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Carrera de Ingeniería Biomédica
Ingeniería Biomédica I
Proyecto de Curso
Título: 
Aplicaciones de la derivación en la resolución de problemas de las ciencias biológicas. Un ejemplo de proyecto
Autores:
Ing. Alfredo Lobaina Delgado
Ing. Dayana de Moya
Ing. Indira Caballero
 Curso 2022
Santiago de Cuba
“Nunca es tarde para comenzar otra vez” 
Anónimo
Resumen[footnoteRef:0] [0: Máximo del resumen de 250 palabras. Debe estar escrito en pasado y resumir Introducción, Desarrollo (Materiales, Métodos y resultados) y Conclusiones] 
El cálculo diferencial puede aplicarse a los problemas de las ciencias de la vida, como la biología y las ciencias médicas. En este trabajo se empleó el método de derivación para la resolución de algunas problemáticas desde el área de la Ingeniería Biomédica. Para lo cual se hizo uso de la herramienta de computación científica Matlab. Se solucionaron dos problemáticas de ejemplo relacionados con el crecimiento de células y de materiales radioactivos. Se logró la visualización de los máximos y mínimos locales presentes en los modelos, cuyo comportamiento se pretendía caracterizar. Se demostró que la utilización de métodos matemáticos mediante el uso de herramientas computacionales tiene gran aplicación en la modelación, simulación y visualización gráfica.[footnoteRef:1] [1: Arial o Times New Roman paar todo el texto. Un solo tipo de letra.
Tamaño de tipografia: 12 para el texto, 10 para tablas y pie de figura.
Interlineado: 1.5 cm
Sin sangría en los párrafos.
Entre Introducción-Desarrollo y Conclusiones-> Maximo 10 páginas, Mínimo 7
Usen los Anexos de Figuras, Código, Diagramas que no entren en el máximo de página
Los códigos si van en el anexo. Si es muy largo, solo poner las partes fundamentales.] 
Palabras claves: Método de derivación, modelos de crecimiento, sistemas biológicos.
Abstract
The differential calculus allows solving problems in the life sciences, such as biology and medical sciences. In this work, was used the derivation method in some issues from the area of Biomedical Engineering. For which was used the scientific computing tool Matlab. Two problems were solved related to the growth of cells and radioactive materials. The local maximum and minimum points of the models were shown and interpreted. Mathematical methods through computational tools have several applications in modeling, simulation, and graphic visualization.[footnoteRef:2] [2: Pueden corroborar con GoogleTranslator y Grammarly ] 
Keywords: Biological systems, derivation method, growth models. 
Introducción[footnoteRef:3] [3: Tamaño de la Introducción: Mínimo: 300 palabras] 
Los principios y teoremas del cálculo y análisis matemático constituyen una de las herramientas analíticas para las investigaciones sobre sistemas biológicos. Especialmente el cálculo diferencial permite resolver dos problemas básicos pero importantes relacionados con las ciencias de la vida: construir una línea tangente a la curva y calcular máximos y mínimos de esta (Neuhauser, 2004). Estas aplicaciones tienen campo en los modelos de crecimiento simple como crecimiento tumoral o de poblaciones de bacterias, invasiones e interacciones entre organismos, las reacciones enzimáticas, modelos epidemiológicos, evaluación de tratamientos médicos, interacciones de los medicamentos en los organismos, entre otros (Álvarez Nodarse, 2006, Gualano, Graieb, Baragatti, & Andrini, 2017).
La computación o programación científica ha permitido la simulación de estos modelos representados por funciones matemáticas, generalmente conocidas. Además, permite la visualización gráfica del comportamiento de estos modelos con un alto grado de precisión. También ha posibilitado el cálculo numérico y procesamiento requerido para su análisis en mucho menor tiempo que la resolución manual. Entre las herramientas computacionales que actualmente se utilizan con este fin se encuentra Matlab. Aunque existen otras como Python, que es la más popular, Matlab mantiene su enfoque hacia las ciencias, entre ellas las ciencias biológicas. También contiene un conjunto de funciones especializadas en los modelos presentados con anterioridad; así como el Toolbox de Matemática Simbólica y la herramienta Simulink, que en conjunto permite la simulación y modelación de una manera más intuitiva para el usuario.
El objetivo de este proyecto es evidenciar como las herramientas computacionales permiten la resolución de problemas de las ciencias biológicas que requieran la aplicación del método de derivación. Para ello se utilizará el software Matlab 2010.[footnoteRef:4] [4: El objetivo debe quedar explícito, y las conclusones deben referirse a ellos] 
Desarrollo
Método de derivación
Por definición, la derivada de una función f puede interpretarse como la razón de cambio con respecto a la variable independiente. Suponiendo que f es una cantidad que depende de otra cantidad x, es decir f(x); si x cambia de x1 a x2, conocido como incremento Δx=x2-x1, y el cambio correspondiente Δf(Δx)=f(x1) – f(x2), entonces:
(1)
La ecuación 1 puede denominarse razón de cambio promedio. Cuando Δx se hace muy pequeño, se le llama razón de cambio instantánea, semejante a la derivada de f(x) en x. También puede interpretarse como la pendiente de una curva en un punto determinado. En caso de f(x) representar la posición de una partícula, sería la velocidad de esta. En dependencia de la problemática que se esté analizando, así sería la interpretación de la derivada del modelo matemático que se estudia. Esta forma de calcular la derivada es también aplicable para datos discretos. 
