Método del Punto Fijo - Apuntes de Ingeniería Civil

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Método del Punto Fijo
El método del punto fijo o de sustituciones
sucesivas junto con el método de la bisección es un
método de fácil implementación y tienen como
ventaja adicional la de requerir solamente un punto
inicial para el proceso iterativo.
Sea la función 𝑓 𝑥 = 0
A dicha función se le adiciona 𝑥 en ambos
miembros: 𝑓 𝑥 + 𝑥 = 0 + 𝑥
Es decir ahora queda modificado así:𝑔 𝑥 = 𝑥 ………… . (𝛼)
Cuando hipotéticamente se llega a una solución, se
cumple en forma precisa la ecuación 𝛼 ; sin
embargo no es posible encontrar dicha solución
exacta, en realidad se encuentra una solución
aproximada; es decir se asume un valor tal como 𝑥0
que permite calcular 𝑥1 mediante la ecuación (𝛼).𝑥1 = 𝑔 𝑥0 ⇒ 𝑥𝑘+1 = 𝑔 𝑥𝑘 ; 𝑘 = 0 , 1, 2, … , 𝑛
Interpretación geométrica y criterio de convergencia
Supongamos que los valores obtenidos pueden
disponerse del siguientemodo:
Lo cual hace suponer que si la sucesión 𝑥0, 𝑥1, 𝑥2, …
converge a 𝑥, los valores consecutivos 𝑥𝑘 y 𝑥𝑘+1
irán acercándose entre sí conforme el proceso
iterativo avanza.
Un modo práctico de saber si los valores
consecutivos se acercan es ir calculando la
distancia entre ellos.
𝑥
𝑑𝑘 = 𝑥𝑘+1 − 𝑥𝑘
Si la sucesión 𝑑1, 𝑑2, … , 𝑑𝑘 tiende a cero puede
pensarse que la solución va convergiendo a una
raíz 𝑥 y debe continuarse hasta que 𝑑𝑘 < 𝜀 , y
tomar 𝑥𝑘+1 como la raíz buscada. Si 𝑑1, 𝑑2, … , 𝑑𝑘
no converge para un número “grande” de
iteraciones, entonces 𝑥0, 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 diverge de 𝑥
y se detiene el proceso para iniciar uno nuevo,
modificando la función 𝑔𝑥, el valor inicial o ambos.
𝑎 y 𝑏 muestran el comportamiento geométrico del
método cuando 𝑔′𝑥 < 1 , en los cuales se
observa que el método converge a al raíz.𝑐 y 𝑑 muestran el comportamiento típico de
divergencia cuando 𝑔′𝑥 > 1.
𝑬𝒋𝒆𝒎𝒑𝒍𝒐 𝟏:
Encuentre la raíz real positiva de 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛𝑥 − 𝑥 + 2 = 0 ; 
usando el método del punto fijo con una tolerancia de 10−4
para la variable 𝑥.𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 ____________________________________________________________
Por la experiencia del ejercicio anterior, sabemos
que la raíz se encuentra entre 2 y 4; tomemos𝑥0 = 3 como valor inicial.
Haciendo 𝑓(𝑥) + 𝑥 = 𝑙𝑛𝑥 − 𝑥 + 2 + 𝑥𝑔(𝑥) = 𝑙𝑛𝑥 + 2 ; 𝑔′(𝑥) = 1𝑥𝑔′(𝑥0) = 1𝑥0 ⟹ 𝑔′ 3 = 13 = 0,33෠3
Como 𝑔′𝑥 < 1 , por lo tanto la serie es
convergente.
La fórmula de recurrencia será
𝑥𝑘+1 = 𝑙𝑛𝑥𝑘 + 2𝑘 = 0: 𝑥1 = 𝑙𝑛𝑥0 + 2 = ln 3 + 2 = 3,0986𝑘 = 1: 𝑥2 = 𝑙𝑛𝑥1 + 2 = ln 3,0986 + 2 = 3,1309𝑘 = 2: 𝑥3 = 𝑙𝑛𝑥2 + 2 = ln 3,1309 + 2 = 3,141337866𝑘 = 3: 𝑥4 = 𝑙𝑛𝑥3 + 2 = ln 3,141337866 + 2 = 3,144648781𝑘 = 4: 𝑥5 = 𝑙𝑛𝑥4 + 2 = ln 3,144648781 + 2 = 3,145702209𝑘 = 5: 𝑥6 = 𝑙𝑛𝑥5 + 2 = ln 3,145702209 + 2 = 3,146037143
Evaluando el error𝜀 = 𝑥6− 𝑥5 = 3,146037143− 3,145702209 = 3,35𝑥10−4
Como el valor de la tolerancia aun no satisface la condición 
se continúa con la iteración.𝑘 = 6: 𝑥7 = 𝑙𝑛𝑥5 + 2 = ln 3,146037143 + 2 = 3,146143611𝑘 = 7: 𝑥8 = 𝑙𝑛𝑥5 + 2 = ln 3,146143611 + 2 = 3,146177452𝜀 = 𝑥6− 𝑥5 = 3,146177452− 3,146143611 = 3,38𝑥10−5
Como 3,38𝑥10−5 < 10−4 la aproximación cumple con el
criterio de convergencia, por lo tanto la raíz buscada es 𝑥 =3,146177452.
obs.: Suponiendo que 𝑔(𝑥) se hubiese obtenido despejando𝑥 de 𝑙𝑛𝑥, es decir: 𝑥 = 𝑒𝑥−2𝑔(𝑥) = 𝑒𝑥−2 ; 𝑔′(𝑥) = 𝑒𝑥−2 ⟹ 𝑔′ 3 = 𝑒3−2 = 𝑒 = 2,71828
Puesto que 𝑔′𝑥 > 1 , por lo tanto la serie no es
convergente. Al realizar el proceso iterativo no se llegaría a
obtener ninguna raíz.
𝒃) 𝑥 = 20𝑥2 + 2𝑥 + 10
𝑔′(𝑥) = −20(2𝑥 + 2)(𝑥2 + 2𝑥 + 10)2
Para 𝑥0 = 1𝑔′(1) = −80169 = 0,47
𝑬𝒋𝒆𝒎𝒑𝒍𝒐 𝟐:
Halle una raíz real de la ecuación:𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 2𝑥2 + 10𝑥 − 20 = 0
use el método del punto fijo con una tolerancia de 10−3
respecto a la variable 𝑥, tomando como valor inicial 𝑥0 = 1.𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 ____________________________________________________________
𝒂)Sumando 𝑥 a ambos miembros𝑥 = 𝑥3+ 2𝑥2+ 11𝑥 − 20𝑔′(𝑥) = 3𝑥2 + 4𝑥 + 11𝑔′(1) = 18 = 18
𝒙 = 𝑔(𝑥) se presenta de dos maneras:
𝑥𝑘+1 = 20𝑥𝑘2 + 2𝑥𝑘 + 10 𝑥 =1,36906
En síntesis: