Método de la Bisección - Apuntes de Ingeniería Civil

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ECUACIONES ALGEBRAICAS 
NO LINEALES
Métodos de solución
Método de la bisección
Es un método de convergencia lento; sin embargo,
es de fácil implantación y muy usado en
problemas de aplicación. Una desventaja de éste
método es el requerimiento de dos puntos iníciales
para iniciar el proceso iterativo (este método solo
evalúa diversos puntos de la función)
El método de la bisección se basa en el hecho de
que para un intervalo 𝑎, 𝑐 tenga una raíz, basta
que los signos de 𝑓(𝑥) en los dos extremos sean
opuestos o bien que 𝑓(𝑎) o 𝑓(𝑐) se anulen; es decir𝑓(𝑎) . 𝑓(𝑐) ≤ 0.
El primer paso para utilizar este método es
bisectar el intervalo 𝑎, 𝑐 en mitades a saber 𝑎, 𝑏
y 𝑏, 𝑐 , donde 𝑏 = Τ(𝑎 + 𝑐) 2. Si 𝑓(𝑏) y 𝑓(𝑎) tienen
signos contrarios, se reducirá el intervalo de 𝑎 a 𝑏
( 𝑎, 𝑏 ) , luego de hace 𝑏 = 𝑐; se procede del
mismo modo hasta satisfacer una tolerancia dada𝜀 o el criterio de convergencia establecido.
Para el método, número de iteraciones
aproximadas: 𝑛𝑛 ≥ 𝐿𝑜𝑔2 (𝑐 − 𝑎)0𝜀
Criterio de convergencia
Previamente se establece una tolerancia ya sea
para la variable 𝑥 o para la función 𝑓(𝑥) ,
dependiendo de las propiedades físicas motivo
de estudio.
Se calcula el error para la variable 𝑥 hasta que
este, sea menor que la tolerancia; es decir:𝑥𝑘+1 − 𝑥𝑘 ≤ 𝑇𝑜𝑙 1𝑓(𝑥) ≤ 𝑇𝑜𝑙 2
Si se cumple con alguno de estos criterios se
habrá hallado la solución, de lo contrario, se
continúa iterando de acuerdo al método.
𝑬𝒋𝒆𝒎𝒑𝒍𝒐:
Encuentre la raíz real positiva de 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛𝑥 − 𝑥 + 2 = 0 ; 
usando el método de la bisección con una tolerancia de 10−4 para la variable 𝑥.𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 ____________________________________________________________
𝒌 𝒂 𝒄 𝒇(𝒂) 𝒇(𝒄) 𝒃 = 𝒙𝒌 𝒇𝒙𝒌 𝒙𝒌+𝟏− 𝒙𝒌
1 2 4 0.6931 -0.6137 3 0,0986 -
2 3 4 0,0986 -0.6137 3.5 -0.2472 0.5
3 3 3.5 0.0986 -0.2472 3.25 -0.0713 0.25
4 3 3.25 0.0986 -0.0713 3.125 0.0144 0.125
5 3.125 3.25 0.0144 -0.0713 3.1875 -0.0282 0.0625
6 3.125 3.1875 0.0144 -0.0282 3.15625 -0.00686 0.03125
7 3.125 3.15625 0.0144 -0.00686 3.140625 0.00379 0.015625
8 3.140625 3.15625 0.00379 -0.00686 3.1484375 -0.00153 0.0078125
La función 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛𝑥 − 𝑥 + 2 = 0 es continua para todo 𝑥 > 0, por lo tanto
evaluaremos para cualquier par de valores positivos de modo que haya
cambio de signo en la función.
𝒌 𝒂 𝒄 𝒇(𝒂) 𝒇(𝒄) 𝒃 = 𝒙𝒌 𝒇𝒙𝒌 𝒙𝒌+𝟏− 𝒙𝒌
9 3.140625 3.1484375 0.00379 -0.00153 3.14453125 0.00113 0,00390625
10 3.14453125 3.1484375 0.00113 -0.00153 3.146484375 -1.9861x10−4 0,001953125
11 3.14453125 3.146484375 0.00113 -1.9861x10−4 3.145507813 4.6753x10−4 0,000976562
12 3.145507813 3.146484375 4.6753x10−4 -1.9861x10−4 3.145996094 1.34469x10−4 0,000488281
13 3.145996094 3.146484375 1.34469x10−4 -1.9861x10−4 3.146240235 -3.2070x10−5 0,000244141
14 3.145996094 3.146240235 1.34469x10−4 -3.2070x10−5 3.146118165 5.119932x10−5 1,2207x10−4
15 3.146118165 3.146240235 5.119932x10−5 -3.2070x10−5 3.1461792 9,5642x10−6 6,1035x10−5
Al cumplirse el criterio de convergencia se puede obtener el valor
aproximado de ҧ𝑥 = 3,1461792𝑷𝒓𝒐𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒐:
S i se sabe que la raíz de 𝑒𝑥 − 2 = 0 está en el intervalo0,2 hallar un valor aproximado de la raíz con un 𝜀 = 0.01𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 ____________________________________________________________
Rta: ҧ𝑥 = 0,693359
𝑨𝒑𝒍𝒊𝒄𝒂𝒄𝒊ó𝒏:
La concentración de bacterias contaminantes 𝐶 en un lago
disminuye de acuerdo con la ecuación𝐶(𝑡) = 75𝑒−1,5𝑡 + 20𝑒−0,075𝑡
Determine el tiempo, en horas, que debe transcurrir para
que la concentración se reduzca a 15 bacterias. Use el
método de la bisección con una tolerancia de 2.0𝑥10−3.𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 ____________________________________________________________
Rta: ҧ𝑡 = 4.00195
La función de trabajo debe tener la forma:𝑓(𝑡) = 𝐶(𝑡) − 1575𝑒−1,5𝑡 + 20𝑒−0,075𝑡 − 15 = 0
Luego tomar dos valores iniciales que cumpla con el
teorema de Bolzano y comenzar con la iteración hasta que
cumpla con la condición de tolerancia.
𝒌 𝒂 𝒄 𝒇(𝒂) 𝒇(𝒄) 𝒃 = 𝒙𝒌 𝒇𝒙𝒌 𝒙𝒌+𝟏− 𝒙𝒌
1 3 5 1,8035 -1.21273 4 0.00227 -
2 4 5 0,00227 -1.21273 4.5 -0.64114 0,5
3 4 4.5 0,00227 -0.64114 4.25 -0.33108 0,25
4 4 4.25 0,00227 -0.33108 4.125 -0.16777 0,125
5 4 4.125 0,00227 -0.16777 4.0625 -0.08366 0,0625
6 4 4.0625 0,00227 -0.08366 4.03125 -0.04093 0,03125
7 4 4,03125 0,00227 -0.04093 4.01563 -0.01939 0,01563
8 4 4.01563 0,00227 -0.01939 4.00781 -0.00857 0,00781
9 4 4.00781 0,00227 -0.00857 4.00391 -0.00316 0,00391
10 4 4.00391 0,00227 -0.00316 4.00195 -0.00044 0,00195
11 4 4.00195 0,00227 -0.00044 4.00098 0,00091 0,00098
Cuadro de resultados del ejercicio Aplicación