En el lenguaje de programación Matlab, la derivada o diferencial se determina mediante la función diff, teniendo en cuenta que Δx=1.
Aplicaciones del método de derivación en la búsqueda de puntos críticos
Una de las aplicaciones de la derivación es la búsqueda de extremos locales. Se conoce que donde la primera derivada f’(x) =0, se encuentran los puntos críticos de la función considerados también como extremos locales. 
El método de la segunda derivada permite determinar si el extremo encontrado es un máximo o mínimo local, en dependencia del signo del resultado, al evaluar f’’(x0), siendo xo un punto crítico.
Problemas sobre sistemas biológicos
En este apartado se presentan varias problemáticas donde es aplicable el método de derivación abordado en los apartados anteriores:
1. La función P(t) modela el comportamiento de una en t horas luego de introducirse una determinada sustancia, mediante un experimento in vitro. 
(2)
a) ¿Señale con un indicador en qué momento la población de células es máxima?
2. En un centro hospitalario donde se utiliza material radioactivo, los desechos de los procesos donde se emplea este material se vacían en tanques donde se espera que la radioactividad alcance valores no dañinos para el ser humano. Para cumplir con las normas de bioseguridad y de cuidado del medio ambiente, supóngase que el porcentaje de desechos no contaminantes t días después de tirar material contaminante está dado por la siguiente función:
(5)
a) ¿A partir de qué momento comienza a disminuir la radioactividad en el tanque?
Algoritmos para su resolución
La resolución de cada problemática estará basada en los diagramas de flujo de la Figura 1 y 2, para lo cual se hará uso del Toolbox de Matemática Simbólica del Matlab y de las funciones:
Tabla 1. Funciones utilizadas del Symbolic Math Toolbox [footnoteRef:5] [5: En título de la tabla debe ir arriba, numerada y deben referirse a ella en el texto directa (ver Tabla 1) o indirecta ej. como se muestra en la siguiente tabla:] 
	Funciones
	Objetivo a realizar
	syms
	Declaración de variables simbólicas
	ezplot
	Gráficar funciones o ecuaciones simbólicas
	solve
	Resolución de ecuaciones igualando a cero
	subs
	Substitución de variables
[footnoteRef:6] [6: Los diagramas de flujo y de bloque se pueden realizar en Visio u otro programa. Entre más simples mejor. En sí deben de tener una explicación textual o referirse a ellos en el texto, con aspectosque no sean redundante con lo que ellos ya muestran.] 
Figura 1. Diagrama de flujo para la resolución general de las problemáticas abordadas por el método de derivación.
Figura 2. Método de la segunda derivada para su resolución en Matlab.
También se implementó una función basada en ambos métodos: la primera y la segunda derivada (ver Anexo 2).
Resultados
Resolución de la problemática 1
Según el problema planteado, se realizó el código correspondiente en el Editor del Matlab (ver Anexo 1), para obtener el gráfico del modelo que representa la evolución de una población de células tumorales. A partir de este, el algoritmo permite la visualización del punto máximo o mínimo alcanzado por la población de células (ver Figura 3).
[footnoteRef:7]Figura 3. Comportamiento de una población de células cancerígenas en el tiempo. La problemática no especifica la unidad de medida de la población [7: Figuras y pie de figura centradas] 
En la figura anterior se visualiza como hay un crecimeinto de la población de células en las primeras 100 horas de introducida la sustancia. Sin embargo, el crecimiento fue de aproximadamente un 5 %. Posteriormente a ese instante de tiempo, la población de células tumorales empieza a decrecer, dando al especialista una certeza de la posible eficacia del experimento en un plazo de tiempo mayor de 5 días aproximadamente. Esto pudiera visualizarse incrementando el rango de tiempo del gráfico.
Resolución de la problemática 2
En la siguiente figura se muestra el gráfico obtenido a partir de la función implementada basada en el método de derivación (ver Anexo 2). En este puede notarse que aproximadamente a los diez días se obtiene un máximo de la actividad radioactiva de los materiales de desecho, debido a que el porciento de los no contaminantes disminuye. A partir de este punto de inflexión, disminuye la radioactividad; esto puede estar debido a que se reduce el tiempo de actividad de los contaminantes radioactivos. Además es notable que aproximadamente el 60 % de los materiales eran contaminantes. Además que la actividad radiactiva es mayor en los primeros días y luego disminuye lentamente, quedando un 15% de materiales radioactivos. 
