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QA371 R293 1998 RAINVILLE V EARL D. 11111111111111111111111111111111111111111111111111 LB004503 ECUACIONES DIFERENCIALES http://gratislibrospdf.com/ http://gratislibrospdf.com/ Ecuaciones diferenciales OCTAVA EDICIÓN Earl D. Rainville V Late Professor of Mathematics University of Michigan Phillip E. Bedient Professor Emertius of Mathematics Franklin and Marshall College Richard E. Bedient Professor of Mathematics Hamilton College Traducción: Víctor HU~Ibarra Mercado Lic. en Físi y Matemáticas ESFM, Instit to Politécnico Nacional Revisión Técnica: Oscar Alfredo Palmas Velasco Matemático Facultad de Ciencias, UNAM PRBNTICE HALL MÉXICO· NUEVA YORK· BOGOTÁ· LONDRES· MADRID MUNICH • NUEVA DELHI • PARÍS· RÍo DE JANEIRO • SIDNEY SINGAPUR • TOKIO· TORONTO • ZURlCH http://gratislibrospdf.com/ EDICIÓN EN ESPAÑOL: DIRECTOR DE MERCADOTECNIA: GERENTE DIVISIÓN COLLEGE: GERENTE EDITORIAL: EDITOR: DIRECTOR DE EDICIONES: GERENTE DE EDICIONES: GERENTE DE TRADUCCIÓN: GERENTE DE PRODUCCIÓN: SUPERVISOR DE TRADUCCIÓN: SUPERVISORA DE PRODUCCIÓN: EDICIÓN EN INGLÉS: Acquisitions Editor: George Lobell Editorial Assistant: Gale Epps Editorial Director: Tim Bozik Editor-in-Chief: Jerome Grant MOISÉS PÉREZ ZAVALA JOSÉ TOMÁS PÉREZ BONILLA LUIS CEDEÑO PLASCENCIA PABLO EDUARDO ROIG V ÁZQUEZ ALBERTO SIERRA OCHOA JUAN ANTONIO RODRÍGUEZ MORENO JORGE BONILLA TALAVERA JULIÁN ESCAMILLA LIQUIDANO JOSÉ LUIS NÚÑEz HERREJÓN OLGA ADRIANA sÁNCHEZ NAVARRETE Assistant Vice President of Production and Manufacturing: David R. Riccardi EditoriallProduction Supervisor: Robert C. Walters Managing Editor: Linda Mihatov Behrens Executive Managing Editor: Kathleen Schiaparelli Manufacturing Buyer: Alan Fischer Manufacturing Buyer: Trudy Pisciotti Marketing Manager: John Tweeddale Marketing Assistant: Diana Penha Creative Director: Paula Maylahn Art Manager: Gus Vibal Art Director: Maureen Eide Cover and Interior Designer: Jill Little Cover Photo: Spinning Schaft, by Alejandro and Moira Siña Supplements Editor: Audra Walsh RAINVILLE: ECUACIONES DIFERENCIALES, Octava Edición Traducido del inglés de la obra: ELEMENTARY DIFFERENTIAL EQUATIONS, 8a. Ed. AIl rights reserved. Authorized translation from English language edition published by Prentice-Hall, Inc. '------Todos los derechos reservados. Traducción autorizada de la edición en inglés publicada por Prentice-Hall, Inc. Al! rights reserved. No part of this book may be reproduced or transmitted in any form or by any means, electronic or mechanical, including photocopying, recording or by any information storage and retrieval system, without permission in writing from the publisher. Prohibida la reoroducción total o oarcial de esta obra, por cualquier medio o método sin autorización por escrito del editor. Derechos reservados © 1998 respecto a la primera edición en español publicada por: Prentice Hall Hispanoamericana, S.A. Calle 4 N9 25-29 piso Fracc. Ind. Alce Blanco, Naucalpan de Juárez, Edo. de México, c.P. 53370 ISBN 970-17-0069-4 Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial, Reg. Núm. 1524. Original English Language Edition Published by Prentice-Hall, Inc. A Simon & Schuster Company Copyright © MCMXCVII Al! rights reserved ISBN 0-13-508011-8 IMPRESO EN MÉXICOIPRINTED IN MEXICO • JUL UTOGRAFICA INGRAMEX, SA DE C.V. CENTENO NO. 162-1 MEXICD,OJ. C.P. 09810 3000 1998 • • http://gratislibrospdf.com/ Para Esther, Marie, Betsy Katey Adam http://gratislibrospdf.com/ http://gratislibrospdf.com/ Contenido Prefacio / Xl1l 1 Definiciones; familias de curvas / 1 1.1 Ejemplos de ecuaciones diferenciales / 1 1.2 Definiciones / 2 1.3 Familias de soluciones / 5 1.4 Interpretación geométrica / 10 1.5 Las isoc1inas de una ecuación / 12 1.6 Un teorema de existencia / 14 1.7 Suplemento para computadora / 15 2 Ecuaciones de orden uno / 18 2.1 Separación de variables / 18 2.2 Funciones homogéneas / 24 2.3 Ecuaciones con coeficientes homogéneos / 25 2.4 Ecuaciones exactas / 29 2.5 La ecuación lineal de orden uno / 35 2.6 La solución general de una ecuación lineal / 38 2.7 Suplemento para computadora / 43 3 Métodos numéricos / 45 3.1 Observaciones generales / 45 · 3.2 Método de Euler / 45 3.3 Una modificación al método de Euler / 48 v http://gratislibrospdf.com/ vi Contenido 3.4 Un método de aproximación sucesiva / 49 3.5 Una mejora en el método de aproximación sucesiva / 51 3.6 Uso del teorema de Taylor / 52 3.7 Método de Runge-Kutta / 54 3.8 Un método de continuación / 58 3.9 Suplemento para computadora / 60 4 Aplicaciones elementales / 62 4.1 Velocidad de escape desde la Tierra / 62 4.2 Ley del enfriamiento de Newton / 64 4.3 Conversión química simple / 65 4.4 Crecimiento logístico y precio de mercancías / 69 4.5 Suplemento para computadora / 73 5 Temas adicionales sobre ecuaciones de orden uno / 75 5.1 Factores integrantes determinados por inspección / 75 5.2 Determinación de factores integrantes / 79 \ 5.3 Sustitución sugerida por la ecuación / 83 5.4 Ecuación de Bernoulli / 86 5.5 Coeficientes lineales en dos variables / 89 5.6 Soluciones que involucran integrales no elementales / 94 5.7 Suplemento para computadora / 97 6 Ecuaciones diferenciales lineales / 99 6.1 La ecuación lineal general / 99 6.2 Un teorema de existencia y unicidad / 100 6.3 Independencia lineal / 102 6.4 El Wronskiano / 103 6.5 Solución general de una ecuación homogénea / 106 6.6 Solución general de una ecuación no homogénea / 107 6.7 Operadores diferenciales / 109 6.8 Leyes fundamentales de operación / 111 6.9 Algunas propiedades de los operadores diferenciales / 113 6.10 Suplemento para computadora / 115 http://gratislibrospdf.com/ Contenido / vii 7 Ecuaciones lineales con coeficientes constantes / 117 7.1 Introducción / 117 7.2 La ecuación auxiliar: raíces distintas / 117 7.3 La ecuación auxiliar: raíces repetidas / 120 7.4 Una definición de exp z para valores complejos de z / 123 7.5 La ecuación auxiliar: raíces complejas / 125 7.6 Una observación acerca de las funciones hiperbólicas / 127 7.7 Suplemento para computadora / 132 8 Ecuaciones no homogéneas: coeficientes indeterminados / 134 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 Construcción de una ecuación homogénea a partir de una solución específica / 134 Solución de una ecuación no homogénea / Método de coeficientes indeterminados / Solución por inspección / 144 Suplemento para computadora / . 150 9 Variación de parámetros / 152 9.1 Introducción / 152 9.2 Reducción de orden / 152 9.3 Variación de parámetros / 156 9.4 Solución de yl! + Y = ¡ex) / 161 9.5 Suplemento para computadora / 164 10 Aplicaciones / 165 10.1 Vibración de un resorte / 165 10.2 Vibraciones no amortiguadas / 167 10.3 Resonancia / 169 10.4 Vibraciones amortiguadas / 172 10.5 El péndulo simple / 177 10.6 Leyes de Newton y movimiento planetario 10.7 Fuerza central y la segunda ley de Kepler 10.8 Primera ley de Kepler / 180 / 137 139 / 178 179 http://gratislibrospdf.com/ viii Contenido 10.9 Tercera ley de Kepler / 182 10.10 Suplemento para computadora / 184 11 Sistemas de ecuaciones lineales / 186 11.1 Introducción / 186 11.2 Sistemas de primer orden con coeficientes constantes / 186 11.3 Solución de un sistema de primer orden / 187 11.4 Repaso de álgebra matricial / 189 11.5 Revisión de sistemas de primer orden / 195 11.6 Valores propios complejos / 204 11.7 Valores propios repetidos / 208 · 11.8 Plano fase / 216 11.9 Suplemento para computadora / 222 12 Sistemas no homogéneos de ecuaciones / 224 13 14 12.1 Sistemas no homogéneos / 224 12.2 Carrera armamentista / 228 12.3 Circuitos eléctricos / 232 12.4 Redes sencillas / 235 Existencia y unicidad de soluciones 13.1 Observaciones preliminares / 243 13.2 Un teorema de existencia y unicidad 13.3 Condición de Lipschitz / 246 / / 13.4 Demostración del teorema de existencia13.5 Demostración del teorema de unicidad / 13.6 Otros teoremas de existencia / 251 La transformada de Laplace / 252 14.1 El concepto de transformación / 252 14.2 Definición de la transformada de Laplace 14.3 Transformadas de funciones elementales 243 243 / 250 250 / 253 / 253 14.4 Funciones continuas por secciones / 257 14.5 Funciones de orden exponencial / 258 14.6 Funciones de clase A / 261 http://gratislibrospdf.com/ Contenido \ 14.7 14.8 14.9 14.10 Transformada de derivadas / Derivadas de transformadas / La función gamma / 267 Funciones periódicas / 269 263 266 15 Transformadas inversas / 274 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6 15.7 15.8 15.9 15.10 Definición de una transformada inversa / 274 Fracciones parciales / 277 Problemas de valor inicial / 280 Función escalón / 286 Un teorema de convolución / 294 , Ecuaciones integrales especiales / 298 Métodos de transformación y vibración de resortes Deflexión de vigas / 307 Sistemas de ecuaciones .. / 310 Suplemento para computadora / 316 / 303 16 Ecuaciones no lineales / 320 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 16.7 16.8 16.9 16.10 Observaciones preliminares / 320 Factorización del miembro izquierdo / 320 Soluciones singulares / 323 Ecuación con discriminante e / 325 La ecuación con discriminante p / 326 Eliminación de la variable dependiente / 328 Ecuación de Clairaut / 330 Ecuaciones sin variable dependiente explícita / 334 Ecuaciones sin variabl~ independiente explícita / 335 La catenaria / 338 17 Soluciones en series de potencias / 342 17.1 Ecuaciones lineales y series de potencias / 342 17.2 Convergencia de series de potencias / 343 V 17.3 Puntos ordinarios y puntos singulares / 345 ix 17.4 Validez de las soluciones cerca de un punto ordinario / 347 17.5 Soluciones cerca de un punto ordinario / 347 17.6 Suplemento para computadora / 256 http://gratislibrospdf.com/ x Contenido 18 Soluciones cerca de puntos singulares regulares / 358 18.1 Puntos singulares regulares / 358 19 18.2 Ecuación indicatriz / 360 18.3 Forma y validez de soluciones cerca de un punto singular regular / 362 18.4 Ecuación indicatriz cuya diferencia entre las raíces no es un entero / 363 18.5 Diferenciación de un producto de funciones / 367 18.6 Ecuación indicatriz con raíces iguales / 368 18.7 Ecuación indicatriz con raíces iguales: una alternativa / 374 18.8 Ecuación indicatriz cuya diferencia entre raíces es un entero positivo: caso no logarítmico / 377 18.9 Ecuación indicatriz cuya diferencia entre raíces es un entero positivo: caso logarítmico / 381 18.10 La solución para valores grandes de x / 385 18.11 Relaciones de recurrencia que dependen de varios términos / 388 18.12 Resumen / 392 Ecuaciones de tipo hipergeométrico / 19.1 Ecuaciones que se tratarán en este capítulo 19.2 Función factorial / 396 19.3 Función hipergeométrica / 397 19.4 Polinomios de Laguerre / 399 19.5 Ecuación de Bessel con índice no entero 19.6 Ecuación de Bessel con índice entero / 19.7 Polinomios de Hermite / 402 19.8 Polinomios de Legendre / 403 , 396 / 396 / 400 401 20 Ecuaciones diferenciales parciales / 404 20.1 Observaciones sobre ecuaciones diferenciales parciales / 404 20.2 Algunas ecuaciones diferenciales parciales de matemáticas aplicadas / 404 20.3 Método de separación de variables / 406 http://gratislibrospdf.com/ Contenido 20.4 Un problema de conducción de calor en una lámina / 411 20.5 Suplemento para computadora / 416 21 Conjuntos de funciones ortogonales / 418 21.1 Ortogonalidad / 418 21.2 Conjuntos simples de polinomios / 419 21.3 Polinomios ortogonales / 419 21.4 Ceros (raíces) de polinomios ortogonales / 421 21.5 Ortogonalidad de los polinomios de Legendre / 422 21.6 Otros conjuntos ortogonales 22 Series de Fourier / 425 22.1 Ortogonalidad de un conjunto de senos y cosenos / 22.2 Series de Fourier: un teorema de desarrollo / 427 22.3 Ejemplos numéricos de series de Fourier / 431 >- 22.4 Series de Fourier en términos de senos / 438 22.5 Series de Fourier en términos de cosenos / 441 22.6 Análisis numérico de Fourier / 443 22.7 Cómo mejorar la rapidez de convergencia / 444 22.8 Suplemento para computadora / 445 23 Problemas con valores en la frontera / 447 23.1 La ecuación del calor en una dimensión / 447 23.2 Verificación experimental de la validez de la ecuación del calor / 453 425 23.3 Temperatura superficial que varía con el tiempo / 455 23.4 Conducción del calor en una esfera / 457 23.5 La ecuación de onda simple / 458 23.6 La ecuación de Laplace en ocho dimensiones / 461 23.7 Suplemento para computadora / 464 24 Propiedades adicionales de la transformada de Laplace / 467 24.1 Series de potencias y transformadas inversas / 467 24.2 Función error / 471 xi / http://gratislibrospdf.com/ xii Contenido 24.3 Funciones de Besse1 / 478 24.4 Ecuaciones diferenciales con coeficientes variables / 480 25 Ecuaciones diferenciales parciales: métodos de transformación / 481 25.1 Problemas con valores en la frontera / 481 25.2 Ecuación de onda / 485 25.3 Difusión en un sólido semiinfinito / 488 25.4 Variables canónicas / 491 25.5 Difusión en una lámina de ancho finito / 493 25.6 Difusión en un octante infinito / 496 Respuestas a los ejercicios / 500 Índice / 527 http://gratislibrospdf.com/ Prefacio Al preparar esta nueva edición de Ecuaciones diferenciales elementales, nos propusimos alcanzar dos objetivos de importancia primordial: primero, mantener el estilo directo que los estudiantes y maestros de las ediciones anteriores han aceptado tan bien. Segundo, como una respuesta a los cambios en la naturaleza de muchos cursos de ecuaciones diferenciales, agregamos material geométrico nuevo, reorganizamos algunas secciones y añadimos un componente computacional al texto. El nuevo material geométrico aparece principalmente en las secciones 1.4 y 11.8. En la primera, introducimos el concepto de una familia de curvas como solución para una ecua- ción diferencial; en la sección 11.8 presentamos el concepto de plano fase de un sistema de ecuaciones. También, el tratamiento de sistemas de ecuaciones lo veremos con más antici- pación en el presente libro. De todas las áreas de las matemáticas que se cubren en un plan de estudios universitario tradicional, el campo de las ecuaciones diferenciales es tal vez sobre el que más influencia tiene el uso de la computadora. Se han producido numerosos programas que están diseña- dos específicamente para ecuaciones diferenciales o que tienen sub aplicaciones para ese ti- po de material. En este libro tomamos la decisión, algo arbitraria, de presentar nuestros ejemplos para computadora utilizando el programa denominado Maple. Pudimos haber elegido igualmente cualquiera de los otros sistemas de álgebra computacional, como Mathe- matica, Matlah o Derive. Hay también varios programas muy eficaces para trazar gráficas numéricas y los cuales producen resultados geométricos excelentes. Entre los más común- mente disponibles se encuentran MacMath y Phaser. Cada suplemento para computadora contiene un ejemplo del capítulo correspondiente y está resuelto con ayuda de Maple. Posteriormente, se presenta un conjunto de ejercicios que el estudiante puede resolver por medio de cualquiera de los programas disponibles en el mercado. Nuestro deseo es que estas introducciones, aunque breves, alienten a los lecto- res a ir más allá del texto y a emprender exploraciones adicionales con la computadora. Queremos expresar asimismo nuestro agradecimiento a los revisores siguientes por sus comentarios al manuscrito de la octava edición: Ebrahim Salchi, University ofNevada-Las Vegas; J. P. Mokanski, University ofGuelph; Thomas G. Berry, University ofManitoba; Gi- les Wilson Maloof, Boise State University; John H. Ellison, Grove City College; James L. Handley, Montana Tech; Baigiao Deng, Columbus College y Jay Delkin, University of WesternOntario. Phillip. E. Bedient Richard E. Bedient xiii http://gratislibrospdf.com/ http://gratislibrospdf.com/ 11 Definiciones; familias de curvas ) I 1.1 I Ejemplos de ecuaciones diferenciales La construcción de modelos matemáticos para tratar los problemas del mundo real se ha des- tacado como uno de los aspectos más importantes en el desarrollo teórico de cada una de las ramas de la ciencia. Con frecuencia estos modelos implican una ecuación en la que una función y sus derivadas desempeñan papeles decisivos. Tales ecuaciones son llamadas ecuaciones diferenciales. Como en la ecuación (3), una derivada puede estar presente de manera implícita a través de diferenciales. Nuestra meta es encontrar métodos para resolver tales ecuaciones; esto es, determinar la función o funciones desconocidas que satisfagan una ecuación diferencial. Los siguientes son ejemplos de ecuaciones diferenciales: dy (1)- = cosx, dx d2y (2)-2 +k2y =0, dx (x2 + l)dx - 2xydy = O, (3) au = h2 (a 2 u + a 2 u) , (4) at ax2 ay2 d2i di 1 (5)L- + R- + -i = Eto cos cot; dt? dt e a-v a2v (6)-+--0ax2 ay2 - , (d 2 wy dw (7)--2 - xy- + w = O, dx dx 1 http://gratislibrospdf.com/ 2 Capítulo 1 Definiciones; familias de curvas d3x dx - +x- - 4xy = 0, dy3 dy (8) d2y (dy )3 - 2 + 7 - - 8y = 0, dx dx (9) (10) af af x- +y- =nf. ax ay (11) Cuando una ecuación involucra a una o más derivadas con respecto a una variable en par- ticular, tal variable es llamada independiente. Una variable es dependiente si aparece una derivada de esa variable. En la ecuación: d 2i di l L dt 2 + R dt + C i = Ewcoswt (5) i es la variable dependiente, t la variable independiente y L, R, e, E y ro son llamados pará- metros. La ecuación: a2v a2 v -+-=0 ax2 ay2 tiene una variable dependiente Vy dos variables independientes. Puesto que la ecuación: puede ser escrita: o (x2 + i)dx - 2xy dy = O dy x 2 + i - 2xy- = ° dx ¡ dx (x 2 + i) - - 2xy = 0, dy (6) (3) podemos considerar a cualquiera de las variables como la variable dependiente y la otra será la independiente . • Ejercicios ldentitique las variables independientes, las dependientes y los parámetros que existan en las ecuaciones dadas como ejemplos en esta sección. 1 .2 Definiciones El orden de una ecuación diferencial es el orden de la derivada de orden más alto que apa- rezca en la ecuación. Por ejemplo, http://gratislibrospdf.com/ 1.2 Definiciones 3 (1) es una ecuación de "orden dos". También se le denomina "ecuación de segundo orden". En general, la ecuación: F( / (n)) - O x , y,y , oO . ,y - (2) es llamada ecuación diferencial ordinaria de "orden-n". Bajo restricciones adecuadas so- bre la función F, en la ecuación (2) podemos despejar explícitamente yen) en términos de las otras n + 1 variables x, y, y', ... , yen-l), para obtener: (n) _ f( , (n - l)) y - x,y,y,oO.,y . (3) Para los propósitos de este libro supondremos que esto siempre es posible. En caso contra- rio, una ecuación como la (2) se puede representar en la práctica por más de una ecuación de la forma de la ecuación (3) . Por ejemplo, la ecuación: X(y')2 + 4y' - 6x 2 = O puede representarse por dos ecuaciones diferentes, , -2+J4+6x3 y ,= ------------ o -2-J4+6x3 y' = ------------ x x Una función <jJ, definida en un intervalo a < x < b, es llamada solución de la ecuación diferencial (3), a condición de que las n derivadas de la función existan en el intervalo a<x<b y: c/>(n)(x) = f(x, c/>(x), c/>/(x), ... , c/>(n-l)(x)), para toda x en a < x < b. Por ejemplo, verifiquemos que: es una solución de la ecuación: d2y dy -+-- -6y=0. dx2 dx (4) Sustituimos nuestra solución tentativa en el miembro izquierdo de la ecuación (4) Y encon- tramos que para todos los valores de x: d2y dy - + -- - 6y = 4e2x + 2e2x - 6e2x == O, dx2 dx lo cual completa la verificación deseada. http://gratislibrospdf.com/ 4 Capítulo 1 Definiciones; familias de curvas Todas las ecuaciones que consideraremos en el capítulo 2 son de orden uno y, por lo tan- to, pueden escribirse: dy dx = ¡(x, y). En tales ecuaciones, a veces es conveniente usar las definiciones de cálculo elemental para escribirlas en la forma: . M(x, y) dx + N(x, y) dy = O. (5) Un concepto muy importante en el estudio de ecuaciones diferenciales es el de lineali- dad. Una ecuación diferencial ordinaria de orden n es llamada lineal si puede ser escrita en la forma: . dn y dn - ¡y dy bo(x)- + b¡ (x)--¡ + ... + bn- I (x) - + bn(x) y = R(x). dxn dxn- dx Por ejemplo, la ecuación (1) es no lineal, y la ecuación (4) es lineal. La ecuación: x2y" + xy' + (x 2 - n2)y = 4x3 también es lineal. La noción de linealidad puede ser aplicada también a ecuaciones diferenciales parcia- les. Por ejemplo, aw aw bo(x, y)~ + b¡ (x, Y)ay = R(x, y) es la forma general de la ecuación diferencial parcial lineal de primer orden con dos varia- bles independientes, y a2w a2w a2w bo(x, y) ax2 + b l (x, y) axay + b2(x, y) ay2 aw aw + b3 (x, y) - + b4 (x, y)- + bs(x, y)w = R(x , y) ax ay es la forma general de la ecuación diferencial parcial Iinéal de segundo orden con dos variables independientes . • Ejercicios Del ejercicio I al 16, establezca si la ecuación es ordinaria o parcial, lineal o no lineal , y dé su orden. 1. 2. http://gratislibrospdf.com/ 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. (x 2 + y2) dx + 2xy dy = O. y' + P(x)y = Q(x) . ylll - 3y' + 2y = O. \ yy" = x. a2u a2u a2u - +-+-=0. ax2 ay2 az2 d4y -4 = w(x) . dx d2y d 2x x--y-=c,. dt2 dt2 1.3 Familias de soluciones di 10. L- + Ri = E. dt 1l. (x + y)dx + (3x 2 -l)dy = O. 12. x(y")3 + (y' )4 - Y = O. 13. (d 3 wy (dWy - -2 - +yw = Ü. dx 3 dx 14. dy 2 - = 1-xy + y . dx 15 . y" + 2y' - 8y = x2 + cos x. 16. ada + bdb = O. 17. Verifique si sen kt es una solución para la ecuación del ejercicio ,l. 18. Verifique si e-2x es una solución para la ecuación del ejercicio 5. 19. Verifique si 3e- 2x + 4e' es una solución para la ecuación del ejercicio 5. 20. La función de Bessel de índice cero está definida por la serie de potencias: 00 (_1)" x2n Jo(x) = ~ (n!) 2221l Verifique si Jo(x) es una solución para la ecuación diferencial: xy" + y' + x y = ü. 5 21. Verifique si para x > O, (2 / -f3)x3/2 es una solución para la ecuación del ejercicio 6. 1 .3 Familias de soluciones Todo estudiante de cálculo ha invertido una cantidad considerable de tiempo en encontrar- le soluciones a las ecuaciones diferenciales de primer orden de la forma: dy - = f(x). dx Este problema de antiderivada con frecuencia es escrito: y = f f(x )dx + C (1) (2) y al estudiante se le pide encontrar una sola función de x cuya derivada sea idéntica af(x) en algún intervalo. Una vez determinada tal función, se demuestra que cualquier otra función que satisface la ecuación diferencial (1) difiere de la primera función por una cons- tante para toda x en el intervalo. Este importante teorema establece el hecho de que las so- http://gratislibrospdf.com/ 6 Capítulo 1 Definiciones; familias de curvas luciones de la ecuación (1) no ocurren aisladas, sino como una fam ilia de soluciones con un parámetro, la llamada constante arbitraria e de la ecuación (2) . Si consideramos la ecuación diferencial general de primer orden: dy dx = f(x, y), (3) el problema de encontrar las soluciones, esto es; funciones qy(x) que sati sfagan la ecuación cuando se sustituya por la variable dependiente y, en general es más difícil, si no imposi- ble. Sin embargo, como veremos, estas soluciones, cuando existen, aparecen como familias de soluciones con un parámetro. En el capítulo 2 estudiaremos varios métodos para encontrar famili as de soluciones de algunos tipos particulares de ecuaciones de primer orden; pero, en general, no existe una fórm ul a universal que resuelva todas las ecuaciones. Por el momento nos conformaremos con ilustrar lo que sucede en algunos ejemplos senci llos . EJEMPLO1.1 La ecuación diferencial: tiene la fam ili a de soluciones: dy - = 8sen 4x dx y = -2cos4x + e, una senci lla antiderivac ión ha producido este resultado. (4) (5) Si deseamos encontrar un miembro de la familia (5) que sati sfaga la condición adicio- nal y = 6 cuando x = O, estaremos obligados a e legir e = 8. Entonces decimos que: y = - 2cos4x + 8 es la solución al problema de valor inicial: EJEMPLO 1.2 dy - = 8sen 4x , dx y = 6, cuando x = O. • Del cálculo, aprendimos que la derivada de la Funciónf(x) = ce2.x esj'(x) = 2ce2.x. Expre- sado en el lenguaje de ecuaciones diferenciales, decimos que la ecuación diferencial: d y - =2y dx (6) http://gratislibrospdf.com/ 1.3 Familias de soluciones 7 tiene la familia de soluciones: y = ee2x . Si buscamos una solución de la ecuación (6) que satisfaga: d y dx = 2y , y = 4, cuando x = 0, entonces, de la ecuación (7) vemos que e = 4 Y la solución de (8) es: y = 4e2x . EJEMPLO 1.3 Considere la ecuación de segundo orden: 1/ 12 2 Y = x. Al integrar ambos miembros de esta ecuación con respecto a x se obtiene: y' = 4x3 + el. Una segunda integración produce: 4 Y = x + el x + e2· (7) (8) • (9) (lO) (11) En este ejemplo hay dos constantes arbitrarias, de modo que tenemos una familia de solu- ciones con dos parámetros. Esto significa que para aislar a un miembro de esta familia necesitamos proporcionar dos partes de información. Por lo común éstas son dadas especi- ficando los valores de y y y '_para el mismo valor de x. Por ejemplo, suponga que queremos encontrar la solución de (9) que también satisfaga y (O) = 1 Y y'(O) = 2. Sustituyendo x = ° y y' = 2 en (10) vemos que el = 2, de modo que: y = x 4 + 2x + e2. Por último, sustituyendo x = 0, y = 1, vemos que e2 = 1, de modo que la solución reque- rida es: • EJEMPLO 1.4 Considere la familia de curvas con un parámetro: (12) http://gratislibrospdf.com/ 8 Capítulo 1 Definiciones; familias de curvas Una diferenciación de ambos miembros de esta ecuación con respecto ax produce: 2 2 d y 3x - 3x - - 6xy = O dx o dy x - 2y cuando x =f- O. (13) dx x De haber iniciado este ejemplo con la ecuación (13) y tratando de encontrar la familia de curvas dadas por la ecuación (12), nos habríamos enfrentado a un problema mucho más desafiante que los de los ejemplos anteriores. Aprenderemos cómo resolver la ecuación (13) en el capítulo 2. Aquísólo indicaremos que el valor x = O crea cierta dificultad tanto para la ecuación diferencial (13) como para su familia de soluciones: obtenida de la ecuación (12). EJEMPLO 1.5 Considere la familia de círculos: (x - 2)2 + (y + 1)2 = e2 . Una sencilla diferenciación con respecto a x produce: dy 2(x - 2) + 2(y + 1)- = O dx o dy dx = -(x - 2) y + 1 ' cuando y =f- -1 . • (14) (15) Aquí estamos obligados a pensar en la familia de círculos como en dos familias de semi- círculos, una familia: y = -1 + J e2 - (x - 2)2 (16) y la otra: y = -1 - J e2 - (x - 2)2 . (1 7) En la ecuación (16) tenemos una familia de soluciones de la ecuación diferencial para y > -1, mientras que en la ecuación (17) tenemos una familia de soluciones de (15) para y < - 1. Para resolver el problema de valor inicial: dy dx - (x - 2) y + 1 ' y = 2, cuando x = - 1, (18) http://gratislibrospdf.com/ dy dy 41. -=x3+2x. 4. - dx dx x2 - 1 dy 3 dy 2 2. - 5. - dx x dx x2 +4 • 3. dy dy 3- = 4cos6x. 6. -\ dx dx x2 +x Resuelva los problemas de valor inicial de los ejercicios 7 al 12. e: (13) a familia chomás ecuación tad tanto (14) (15) de semi- (16) (17) cial para de (15) (18) 1.3 Familias de soluciones 9 debemos elegir el parámetro e de la ecuación (16), ya que 2 > -1. Tenemos 2 = -1 + ~e2 - 9 o e = m. Por lo tanto, la función: y = -1 + J18 - (x - 2)2 es la solución que buscamos. Su gráfica es la de un semicírculo de radio m. • Ejercicios Resuelva las ecuaciones diferenciales de los ejercicios 1 al 6. dy 7. - = 3ex y = 6, cuando x = O. dx ' 8. ~~ = 4e-3x, y = 2, cuando x = O. dy 9. dx = 4y, Y = 3, cuando x = O. dy 10. dx = -5y, Y = 7, cuando x = O. dy 11. - = 4 sen 2x, y = 2, cuando x = tt /2. dx dy 12. dx = x2 + 3 + e2x, y = -1, cuando x = O. 13. Demuestre que la familia de círculos (x + 1)2 + (y - 3)2 = e2puede ser interpretada como dos familias de soluciones para la ecuación diferencial: dy -(x + 1) dx y - 3 14. Demuestre que la familia de parábolas y = ax2 puede ser interpretada como dos familias de soluciones para la ecuación diferencial: dy 2y dx x • http://gratislibrospdf.com/ 10 Capítulo 1 Definiciones; familias de curvas después encuentre la solución al problema de valor inicial: d y dx 2y x y = 2, cuando x = - l. ¿Para qué valores de x es válida la solución? También observe que no hay solución de esta ecuación diferencial que satisfagll¡ la condición inicial y = 2 cuando x = O. 1.4 Interpretación geométrica En la sección 1.3 vimos que por lo común una ecuación de primer orden tiene una familia de soluciones. Una técnica útil para entender la naturaleza de estas soluciones es trazar las gráficas de las soluciones representativas de esta familia. EJEMPLO 1.6 Trace la gráfica de varios miembros de la familia de sol uciones para la ecuación: dy -=8sen4x. dx (1) Recuerde de la sección 1.3 que la familia de soluciones es: y = -2cos4x + c. (2) Al trazar la gráfica de las soluciones correspondientes a e = 2, 1, 0, -1 obtenemos la figu- ra 1.1. No es difícil imaginar cómo se verá el resto. • y Figura 1.1 http://gratislibrospdf.com/ 1.4 Interpretación geométrica 11 La familia de curvas solución con un parámetro del ejemplo 1.6 satisface una propiedad importante, a saber: por cada punto en el plano pasa exclusivamente un miembro de la familia de soluciones. Formalizaremos este hecho en la sección 1.6; por ahora sólo afirma- mos que esto es verdadero para las soluciones de cualquier ecuación diferencial de primer orden con las restricciones adecuadas. Si especificamos un punto en el plano, por la propiedad mencionada tendremos exacta- mente una solución que pase por ese punto. La única curva que resulta es la curva solución del problema con valor inicial. Esta es la versión geométrica del proceso descrito en la sección 1.3. Si ampliamos el sentido de estas ideas y las aplicamos en ecuaciones de orden más alto, encontraremos que sólo se puede conservar parte de la interpretación geométrica. EJEMPLO 1.7 Trace la gráfica de varios miembros de la familia de soluciones de la ecuación: d 2y - = 12x2 (3) dx2 Como vimos en la sección 1.3, la familia de soluciones es: y = x 4 + C¡X + C2. (4) Al trazar las gráficas de las soluciones correspondientes a las parejas de constantes c ¡ = 2, c2 = 1; c¡ = 0, c2 = ° y c l = 0, c2 = 1 obtenemos la figura 1.2. Puede apreciarse claramente que estas soluciones no satisfacen la propiedad de unici- dad del caso de primer orden. Hayal menos dos soluciones que pasan por los puntos (0, 1) Y por un punto cercano ( - 112, O). Sin embargo, observemos que este par de soluciones no tiene la misma pendiente en su punto de intersección. Esto es, al especificar una solución particular para una ecuación de segundo orden, podríamos especificar tanto el punto por y ----~~~~--~----~----~--- x Figura 1.2 http://gratislibrospdf.com/ 12 Capítulo J Definiciones; familias de curvas donde pasa la solución como la pendiente en dicho punto. En este caso, dada esta informa- ción, concluimos que hay una solución única. • Entonces, la versión de segundo orden de la propiedad geométrica establecida anterior- mente se transforma en: por cada punto en el plano pasa exclusivamente un miembro de la familia de soluciones que tiene una pendiente dada. Esta propiedad será analizada con de- talle en el capítulo 6 . • Ejercicios l . Para los ejercicios 1 al6 de la sección 1.3, dibujar una muestra representativa de cur- vas solución. 2. En los ejercicios 7al 10 de la sección 1.3, dibujar la gráfica de la solución para el pro- blema de valor inicial. 1 .5 Las isoclinas de una ecuación En la sección 1.4 conocimos algunas propiedades geométricas de las familias de solucio- nes que habíamos encontrado por los métodos analíticos de la sección 1.3. En esta sección veremos que podemos usar métodos geométricos para encontrar curvas solución. Considere la ecuación de orden uno: dy dx = f(x, y). (1) Podemos pensar en la ecuación (1) como una máquina que asigna a cada punto (a, b) en el dominio def, alguna dirección con pendientef(a, b). Así, podemos hablar del campo de di- recciones de la ecuación diferencial. En un senlido real , cualquier solución de la ecuación (1) debe tener una gráfica, la cual presentará en cada punto la dirección que la ecuación (1) requiere. Una manera de visualizar esta idea básica es dibujar una pequeña marca en varios pun- tos para indicar la dirección asociada con cada uno de esos puntos. Esto puede hacerse un poco sistemáticamente dibujando primero curvas llamadas isoclinas, esto es, curvas en las que la dirección indicada por la ecuación (1) es fija. EJEMPLO 1.8 Considere la ecuación: dy --y dx - . (2) Las isoclinas son líneas rectasf(x, y) = y = c. Para cada valor de c obtenemos una recta en la que, en cada punto, la dirección impuesta por la ecuación diferencial es el número c. Por ejemplo, en cada punto de la recta y = 1, la ecuación (2) determina una dirección con pen- diente 1. En la figura 1.3 hemos dibujado varias curvas isoclinas, indicando las direcciones http://gratislibrospdf.com/ l. dy 3. dy 2y -=2x. - dx dx x Il- 2. dy Y 4. dy - - = y-x. es dx x dx a- • or- la de- ur- ro- i'n el di- ión (1) n- un las (2) 1.5 Las isoclinas de una ecuación 13 y ~~~----~~----~~~----~~---------x -----" .•......~-+- ..•.•..--~.......>'r_---~~~-e = -112 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~c=-I Figura 1.3 asociadas con cada isoclina mediante pequeñas marcas. Si empezamos en cualquier punto en el plano y nos movemos a lo largo de una curva cuya dirección sea siempre la de las mar- cas de dirección, entonces obtendremos una curva solución. En la figura 1.3 podemos apre- ciar varias curvas solución. • EJEMPLO 1.9 Use el método de isoclinas para bosquejar algunas de las curvas solución para la ecuación: dy = x2 + l dx Aquí las isoclinas serán los círculos x2 + l = e, con e> O. Cuando e = 1, la isoclina tiene radio 1; para e = 4 el radio es 2. En la figura 1.4 hemos dibujado estas isoclinas, mar- cando cada una con el indicador de dirección apropiado y, por último, bosquejando varias curvas que representan soluciones para la ecuación (3). (3) • • Ejercicios Para cada una de las ecuaciones diferenciales siguientes, dibuje varias isoclinas con los indicadores de di- rección apropiados y bosqueje varias curvas solución. http://gratislibrospdf.com/ 14 Capítulo J Definiciones; familias de curvas y ----~----~~~--r-~~~----_+----x Figura 1.4 5. dy 8. dy 2--=x+y+l. -- =y-x dx dx 6. dy dy x --=x-y-l. 9. -- dx dx y dy dy -x 7. -- = 2x - y. 10. -- dx dx y I 1.61 Un teorema de existencia Debe ser claro, aún para el lector casual, que dibujar isoclinas no es una herramienta prác- tica para encontrar soluciones a cualquier ecuación diferencial distinta de aquellas que in- volucren las funciones más simples. Antes de estudiar algunas de las técnicas analíticas para determinar soluciones, estableceremos un teorema importante en lo que concierne a la existencia y unicidad de tales soluciones. En el capítulo 13 estudiaremos con detalle dicho teorema. Considere la ecuación de orden uno: dy dx = f(x, y). (1) Sea T la región rectangular definida por: Ix -xol::: a y Iy - yol ::: b, una región con el punto (xo' Yo) en su centro. Suponga quef y af/ay son funciones conti- nuas de x y y en T. http://gratislibrospdf.com/ 1.7 Suplemento para computadora 15 Bajo las condiciones impuestas sobref(x, y) anteriormente, existe un intervalo alrede- dor de xo' Ix - xol ::; h, Y una función y(x) que tiene las propiedades: (a) y = y (x) es una solución de la ecuación (1) en el intervalo Ix - xo l ::; h. (b) En el intervalo Ix - xol <: h, y (x) satisface la desigualdad Iy(x) - yol ::; b. (c) En x = xo' y = y(xo) = Yo' (d) y (x) es única en el intervalo Ix - xo l ::; h en el sentido de que es la única función que tiene todas las propiedades (a), (b) y (e). El intervalo Ix - xol ::; h puede o no ser más pequeño que el intervalo Ix - xol ::; a en el cual se impusieron las condiciones sobref(x, y). En un lenguaje aproximado, el teorema establece que sif(x, y) "se comporta bien" cer- ca del punto (xo' Yo)' entonces la ecuación diferencial: dy dx = f(x , y ) (1) tiene una solución que pasa por el punto (xo' Yo) y esa solución es única cerca de (xo' Yo)' En el ejemplo 1.8 de la sección 1.5 podemos considerar a (xo' Yo) como cualquier punto en el plano, ya quef(x, y) = y y su derivada parcial af/ay = 1 son continuas en cualquier rectángulo. Por 10 tanto, nuestro teorema de existencia nos asegura que para cualquier pun- to (xo' Yo) existe exactamente una solución, situación que supusimos cuando bosquejamos las curvas solución en la figura 1.3. Volvamos al ejemplo 1.9 de la sección 1.5, donde la funciónf(x, y) = X2 + y2 Y su deri- vada parcial af/ay = 2y son continuas en cualquier rectángulo. De ahí se deduce que para cualquier punto (xo' Yo) en el plano existe exactamente una curva solución, un hecho que está sugerido por las curvas solución en la figura 1.4. 1 .7 Suplemento para computadora En la sección 1.5 estudiamos cómo dibujar el campo de pendientes para la ecuación diferencial: dy - = f(x, y). dx (1) El método utilizado consistió en encontrar un conjunto de isoclinas haciendof(x, y) = e para diferentes valores del parámetro e. Luego se trazaron las curvas y se agregaron los in- dicadores de dirección de las pendientes. Esta técnica está limitada sólo por nuestra habi- lidad para trazar la gráfica de las ecuacionesf(x, y) = c. Los ejemplos y ejercicios han sido seleccionados con cuidado para hacer posible 10 anterior. http://gratislibrospdf.com/ 16 Capítulo 1 Definiciones; familias de curvas i i i ! ~ ///~ ~ /~ II /~ / I i/~/~/~/~ j~ / III I / / / 1//// ////..-- ///---- //..---- --..--/ /1 ---- ///1 ..--///// / / / / I / / / / I / / ¡¡¡¡ ji Figura 1.5 Un enfoque más directo se da al considerar un conjunto de puntos {Xi} sobre el eje X y un conjunto de puntos {Yj } sobre el eje y. Esto da lugar a una cuadrícula de puntos {(Xi' y)} en el, plano xy. Después cada una de estas parejas puede ser sustituida en (1) para determinar la pendiente en ese punto, dibujando luego la dirección apropiada de la pendiente. La cantidad de trabajo necesario para producir un solo indicador de pendiente no es mucho, pero encon- trar indicadores de pendiente para una cuadrícula de 10 por 10 constituye una tarea conside- rable. Una vez que el campo de pendientes haya sido dibujado deberemos bosquejar varias curvas solución que sean representativas. La facilidad con que podamos hacerlo estará en ' proporción directa con el número y densidad de los indicadores de pendiente que dibujemos. Esta clase de cálculos repetitivos es muy adecuada para implementarla en computadora. Programas como MacMath (Macintosh) y Phaser (DOS) están diseñados específicamente para realizar un proceso de este tipo, y programas más generales como Maple, Mathemati- ca y Matlab tienen comandos para dibujar campos de pendientes y curvas solución. Por ejemplo, en la sección 1.5 dibujamos un campo de pendientes para la ecuación: d y 2 2 -=x + y dx (2) usando el método de las isoclinas. Podemos lograr el mismo objetivo con el programa Maple , donde el comando: > DEplotl ( diff(y(x) ,x)=xA 2+y A 2 , y(x), x=-2 . . 2, y=-2 .. 