Finite elements

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Madelyne Alonso Sanabria 
Mateo Linares Segura 
Fabián Camilo Monroy Benítez 
Elementos Finitos en Sólidos y Fluidos 
2021-I 
 
Tarea 1 
Solucionar el problema 3 y 4 del documento elementos 1D mostrado en clase. Todos entregan 
documento. Para presentar en grupos. Los de un mismo grupo entregan el mismo documento. Solo 
para el problema 3, mostrar la formulación de elementos finitos partiendo de la formulación fuerte 
del problema paso a paso. Para ambos problemas mostrar paso a paso las matrices y el proceso de 
ensamble. Sea lo más claro posible. Trate de comparar con solución en OptiStruct. 
Problema 3: 
La barra uniforme de acero A-36 (𝐸 = 200 𝐺𝑃𝑎) mostrada tiene un diámetro de 6.25 mm y está 
sujeta a un pasador en el centro. Si está rotando sobre el plano horizontal a una velocidad angular 
constante de 800 rpm, grafique la deformación de la barra como función del radio. Utilice: a) Dos 
elementos finitos lineales isoparamétricos. b) Cuatro elementos finitos lineales isoparamétricos. 
Compare contra la solución analítica y comente sus resultados. Ayuda: Fuerza de cuerpo, 𝑓 =
𝜌𝐴𝑟𝜔2, donde 𝜌 es la densidad. Como aproximación en el cálculo del vector de fuerza de cuerpo, 
evalúe 𝑓 en el centro geométrico de cada elemento. 
 
Solución por Formulación Fuerte 
• Para empezar con la formulación fuerte, se analizó media barra como el diagrama que se muestra 
a continuación. 
 
• Dada la fuerza centrípeta que sufre la barra, se tiene que: 
𝑑𝐹 = (𝑑𝑚)𝑎𝑛 = (𝑑𝑚)𝜔
2𝑟 
𝑑𝑚 = 𝜌𝐴𝑑𝑟 
𝑑𝐹 = (𝜌𝐴𝑑𝑟)𝜔2𝑟 = 𝜌𝐴𝜔2𝑟𝑑𝑟 (1) 
• Integrando a los dos lados de la ecuación 1: 
𝐹 = ∫ 𝜌𝐴𝜔2
𝑙
𝑟0
𝑟 𝑑𝑟 = 𝜌𝐴𝜔2 ∫ 𝑟 𝑑𝑟
𝑙
𝑟0
 
𝐹 = 𝜌𝐴𝜔2
(𝑙2−𝑟0
2)
2
 (2) 
• Ahora, para la deformación del elemento dr: 
𝑑(∆𝑙) = 𝑑𝑢 =
𝐹𝑑𝑟
𝐸𝐴
 (3) 
• Reemplazando 2 en 3, se soluciona nuevamente la ecuación diferencial. 
𝑢 =
𝜌𝐴𝜔2
2𝐸𝐴
∫ (𝑙2 − 𝑟0
2)𝑑𝑟
𝑙
𝑟0
 
𝑢 =
𝜌𝜔2
2𝐸
(𝑙3 −
𝑙3
3
) 
𝑢 =
𝜌𝜔2𝑙3
3𝐸
 
• La deformación total sería: 
𝑢 =
1
3
∗
7860 ∗ 83.782 ∗ 0.53
200 ∗ 109
 
𝑢 = 1.15𝑥10−5 𝑚 
• La deformación en función de r: 
𝑢(𝑟) = 
1
3
∗
𝜌𝜔2𝑟3
𝐸
 
𝑢(𝑟) = 9.2 ∗ 10−5 ∗ 𝑟3 
 
Solución por Elementos Finitos 
a) Dos elementos finitos lineales isoparamétricos. 
• Primeramente, se definen los nodos y elementos del problema planteado. 
 
 
 
 
• Luego, se obtiene el valor del área seccional de la barra para calcular la matriz de rigidez de 
cada elemento. Como los elementos tienen igual longitud y área se tiene que: 
𝐴 = 𝜋(3.125 𝑚𝑚)2 = 30.68 𝑚𝑚2 
𝐾1 = 𝐾2 =
200 ∗ 103 𝑀𝑃𝑎 ∗ 30.68 𝑚𝑚2
500 𝑚𝑚
{
1 −1
−1 1
} 
𝐾1 = 𝐾2 = 12.272 ∗ 10
3 {
1 −1
−1 1
} 
• Ahora, se procede a obtener las matrices de conectividad. 
 