Figura 4. Visualización del prociento de material no radiactivo en los desechos del hospital
Conclusiones[footnoteRef:8] [8: Como ven, las conclusiones reflejan los aspectos relevantes, elementos que fueron críticos. No es un resumen de lo que se realizó sino una evaluación crítica de los resultados y como influyen estos en la temática de investigación. Tampoco refleja la importancia que tuvo para el investigador de manera personal como: Gracias a este trabajo pudimos …] 
1. El método de derivación es aplicable a problemas básicos de las ciencias de la vida, como la biología y la medicina. Estos pueden ser modelados, simulados y visualizados mediante el uso de herramientas de computación científica.
2. Las gráficas obtenidas con los puntos críticos señalados y la indicación del tipo de valor extremo, permiten una mejor comprensión e interpretación del comportamiento de un modelo biológico determinado por los usuarios finales.
Referencias bibliográficas
Neuhauser, C. (2004). Matemáticas para ciencias. Pearson Educación.
Álvarez Nodarse, R. (2006). Modelos matemáticos en biología: un viaje de ida y vuelta. Boletín de la Sociedad Española de Matemática Aplicada, 35, 73-112.
Gualano, L., Graieb, A., Baragatti, E. E., & Andrini, L. R. (2017). Matemáticas y crecimiento bacteriano: un trabajo de laboratorio para el aprendizaje significativo. In I Jornadas sobre Enseñanza y Aprendizaje en el Nivel Superior en Ciencias Exactas y Naturales (La Plata, 29 y 30 de agosto de 2017).[footnoteRef:9]
 [9: Mínimo: 3 bibliografías. Norma bibliográfica: APA, IEEE o Vancouver. Vean la Conferencia 1(I), (II) y Conferencia 2 al respecto] 
Anexos
Anexo 1. Código desarrollado en Matlab
1. 1 Código correspondiente a la problemática 1
syms t % declaración de la variable simbólica
P_t=600/(4+exp(-0.01*t)+exp(0.003*t));
Derivada=diff(P_t);% determinar la primera derivada
puntos_criticos=solve(Derivada);% igualar a cero
puntos_criticos=double(puntos_criticos); % obtener resultado númerico
P_pc=subs(P_t,t,puntos_criticos);% determinar el la población alcanzada en el punto crítico
ezplot(P_t,[0 200])% graficar ecuación simbólica
title('Poblacion de celulas cancerigenas')
xlabel('t(horas)')
ylabel('Poblacion')
hold on
plot(puntos_criticos,P_pc,'r*')%señalización de punto crítico con *
%% Indicación de máximo o mínimo
Segunda_derivada=diff(Derivada);
Eval=subs(Segunda_derivada,t,puntos_criticos);%evaluar punto crítico en la 2da derivada 
if Eval > 0
 txt = ['\leftarrow Minimo: ',num2str(P_pc)];%num2str convierte de numero a cadena de caracteres
 text(puntos_criticos,P_pc,txt)% Texto de señalización
else
 txt = ['\leftarrow Maximo: ',num2str(P_pc)];
 text(puntos_criticos,P_pc,txt)
end
1.2 Código correspondiente a la problemática 2
syms t % declaraci?n de la variable simb?lica
P_t=100*((t^2+10*t+100)/(t^2+50*t+100));
rango=[0,200];
titulo='Porciento de material no contaminante';
ejey='Material no radiactivo (%)';
ejex='Tiempo(dias)';
metodo_derivacion(t,P_t,rango, titulo, ejex,ejey)
Anexo 2. Funciones implementadas
function metodo_derivacion(t,P_t,rango, titulo, xlab,ylab )
% t; variable simbolica
% P_t: ecuación simbólica
% rango: rango del eje x para graficar
% title: titulo del gráfico
% xlab: nombre eje x
% ylab: nombre eje y
Derivada=diff(P_t);% determinar la primera derivada
puntos_criticos=solve(Derivada);% igualar a cero
puntos_criticos=double(puntos_criticos); % obtener resultado n?merico
P_pc=subs(P_t,t,puntos_criticos);% determinar el la poblaci?n alcanzada en el punto cr?tico
ezplot(P_t,rango)% graficar ecuaci?n simb?lica
title(titulo)
xlabel(xlab)
ylabel(ylab)
hold on
plot(puntos_criticos,P_pc,'r*')%se?alizaci?n de punto cr?tico con *
Segunda_derivada=diff(Derivada);
Eval=subs(Segunda_derivada,t,puntos_criticos)%evaluar punto cr?tico en la 2da derivada
for i=1: length(Eval)% por si hay varios picos
 if Eval(i) > 0
 txt = ['\leftarrow Minimo: ',num2str(P_pc(i))];%num2str convierte de numero a cadena de caracteres
 text(puntos_criticos(i),P_pc(i),txt)% Texto de se?alizaci?n
 else
 txt = ['\leftarrow Maximo: ',num2str(P_pc(i))];
 text(puntos_criticos(i),P_pc(i),txt)
 end
end
end