𝟎
→ 𝒁𝑯𝟎 = 𝟑, 𝟒𝟒𝟖 
Por otra parte, como se trata de una prueba bilateral ( por ser igual contra distinto), el 
valor del área ∝ debe ser dividido en dos áreas iguales a ∝/𝟐, cuyas abscisas 
correspondientes son : ±𝟏, 𝟗𝟔. Esta situación se observa en el gráfico siguiente: 
 
 valor crítico: -1,96 valor crítico: 1,96 
En función de ello, vemos que: 
 El valor de la variable pivotal: 3,448 ~𝟑, 𝟒𝟓 cae en la zona de rechazo. 
 El p valor, por ser prueba bilateral, es el valor del área encontrada en la Tabla 
de la Normal para la abscisa 3,45 y multiplicada por 2, ya que son dos colas. 
Entonces: 
 p= 2 x 0,001=0,002 < ∝ → 𝒑 < 𝛼. 
Como conclusión podemos decir lo siguiente: 
Ya que la variable pivotal cae en la zona de rechazo se rechaza la hipótesis nula, esto 
es, las soldaduras de las tuberías no seguirían las especificaciones, con un nivel de 
riesgo del 5% . 
Como 𝒑 < 𝛼 y, además, p<0,01 interpretamos que se tiene una muy fuerte evidencia 
de que “ las soldaduras de las tuberías no seguirían las especificaciones dadas”. 
4.-Las calificaciones de eficiencia de los trabajadores de un cierto servicio, han estado 
distribuidas normalmente por un período de muchos años. La media 𝜇 de la distribución es 
200 y la desviación estándar de la población es 16. Sin embargo, empleados jóvenes han 
sido contratados recientemente y se han establecido nuevos métodos de adiestramiento. 
Utilizando un nivel de significación del 5%, pruebe la hipótesis de que la media es 200, si el 
promedio de calificaciones, de muestra de 100 empleados, fue de 203. 
Respuestas abreviadas: 
1.- PRUEBA BILATERAL con ∝= 𝟎, 𝟎𝟓 
2.- H0: 𝝁=𝟐𝟎𝟎 versus H1: 𝝁 ≠ 𝟐𝟎𝟎 
3.- 𝒁𝑯𝟎 ≅ 𝟏, 𝟖𝟖 
4.- p = 0,1204 > ∝ 
5.-No se rechaza la hipótesis nula al 5%. Habría cierta evidencia para sostener que las 
calificaciones de eficiencia siguen siendo 200. 
 
5.-Un fabricante de sistemas rociadores utilizados como protección contra cierto tipo de 
incendios afirma que la temperatura de activación del sistema promedio verdadera es de 
130°. Una muestra de n= 9 sistemas, cuando se someten a prueba, da una temperatura de 
activación promedio muestral de 131,08 °F. Si la distribución de los tiempos de activación 
es normal con una desviación estándar de 1,5 °F: 
 ¿Es posible sostener al 5% de significación, que la temperatura de activación promedio es 
en realidad mayor?. 
a) Los datos que se tienen son : 
 Tamaño de las muestras n= 9. 
 Valor de la media muestral 𝑿= 131,08 °F. 
 Parámetros poblacionales (bajo la suposición) µ= 130 °F, σ= 1,5 °F. 
 Nivel de significación ∝= 𝟎, 𝟎𝟓 (valor crítico correspondiente 1,65) 
Se quiere saber si es posible sostener, al 5% de significación, que la temperatura de 
activación promedio es en realidad mayor a la supuesta. En consecuencia, el planteo de 
las hipótesis es: 
 H0: 𝝁 ≤ 𝟏𝟑𝟎 versus H1: 𝝁 > 𝟏𝟑𝟎 PRUEBA UNILATERAL 
H0: La temperatura de activación promedio no es superior a 130. 
H1: La temperatura de activación promedio es en realidad mayor que 130. 
Ahora calculamos el estadístico de prueba o variable pivotal., teniendo en cuenta que 
la distribución de los tiempos de activación es normal con una desviación estándar de 
1,5 °F . Luego, el estadístico es: 
𝒁𝑯𝟎 =
𝑿 − 𝝁𝟎
𝝈/√𝒏
~𝑵(𝟎, 𝟏) → 𝒛𝑯𝟎 =
𝟏𝟑𝟏, 𝟎𝟖 − 𝟏𝟑𝟎
𝟏, 𝟓
√𝟗
→ 𝒛𝑯𝟎 = 𝟐, 𝟏𝟔 
Por otra parte, como se trata de una prueba unilateral, el valor del área ∝ se 
encuentra representado en la cola derecha, donde el valor de p= 0,0154, es el área 
encontrada en la Tabla de la Normal para la abscisa 2,16. Así, se tiene la siguiente 
situación gráfica: 
 