 
 
 1 2 3 
ID 
 
 
 
 1 2 
IEN 1 
 2 
 
 
 
 1 2 
LM 1 
 2 
 
• Realizando la matriz de ensamble se tiene que: 
{
𝐾1 −𝐾1 0
−𝐾1 𝐾1 + 𝐾2 −𝐾2
0 −𝐾2 𝐾2
} 
12.272 ∗ 103 {
1 −1 0
−1 2 −1
0 −1 1
} 
• Para el vector de fuerzas se tiene que: 
La fuerza en el elemento 1 corresponde a un valor de 𝑟 = −250 𝑚𝑚 que resulta en, 
𝐹 = 𝜌𝐴𝜔2𝑟2 
𝐹 = (7860
𝐾𝑔
𝑚3
) (3.068 ∗ 10 − 5 𝑚2) (83.776
𝑟𝑎𝑑
𝑠
)
2
(500 𝑚𝑚)2 
𝐹 = −105.78 𝑁 
La fuerza en el elemento 2 corresponde a un valor de 𝑟 = 250 𝑚𝑚 que resulta en, 
𝐹 = 𝜌𝐴𝜔2𝑟2 
1 2 3 
1 2 
2 3 
1 2 
2 3 
Número de nodos 
Número de elementos 
Número de nodos locales 
Número de grados de libertad 
Número de elementos 
1 
 
2 
 
1 
 
2 
 
3 
 
𝐹 = (7860
𝐾𝑔
𝑚3
) (3.068 ∗ 10 − 5 𝑚2) (83.776
𝑟𝑎𝑑
𝑠
)
2
(0,250 𝑚)2 
𝐹 = 105.78 𝑁 
Por lo tanto, el vector de fuerza es: 
{
−105.78 𝑁
0
105.78 𝑁
} 
• Sistema 𝑘𝑢 = 𝑓 
12.272 ∗ 103 {
1 −1 0
−1 2 −1
0 −1 1
} {
𝑢1
𝑢2
𝑢3
} = {
−105.78 𝑁
0
105.78 𝑁
} 
• Sistema aplicando la condición de frontera 𝑢2 = 0: 
12.272 ∗ 103 {
1 0 0
0 1 0
0 0 1
} {
𝑢1
𝑢2
𝑢3
} = {
−105.78 𝑁
0
105.78 𝑁
} 
• Resolviendo el sistema se tiene que: 
𝑢1 =
−105.78
12.272 ∗ 103
 
𝑢1 = −0.0086 𝑚𝑚 
• Para el desplazamiento 𝑢3: 
𝑢3 =
105.78
12.272 ∗ 103
 
𝑢3 = 0.0086 𝑚𝑚 
• Graficando la deformación: 
 
 
b) Cuatro elementos finitos lineales isoparamétricos. 
• Primeramente, se definen los nodos y elementos del problema planteado. 
 
 
 
1 
 
2 
 
3 
 
4 
 
1 2 3 4 5 
 
 
• Luego, se obtiene el valor del área seccional de la barra para calcular la matriz de rigidez de 
cada elemento. Como los elementos tienen igual longitud y área se tiene que: 
𝐴 = 𝜋(3.125 𝑚𝑚)2 = 30.68 𝑚𝑚2 
𝐾1 =
200 ∗ 103 𝑀𝑃𝑎 ∗ 30.68 𝑚𝑚2
250 𝑚𝑚
{
1 −1
−1 1
} 
𝐾1 = 𝐾2 = 𝐾3 = 𝐾4 = 24.544 ∗ 10
3 {
1 −1
−1 1
} 
• Ahora se procede a obtener las matrices de conectividad. 
 