2 ); producirá la figura 1.5. Para trazar las curvas solución agregamos selectivamente varios puntos a partir de los cuales podamos eTi;pezar. El comando: > DEplotl(diff(y(x) ,x)=xA 2+y A 2 , y(x) , x=-2 .. 2 , {[O,2],[O,O],[O,1]L y=-2 .. 2 ); produce la figura 1.6. http://gratislibrospdf.com/ y un fnel, ¡lfrla tidad (2) ama e los 1.7 Suplemento para computadora 17 I I I I I I I I I I I I I I / I I I / I I / / I / / / / / / ,/ / / / / / / / ,/ / / /- ~,/ ,/ /- / / ,/ ,/ ---- --- ,/ ,/ / / / / / ,/ ,/ ,/ ,/ / / I / / / / / / / / I / / I I I / / I I / / I I / / / / / / / / I I I / / / / I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I Figura 1.6 • Ejercicios 1. En los ejercicios 1 a 10 de la sección 1.5, utilice el programa de computación de su pre- ferencia para trazar los campos de pendientes y las curvas solución representativas. 2. Considere el problema de dibujar isoclinas para la ecuación dyldx = y sen(y + x). Éste es un problema muy difícil. Luego utilice la computadora para dibujar el campo de pendientes y las curvas solución representativas. 3. ¿Qué puede decir acerca de las curvas dibujadas en el ejercicio 2 cuando x ~ 00 y cuando x ~ -oo? ¿Sus respuestas dependen de las condiciones iniciales? http://gratislibrospdf.com/ Ecuaciones de orden uno 2 11 18 2.1 Separación de variables En este capítulo estudiaremos varios métodos elementales para resolver ecuaciones dife- renciales de primer orden. Empecemos con una ecuación de la forma: Mdx+ Ndy = 0, donde M Y N pueden ser funciones de x y y. Algunas ecuaciones de este tipo son tan senci- llas que pueden ser puestas en la forma: A(x) dx + B(y) dy = O; (1) esto es, las variables pueden separarse. En este caso, una solución puede ser escrita casi de inmediato. Para ello sólo tenemos que encontrar una función F cuya diferencial total sea el miembro izquierdo de (1). Por lo tanto, F = e, donde e es una constante arbitraria, es el re- sultado deseado. EJEMPLO 2.1 Resuelva la ecuación dy dx 2y x para x > O Y Y > O. (2) Advertimos que para la función de la ecuación (2) es aplicable el teorema de la sección 1.6, lo que asegura la existencia de una solución continua única que pasa por cada punto en el primer cuadrante. Separando las variables podemos escribir: dy 2dx y x De aquí obtenemos una familia de soluciones: Inlyl=2Inlxl+c (3) o, ya que estamos en el primer cuadrante, (4) http://gratislibrospdf.com/ 2.1 Separación de variables 19 Ahora, si ponemos el = é, podemos escribir: y=e¡x2 , c»O. EJEMPLO 2.2 Resuelva la ecuación (2) del ejemplo 2.1 para x 4= O. (5) • Aquí el argumento debe ser hecho en dos partes. Primero, si y 4= 0, podemos proceder como antes en la ecuación (3). Sin embargo, la ecuación (5) debe ser escrita como: Iyl = c)x2 , e) > O. (6) Segundo, si y = 0, de inmediato vemos que como x 4= 0, Y = ° es una solución válida para la ecuación diferencial (2). Por convención, las soluciones encontradas mediante la ecuación (6) se escriben gene- ralmente como: 2 Y = e2X , (7) donde e2 es un número real arbitrario. Esta forma de expresar las soluciones incluye el caso especial y = O. Varias curvas solución representativas son mostradas en la figura 2.3. Sin embargo, debemos ser cautelosos. La función definida por: g(x)=x2 , x>O x:::: 0, y representada con una línea más oscura en la figura 2.1, obtenida al juntar dos arcos parabó- licos diferentes, también podría ser considerada solución de la ecuación diferencial, aun- y --------------~~~~~-------------- x Figura 2.1 http://gratislibrospdf.com/ 20 Capítulo 2 Ecuaciones de orden uno que dicha función no esté incluida en la familia de la ecuación (7). El enunciado de unici- dad en el teorema de la sección 1.6 nos indica que, en tanto restrinjamos nuestra atención a un punto (xo' Y~ con Xo =1= O, Y considerando un rectángulo con centro en (xo' Yo) que no contenga puntos en los que x = O, entonces en ese rectángulo existe una solución única que pasa por (xo' Yo) y es continua dentro del rectángulo. EJEMPLO 2.3 Resuelva la ecuación: con la "condición inicial" de que cuando x = O, Y = -1. Si escribimos esta ecuación en la forma: dy -(1 + y2) dx 1 + x2 ' • (8) observamos que el miembro derecho y su derivada parcial con respecto a y son continuas cerca de (O, -1). Deducimos entonces que existe una solución única para la ecuación (8) que pasa por el punto (O, -1). De la ecuación diferencial obtenemos: ~+~-O 1 + x2 1 + y2 - , de la cual se concluye inmediatamente que: arctan x + arctan y = c. (9) En el conjunto de soluciones (9), cada "arctan" representa el valor principal de la inver- sa de la tang·ente y está sujeta a la restricción: 1 1 -27l" < arctan x < 27l" · La condición inicial de que y = -} cuando x = O nos permite determinar el valor de e que debe ser usado para obtener la solución particular deseada. Ya que arctan O = O Y arctan( -1) = - t 7T, la solución al problema de valor inicial es: arctan x + arctan y = - i 7l". (10) Ahora suponga que deseamos bosquejar la gráfica de (10). Mediante un recurso de tri- gonometría, tomamos la tangente de cada lado de (10). Como: y tan(arctan x) = x tanA+tanB tan (A + B) = ----- 1 - tan A tan B http://gratislibrospdf.com/ obtenemos la ecuación: o x + y --- = - 1, 1 - xy 2.1 Separación de variables 21 xy - x - y - 1 = O. (11) Ahora (11) es la ecuación de una hipérbola equilátera con asíntotas x = 1 Y Y = l. Pero si regresamos a (10), vemos de: arctan x = - ~ 7r - arctan y que, como ( - arctan y) < ! 7T, arctan x < ~7r. Concluimos que x < 1, Y que la ecuación (10) sólo representa una rama de la hipérbola (11). En la figura 2.2, la curva trazada con una línea continua es la gráfica de la ecuación (10); dicha curva junto con la trazada en línea discontinua forman la gráfica de la ecuación (l1). Cada rama de la hipérbola (11) representa una solución de la ecuación diferencial; una ra- ma para x < 1 Y la otra para x > 1. En este ejemplo nos vimos forzados a circunscribirnos a la rama izquierda, ecuación (10), por la condición inicial de que y = - 1 cuando x = O. Puede advertirse una distinción entre las ecuaciones (10) y (11) observando que una computadora, dada la ecuación diferencial (8) y buscando una solución que pase por el punto (O, -1), estaría condicionada a prolongar la rama izquierda de la curva en la figura 2.2. La barrera (asíntota) en x = 1 impediría a la computadora detectar la existencia de la otra rama de la hipérbola (11). y \ \ I ... __ I _ _ _ L __ _ _______ _ I o -----~~-+_-~------x Figura 2.2 • http://gratislibrospdf.com/ 22 Capítulo 2 Ecuaciones de orden uno EJEMPLO 2.4 Resuelva el problema de valor inicial: 2x(y + l)dx - ydy = 0, donde x = ° y y = - 2. Al separar las variables en la ecuación (12), obtenemos: 2xdx = (1 -_1_) dy, y:j:.-l. y+1 Una vez integrado conseguimos una familia de soluciones dada implícitamente por: x2 = y - In Iy + 11 + c. (12) (13) Ya que buscamos un rruembro de esta farrulia que pase por el punto (0, - 2), debemos tener: ° = -2 - In I - 11 + c , o c = 2. Así, la solución al problema está dada implícitamente por: x2 = y -In Iy + 11 + 2. Debe usted observar cómo se aplica el teorema de la sección 1.6 a este problema para in- dicar que hemos encontrado implícitamente la solución única al problema de valor inicial, solución que es continua para y < -l. Podemos apreciar una muestra representativa de cur- vas solución en la figura 2.3, donde la solución particular fue trazada con una línea más oscura. Observe que algunas de estas curvas no son gráficas de funciones y deben dividirse en arcos separados en el punto donde crucen a la recta y = 0, como se hizo en el ejemplo 2.2. y ----~~_+------+-----_+--~----- x Figura 2.3 • http://gratislibrospdf.com/ 2.1 Separación de variables 23 • Ejercicios En los ejercicios 1 al6 obtenga la solución particular que satisfaga la condición inicial dada. En cada ejer- cicio interprete su respuesta a la luz del teorema de existencia de la sección 1.6 y dibuje una gráfica de la solución.-- 1. dr/dt = -4rt; cuando t = O, r = ro . 2. 2xyy' = 1 + y2; cuando x = 2, Y = 3. 3. xyy' = 1 + y2; cuando x = 2, Y = 3. 4. 2ydx = 3xdy; cuando x = 2, Y = 1. 5. 2y dx = 3x dy; cuando x = - 2, Y = l. 6. 2ydx = 3x dy; cuando x = 2, Y = -1. En los ejercicios 7 al 10 obtenga la solución particular que satisfaga la condición inicial dada. 7. y' = X exp (y - X2); cuandox = O, Y = O. 8. xy2 dx + eX dy = O; .cuando x --+ 00, y --+ 4. 9. (2a2 - r2) dr = r3 sene de; cuando e = O, r = a. 10. v(dv/dx) = g; cuando x = xo, v = Vo· En los ejercicios 11 al 37 obtenga la solución general. 11. (1 - X)y' = y2. 24. (1 - y)y' = x2. 12. sen x seny dx+cos x cos y dy = O. 25. x2yy' = eY. 13. xy3 dx + ex2 dy = O. 26. tan2 ydy = sen 3 x dx. 14. 2ydx = 3xdy. 27. y' = cos2 X cos y. 15. mydx = nxdy. 28. y' = Y secx. 16. y' = xy2. 29. dx = t(1 + t2) sec2 x dt. 17. dV/dP = -V/P. 30. (e2x + 4)y' = y. 18. ye2xdx = (4 + e2x ) dy. 3l. a df3+f3 da+af3(3 da+d(3) = O. 19. dr = b(cose dr + rsene de). 32. O+lnx)dx+(1+1ny)dy =0. 20. xy dx - (x + 2) dy = O. 33. x dx - J a2 - x2 dy = O. 2l. x 2dx + y(x -l)dy = O. 34. xdx + Ja2 - x 2dy = O. 22. X cos2 y dx + tan y dy = O. 35. a2 dx = xJx2 - a2 dy . 