S11_C2_Metodos abiertos (1)

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RAICES DE ECUACIONES.
MÉTODOS ABIERTOS
MÉTODO DE NEWTON
El método de Newton (también conocido como método de Newton-
Raphson) es uno de los métodos de búsqueda de raíces más
utilizados.
El procedimiento implementado en el método de Newton utiliza las
rectas tangentes a la curva para aproximar las raíces. Se
requiere que exista en los puntos cercanos a las raíces.
Por ser un método abierto requiere una aproximación inicial, ,
que debe estar cerca de la raíz que se busca. Esto significa que
puede ser necesario contar con criterios de análisis iniciales.
MÉTODO DE NEWTON
MÉTODO DE NEWTON
La ecuación de la recta tangente a en es
La aproximación a la raíz es el
punto de corte de la recta
tangente con el eje y se
consigue haciendo
MÉTODO DE NEWTON
Ejemplo
Utilice el método de Newton-Raphson para aproximar la raíz de
considerando .
Forma anidada de
MÉTODO DE NEWTON
Análisis del error
a
௜ାଵ
௜ ௜ ௜ାଵ ௜
௡
௜ାଵ ௜
௡
௡ାଵ
௜ାଵ ௜
௡ାଵ
Si se trunca la serie
Al despejar con (corte con el eje )
Si
MÉTODO DE NEWTON
Restando las dos últimas ecuaciones
Haciendo y
a
El error en la iteración es proporcional al cuadrado del error
en la iteración . El método de Newton-Raphson presenta
convergencia cuadrática.
MÉTODO DE NEWTON
FALLAS
Sin monotonía
MÉTODO DE NEWTON
FALLAS
Asíntota
MÉTODO DE NEWTON
FALLAS
Cíclica
MÉTODO DE NEWTON
FALLAS
Extremo
MÉTODO DE LA SECANTE
Método de Newton-Raphson
MÉTODO DE LA SECANTE
Método de Newton-Raphson
El método de la secante facilita el cálculo de
Con lo cual
El método requiere dos aproximaciones iniciales: y .
MÉTODO DE LA SECANTE
Ejemplo
Utilice el método de la secante para aproximar la raíz de la función
con y .
Tenga en cuenta que:
a
La expresión para el método de la secante puede reescribirse como
a
Coincide con la expresión del método de falsa posición pero se
utilizan de forma diferente.
MÉTODO DE PUNTO FIJO
Definción: es un punto fijo de una función si se da
Si es un cero de entonces y este valor puede utilizarse
para construir funciones con un punto fijo en . Esto es:
Ejemplo. Determinar los puntos fijos de la función .
Solución.
MÉTODO DE PUNTO FIJO
Teorema.
i. Si es una función continua sobre el intervalo y los
valores de están contenidos en para todos los
entonces tiene por lo menos un punto fijo en .
ii. Si, además, existen en y una constante positiva
tal que
entonces existe exactamente un punto fijo de en .
MÉTODO DE PUNTO FIJO
Demostración.
i. Si ó entonces tiene un punto fijo en uno
de los extremos del intervalo. Si no es este el caso entonces
MÉTODO DE PUNTO FIJO
Demostración.
i. Si ó entonces g tiene un punto fijo en uno
de los extremos del intervalo. Si no es este el caso entonces
Definamos
Se tiene
Por el TVI existe un 
MÉTODO DE PUNTO FIJO
Demostración.
ii. Razonando por reducción al absurdo, supongamos que existe
un segundo punto fijo de sobre el intervalo y
llamémoslo .
MÉTODO DE PUNTO FIJO
Demostración.
ii. Razonando por reducción al absurdo, supongamos que existe
un segundo punto fijo de sobre el intervalo y
llamémoslo . El Teorema del valor medio asegura la existencia
de un número entre y tal que
Por lo tanto,
MÉTODO DE PUNTO FIJO
Ejemplo.
Las condiciones establecidas en el teorema pueden comprenderse
de mejor forma con la función que se da a continuación
Considere los intervalos y .
MÉTODO DE PUNTO FIJO
Iteración simple de punto fijo.
Dada la ecuación , se reescribe de tal manera que tome la
forma
Los puntos fijos de serán ceros de .
Se elige una aproximación inicial y se construye la sucesión de
valores
Ejemplo. Utilizar la iteración simple de punto fijo para localizar la
raíz de la función
MÉTODO DE PUNTO FIJO
Convergencia de la iteración de punto fijo.
Ecuación iterativa del método: .
La Solución verdadera satisface: .
De las dos igualdades anteriores:
El Teorema del valor medio garantiza la existencia de un número
tal que
De las últimas dos igualdades