 
 
 1 2 3 4 5 
ID 
 
 
 
 1 2 3 4 
IEN 1 
 2 
 
 
 
 1 2 3 4 
LM 1 
 2 
• Realizando la matriz de ensamble se tiene que: 
{
 
 
 
 
𝑘1 −𝑘1 0 0 0
−𝑘1 𝑘1 + 𝑘2 −𝑘2 0 0
0 −𝑘2 𝑘2 + 𝑘3 −𝑘3 0
0 0 −𝑘3 𝑘3 + 𝑘4 −𝑘4
0 0 0 −𝑘4 𝑘4 }
 
 
 
 
 
24.544 ∗ 103
{
 
 
 
 
1 −1 0 0 0
−1 2 −1 0 0
0 −1 2 −1 0
0 0 −1 2 −1
0 0 0 −1 − }
 
 
 
 
 
• Para el vector de fuerzas se tiene que: 
La fuerza en el elemento 1 corresponde a un valor de 𝑟 = −375 𝑚𝑚 que resulta en, 
𝐹 = 𝜌𝐴𝜔2𝑟2 
𝐹 = (7860
𝐾𝑔
𝑚3
) (3.068 ∗ 10 − 5 𝑚2) (83.776
𝑟𝑎𝑑
𝑠
)
2
(0.375 𝑚)2 
𝐹 = −238 𝑁 
La fuerza en el elemento 2 para el valor de 𝑟 = −125 𝑚𝑚. 
𝐹 = 𝜌𝐴𝜔2𝑟2 
1 2 3 4 5 
1 2 3 4 
2 3 4 5 
1 2 3 4 
2 3 4 5 
Número de nodos 
Número de elementos 
Número de nodos locales 
Número de grados de libertad 
Número de elementos 
𝐹 = (7860
𝐾𝑔
𝑚3
) (3.068 ∗ 10 − 5 𝑚2) (83.776
𝑟𝑎𝑑
𝑠
)
2
(125 𝑚𝑚)2 
𝐹 = −105,78 𝑁 
La fuerza en el elemento 3 para el valor de r =125mm. 
𝐹 = 105,78 𝑁 
La fuerza en el elemento 4 para el valor de r =375mm. 
𝐹 = 238 𝑁 
{
 
 
 
 
−238
−105,78
0
105.78
238 }
 
 
 
 
 
Sistema 𝑘𝑢 = 𝑓 
24.544 ∗ 103
{
 
 
 
 
1 −1 0 0 0
−1 2 −1 0 0
0 −1 2 −1 0
0 0 −1 2 −1
0 0 0 −1 1 }
 
 
 
 
{
 
 
 
 
𝑢1
𝑢2
𝑢3
𝑢4
𝑢5}
 
 
 
 
=
{
 
 
 
 
−238
−105,78
0
105.78
238 }
 
 
 
 
 
Sistema aplicando las condiciones de frontera 𝑢3 = 0: 
24.544 ∗ 103
{
 
 
 
 
1 −1 0 0 0
−1 2 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 2 −1
0 0 0 −1 1 }
 
 
 
 
{
 
 
 
 
𝑢1
𝑢2
𝑢3
𝑢4
𝑢5}
 
 
 
 
=
{
 
 
 
 
−238
−105,78
0
105.78
238 }
 
 
 
 
 
Resolviendo el sistema se tiene que: 
𝑢1 = −0.0237 𝑚𝑚 
𝑢2 = −0.014𝑚𝑚 
𝑢3 = 0 
𝑢4 = 0.014 𝑚𝑚 
𝑢5 = 0.0237 𝑚𝑚 
• Graficando la deformación: 
 
 
Problema 4: 
Si la distancia entre C y la pared rígida en D es inicialmente 0.15 mm y se aplica una fuerza de 200 
kN en B, determine los esfuerzos normales en las barras usando elementos finitos lineales 
isoparamétricos. El ensamble está hecho de acero A-36 (𝐸 = 200 𝐺𝑃𝑎). 
 
Solución por Elementos Finitos 
• Primeramente, se definen los nodos y elementos del problema planteado. 
 
 
• Luego, se obtiene el valor del área seccional de las dos barras para calcular la matriz de rigidez 
de cada elemento. 
Para el elemento 1: 
𝐴1 = 𝜋(25 𝑚𝑚)
2 = 1963.5 𝑚𝑚2 
𝐾1 =
200 ∗ 103 𝑀𝑃𝑎 ∗ 1963.5 𝑚𝑚2
600 𝑚𝑚
{
1 −1
−1 1
} 
𝐾1 = 654.5 ∗ 10
3 {
1 −1
−1 1
} 
Para el elemento 2: 
𝐴2 = 𝜋(12.5 𝑚𝑚)
2 = 490.9 𝑚𝑚2 
𝐾2 =
200 ∗ 103 𝑀𝑃𝑎 ∗ 490.9 𝑚𝑚2
600 𝑚𝑚
{
1 −1
−1 1
} 
𝐾2 = 163.63 ∗ 10
3 {
1 −1
−1 1
} 
• Ahora, para el proceso de ensamble se usan las estructuras de datos ID, IEN y LM que se muestra 
a continuación. 
 
