S11_C1_Metodos cerrados

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RAICES DE ECUACIONES
RAÍZ O CERO
Sea una función real o compleja. Un número , real o complejo,
para el que es llamado una raíz de la ecuación ó
un cero de .
Ejemplo. La función cuadrática tiene las dos
raíces y .
Si se factoriza la función
a
a
RAÍZ O CERO
Ejemplo. La función
Se reescribe en la forma
Con ayuda de la identidad
Los infinitos ceros de están dados por
RAÍZ O CERO
Las siguientes ecuaciones no pueden solucionarse con
procedimientos analíticos
మ
MÉTODOS CERRADOS
Teorema del valor intermedio.
Sea una función continua sobre el intervalo . Si es un
número tal que ó entonces
existe un número tal que .
MÉTODO DE BISECCIÓN
Se requiere un intervalo sobre el cual una función real
continua, , satisfaga
Cualquiera de las dos condiciones aseguran la existencia de un
número tal que
Las desigualdades indican un cambio de signo de sobre y
equivalen a la condición
MÉTODO DE BISECCIÓN
El método de bisección aprovecha el hecho de que una función, , cambie
de signo sobre el intervalo para buscar la raíz. La localización del
cambio de signo (y, en consecuencia, de la raíz) se logra con más exactitud
al dividir el intervalo en varios subintervalos. Se investiga cada uno de
estos subintervalos para encontrar el cambio de signo. El proceso se
repite y la aproximación a la raíz mejora cada vez más en la medida que
los subintervalos se dividen en intervalos cada vez más pequeños.
El método recibe el nombre de bisección porque el intervalo se divide
siempre a la mitad. Si la función cambia de signo sobre un intervalo, se
evalúa el valor de la función en el punto medio. La posición de la raíz se
determina situándola en el punto medio del subintervalo, dentro del cual
ocurre un cambio de signo. El proceso se repite hasta obtener una mejor
aproximación.
MÉTODO DE BISECCIÓN
Algoritmo del método de bisección.
1. Seleccione dos números para los cuales se cumpla
2. Obtenga
3. Evalúe
4. Si defina y . De lo contrario
defina y y calcule
MÉTODO DE BISECCIÓN
Ejemplo.
Encontrar los ceros de las siguientes funciones sobre los intervalos
dados
MÉTODO DE BISECCIÓN
Teorema.
Si se utiliza el método de bisección con una función continua
sobre el intervalo donde entonces después de
iteraciones se habrá calculado una aproximación de con un
error a lo sumo de
MÉTODOS CERRADOS
Teorema del valor intermedio.
Sea una función continua sobre el intervalo . Si es un
número tal que ó entonces
existe un número tal que .
MÉTODO DE 
FALSA POSICIÓN
Similar al método de bisección en cuanto a que requiere las mismas
hipótesis: una función continua sobre el intervalo donde
.
Este método propone unir los puntos y con una
línea recta. La intersección de esta línea con el eje será el valor de
la aproximación de la raíz.
Algoritmo del método de la falsa posición.
1. Seleccione dos números para los cuales se cumpla
2. Obtenga
3. Evalúe
4. Si defina y . De lo contrario
defina y y calcule
MÉTODO DE 
FALSA POSICIÓN
Ejemplo.
Encontrar los ceros de las siguientes funciones sobre los intervalos
dados
MÉTODO DE 
FALSA POSICIÓN
MÉTODO DE 
FALSA POSICIÓN MODIFICADA
Una forma de subsanar la lenta convergencia del método de falsa
posición debido al comportamiento de algunas funciones consiste
en dividir a la mitad el valor de la función en uno de los extremos
del intervalo de búsqueda de la raíz.
Ejercicio.
Hallar los ceros de la función
sobre el intervalo utilizando el método de bisección, el
método de falsa posición y falsa posición modificado.
Ejercicio.
Utilice los métodos cerrados para calcular la raíz cuadrada positiva
de 18.