 2,16 
En función de ello, vemos que: 
 El valor de la variable pivotal : 2,16 cae en la zona de rechazo. 
 El p valor p= 0,0154 < ∝ . 
Como conclusión podemos decir lo siguiente: 
Ya que la variable pivotal cae en la zona de rechazo se rechaza la hipótesis nula, esto 
es, es posible sostener al 5% de significación, que la temperatura de activación 
promedio es en realidad mayor que 130. 
Como 𝒑 < 𝛼 y, además, p<0,1 interpretamos que se tiene alguna evidencia de que 
“ no sería cierto que la temperatura de activación promedio es inferior a 130”. 
6.-Se selecciona una muestra de 10 ejemplares de lodo y se determina el pH de cada uno, 
obteniéndose una media de 6,68 y una desviación típica de 0,382. Por registros anteriores, 
se sostiene que la distribución de valores de pH se comporta como una normal de media µ 
que no supera el valor 6,0. 
a)Plantee las correspondientes hipótesis nula y alternativa. 
 H0: 𝝁 ≤ 𝟔 versus H1: 𝝁 > 𝟔 
b)Calcule el estadístico de prueba y el p-valor. 
Como se desconoce el σ poblacional, la variable pivotal sigue una distribución t de 
Student con 𝒏 − 𝟏 = 𝟗𝒈𝒍. Su valor , bajo la hipótesis nula, es : 
𝒕𝑯𝟎 ≅ 𝟓, 𝟔𝟑 . Y el p valor es p < 0,0005. 
c)En base a lo obtenido en b) ¿cree se debe rechazar la hipótesis nula al 0,05?, ¿qué 
significa ello?. 
Dado que p < ∝ , se rechaza la hipótesis nula al 5%. Ello significa (ya que p es muy 
pequeño) que se tienen evidencias muy fuertes que la media del PH no supera el valor 
6. 
8.- La contaminación de los suelos de minas ,en ciertos lugares, es un grave problema 
ambiental .Un artículo ,publicado en el año 2008, informa que para una muestra de 3 
especímenes de suelo de cierta área restaurada de minería la media de la concentración 
total de la muestra de Cu fue 33,15 mg/kg . Si el valor histórico de esta 
concentración, en esos lugares, fue de 20 con una correspondiente desviación estándar de 
6,25 y si, además, los resultados de diversas pruebas estadísticas descritas en el artículo 
se basan en el supuesto de normalidad , ¿proporcionan los datos una fuerte evidencia 
para concluir que la concentración real promedio en esa región supera el valor histórico 
planteado, al 1%?. 
Respuestas abreviadas: 
H0: µ ≤ 𝟐𝟎 versus H1: µ > 𝟐𝟎 
𝒕𝑯𝟎 ≅ 𝟑, 𝟓𝟕 , p = 0,025 > ∝ 
 No se rechaza al 1%, con alguna evidencia para sostener que la concentración media 
no supera los 20 mg/kg. 
 
 
10.-Se sabe que la concentración media de dióxido de carbono en el aire, en cierta zona, 
no supera habitualmente las 355 ppmv con un desvío estándar de 180 ppmv, aunque se 
sospecha que podría ser mayor en la capa de aire más próxima a la superficie. Para 
contrastar esta hipótesis se analizan 20 puntos elegidos aleatoriamente a una misma 
altura cerca del cielo y se obtiene una muestra de 580 ppmv .Bajo condiciones supuestas 
de normalidad para las mediciones, ¿proporcionan estos datos evidencia suficiente al 
nivel 1%, a favor de la hipótesis de que la concentración es mayor cerca del suelo?. 
a) Plantee las hipótesis correspondientes. 
 H0: µ ≤ 𝟑𝟓𝟓 versus H1: µ > 𝟑𝟓𝟓 
b)Teniendo en cuenta que el estadístico de prueba arroja un valor de 5,59 , calcule el p-
valor correspondiente. Rta. p=0,0005 
c) )En función del p – valor obtenido, decida si se rechaza o no H0 al 5% e interprete si 
proporcionan estos datos suficiente evidencia estadística a ese nivel, a favor de la hipótesis 
de que la concentración es mayor cerca del suelo? 
Atento que p < ∝, se rechaza la hipótesis nula. Los datos proporcionan suficiente 
evidencia, al 5%, de que la concentración es mayor cerca del suelo. 
 
11.-En un anuncio publicitario de discos duros para computadora, el fabricante asegura que 
sus precios son más económicos y que el porcentaje de sus discos defectuosos es igual al de 
su competencia. Para contrastar esta última afirmación se han tomado dos muestras 
aleatorias, cada una de ellas compuesta por 150 unidades. Los resultados son los siguientes: 
 