23. xy3 dx + (y + l)e-X dy = O. 36. ylnxlnydx + dy = O. 37. (xy +x)dx = (x2y2 +x2 + y2 + l)dy. http://gratislibrospdf.com/ 24 Capítulo 2 Ecuaciones de orden uno 2.2 Funciones homogéneas Los polinomios en los que todos los términos son del mismo grado, como: x 2 -3xy +4l , x 3 + i, x 4 y + 7i, (1) son llamados homogéneos. Ahora deseamos ampliar el concepto de homogeneidad y apli- carlo a otras funciones más que a polinomios. Si asignamos una dimensión física, digamos una longitud, a cada variable x y y en los polinomios dados en (1), entonces cada polinomio tendrá también una dimensión fís ica, una longitud a :!lguna potencia. Esto sugiere la generalización deseada. Si, cuando ciertas variables son conceptualizadas como longitudes, una función tiene la dimensión física lon- gitud elevada a la k-ésima potencia, entonces decimos que la función es homogénea de grado k en esas variables. Por ejemplo, la función: (Y) X4 f(x, y )=2i exp - ---x x + 3y (2) es de dimensión (longitud)3 cuando x y Y son longitudes. Por lo tanto, se dice que esa función es homogénea de grado 3 en x y y . Permitimos que el grado k sea cualquier número. La función -V x +4 Y es llamada homo- génea de grado t en x y y. La función: x es homogénea de grado cero en x y y. Una definición formal de homogeneidad es: lafunciónf(x, y) es homogénea de grado k en x y Y si, y sólo si, f(h , Ay ) = Ak f(x , y ). (3) Puede extenderse fácilmente el sentido de esta definición y aplicarse a funciones de más de dos variables. Para la funciónf(x, y) de la ecuación (2), la definición formal de homogeneidad nos lle- va a considerar: Pero vemos de inmediato que: fCh , Ay) = A3 f(x, y); en consecuencia f(x, y) es homogénea de grado 3 en x y y, como se estableció antes. Los teoremas siguientes demostrarán su utilidad en la próxima sección. http://gratislibrospdf.com/ 2.3 Ecuaciones con coeficientes homogéneos 25 Teorema 2.1 Si M(x, y) y Nix, y) son homogéneas ydel mismo grado, lafunciónM(x, y)lN(x, y) es homo- génea de grado cero. La demostración del teorema 2.1 se deja al estudiante. (1) Teorema 2.2 Si f( x, y) es homogénea de grado cero en x y y, entonces f( X, y) es solamente unafunción de x/y. y apli- Demostración. Supongamos que y = vx. El teorema 2.2 establece que sif(x, y) es ho- mogénea de grado cero, entonces f(x, y) será sólo una función de v. Ahora.: f(x, y) = f(x, vx) = xo fO, v) = f(1, v), (4)en los física, ciertas calon- grado en la que la x está desempeñando el papel tomado por A. en la definición (3). Por (4), f(x, y) sólo depende de v, como se establece en el teorema 2.2. • Ejercicios (2) Determine en cada ejercicio si la función es o no homogénea. Si es homogénea establezca el grado de la función. ue esa l. 4x2 - 3xy + y2. 1l. x 2 + 3xy 2. x3_xy+y3. x -2y x5 3. 2y+Jx2+y2. 12. x2 + 2y2· 4. rx=y. 13. (u2 + v2)3/2. 5. eX. 14. (u2 _ 4v2)-1/2. X 6. tanx. 15. ltan- exp (~). y 7. (x2+y2)1/2 16. (x2 _ y2) 1/2 . 3y 8. tan-o 17. a +4bx --- (x2 + y2) exp (2;) + 4xy. a -4b9. 18. xIn-. y y x 19. x Inx - y In y. 10. x sen - - y sen -. x y 20. x Inx - x Iny. 12.3 1 Ecuaciones con coeficientes homogéneos Suponga que los coeficientes M y N en la ecuación de orden uno, M(x, y) dx + N(x, y) dy = O, (1) horno- radok (3) ásde os lle- • http://gratislibrospdf.com/ 26 Capítulo 2 Ecuaciones de orden uno son ambas funciones homogéneas y del mismo grado en x y y. Por los teoremas 2.1 y 2.2 de la sección 2.2, el cociente M/N sólo es una función de y Ix. De aquí que la ecuación (1) pueda expresarse en la forma: dy + g (~) = O. dx x (2) Esto sugiere la introducción de una nueva variable v haciendo y = vx. Entonces (2) se transforma en: dv x - + v + g(v) = 0, dx (3) donde las variables son separables. Podemos obtener la solución de (3) por el método de la sección 2.1, introduciendo y Ix por v, y llegar así a la solución de (l) . De esta manera de- mostramos que la sustitución y = vx transformará la ecuación (1) en una ecuación en v y x donde las variables son separables. El método anterior habría sido igualmente útil si se usara x = vy para obtener, a partir de (1), una ecuación en y y v. Véase el ejemplo 2.6. . EJEMPLO 2.5 Resuelva la ecuación: (x 2 - xy + l) dx - xy dy = O. (4) Ya que los coeficientes en (4) son homogéneos y de grado dos en x y y, hacemos y = vx. Entonces (4) se transforma en: (x 2 - x 2 v + x 2 v2 ) dx - x 2v(v dx + x dv) = 0, de la cual el factor x? será eliminado de inmediato. Hecho eso, tenemos que resolver: (1- v + v2)dx - v(vdx + xdv) = 0, o (l-v)dx-xvdv=O. Por lo que separamos las variables para obtener: Entonces de: dx + vdv = O. x v-I - + 1+-- dv=O dx [ 1 ] x v - 1 http://gratislibrospdf.com/ 2.3 Ecuaciones con coeficientes homogéneos 27 una familia de soluciones será: In Ixl + v + In Iv - 11 = In lel, o x(v - 1)ev = e. En términos de las variables originales, estas soluciones están dadas por: o EJEMPLO 2.6 Resuelva la ecuación x (~ - 1) exp (~) = e, (y - x) exp (~) = c. xydx + (x 2 + l)dy = O. • (5) donde los coeficientes son de nuevo homogéneos y de grado dos. Podríamos usar y = vx, pero la simplicidad relativa del término dx en (5) sugiere que hagamos x = vy. Entonces dx = v dy + y dv, y la ecuación (5) es remplazada por: vl(v dy + Y dv) + (v2l + y2) dy = 0, · 0 v(v dy + Y dv) + (v2 + 1) dy = O. De aquí que necesitemos resolver: vy dv + (2v2 + 1) dy = 0, (6) lo cual nos conduce de inmediato a: In (2v2 + 1) +4lnlyl = lne, o y\2v2 + 1) = c. Así, las soluciones deseadas están dadas por: http://gratislibrospdf.com/ '- 28 Capítulo 2 Ecuaciones de orden uno esto es, (7) Ya que el miembro izquierdo de la ecuación (7) no puede ser negativo, podemos, por sime- tría, cambiar la constante arbitraria a e 14, escribiendo: Es útil, principalmente para el estudiante, resolver la ecuación (5) usando y = vx. Ese método conduce directamente a la ecuación: (v 3 + 2v) dx + x(v2 + 1) dv = O. En las ecuaciones con coeficientes homogéneos, a menudo es por completo irrelevante si se utiliza y = vx o x = vy. Sin embargo, algunas veces es más fácil sustituir la variable cuya diferencial tenga el coeficiente más sencillo. • • Ejercicios En los ejercicios 1 al 21 obtenga una familia de soluciones. 1. 3(3x2 + y2) dx - 2xy dy = O. 2. (x - 2y)dx + (2x + y)dy = O. 3. 2(2x2 + y2) dx - xy dy = O. 4. xy dx - (x2 + 3y2) dy = O. 5. x2y' = 4x2 + 7xy + 2y2. 6. 3xy dx + (x 2 + y2) dy = O. 7. (x - y)(4x + y)dx +x(5x - y)dy = O. 8. (5v - u)du + (3v -7u)dv = O. 9. (x2 + 2xy - 4y2) dx - (x 2 - 8xy - 4l) dy = o. 10. x(x2 + y2)2(y dx - x dy) + y6 dy = O. lI. (x 2 + y2) dx + xy dy = O. 12. xydx - (x + 2y)2dy = O. 13. v2dx +x(x + v)dv = O. 14. [x csc (ylx) - y]dx +xdy= O. 15. x dx + sen2 (ylx)[y dx - x dy] = O. 16. (x - ylny + ylnx)dx +x(1ny -ln x)dy = O. l7. [x - y arctan (y Ix)) dx + x arctan (y Ix) dy = O. 18. y2dy = x(xdy - ydx)ex / y • 19. t(s2 + t 2) ds - s(s2 - t 2) dt = O. http://gratislibrospdf.com/ 2.4 Ecuaciones exactas 29 20. ydx=(x+Jy2-x2)dy. 21. (3x 2 - 2xy + 3y2) dx = 4xy dy. 22. Demuestre que con ayuda de la sustitución y = vx, puede resolverse cualquier ecua- ción de la forma y" f(x) dx + H(x, y)(y dx - x dy) = O, donde H (x, y) es homogénea en x y y. En los ejercicios 23 al 35 encuentre la solución particular indicada. 23. (x - y)dx + (3x + y)dy = O; cuando x = 3, Y = -2. 24. (y - Jx 2 + y2)dx - xdy = O; cuando x = O, y = l. 25. (y + Jx2 + y2) dx - x d y = O; cuando x = .)3, y = l. 26. [x cos2 (y/x) - y] dx + x dy = O; cuando x = 1, y = 71: / 4. 27. (y2 + 7xy + 16x2) dx + x2 dy = O; cuando x = 1, y = 1. 28. y2 dx + (x 2 + 3xy + 4y2) dy = O; cuando x = 2, y = l. 29. xy dx + 2(x2 + 2y2) d y = O; cuando x = O, Y = l. 30. y(2x2 - xy + y2) dx - x2(2x - y) dy = O; cuando x = 1, y = ~. 3l. y(9x - 2y)dx - x(6x - y)dy = O; cuando x = 1, y = 1. 32. y(x2 + y2) dx + x(3x2 - 5y2) d y = O; cuando x = 2, y = l. 33. (16x + 5y) dx + (3x + y)dy = O; la curva pasa por el punto (1, -3). 34. v(3x + 2v) dx - x2dv = O; cuando x = 1, v = 2. 35. (3x2 - 2y2) Y I = 2xy; cuando x = O, y = -1 . 36. De los teoremas 2.1 y 2.2 de la sección 2.2, se deduce que si F es homogénea de gra- do k en x y y, F puede ser escrita en la forma: (A) Utilice la ecuación (A) para demostrar el teorema de Euler: si F es una función homogénea de grado k en x y y, entonces: aF aF x-+y-=kF. ax ay 2.4 Ecuaciones exactas En la sección 2.1 se hizo notar que cuando una ecuación puede ser puesta en la forma: A(x) dx + B(y) d y = O, http://gratislibrospdf.com/ 30 Capítulo 2 Ecuaciones de orden uno siempre será posible determinarle un conjunto de soluciones por medio de integración, es- to es, encontrando una función cuya diferencial sea A (x) dx + B (y) dy. Esa idea puede ampliarse y ser aplicada en algunas ecuaciones de la forma: M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0, (1) en las que la separación de variables no es posible. Suponga que se puede encontrar una función F(x, y) en la que su diferencial tenga la expresión M dx + N dy; esto es, dF = M dx + N dy. (2) Entonces, naturalmente, F(x, y) = c (3) defina de manera implícita un conjunto de soluciones para la ecuación (1). De (3) se deduce que: dF=O, o, en vista de (2), Mdx+ Ndy = 0, como se deseaba. En este punto son necesarias dos cosas: (1) encontrar bajo qué condiciones impuestas a M y N tiene lugar una función F tal que su diferencial total sea exactamente M dx + N dy; Y (2), si dichas condiciones son satisfechas, determinar realmente la función F. Si existe una función F tal que: Mdx +Ndy sea precisamente la diferencial total de F, decimos que la ecuación (1) es una ecuación exacta. Si la ecuación: Mdx+Ndy=O es exacta, entonces, por definición, existirá una F donde: dF= Mdx + Ndy. Pero, por razones de cálculo, se tiene: de modo que: aF aF dF = -dx + -dy, ax ay aF M=-ax' aF N=-. ay (1) http://gratislibrospdf.com/ 2.4 Ecuaciones exactas 31 Estas dos ecuaciones nos conducen a: aM ay Y, de nuevo por cálculo, tenemos: aN y = ax axay a2 F a2 F ayax - axay' a condición de que estas derivadas parciales sean continuas. Por lo tanto, si (1) es una ecua- ción exacta, entonces: aM ay aN ax Así, para que (1) sea exacta es necesario que (4) sea satisfecha. (4) Ahora mostraremos que si la condición (4) se satisface, entonces (1) es una ecuación exacta. Sea cP(x, y) una función para la cual: acP = M. ax La función cP es el resultado de integrar M dx con respecto a x mientras y se mantiene cons- tante. Luego, a2cP aM ayax ay , en consecuencia, si (4) se satisface, también: a2cP aN = (5) axay