Exemplo de Dedução de Fórmula de Diferenças Finitas

Vista previa del material en texto

Exemplo: Obter a fórmula de diferenças finitas de: 
2
 para ( , )
u
u x y
x y

 
 
Solução: 
2
2 3
 para ( , )
Série de Taylor para duas variáveis:
1 1 1
( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ... ( , ) ...
2! 3! !
( , )
n
u
u x y
x y
u x h y k u x y h k u x y h k u x y h k u x y h k u x y
x y x y x y n x y
u x h y k

 
              
+ + = + + + + + + + + + +       
              
+ + =
2
2 2 2
2 2
2 2
2 2
2
2
1
( , ) ( , ) ( , )
2!
1
( , ) ( , ) ( , ) 2 ( , )
2!
( , ) ( , ) 1 ( , )
( , ) ( , )
2
u x y h k u x y h k u x y
x y x y
u x h y k u x y h k u x y h hk k u x y
x y x x y y
u x y u x y u x y
u x h y k u x y h k h hk
x y x
      
+ + + +   
      
      
+ + = + + + + +  
        
    
+ + = + + + + 
   
2
2
2
2 2 2
2 2
1, 1 , 2 2
2 2 2
2 2
1, 1 , 2 2
1, 1
( , ) 1 ( , )
2
1 1
 (1)
2 2
1 1
 (2)
2 2
i j i j
i j i j
i j
u x y u x y
k
x y y
u u u u u
u u h k h hk k x h y k
x y x x y y
u u u u u
u u h k h hk k x h y k
x y x x y y
u u
+ +
− −
+ −
 
+ 
   
    
= + + + + +  =  =
     
    
= − − + + +  = −  = −
     
=
2 2 2
2 2
, 2 2
2 2 2
2 2
1, 1 , 2 2
1, 1 1, 1 1, 1 1,
1 1
 (3)
2 2
1 1
 (4)
2 2
(1) (2) (3) (4)
i j
i j i j
i j i j i j i
u u u u u
h k h hk k x h y k
x y x x y y
u u u u u
u u h k h hk k x h y k
x y x x y y
u u u u
− +
+ + − − + − −
    
+ − + − +  =  = −
     
    
= − + + − +  = −  =
     
+ − −
+ − −
2
1
2
1, 1 1, 1 1, 1 1, 1
2
1, 1 1, 1 1, 1 1, 1
4.
4
4. .
j
i j i j i j i j
i j i j i j i j
u
hk
x y
u u u uu
x y hk
u u u uu
x y x y
+
+ + − − + − − +
+ + − + + − − −

=
 
+ − −
=
 
− − +
=
   