Método de Newton Raphson y Método de la secante - Apuntes de Ingeniería Civil

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METODO DE NEWTON RAPHSON
Uno de los métodos más eficaces para la
resolución de ecuaciones algebraicas no lineales
debido a la velocidad de convergencia es de
segundo orden. Para lograr este propósito es
necesario dar un valor inicial adecuado.
El inconveniente de este método es el
conocimiento de la derivada de la función que en
muchos casos puede resultar difícil o imposible de
obtener.
Este método esta basado en la serie de Taylor que
se genera a partir de una raíz 𝑥0 para la función 𝑓(𝑥)
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥0) + 𝑓′ 𝑥0 𝑥 − 𝑥0 + 𝑓′′(𝑥0)(𝑥 − 𝑥0)22! + 𝑓′′′(𝑥0)(𝑥 − 𝑥0)33! + …
Truncando la expresión en la primera derivada y haciendo 𝑓(𝑥) = 0, por condición de solución.0 = 𝑓(𝑥0) + 𝑓 ′ 𝑥0 𝑥 − 𝑥0−𝑓(𝑥0)𝑓 ′ 𝑥0 = 𝑥 − 𝑥0 ⟹ 𝑥 = 𝑥0 − 𝑓(𝑥0)𝑓 ′ 𝑥0
Generalizando 𝑥𝑘+1 = 𝑥𝑘 − 𝑓(𝑘)𝑓 ′ 𝑥𝑘
Interpretación geométrica∆𝒙 = 𝒙𝟎 − 𝒙𝟏
La pendiente de la
tangente a la curva en el
punto 𝒙𝟎 , 𝑓(𝒙𝟎) es:𝑓′ 𝒙𝟎 = 𝑓(𝒙𝟎)∆𝒙∆𝒙 = 𝑓(𝒙𝟎)𝑓′ 𝒙𝟎
𝒙𝟏 = 𝒙𝟎 − 𝑓(𝒙𝟎)𝑓′ 𝒙𝟎
El proceso se repite hasta que un valor 𝒙𝒌
satisfaga 𝑓(𝒙𝒌) ≤ 𝜀, 𝒙𝒌+𝟏 − 𝒙𝒌 ≤ 𝜀 o ambos.
Si lo anterior no se cumpliera en un máximo de iteraciones
debe reiniciarse con un nuevo valor 𝒙𝟎𝑬𝒋𝒆𝒎𝒑𝒍𝒐:
Encuentre una raíz real de la ecuación:𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 2𝑥2 + 10𝑥 − 20 = 0
mediante el método de Newton-Raphson, 𝒙𝟎 = 𝟏, con 𝜀 =10−3 respecto a la variable 𝑥.𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 ____________________________________________________________
𝑥𝑘+1 = 𝑥𝑘 − 𝑥𝑘3 + 2𝑥𝑘2 + 10𝑥𝑘 − 203𝑥𝑘2+ 4𝑥𝑘 + 10
𝑥1 = 1 − 13 + 2 1 2 + 10 1 − 203 1 2 + 4 1 + 10 = 1,411764
Con el mismo proceso se encuentra el siguiente cuadro:
𝑘 𝑥𝑘 𝒙𝒌+𝟏 − 𝒙𝒌
0 1 -
1 1,411764 0,411764
2 1,369336 0,04242
3 1,368808 0,000528
4 1,368808 0,000000
Por lo tanto una raíz aproximada ҧ𝑥 = 1,368808
OBS.: Algunas veces el método de Newton – Raphson no 
converge sino que oscila
METODO DE LA SECANTE
Este método es muy similar al de Newton-Raphson. La
principal diferencia con el método de Newton es que 𝑓 ′ se
aproxima utilizando los dos valores de iteraciones
consecutivas de 𝑓. Esto elimina la necesidad de evaluar
tanto a 𝑓 como a 𝑓 ′ en cada iteración. Por lo tanto, el
método de la secante es más eficiente, particularmente
cuando 𝑓 es una función en la que se invierte mucho tiempo
al evaluarla.
Las aproximaciones sucesivas para la raíz en el método de
la secante están dadas por:
𝑥𝑘+1 = 𝑥𝑘 − 𝑥𝑘 − 𝑥𝑘−1 𝑓 𝑥𝑘𝑓 𝑥𝑘 − 𝑓 𝑥𝑘−1 ; 𝑘 = 1,2, 3, … , 𝑛
Para la aplicación del método de la secante, se requiere de
dos valores iniciales que pueden ser obtenidos mediante el
método de punto fijo u otro método similar.
El proceso de iteración se detiene cuando 𝑔(𝑥𝑘) = 𝑥𝑘+1 o
una vez que cumpla algunos de los siguientes criterios de
convergencia.𝑥𝑘+1 − 𝑥𝑘 ≤ 𝑇𝑜𝑙 1 𝑜 𝑓(𝑥𝑘+1) ≤ 𝑇𝑜𝑙 2
El método de la secante
puede converger a una raíz
no deseada o puede no
converger del todo si la
estimación inicial no es
buena.
𝑬𝒋𝒆𝒎𝒑𝒍𝒐:
Encuentre una raíz real positiva de𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛𝑥 − 𝑥 + 2 = 0 asumiendo como valores iniciales𝑥0 = 3, 𝑥1 = 3,15, con una tolerancia de 10−3 respecto a la
variable 𝑥 atraves del método de la secante𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 ____________________________________________________________
𝑷𝒓𝒐𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒐:
Encuentre una raíz real usando el método de la secante,𝜀 = 10−3, de la ecuación polinomial𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 2𝑥2 + 10𝑥 − 20 = 0𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 ____________________________________________________________
Rta: ҧ𝑥 = 1.36881