ax Integramos ambos miembros de la ecuación (5) con respecto a x, manteniendo fija a y. En la integración con respecto a x, la "constante arbitraria" puede ser cualquier función de y. Le llamamos B 'ey), por comodidad al indicar su integral. Entonces la integración de (5) con respecto a x produce: acP = N + B'(y). ay Ahora puede ser representada una función F, a saber, para la cual: F = cP(x, y) - B(y), dF = acP dx + acP dy - B'(y) dy ax ay = M dx + [N + B'(y)] dy - B'(y) dy =Mdx+Ndy. (6) http://gratislibrospdf.com/ 32 Capítulo 2 Ecuaciones de orden uno De aquí concluimos que la ecuación (1) es exacta. Así terminamos una demostración del teorema establecido a continuación. Teorema 2.3 Si M, N, aM / ay y aN / ax son funciones continuas de x y y, entonces una condición nece- saria y suficiente para que: Mdx +Ndy = O (1) sea una ecuación exacta es que: ay ax (4) Además, la demostración contiene el principio del método que utilizaremos para obte- ner un conjunto de soluciones en los ejemplos 2.7 y 2.8. EJEMPLO 2.7 Resuelva la ecuación: Primero, como: 3x(xy - 2) dx + (x 3 + 2y) dy = O. y concluimos que la ecuación (7) es exacta. Por lo tanto, su solución es F = c, donde: y, aF 2 - = M = 3x y - 6x ax aF 3 ay=N=x +2y. (7) (8) (9) Tratemos de determinar F a partir de la ecuación (8). Al integrar ambos miembros de (8) con respecto a x, manteniendo constante a y, se obtiene: (10) donde la constante arbitraria usual en la integración indefinida ahora es necesariamente una función T (y), hasta ahora desconocida. Para determinar T (y), usamos el hecho de que la función F de la ecuación (10) debe satisfacer la ecuación (9). De aquí que: x 3 + T'(y) = x 3 + 2y, T'(y) = 2y. http://gratislibrospdf.com/ 2.4 Ecuaciones exactas 33 No se necesita una constante arbitraria en la obtención de T (y), puesto que será introduci- da una en el lado derecho en la solución F = c. Entonces: y de (10) Por último, un conjunto de soluciones para la ecuación (7) está definido por: x3y - 3X2 + y2 = c. EJEMPLO 2.8 Resuelva la ecuación: Aquí, (2x 3 - xl- 2y + 3) dx - (x2y + 2x) dy = O. aM aN - = -2xy-2 = - ay ax' de modo que la ecuación (11) es exacta. y Un conjunto de soluciones para (11) es F = c, donde: aF 3 2 - = 2x - xy - 2y + 3 ax aF 2 - = -x y-2x. ay • (11) (12) (13) Ya que (13) es más sencilla que (12), y para variar un poco, iniciamos la determinación de F a partir de la ecuación (13). Veamos, F = -4x2l- 2xy + Q(x), donde Q (x) será d@terminadade(12). De la última se obtiene: Por lo tanto, -xl- 2y + Q'(x) = 2x 3 - xl - 2y + 3, Q'(x) = 2x 3 + 3. http://gratislibrospdf.com/ 34 Capítulo 2 Ecuaciones de orden uno y el conjunto de soluciones deseado para (11) está definido de manera implícita por: o • • Ejercicios Analice cada una de las ecuaciones siguientes para saber si son exactas y resuélvalas. Las que no lo sean podrán resolverse con los métodos estudiados en las secciones anteriores. 1. 2. 3. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. (x + y) dx + (x - y) dy = O. (6x+y2) dx+y(2x-3y) dy = O. (2xy-3x 2) dx+(x2+y) dy = O. 4. (2xy + y) dx + (x 2 - x) dy = O. 5. (x-2y)dx+2(y-x)dy=0. 6. (2x-3y)dx+(2y-3x)dy = o. Resuelva el ejercicio 5 con otro método. Resuelva el ejercicio 6 con otro método. (y2 _ 2xy + 6x) dx - (x 2 - 2xy + 2) dy = O. v(2uv2 - 3) du + (3u 2v2 - 3u + 4v) dv = O. (cos 2y - 3x2y2) dx + (cos 2y - 2x sen 2y - 2x3 y) dy = O. (1 + y2) dx + (x 2y + y) dy = O. (1 + l + xy2) dx + (x 2y + y + 2xy) dy = O. (w 3 + wz2 - z) dw + (Z3 + w 2z - w) dz = O. (2xy - tan y) dx + (x 2 - x sec2 y) dy = O. (cosx cos y - cotx)dx - sen x senydy = O. (r + sen e - cos e) dr + r(sen e + cos e) de = O. x(3xy - 4 y 3 + 6) dx + (x 3 - 6x2y2 - 1) dy = O. (sen e - 2r cos2 e) dr + r cos e(2r sen e + 1) de = o. [2x + y cos (xy)] dx + x cos (xy) dy = O. 2xydx + (y2 +x2)dy = O. 2xy dx + (l - x2) dy = O. (xy2+ y - x) dx + x(xy + 1) dy = O. 3y(x2 - 1) dx + (x 3 + 8y - 3x) dy = O; cuando x = O, Y = 1. (1 - xy)-2 dx + [y2 + x2(1 - xy)-2] dy = O; cuando x = 2, Y = 1. (3 + Y + 2l sen2 x)dx + (x + 2xy - y sen 2x) dy = O. 2x[3x + y - y exp (_x2)] dx + [x2 + 3y2 + exp (_x2)] dy = O. (xy2 +x - 2y + 3)dx +x2ydy = 2(x + y)dy; cuando x = 1, Y = 1. http://gratislibrospdf.com/ 2.5 La ecuación lineal de orden uno 35 I 2.5 I La ecuación lineal de orden uno En la sección 2.4 estudiamos las ecuaciones diferenc!ales de primer orden que eran exac- tas. Si una ecuación no es exacta, es natural que se intente hacerla exacta introduciendo un factor adecuado, el cual es llamado factor de integración. En la sección 2.1 multiplicamos por un factor de integración para separar las variables y con eso obtuvimos una ecuación exacta. En general, es muy poco lo que se puede decir acerca de la teoría de factores de integra- ción para ecuaciones de primer orden. En el capítulo 5 probaremos algunos teoremas que nos ayudarán en ciertas situaciones aisladas. Sin embargo, hay una clase importante de ecuaciones en las que la existencia de un factor de integración sí puede ser demostrada. Es- ta clase es la de las ecuaciones lineales de orden uno. Una ecuación que es lineal y de orden uno en la variable dependiente y por definición (sección 1.2) debe ser de la forma: dy A(x) dx + B(x)y = C(x). Al dividir cada miembro de la ecuación (1) entreA(x), obtenemos: dy - + P(x)y = Q(x), dx a la que elegimos como la forma canónica para la ecuación lineal de orden uno. (1) (2) Por el momento suponga que para la ecuación (2) existe un factor de integración posi- tivo v (x) > 0, una función que es solamente de x. Entonces, v(x) [~~ + P(X)Y] = v(x) Q(x) (3) debe ser una ecuación exacta. Pero (3) se puede anotar fácilmente en la forma: Mdx+Ndy = ° con, M = vPy - vQ y N= v, en las que v, P y Q son funciones exclusivas de x . Por lo tanto, si la ecuación (3) es exacta, el requisito: aM aN ay ax http://gratislibrospdf.com/ 36 Capítulo 2 Ecuaciones de orden uno implica que v debe satisfacer la ecuación: dv vP=-. dx De la ecuación (4), v puede ser obtenida fácilmente, ya que: de modo que, o dv Pdx =-, v Inv=fPdx, v = exp (f P dx ) . (4) (5) Esto es, si la ecuación (2) tiene un factor de integración independiente de y, entonces ese factor debe estar dado por la ecuación (5). Nos falta demostrar que la v dada por la ecuación (5) es en realidad un factor de integra- ción de: dy dx + P(x)y = Q(x). (2) Multiplicamos (2) por el factor de integración, obteniendo: exp (f P dx ) ~~ + P exp (f P dX) y = Q exp (f P dX) . (6) El miembro izquierdo de (6) es la derivada del producto: el miembro derecho de (6) es una función exclusiva dex. De aquí que (6) sea exacta, lo cual queríamos demostrar. Por supuesto, es suficiente un solo factor de integración. En conse- cuencia, podemos utilizar en el exponente (f P d x) cualquier función cuya deri vada sea P. Debido a la gran importancia de las ideas que acabamos de analizar, y como es frecuente la presencia de ecuaciones lineales de primer orden, a continuación resumimos los pasos involucrados en la solución de tales ecuaciones: a) Escribir la ecuación en forma canónica: dy dx + Py = Q. http://gratislibrospdf.com/ 2.5 La ecuación lineal de orden uno 37 b) Obtener el factor de integración exp (f P d x). c) Multiplicar ambos miembros de la ecuación (escrita en forma canónica) por el factor de integración. d) Resolver la ecuación exacta resultante. Observe que en la integración de la ecuación exacta la integral del lado izquierdo siempre es el producto de la variable dependiente multiplicada por elfactor de integración utilizado. EJEMPLO 2.9 Resuelva la ecuación: 2(y - 4x2) dx + x dy = O. La ecuación es lineal en y . Al escribirla en forma canónica se transforma en: dy 2 - + - y = 8x dx x cuando x =f. O. Entonces un factor integrante es: exp (1 2 :x) = exp (21n Ix 1) = exp (In x2) = x 2. Ahora se aplica el factor de integración a (7), así se obtiene la ecuación exacta: x2 dy + 2xy = 8x3 d x ' que de inmediato se puede escribir como: Al integrar (9) encontramos que: (7) (8) (9) (lO) Esto puede ser verificado. De (10) obtenemos (8) por diferenciación. Luego la ecuación diferencial original se deduce de (8) por un ajuste sencillo. De aquí concluimos que (10) define un conjunto de soluciones para la ecuación original. EJEMPLO 2.10 Resuelva la ecuación: y dx + (3x - xy + 2) dy = O. • http://gratislibrospdf.com/ 38 Capítulo 2 Ecuaciones de orden uno Ya que el producto y dy aparece aquí, deducimos que la ecuación no es lineal en y. Pero sí es lineal en x. Por lo tanto, reacomodando los términos como en: ydx + (3 - y)xdy = - 2dy y pasando a la forma canónica, ~: + (~ - 1) x = ~2 para y # O. Ahora, f (~ -1) dy = 31n Iyl - y + Cl, de modo que un factor de integración para la ecuación (1) es: exp (3 In Iyl - y) = exp (3 In Iyl)e- Y = exp (In IY I3)e-Y = IYI3e- y • (11) Se deduce que cuando y> O, y3e- Y es un factor de integración para la ecuación (11), Y cuan- do y < O, _y3e- Y sirve como factor de integración. Cualquiera de estos casos nos conduce a la ecuación exacta: de la cual obtenemos: xie- Y = -2 f le- Y dy = 2le- Y + 4ye-Y + 4e-Y + c. Así que una familia de soluciones queda definida de manera implícita por: xi =2l+4y+4+ceY • 2.6 La solución general de una ecuación lineal • En la sección 1.6 establecimos un teorema de existencia y unicidad para ecuaciones dife- renciales de primer orden. Si sucede que la ecuación diferencial en ese teorema sea una ecuación lineal, podemos demostrar un teorema un poco más difícil. Considere la ecuación diferencial lineal: dy - + P(x)y = Q(x). dx (1) http://gratislibrospdf.com/ 2.6 La solución general de una ecuación lineal 39 Suponga que P y Q son funciones continuas en el intervalo a < x < b, Y que x = Xo es cual- quier número en ese intervalo. Si Yo es un número real arbitrario, existe una solución