 
 
 1 2 3 
ID 1 2 3 
𝑈3 = 0.15 𝑚𝑚 
1 
 
2 3 
12 
 
Número de nodos 
 
 
 
 1 2 
IEN 1 
 2 
 
 
 
 1 2 
LM 1 
 2 
 
• Realizando la matriz de ensamble se tiene que: 
{
𝐾1 −𝐾1 0
−𝐾1 𝐾1 + 𝐾2 −𝐾2
0 −𝐾2 𝐾2
} 
• Matriz de Fuerzas: 
{
0
200 𝑘𝑁
0
} 
• Sistema 𝑘𝑢 = 𝑓: 
{
𝐾1 −𝐾1 0
−𝐾1 𝐾1 + 𝐾2 −𝐾2
0 −𝐾2 𝐾2
} {
𝑢1
𝑢2
𝑢3
} = {
0
200 𝑘𝑁
0
} 
• Sistema aplicando las condiciones de frontera 𝑢1 = 0, 𝑢3 = 0.15 𝑚𝑚: 
{
1 0 0
0 𝐾1 + 𝐾2 −𝐾2
0 0 1
} {
𝑢1
𝑢2
𝑢3
} = {
0
200 𝑘𝑁
0.15
} 
• Resolviendo el sistema se tiene que: 
𝑢2 =
200 𝑘𝑁 + 𝐾2𝑈3
𝐾1 + 𝐾2
 
𝑢2 =
200 ∗ 103 + (163.63 ∗ 103 ∗ 0.15)
654.5 ∗ 103 + 163.63 ∗ 103
 
𝑢2 = 0.2744 𝑚𝑚 
• Con los desplazamientos dados, se calculan los esfuerzos normales de cada elemento. 
𝜎 =
𝐸𝜀
𝑙
 
Para el elemento 1: 
{𝜎
1
𝜎2
} =
𝐸
𝑙
{
1 −1
−1 1
} ∗ {
𝑢1
𝑢2
} 
{𝜎
1
𝜎2
} = {
0.33 −0.33
−0.33 0.33
} ∗ {
0
0.274
} 
{𝜎
1
𝜎2
} = {
−0.0915 𝐺𝑃𝑎
0.0915 𝐺𝑃𝑎
} 
1 2 
2 3 
1 2 
2 3 
Número de elementos 
Número de nodos locales 
Número de grados de libertad 
Número de elementos 
Para el elemento 2: 
{𝜎
2
𝜎3
} =
𝐸
𝑙
{
1 −1
−1 1
} ∗ {
𝑢2
𝑢3
} 
{𝜎
2
𝜎3
} = {
0.33 −0.33
−0.33 0.33
} ∗ {
0.274
0.15
} 
{𝜎
2
𝜎3
} = {
−0.0415 𝐺𝑃𝑎
0.0415 𝐺𝑃𝑎
} 
Solución por HyperMesh-OptiStruct 
• Ahora, se procede a realizar la simulación en HyperMesh y OptiStruct. Primero, se crean los 
nodos con distancia de 600 mm cada uno. 
 
• Se crean las propiedades para cada sección. Se asegura colocar el CARD IMAGE en PROD. 
 
• Se crea el material. 
 
• Se crea el beam section para cada diámetro. 
 
• Luego, se asigna el material y la beam section a cada propiedad, según corresponda. Así mismo, 
se crean los elementos y se verifica que corresponda con la propiedad asignada. 
Con lo anterior hecho, se aplican los empotramientos y el desplazamiento de 0.15 mm en el nodo 
3. Luego, se crea el Load Step. 
 
• Se verifica que no haya errores en los cálculos. 
 
• Se realiza el análisis. 
 
• En HyperView se visualizan los resultados de desplazamiento y esfuerzos, respectivamente, para 
realizar la comparación con los datos teóricos. 
 
 
 
• Por último, se realiza un tabla en donde se calcula el error porcentual de los datos calculados y 
simulados con el programa HyperMesh, con la solución por el método de elementos finitos.