Método de Newton Raphson

Vista previa del material en texto

Método de Newton Raphson
Dada una función f(x), se pretende encontrar la solución a la ecuación f(x)=0
- Recordando el teorema de Bolzano
Sea f:[a,b]→ R, una función continua en [a,b], de forma que la función toma distinto signo en los 
extremos, f(a).f(b)<0.
Existe un valor c en el intervalo (a,b) en el cual f(c)=0. Es decir c, es una solución de la ecuación f(x)=0
Se tiene la ecuación f(x)=0, de la que queremos obtener la 
solución en [a,b] donde se sabe que f(a).f(b)<0.
En el método de Regula Falsi, calculábamos la recta que une 
(a,f(a)) con (b,f(b)) y calculamos su intersección con el eje x. 
ese valor m es la primera aproximación del método.
El método Newton Raphson, calcula la recta tangente a la 
curva y=f(x) en el punto x0 y nos quedaremos con su 
intersección con el eje x el punto x0, será “a” o “b”,
 siguiendo los criterios que daremos a continuación
• Gráficamente tendríamos a la función representada de la siguiente forma:
• La ecuación de la recta tangente a la curva en el punto (x0,f(x0)) viene dada por la 
ecuación: y-f(x0)=f’(x0)(x-x0).
• Ahora necesitamos encontrar el punto de corte de la recta tangente con el eje x, 
para lo cual hacemos y=0 y calculamos X.
Hacemos y=0, para calcular el punto de 
corte con el eje x.
Despejamos x. el valor obtenido es la 
aproximación de la raíz que estamos 
buscando
La convergencia del método de Newton Raphson nos dará el 
siguiente teorema:
Teorema:
Sea f una función que es derivable dos veces ( existe f’’(x)) y que 
f’’(x) es continua en [a,b] (es decir, f es de clase dos) y se cumple:
1. f(a)f(b)<0
2. f’(x) no se anula en [a,b]
3. f’’(x) no cambia de signo en [a,b]
Entonces tomando como x0 extremo de [a,b] donde f y f’’ tomando 
el mismo signo, la sucesión de solución xn obtenida por el método 
de Newton Raphson es convergente hacia la solución única de la 
ecuación f(x)=0 en el intervalo [a,b] 
El procedimiento para encontrar raíces con este método
Error cometido
En
En+1
Es decir En+1 es proporcional a En2, por lo tanto el método de 
Newton Raphson tiene una convergencia cuadrática. Esto hace 
que el método converja a la solución mas rápidamente que los 
anteriores
Ventajas del método de Newton Raphson:
• Converge con mayor rapidez que los casos de Bisección y Regula 
Falsi.
Desventajas del método:
• No es un método eficiente en caso de raíces múltiples
• No es útil cuando es complicado calcular la derivada de f(x)
Ejemplo:
• Calcular la solución de e-x –x=0 con un error menor a 10-4
• Recordemos que este ejemplo fue resuelto para casos anteriores:
• Con bisección necesitábamos 7 iteraciones para hallar la solución con un error 
inferior a 10-3.
• Con Regula Falsi necesitamos 3 iteraciones para hallar la solución con un error 
inferior a 10-3.
• Calculamos ahora la solución que nos da el método de Newton Raphson con 
una aproximación de 10-4.
Método de la secante
Introducción
• Dada una función f(x), se pretende encontrar la solución a la ecuación 
f(x)=0
•
- Recordando el teorema de Bolzano
Sea f:[a,b]→ R, una función continua en [a,b], de forma que la función 
toma distinto signo en los extremos, f(a).f(b)<0.
Existe un valor c en el intervalo (a,b) en el cual f(c)=0. Es decir c, es una 
solución de la ecuación f(x)=0
Gráficamente tenemos la raíz r, que es el punto donde corta la función al eje x, y calculamos la recta que nos da este 
método, donde el punto x1 es el punto de corte de la recta en el eje x
Ventaja:
- Es un método rápido, aunque converge más lentamente que el 
método de Newton Raphson.
Desventajas:
- No está garantizada la convergencia del método.
- Requiere de dos puntos de partida x0, x1, aunque no es necesario 
que la raíz esté entre ellos
• Se puede observar que en 4 iteraciones obtenemos 4 cifras decimales 
exactas. Este método converge mas lentamente que el de Newton 
Raphson, aunque es mas rápido que el de Bisección.
•Fin de raíces por métodos numéricos