única y = y (x) de la ecuación diferencial (1) que también satisface la condición inicial: Además, esta solución satisface la ecuación (1) en todo el intervalo a < x < b. En esencia, la demostración de este teorema fue hecha en la sección 2.5 . Al multiplicar la ecuación (1) por el factor de integración v = exp (f P dx) e integrando se obtiene: yv = f vQdx + c. Ya que v * O, podemos escribir: y = v- 1 f vQdx+cv-1• (2) Es muy sencillo demostrar que como v * O y continúa en a < x < b, (2) es una familia de soluciones para la ecuación (1) . . También es fácil advertir que dada una Xo en el intervalo a < x < b junto con cualquier número Yo' podemos seleccionar la constante c de modo que y = Yo cuando x = xo· El resultado de nuestro argumento es que toda ecuación con la forma de la ecuación (1), para la cual P y Q tengan algún intervalo común de continuidad, tendrá un conjunto único de soluciones, el cual poseerá una constante de integración que puede ser obtenida intro- duciendo el f~ctor de integración apropiado. Como estamos seguros de la unicidad de es- tas soluciones, debemos esperar que cualquier solución obtenida por otro método sea una de las funciones contenidas en nuestra familia de soluciones con un parámetro. Es por es- ta razón que a este conjunto de soluciones se le llama solución general de la ecuación (1). La palabra "general" quiere decir que se han encontrado todas las posibles soluciones que satisfacen la ecuación diferencial en el intervalo a < x < b . • Ejercicios En los ejercicios l al 24 encuentre la solución general. l. (x 5 + 3y) dx - x dy = O. 6. y'=x - 4xy. 2. y' = X - 2y . 7. y' = cscx + y cotx. 3. (y + 1) dx + (4x - y) dy = O. 8. y' = cscx - Y cotx . 4. u dx+(1-3u)x du = 3u2e3u duo 9. (y - cos2 x) dx + cos x dy = O. 5. udx + (1 - 3u)xdu = 3udu . 10. y' = x - 2y cot2x. http://gratislibrospdf.com/ 40 Capítulo 2 Ecuacionesde orden uno 11. (y - x +xy cotx)dx +xdy = O. 12. 2(2xy +4y - 3)dx + (x + 2fdy = O. 13. (2xy + X2 + x 4 ) dx - (1 + x2 ) dy = O. 14. y ,_ my = CIen .. ", donde c l y m son constantes. 15. y ,_ m 2y = cIen/Ix, donde c l ' mI' m 2 son constantes y mI =1= m 2· 16. v dx + (2x + 1 - vx) dv = O. 19. 2y dx = (x 2 - l)(dx - dy). 17. x(x2 + 1)y' +2y = (x 2 + 1)3 . 20. dx - (1 +2xtany)dy = O. 18. 2y(y2_X)dy =dx. 21. y'=1+3ytanx. 22. (1 + cos x) y' = sen x (sen x + sen x cos x - y). 23. (x2 + a2) dy = 2x[(x2 + a2)2 + 3y] dx; a es una constante. 24. (x + a)y ,= bx - ny; a, b, n son constantes con n =1= O, n =1= -1. 25 . Resuelva la ecuación del ejercicio 24 para los casos excepcionales donde n = O Y n = -1. 26. En la forma canónica dy + Pydx = Qdx, haga y = VW, para obtener: w(dv + Pvdx) + vdw = Qdx. Luego, seleccionando primero v de modo que: dv + Pvdx = O y determinando después w, demuestre cómo completar la solución de: dy + Pydx = Qdx. En los ejercicios 27 al 33 encuentre la solución particular indicada. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33 . (2x + 3)y I = Y + (2x + 3) 112; cuando x = - 1, y = O. Y I = .x3 - 2xy; cuando x = 1, y = 1. L di + Ri = E ; donde L, R Y E son constantes, cuando t = O, i = O. dt di L- + Ri = E senwt; cuando t = O, i = O. dt Encuentre la solución de y ,= 2(2x - y) que pase por el punto (O, -1). Encuentre la solución de y I = 2(2x - y) que pase por el punto (O, 1). (1 + t 2) ds + 2t [st 2 - 3(1 + t 2)2] dt = O; cuando t = O, s = 2. • Ejercicios diversos En cada ejercicio encuentre el conjunto de soluciones, a menos que el enunciado del ejercicio indique otra cosa. 1. y' = exp (2x - y). 2. (x 4 + 2y) dx - x dy = O. http://gratislibrospdf.com/ 2.6 La solución general de una ecuación lineal 41 3. (3xy + 3y - 4) dx + (x + 1)2 dy = O. 4. (x + y)dx +xdy = O. 5. y2dx -x(2x +3y)dy = O. 6. (x2 + l)dx +x2y2 dy = O. 7. y' = x 3 - 2xy; cuandox = 1,y = 2. 8. senedrjde = -1-2rcose. 13. dxjdt=cosxcos2 t. 9. y(x + 3y) dx + x2 dy = O. 14. 3x3y' = 2y(y - 3). 10. dyjdx = sec2 x sec3 y. 15. xy(dx - dy) = x2 dy + y2 dx. 11. O+x2)y' = x 4y4. 16. (y-sen2x)dx+senxdy = 0. 12. (2x2-2xy _ y2)dx + xydy =0. 17. (x+2y)dx+(2x+y)dy = 0. 18. (2xy - 3x2) dx + (x2 + 2y) dy = O. 19. (x 3 + l) dx + y2(3x + ky) dy = O; k es una constante. 20. y(2x3 - x2y + y3) dx - x(2x3 + y3) dy = O. 21. y(3 + 2xy2) dx + 3(x2y2 + X - 1) dy = O. 22. y(x2 + y2) dx + x(3x2 - 5y2) dy = O; cuando x = 2, y = 1. 23. y '+ ay = b; a y b son constantes. Resuélvala con dos métodos. 24. (x - y) dx - (x + y) dy = O. Resuélvala con dos métodos. 25. (sen y - y sen x) dx + (cos x + x cos y) d y = O. 26. 0+ 4xy - 4x2y) dx + (x2 - x 3) dy = O; cuando x = 2, y = ~. 27. (2y cosx + sen4 x) dx = sen x dy; cuando x = !Jr, Y = 1. 28. a2(dy - dx) = x2 dy + y2 dx; a es una constante. Al resolver los ejercicios 29 al 33 recuerde que el valor principal arcsen x de la función inversa del seno, está restringido como sigue: -! 7T::S arcsen x ::S! 7T. Los ejercicios 30, 31 Y 32 se refieren a los segmen- tos de arco de la figura 2.4 que muestra la gráfica de la elipse: 29. JI=Yidx + vT=X2dy = O. 30. Resuelva la ecuación del ejercicio 29 con la condición adicional de que cuando x = O, 31. Resuelva la ecuación del ejercicio 29 con la condición adicional de que cuando x = O, 32. Demuestre que después de eliminar las respuestas a los ejercicios 30 y 31, los arcos restantes de la elipse http://gratislibrospdf.com/ 42 Capítulo 2 Ecuaciones de orden uno y ------~------~------~------ x Figura 2.4 no son soluciones de la ecuación diferencial: JI"=Y2dx + ~dy = O. Para lograr este objetivo tome en consideración el signo de la pendiente de la curva. 33. Para la ecuación JI"=Y2dx - ~dy =0 plantee y resuelva cuatro problemas análogos a los ejercicios 29 al 32. 34. u du = (e V + 2uu - 2u) du. 36. y(y2 - 3x2) dx + x 3 dy = O. 35. y2dx-(xy+2)dy=0. 37. y'=ytanx +cos x. 38. (x 3 - 3xy2) dx + (y3 - 3x2y) dy = O. 39. (l-x2)y' =1 -xy-3x2+2x4 . 42. x 2y' = y(1 - x) . 40. (y3 _x3 ) dx = xy(x dx + ydy). 43. xy' = x - y +xy tanx. 41. y' = secx - y tanx. 44. y2 dx + x2 dy = 2xy dy. 45. ydx = (3x + y3 - y2)dy; cuandox = 1, Y =-1. 46. (x 2 - 2xy - y2) dx - (x2 + 2xy - y2) dy = O. 47. y2dx + (xy + y2 -l)dy = O; cuando x = -1, Y = l. 48. y' = cosx - ysecx; cuando x = O, Y = l. , 49. Encuentre la solución de y ,= 3x + y que pase por el punto (-1, O) . . 50. Encuentre la solución de y I = 3x + y que pase por el punto ( -1, 1). http://gratislibrospdf.com/ 2.7 Suplemento para computadora 43 51. (x 2 - 1 + 2y) dx + (1 - x2) dy = O; cuando x = 2, Y = 1. 52. (y2 + y) dx - (y2 + 2x y + x) d Y = O; cuando x = 3, Y = 1. 53. (3x 4 y - 1) dx + x 5 dy = O; cuando x = 1, Y = 1. 54. (sen x sen y + tan x) dx - cos x cos y dy = O. 55. (3xy - 4y - 1) dx + x(x - 2) dy = O; cuando x = 1, Y = 2. I 2.7 I Suplemento para computadora En este capítulo iniciamos el proceso para resolver ecuaciones diferenciales de manera analítica. La mayor parte de los métodos descritos involucra la integración de alguna ma- nera y, por lo tanto, están sujetos a resolverse utilizando los Sistemas de Álgebra Compu- tacional (SAC) que pueden integrar de manera simbólica. Como una sencilla muestra considere la ecuación diferencial separable del ejemplo 2.1 en la sección 2.1 : dy 2y = dx x La solución dada en el texto implica la separación de las variables y la integración inme- diata de ambos miembros de la ecuación resultante. Las integraciones pueden ser realizadas en Maple por medio del siguiente comando: >int(1/y,y) =int(2/x,x)+C; ln(y) = 2 ln(x) + e Esta solución implícita puede ser resuelta para y y simplificada por: >so l ve(" , y); e21n(x)+C >s implify ( " ) ; Consideremos también la ecuación (7) dada en el ejemplo 2.7 de la sección 2.4, 3x(xy - 2) dx + (x 3 + 2y) dy = O. Aquí el primer paso es verificar si la ecuación es exacta. Maple puede hacer esto como sigue: >M: =3*x* (x*y- 2) ; M := 3 x (xy - 2) >N: = (x"3+2*y) ; N:= x 3 +2y >di ff (M, y) ; >di f f (N, x) ; http://gratislibrospdf.com/ 44 Capítulo 2 Ecuaciones de orden uno La ecuación resulta ser exacta. Podríamos usar la computadora para completar los pasos restan- tes del proceso. Afortunadamente, los programas que trabajan con expresiones simbólicas, en su mayor parte, están diseñados para encargarse de todos los pasos de una sola vez. Primero, re- grese al primer ejemplo citado anteriormente. Podemos introducir la ecuación diferencial como >diff(y(x) , x) =2*y / x; d 2 y -y(x) =- d x x Esta ecuación puede ser resuelta en un comando: >dsolve ( " ,y(x )); y(x) = X 2 _el El segundo ejemplo es casi igual de fácil: >(3*x*(x*y- 2) )+(xA3+2*y)*diff(y(x) , x)=O ; d 3x (xy - 2) + (x3 + 2 y ) -y(x) = ° dx >dsolve ( " ,y(x)); Por último, la computadora también puede resolver problemas de valor inicial. Veamos, considere la ecuación (8) en el ejemplo 2.3 de la sección 2.1 : (1 + l) dx + (1 +x2) d y = 0, con la "condición inicial" de que cuando x = 0, y = - l . La ecuación es introducida como: >diff(y(x) , x) =-(l+y(x)A2) / (l+xA2 ) ; d 1 + (y(x»2 dx Y(x) = - 1 +x2 y luego resuelta mediante: >dsolve({" , y(O) =-l } ,y (x)) ; y(x) = tan ( - arctan (x) - ¡) . • Ejercicios 1. Utilice un Sistema de Álgebra Computacional para resolver una muestra representati- va de los problemas trabajados en el presente capítulo. Asegúrese de incluir algunos con condiciones iniciales y otros sin éstas. Es probable que se encuentre con algunos problemas que el SAC no podrá resolver usando técnicas básicas. Verifique si su siste- ma tiene técnicas más avanzadas para resolverlos. 2.. Un SAC es capaz de resolver aún ecuaciones tan generales como dy/dx + P(x)y = Q(x). Inténtelo en su sistema. http://gratislibrospdf.com/ Métodos ,/ nUmerlCOS 3. 1 Observaciones generales No existe un método general que nos dé una forma explícita para encontrar la solución de una
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