BLOQUE 1_PARTE 3A

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DINÁMICA DE LA ATMÓSFERA
Téc. Sol Kseminski
Téc. Gastón Ramírez 
Primer Cuatrimestre 2023
1
PRÁCTICA
BLOQUE 1
1.13 Balance de Energía
1.14 Aproximación de Boussinesq
2




 











m
m
j
iji
ii
i
i x
up
x
u
gu
x
K
u
t
K )(1
3














m
m
j
j
i
i x
up
x
q
x
e
u
t
e 1
Balance de energía
Tasa de cambio de la 
energía cinética
Termino 
advectivo
Trabajo de la 
fuerza de gravedad
Trabajo de las fuerzas 
superficiales
Trabajo de 
compresión/expansión
Disipación viscosa
Tasa de cambio de la 
energía interna
Termino 
advectivo
Conv/Div de 
flujos de calor
Trabajo de 
compresión/
expansión
Disipación viscosa
¿Qué pasa si expando?
¿Qué es la ENERGIA?
2
3
1
2
1
2























 ij
m
m
i
j
j
i
x
u
x
u
x
u 


aumenta debido a: 
• 𝛻 ⋅ �⃗� < 0 Convergencia del flujo de calor
• 𝑝 (𝛻 ⋅ 𝑢 ) < 0 Compresión del volumen
• 𝜑> 0 Calentamiento debido a la disipación viscosa
<0 CONVERGENCIA DE FLUJO DE CALOR
<0 COMPRESION DE VOLUMEN
j
j
j
iji
i
i x
q
x
u
x
PKe
u
t
PKe














1)(1)()(Tasa de cambio de la 
suma de las tres

















m
m
j
iji
i
i
j
iji
x
up
x
u
x
pu
x
u )(
Relación entre el tensor de las tensiones 
y el tensor de las tensiones viscosas 
ij
ij
i
m
m
ij
i
i
j
ij e
x
u
xx
u
e
x 

















3
1
2
2


TRANSPORTE TURBULENTO
Ejercicio
Dados los campos de movimiento y gradiente de presión y las siguientes formas para las ecuaciones de variaciones 
locales de la energía cinética, la energía interna y energía total:




 











m
m
j
iji
ii
i
i x
up
x
u
gu
x
K
u
t
K )(1
3














m
m
j
j
i
i x
up
x
q
x
e
u
t
e 1
j
j
j
iji
i
i x
q
x
u
x
PKe
u
t
PKe














1)(1)()(
Considere validos los siguientes parámetros:
Km
J
CS
segm
kg
m
kg
v 30
5
3
716,35,
.
1085,1,2,1   
El flujo de calor diabático esta dado por 10
2
1 eeqQ kx donde qo y k son constantes.
211 )(33 exseneV 
a) Halle la expresión para los campos de presión y temperatura. Considere que la presión en el origen 
es de 1000 hpa
b) Halle una expresión para la Energía cinética y Energía interna.
c) Halle una expresión para la tasa de variación de la energía cinética
d) Halle una expresión para la tasa de variación de la energía interna
Resolución:
a)
•Hallemos el campo de presión
30 eVfp  
100
0)(33 1xsen
211 3)(3 eexsen 
))((3 2110 eexsenfp  
¿Cuánto vale?
211 )(33 exseneV 



1x
p )(3 10 xsenf )( 1
'
2 xc   110'2 )(3 xdxsenfc Integrando C’2 para hallar C2
cxfc  )cos(3 102 



2x
p
))((3 2110 eexsenfp  
03 f Integrando
  

0
2
3 f
x
p 
Introduciendo las condiciones iniciales para hallar C:
hpap 1000)0,0( 
hpa1000 cf )0cos(3 0 cfhpa  031000 
)(3),( 122021 xcxfxxp  
cxfxfxxp  )cos(33),( 102021 
0102021 31000)cos(33),( fhpaxfxfxxp  
•Busquemos la expresión para el campo de temperatura:
Campo de presión
nRTpV 
Utilizando la ec. De Gases Ideales:
nR
pV
T 
molarmasa
masa
M
m
n
r _

