Clase_3

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CURSO: EL MÉTODO DE LOS 
ELEMENTOS FINITOS
TEMA III: ANÁLISIS UNI-DIMENSIONAL (ELEMENTOS BARRA)
DOCENTE: ING. JAN CARLOS PAMPA VARA
Elementos Barra
Elementos Barra
Función de prueba
Función de forma
Función de peso
Función 𝐶𝑛 es continua hasta su “n-ésima” derivada
Función 𝐶0
- Es continua con primera derivada discontinua
- Función lineal por tramos 
- Frecuentemente usados en FEM
Elementos Barra
Función 𝐶0 ¿Es posible en forma fuerte?¿y en forma débil?
Forma Fuerte
Forma Débil
“Forma débil permite un espacio funcional más amplio 
para u y w que lo que permite la forma fuerte para u”
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Función de prueba
Función de forma
Función de peso
Requisitos matemáticos
Espacio Sobolev  𝐻1
Energía finita
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Método de Galerkin
- Escoger funciones solución aproximada (funciones de prueba o forma)
para la forma débil de la ecuación gobernante y hallar la amplitud de
cada función.
- Los espacios funcionales S y V de y y w deben corresponder a espacios
dimensionales finitos (ej: combinación de funciones polinomiales de bajo
orden)
- FEM: u y w son funciones polinómicas simples de bajo orden (lineales,
cuadráticas), continuas (c0) y por tramos.
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Reemplazando ecuaciones
Elementos Barra
Para cualquier valor de 𝑤𝑖 , su valor no depende de posición espacial y puede salir de la integral
Elementos Barra
Los valores de 𝑢𝑗 también son discretos y pueden salir de la integral
Esta ecuación debe ser válida para posible combinación de 𝑤𝑖 , considerando que muchos 𝑤𝑖 son 0 excepto de uno, en
ese caso tenemos:
Elementos Barra
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Para empezar, se examinan los elementos lineales unidimensionales.
Considere el elemento de barra unidimensional de la figura. La barra tiene
dos nodos, indicados por círculos sólidos. Para un nodo i, la función de
forma asociada con ese nodo, Ni, es igual a uno en el nodo y cero en
todos los demás nodos. El campo de desplazamiento dentro de la barra en
términos de valores nodales discretos y funciones de forma viene dado por:
donde ai es el desplazamiento en el nodo i (se "almacena" en el nodo). Las 
funciones de forma correspondientes a cada nodo vienen dadas por:
Elementos Barra
Este tipo de elemento se conoce como elemento lineal, ya que sus funciones de forma son polinomios lineales. La forma débil de las
ecuaciones gobernantes involucra derivadas con respecto a la posición espacial. Por lo tanto, para resolver un problema, se requiere la
derivada del campo de desplazamiento con respecto a “x” (la deformación).
En caso de una interpolación de desplazamiento lineal, la derivada de la función de forma es constante en un elemento. En términos de 
desplazamiento nodal 𝑎𝑒 , el desplazamiento y la deformación se puede tomar en cualquier parte del elemento.
En forma matricial
Elementos Barra
Elementos Barra
Elementos Barra
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Es posible desarrollar elementos unidimensionales con interpolaciones polinomiales de orden superior. Los elementos de orden superior
simplemente tienen más nodos. Más nodos a través de los cuales la función de forma debe interpolarse naturalmente significa que se
requiere un polinomio de orden superior. La siguiente figura ilustra funciones de forma para elementos cuadráticos y cúbicos. Para un
elemento cuadrático unidimensional, el campo de desplazamiento está dado por
Elementos Barra
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