Fabricante Discos defectuosos Discos muestreados 
Anunciante 15 150 
Competencia 6 150 
Pruebe al 90% que la afirmación es correcta. 
Respuestas abreviadas: 
H0: 𝝅𝟏 = 𝝅𝟐 versus H1: 𝝅𝟏 ≠ 𝝅𝟐 
Donde : 
H0: El porcentaje de los discos defectuosos es igual al de la competencia. 
H1: El porcentaje de los discos defectuosos difiere al de la competencia 
𝒁𝑯𝟎 = 𝟐, 𝟎𝟔𝟗 , p=2x 0,0192=0,0384 y ∝= 𝟎, 𝟎𝟏 . 
Dado que p >∝, no se rechaza H0. Ello significa que la afirmación del fabricante es 
correcta al 1%. 
12.-Un fabricante evalúa dos tipos de equipo para la fabricación de un componente. Se toma 
una muestra aleatoria de tamaño 50 de la primera marca y cinco artículos son encontrados 
defectuosos .De la segunda marca se toma una muestra aleatoria de tamaño 80 y seis son 
encontrados defectuosos. El índice de fabricación de ambas marcas es el mismo. Sin 
embargo ,dado que el costo de la primera marca es sustancialmente menor , el fabricante le 
concede el beneficio de la duda y formula la hipótesis H0 :π1 ≤ π2. 
a) Teniendo en cuenta que la variable pivotal o estadístico de prueba es igual a 0,50, calcule 
el p-valor correspondiente. Rta. p= 0,3085 
b) En función del p – valor obtenido, decida si se rechaza o no H0 al 1% y explique qué 
significa ello?. Dado que p >∝, no se rechaza H0. Ello significa que el costo de calidad 
de la primera marca es menor que el de la segunda. 
 
13.-Se realizaron pruebas de resistencia a la tensión en dos grados diferentes de alambrón 
(material de construcción de alta resistencia) y se obtuvieron los siguientes datos adjuntos: 
Grado Tamaño de la muestra Media muestral Desviación típica 
AISI 1064 m=129 6.1071 x s1=1,3 
AISI 1078 n=119 6.1232 x s2 =2.0 
¿Proporcionan los datos evidencia precisa para concluir que existen diferencias 
significativas entre las resistencias promedio verdaderas del grado 1078 y la del grado 
1064 ,respectivamente, al 5%? . 
Respuestas abreviadas: 
H0: µ𝟏 = µ𝟐 versus H1: µ𝟏 ≠ µ𝟐 
𝒕𝑯𝟎 ≅ −𝟕𝟓, 𝟐𝟔 , p < 0,0005 < ∝ 
 No sólo se rechaza, sino que hay mucha evidencia para sostener la significativa 
diferencia entre ambas resistencias. 
15.-Para determinar la eficiencia de un curso de entrenamiento a un grupo de operarios, se 
seleccionaron a 10 personas de su lugar de trabajo y se les asignó realizar una tarea. Se 
registró el tiempo que tardaba en ejecutarla antes y después del curso. 
 
Operario 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
Antes del curso 7 8 10 11 18 16 12 12 6 12 
Después del curso 4 7 7 6 12 10 9 8 4 9 
 
Pruebe la hipótesis que el curso fue efectivo, al 1%. 
 
Respuestas abreviadas: 
H0: µ𝑫 ≤ 𝟎 versus H1: µ𝑫 > 0 
 𝒕𝑯𝟎 =
𝟑.𝟔
𝟏,𝟔𝟒/√𝟏𝟎
≅ 𝟔, 𝟗𝟒 , p < 0,0005 < ∝ 
 
 No sólo se rechaza la hipótesis nula, sino que hay mucha evidencia para sostener que 
el curso habría sido efectivo al 1%. 
 
18.- Se quiere medir la resistencia (en tiempo en minutos) a un cierto trabajo corporal, 
mediante un entrenamiento especial. Para ello, se observan 8 personas, de iguales condiciones 
físicas, antes y después de la aplicación de ese entrenamiento. Los resultados fueron los 
siguientes: 
 
Persona 1 2 3 4 5 6 7 8 
Antes del curso 5,2 6,0 4,3 5,4 7,0 4,2 6,1 5,5 
Después del curso 8,1 7,1 7,2 6,3 7,0 5,1 8,0 5,6 
 
1° .-Plantee las hipótesis correspondientes. 
 
2°.-Siendo el estadístico de prueba, aproximadamente -3,35, establezca el p-valor para 
determinar si el entrenamiento fue efectivo, al 1%. 
Respuestas abreviadas: 
 
Persona 1 2 3 4 5 6 7 8 
Antes del curso 5,2 6,0 4,3 5,4 7,0 4,2 6,1 5,5 
Después del curso 8,1 7,1 7,2 6,3 7,0 5,1 8,0 5,6 
diferencias (di ) -2.9 -1.1 -2.9 -0.9 0 -0.9 -1.9 -0.1 
 Para estas diferencias, calculamos la media y la desviación estándar 
 𝒅 = −𝟏, 𝟑𝟑𝟖 y 𝒔𝑫 ≅ 𝟏, 𝟏𝟑𝟏𝟑 
Hipótesis: H0: µ𝑫 ≥ 𝟎 versus H1: µ𝑫 < 0 
La situación gráfica es la siguiente: 
 
 
 
Por otra parte: 
𝒕𝑯𝟎 =
𝒅 µ𝑫
𝒔𝑫/√𝟖
=
𝟏,𝟑𝟑𝟖
𝟏,𝟏𝟑𝟏𝟑/√𝟖
≅ −𝟑, 𝟑𝟒𝟓𝟐 con 7 g.l., p < 0,005 < ∝ 
 No sólo se rechaza la hipótesis nula, sino que hay mucha evidencia para sostener que 
el aumento de la resistencia producida por el entrenamiento, es efectivo, con una 
confianza del 99%.