RT
M
m
pV
r
 T
M
R
p
r

R
pM
T r


¿Qué ecuación podemos utilizar, que nos relacione la presión y la temperatura?
¿Cómo queda el campo de Temperatura?
b) Hallar una expresión para la Energía Cinética y para la Energía Interna
¿Ecin por unidad de volumen?
2
2
1
VEcin  )(
2
1 222 wvu   211 )(33 exseneV 
2V 21
2
1 )(99 exsene 
 2121 )(992
1
exseneEcin    2121 )(2
9
exsene  
>0
K
Analicemos máximos y mínimos
Mínimo 
)( 1xsen
kx 21 
),( Znk 
Máximo 
0)( 1 xsen
1)( 1 xsen
 nx 2
21

1)( 1 xsen
 nx 2
2
3
1 
¿ENERGIA CINETICA =0?
¿ENERGIA CINETICA > 0?
¿ENERGIA CINETICA < 0?
Busquemos expresión para la Energía Interna
TCdTCE vv int
e TCv
c) Hallar la expresión para la tasa de variación de Energía cinética




 











m
m
j
iji
ii
i
i x
up
x
u
gu
x
K
u
t
K )(1
3
Termino advectivo
i
i x
K
u


 






2
2
1
1 x
K
u
x
K
u
 2121 )(2
9
exsene  K
211 )(33 exseneV 



1x
K )cos()(2
2
9
11 xxsen )cos()(9 11 xxsen
0
2



x
K
???????????
Trabajo de la fuerza de gravedad
3iigu  333232131  gugugu 
1,  ji
Trabajo de compresión/ expansión
m
m
x
up


 2
2
1
1
x
up
x
up







Trabajo de las fuerzas superficiales
j
iji
x
u

 )(1 

211 )(33 exseneV 

















m
m
j
iji
i
i
j
iji
x
up
x
u
x
pu
x
u )(
Recordar que el trabajo de las 
fuerzas superficiales lo 
podemos escribir así:
2
2
1
1
x
pu
x
pu







Separamos por partes:
0102021 31000)cos(33),( fhpaxfxfxxp  
211 )(33 exseneV 
 )(33 10 xsenf )3)((
3
01 fxsen 
 )(18)(9)(9 101010 xsenfxsenfxsenf 



j
iji
x
u )( 
j
iji
x
u




















m
m
j
iji
i
i
j
iji
x
up
x
u
x
pu
x
u )(




1
111
x
u 
 

2
121
x
u 




1
212
x
u 
 2
222
x
u



i
m
m
ij
i
i
j
ij e
x
u
xx
u
e
x 

















3
1
2
2





1
1
11 e
x

12
1
1
2
e
x
u



 0



2
2
22 e
x

12
1
1
2
e
x
u




 0
1
2
12 e
x

12
2
1
2
e
x
u





0



2
1
21 e
x




22
1
2
2
e
x
u


)(3
))cos(3(
1
1
1
2
1
2
2
xsen
x
x
x
u






21)(3 exsen


22
1
212 e
x
u


 21
2
211 )(9)(3)(3 exsenexsenxsen 










Termino de Disipación Viscosa
2
3
1
2
1
2























 ij
m
m
i
j
j
i
x
u
x
u
x
u 


211 )(33 exseneV 

















m
m
j
iji
i
i
j
iji
x
up
x
u
x
pu
x
u )(
Después desarrollaremos este término
2
3
1
2
1
2























 ij
m
m
i
j
j
i
x
u
x
u
x
u 



























2
1
2
2
1
2
2
1
2
1
2
x
u
x
u


De todas las derivadas parciales de V, 
¿Cuáles me quedan?
Juntando todos los términos:




 











m
m
j
iji
ii
i
i x
up
x
u
gu
x
K
u
t
K )(1
3
d) Buscar la expresión para la tasa de variación de la Energía interna